Zielgruppe: Gymnasium, 12. Klasse
Datum: 21. Mai 2026
Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme (LGS) mit dem Gauß-Algorithmus.
\[ \begin{aligned} 2x_1 - 4x_2 + 5x_3 &= 3 \\ 3x_1 + 3x_2 + 7x_3 &= 13 \\ 4x_1 - 2x_2 - 3x_3 &= -1 \end{aligned} \]
Gegeben ist die erweiterte Koeffizientenmatrix: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} -1 & 7 & -1 & 5 \\ 4 & -1 & 1 & 1 \\ 5 & -3 & 1 & -1 \end{array} \right) \]
\[ \begin{aligned} 0,6x_2 + 1,8x_3 &= 3 \\ 0,3x_1 + 1,2x_2 \quad \quad &= 0 \\ 0,5x_1 \quad \quad \quad + x_3 &= 1 \end{aligned} \]
Ziel: Wir wollen die Matrix so umformen, dass unter der Hauptdiagonalen nur noch Nullen stehen (Treppenform).
Schritt 1: Aufschreiben der erweiterten Matrix \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & -4 & 5 & 3 \\ 3 & 3 & 7 & 13 \\ 4 & -2 & -3 & -1 \end{array} \right) \]
Schritt 2: Erste Spalte bereinigen (Nullen unter der 2 erzeugen) Wir nutzen Zeile 1 (Z1), um die Einträge in Zeile 2 (Z2) und Zeile 3 (Z3) zu eliminieren. * Neue Z2: \[Z2 - 1,5 \cdot Z1\] (da $3 - 1,5 = 0$) * Neue Z3: \[Z3 - 2 \cdot Z1\] (da $4 - 2 = 0$)
Rechnung für Z2: $3 - 1,5(2) = 0$ $3 - 1,5(-4) = 3 + 6 = 9$ $7 - 1,5(5) = 7 - 7,5 = -0,5$ $13 - 1,5(3) = 13 - 4,5 = 8,5$
Rechnung für Z3: $4 - 2(2) = 0$ \[-2 - 2(-4) = -2 + 8 = 6\] \[-3 - 2(5) = -3 - 10 = -13\] \[-1 - 2(3) = -1 - 6 = -7\]
Neue Matrix: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & -4 & 5 & 3 \\ 0 & 9 & -0,5 & 8,5 \\ 0 & 6 & -13 & -7 \end{array} \right) \]
Schritt 3: Zweite Spalte bereinigen (Null unter der 9 erzeugen) Wir nutzen die neue Z2, um den Eintrag in Z3 zu eliminieren. Faktor: $6 / 9 = 2/3$. * Neue Z3: \[Z3 - \frac{2}{3} \cdot Z2\]
Rechnung für Z3: $6 - (9) = 0$ \[-13 - \frac{2}{3}(-0,5) = -13 + \frac{1}{3} = -\frac{38}{3}\] \[-7 - \frac{2}{3}(8,5) = -7 - \frac{17}{3} = -\frac{38}{3}\]
Neue Matrix (Treppenform): \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & -4 & 5 & 3 \\ 0 & 9 & -0,5 & 8,5 \\ 0 & 0 & -38/3 & -38/3 \end{array} \right) \]
Schritt 4: Rückwärts Einsetzen (Rückwärtssubstitution)
\[x_3\] berechnen: \[-\frac{38}{3} x_3 = -\frac{38}{3} \implies \mathbf{x_3 = 1}\]
\[x_2\] berechnen (mit Z2): \[9x_2 - 0,5x_3 = 8,5\] \[9x_2 - 0,5(1) = 8,5\] \[9x_2 = 9 \implies \mathbf{x_2 = 1}\]
\[x_1\] berechnen (mit Z1): \[2x_1 - 4x_2 + 5x_3 = 3\] \[2x_1 - 4(1) + 5(1) = 3\] \[2x_1 + 1 = 3\] \[2x_1 = 2 \implies \mathbf{x_1 = 1}\]
Ergebnis a): \[L = \{ (1; 1; 1) \}\]
Hier ist die Matrix bereits gegeben. Wir arbeiten direkt damit.
