Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme (LGS). Bringen Sie die Gleichungen zunächst in die Standardform und nutzen Sie geeignete Verfahren (z.B. Gleichsetzungsverfahren oder Einsetzungsverfahren), um die Variablen \(x_1, x_2\) und \(x_3\) zu bestimmen.
Gegeben ist das folgende System:
\[ \begin{aligned} \text{I)} \quad x_2 &= 3x_1 + 3x_3 + 17 \\ \text{II)} \quad x_2 &= 2x_1 - x_3 + 8 \\ \text{III)} \quad x_2 &= x_1 + 3x_3 + 7 \end{aligned} \]
Schritt 1: Analyse und Strategie Da in allen drei Gleichungen \(x_2\) bereits isoliert auf der linken Seite steht, bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an. Wir setzen die rechten Seiten der Gleichungen paarweise gleich.
Schritt 2: Gleichung I und II gleichsetzen Wir setzen die rechte Seite von I gleich der rechten Seite von II, um eine neue Gleichung (IV) zu erhalten: \[ \begin{aligned} 3x_1 + 3x_3 + 17 &= 2x_1 - x_3 + 8 \quad &| -2x_1, +x_3, -17 \\ x_1 + 4x_3 &= -9 \quad &\text{(IV)} \end{aligned} \]
Schritt 3: Gleichung II und III gleichsetzen Nun setzen wir II und III gleich, um eine weitere Gleichung (V) zu erhalten: \[ \begin{aligned} 2x_1 - x_3 + 8 &= x_1 + 3x_3 + 7 \quad &| -x_1, -3x_3, -8 \\ x_1 - 4x_3 &= -1 \quad &\text{(V)} \end{aligned} \]
Schritt 4: Das reduzierte System lösen (IV und V) Wir haben nun ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten: \[ \begin{aligned} \text{IV)} \quad x_1 + 4x_3 &= -9 \\ \text{V)} \quad x_1 - 4x_3 &= -1 \end{aligned} \] Addieren wir beide Gleichungen (IV + V), fällt \[x_3\] weg: \[ \begin{aligned} (x_1 + x_1) + (4x_3 - 4x_3) &= -9 + (-1) \\ 2x_1 &= -10 \quad &| :2 \\ \mathbf{x_1} &= \mathbf{-5} \end{aligned} \]
Schritt 5: \[x_3\] berechnen Setzen wir \[x_1 = -5\] in Gleichung (V) ein: \[ \begin{aligned} -5 - 4x_3 &= -1 \quad &| +5 \\ -4x_3 &= 4 \quad &| :(-4) \\ \mathbf{x_3} &= \mathbf{-1} \end{aligned} \]
Schritt 6: \[x_2\] berechnen Zum Schluss setzen wir \[x_1\] und \[x_3\] in eine der ursprünglichen Gleichungen ein (z.B. Gleichung III): \[ \begin{aligned} x_2 &= (-5) + 3(-1) + 7 \\ x_2 &= -5 - 3 + 7 \\ x_2 &= -8 + 7 \\ \mathbf{x_2} &= \mathbf{-1} \end{aligned} \]
Ergebnis für a): Die Lösungsmenge ist \[L = \{(-5 | -1 | -1)\}\].
Gegeben ist das folgende System:
\[ \begin{aligned} \text{I)} \quad 2x_1 - (3x_2 + 2) &= 2x_3 + 8 \\ \text{II)} \quad x_2 - (x_1 - x_3) &= 2 \\ \text{III)} \quad x_3 + (x_1 - 1) &= 3x_3 + 6 \end{aligned} \]
Schritt 1: Vereinfachen und Sortieren Zuerst lösen wir die Klammern auf und bringen alle Variablen auf die linke Seite, Konstanten auf die rechte (Standardform).
Gleichung I: \[ \begin{aligned} 2x_1 - 3x_2 - 2 &= 2x_3 + 8 \\ 2x_1 - 3x_2 - 2x_3 &= 10 \quad \text{(I')} \end{aligned} \]
Gleichung II: \[ \begin{aligned} x_2 - x_1 + x_3 &= 2 \\ -x_1 + x_2 + x_3 &= 2 \quad \text{(II')} \end{aligned} \]
Gleichung III: \[ \begin{aligned} x_3 + x_1 - 1 &= 3x_3 + 6 \\ x_1 - 2x_3 &= 7 \quad \text{(III')} \quad (\text{Hier fällt } x_2 \text{ weg!}) \end{aligned} \]
Schritt 2: Strategie wählen Gleichung (III’) enthält nur \[x_1\] und \[x_3\]. Das ist sehr hilfreich. Wir können dort \[x_1\] in Abhängigkeit von \[x_3\] ausdrücken: \[ x_1 = 7 + 2x_3 \]
Schritt 3: Einsetzen in (I’) und (II’) Wir setzen diesen Ausdruck für \[x_1\] in die anderen beiden Gleichungen ein.
