Übung 7 - Aufgabe 7: Lineares Gleichungssystem (LGS)

Aufgabenstellung

Sarah hat folgendes lineares Gleichungssystem (LGS) gelöst. Raphael behauptet, das LGS mit weniger Rechenschritten lösen zu können. Erläutern Sie, was er meint.

Gegebenes Gleichungssystem:

  1. \(x_1 + 4x_2 - 4x_3 = 9\)
  2. \(x_1 - 8x_2 = 9\)
  3. \(12x_2 = -12\)

Sarahs Lösungsweg:

  1. Multipliziere die erste Gleichung mit \(-1\) und addiere sie zur zweiten Gleichung: \[ \begin{aligned} &x_1 + 4x_2 - 4x_3 = 9 \quad \cdot (-1) \\ &x_1 - 8x_2 = 9 \\ \hline &-12x_2 + 4x_3 = 0 \end{aligned} \]

  2. Addiere die dritte Gleichung zur neu erhaltenen zweiten Gleichung: \[ \begin{aligned} &-12x_2 + 4x_3 = 0 \\ &12x_2 = -12 \\ \hline &4x_3 = -12 \end{aligned} \]

  3. Löse nach \(x_3\): \[ x_3 = -3 \]

  4. Setze \(x_3 = -3\) in die zweite Gleichung ein und löse nach \(x_2\): \[ 12x_2 = -12 \implies x_2 = -1 \]

  5. Setze \(x_2 = -1\) und \(x_3 = -3\) in die erste Gleichung ein und löse nach \(x_1\): \[ x_1 + 4(-1) - 4(-3) = 9 \implies x_1 - 4 + 12 = 9 \implies x_1 = 1 \]

Lösung:

\[ (x_1, x_2, x_3) = (1, -1, -3) \]

Raphaels effizienterer Lösungsweg

Raphael meint, dass man das Gleichungssystem mit weniger Rechenschritten lösen kann, indem man direkt die dritte Gleichung verwendet, um \(x_2\) zu bestimmen, und dann rückwärts einsetzt.

Schritt-für-Schritt-Lösung:

  1. Löse die dritte Gleichung nach \(x_2\): \[ 12x_2 = -12 \implies x_2 = -1 \]

  2. Setze \(x_2 = -1\) in die zweite Gleichung ein und löse nach \(x_1\): \[ x_1 - 8(-1) = 9 \implies x_1 + 8 = 9 \implies x_1 = 1 \]

  3. Setze \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\) in die erste Gleichung ein und löse nach \(x_3\): \[ 1 + 4(-1) - 4x_3 = 9 \implies 1 - 4 - 4x_3 = 9 \implies -3 - 4x_3 = 9 \implies -4x_3 = 12 \implies x_3 = -3 \]

Lösung:

\[ (x_1, x_2, x_3) = (1, -1, -3) \]

Vergleich der Lösungswege

  • Sarahs Weg: Benötigt mehrere Umformungen und Additionen von Gleichungen, um schrittweise die Variablen zu eliminieren.
  • Raphaels Weg: Nutzt die bereits gegebene dritte Gleichung, um direkt \(x_2\) zu bestimmen, und setzt dann rückwärts ein, um \(x_1\) und \(x_3\) zu finden. Dies spart Rechenschritte, da keine zusätzlichen Umformungen nötig sind.

Fazit

Raphaels Ansatz ist effizienter, da er die Struktur des Gleichungssystems ausnutzt und direkt mit der einfachsten Gleichung beginnt. Dies reduziert die Anzahl der notwendigen Rechenschritte erheblich.