Einsetzen in (II’): \[ \begin{aligned} -(7 + 2x_3) + x_2 + x_3 &= 2 \\ -7 - 2x_3 + x_2 + x_3 &= 2 \\ x_2 - x_3 &= 9 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 9 + x_3 \quad \text{(A)} \end{aligned} \]
Einsetzen in (I’): \[ \begin{aligned} 2(7 + 2x_3) - 3x_2 - 2x_3 &= 10 \\ 14 + 4x_3 - 3x_2 - 2x_3 &= 10 \\ -3x_2 + 2x_3 &= -4 \quad \text{(B)} \end{aligned} \]
Schritt 4: Das neue System lösen Nun setzen wir (A) in (B) ein: \[ \begin{aligned} -3(9 + x_3) + 2x_3 &= -4 \\ -27 - 3x_3 + 2x_3 &= -4 \\ -27 - x_3 &= -4 \quad &| +27 \\ -x_3 &= 23 \\ \mathbf{x_3} &= \mathbf{-23} \end{aligned} \]
Schritt 5: Rückwärts Einsetzen Berechnung von \[x_2\] (aus A): \[ x_2 = 9 + (-23) = \mathbf{-14} \]
Berechnung von \[x_1\] (aus Schritt 2): \[ x_1 = 7 + 2(-23) = 7 - 46 = \mathbf{-39} \]
Ergebnis für b): Die Lösungsmenge ist \[L = \{(-39 | -14 | -23)\}\].
Gegeben ist das folgende System:
\[ \begin{aligned} \text{I)} \quad 2(x_1 - 1) + 3(x_3 - x_2) &= 2 \\ \text{II)} \quad 5x_1 - 4(x_2 - 2x_3) &= 22 \\ \text{III)} \quad 3(x_2 + x_3) - 4(x_1 - 1) &= 14 \end{aligned} \]
Schritt 1: Ausmultiplizieren und Sortieren
Gleichung I: \[ \begin{aligned} 2x_1 - 2 + 3x_3 - 3x_2 &= 2 \\ 2x_1 - 3x_2 + 3x_3 &= 4 \quad \text{(I')} \end{aligned} \]
Gleichung II: \[ \begin{aligned} 5x_1 - 4x_2 + 8x_3 &= 22 \quad \text{(II')} \end{aligned} \]
Gleichung III: \[ \begin{aligned} 3x_2 + 3x_3 - 4x_1 + 4 &= 14 \\ -4x_1 + 3x_2 + 3x_3 &= 10 \quad \text{(III')} \end{aligned} \]
Schritt 2: Elimination von \[x_2\] Wir betrachten (I’) und (III’). Auffällig ist, dass \[-3x_2\] und \[+3x_2\] vorkommen. Addieren wir diese beiden Gleichungen:
\[ \begin{aligned} (2x_1 - 3x_2 + 3x_3) + (-4x_1 + 3x_2 + 3x_3) &= 4 + 10 \\ -2x_1 + 6x_3 &= 14 \quad &| :(-2) \\ x_1 - 3x_3 &= -7 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 3x_3 - 7 \quad \text{(IV)} \end{aligned} \]
Schritt 3: Einsetzen in (II’) Wir setzen den Ausdruck für \[x_1\] aus (IV) in Gleichung (II’) ein: \[ \begin{aligned} 5(3x_3 - 7) - 4x_2 + 8x_3 &= 22 \\ 15x_3 - 35 - 4x_2 + 8x_3 &= 22 \\ -4x_2 + 23x_3 &= 57 \quad \text{(V)} \end{aligned} \] Hier haben wir noch zwei Unbekannte. Wir brauchen eine zweite Gleichung mit nur \[x_2\] und \[x_3\].
Alternativer Weg für Schritt 3: Wir nutzen (I’) und setzen \[x_1\] ein, um \[x_2\] zu isolieren, oder wir eliminieren \[x_1\] aus (I’) und (II’). Lassen Sie uns \[x_1\] aus (I’) und (II’) eliminieren. (I’) \[\times 5\]: \[10x_1 - 15x_2 + 15x_3 = 20\] (II’) \[\times 2\]: \[10x_1 - 8x_2 + 16x_3 = 44\] Subtraktion (Oben - Unten): \[ \begin{aligned} (-15x_2 - (-8x_2)) + (15x_3 - 16x_3) &= 20 - 44 \\ -7x_2 - x_3 &= -24 \\ x_3 &= 24 - 7x_2 \quad \text{(VI)} \end{aligned} \]
Jetzt haben wir (V) und (VI). Setzen wir (VI) in (V) ein: \[ \begin{aligned} -4x_2 + 23(24 - 7x_2) &= 57 \\ -4x_2 + 552 - 161x_2 &= 57 \\ -165x_2 &= 57 - 552 \\ -165x_2 &= -495 \quad &| :(-165) \\ \mathbf{x_2} &= \mathbf{3} \end{aligned} \]
Schritt 4: Rückwärts Einsetzen Berechnung von \[x_3\] (aus VI): \[ x_3 = 24 - 7(3) = 24 - 21 = \mathbf{3} \]
Berechnung von \[x_1\] (aus IV): \[ x_1 = 3(3) - 7 = 9 - 7 = \mathbf{2} \]
Ergebnis für c): Die Lösungsmenge ist \[L = \{(2 | 3 | 3)\}\].