Ausgangsmatrix: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} -1 & 7 & -1 & 5 \\ 4 & -1 & 1 & 1 \\ 5 & -3 & 1 & -1 \end{array} \right) \]
Schritt 1: Erste Spalte bereinigen Wir nutzen Z1 (Führungszeile), um Z2 und Z3 zu bereinigen. * Neue Z2: \[Z2 + 4 \cdot Z1\] (da $4 + 4(-1) = 0$) * Neue Z3: \[Z3 + 5 \cdot Z1\] (da $5 + 5(-1) = 0$)
Rechnung Z2: $4 + 4(-1) = 0$ \[-1 + 4(7) = 27\] $1 + 4(-1) = -3$ $1 + 4(5) = 21$
Rechnung Z3: $5 + 5(-1) = 0$ \[-3 + 5(7) = 32\] $1 + 5(-1) = -4$ \[-1 + 5(5) = 24\]
Zwischenmatrix: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} -1 & 7 & -1 & 5 \\ 0 & 27 & -3 & 21 \\ 0 & 32 & -4 & 24 \end{array} \right) \] Tipp: Wir können Z2 durch 3 und Z3 durch 4 teilen, um die Zahlen kleiner zu machen. \[Z2_{neu} = Z2 / 3 \rightarrow (0, 9, -1, 7)\] \[Z3_{neu} = Z3 / 4 \rightarrow (0, 8, -1, 6)\]
Schritt 2: Zweite Spalte bereinigen Wir nutzen die vereinfachte Z2, um Z3 zu bereinigen. Faktor: $8/9$. * Neue Z3: \[Z3 - \frac{8}{9} \cdot Z2\]
Rechnung Z3: $8 - (9) = 0$ \[-1 - \frac{8}{9}(-1) = -1 + \frac{8}{9} = -\frac{1}{9}\] $6 - (7) = - = -$
Treppenform: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} -1 & 7 & -1 & 5 \\ 0 & 9 & -1 & 7 \\ 0 & 0 & -1/9 & -2/9 \end{array} \right) \]
Schritt 3: Rückwärts Einsetzen
\[x_3\]: \[-\frac{1}{9} x_3 = -\frac{2}{9} \implies \mathbf{x_3 = 2}\]
\[x_2\] (mit vereinfachter Z2): \[9x_2 - x_3 = 7\] \[9x_2 - 2 = 7\] \[9x_2 = 9 \implies \mathbf{x_2 = 1}\]
\[x_1\] (mit Z1): \[-x_1 + 7x_2 - x_3 = 5\] \[-x_1 + 7(1) - 2 = 5\] \[-x_1 + 5 = 5\] \[-x_1 = 0 \implies \mathbf{x_1 = 0}\]
Ergebnis b): \[L = \{ (0; 1; 2) \}\]
Bei Dezimalzahlen ist es oft hilfreich, erst einmal alles mit 10 zu multiplizieren, um ganzzahlig zu rechnen. Zudem müssen wir die Variablen sortieren (\[x_1, x_2, x_3\]).
Geordnetes System: 1. \[0x_1 + 0,6x_2 + 1,8x_3 = 3\] 2. $0,3x_1 + 1,2x_2 + 0x_3 = 0$ 3. $0,5x_1 + 0x_2 + 1x_3 = 1$
Ganzzahlig machen (mal 10): 1. \[6x_2 + 18x_3 = 30\] 2. \[3x_1 + 12x_2 = 0\] 3. \[5x_1 + 10x_3 = 10\]
Matrix aufstellen (Zeilen tauschen, damit oben links keine 0 steht): Wir tauschen Z1 und Z2, damit wir mit \[3x_1\] starten können. \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 12 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 18 & 30 \\ 5 & 0 & 10 & 10 \end{array} \right) \] Hinweis: Zeile 2 kann man noch durch 6 teilen (\[x_2 + 3x_3 = 5\]), Zeile 3 durch 5 (\[x_1 + 2x_3 = 2\]). Das macht es einfacher.
Vereinfachte Matrix zum Start: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 12 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 2 & 2 \end{array} \right) \]
Schritt 1: Erste Spalte bereinigen Wir müssen die 1 in Z3 eliminieren. Faktor: $1/3$. * Neue Z3: \[Z3 - \frac{1}{3} \cdot Z1\]
Rechnung Z3: $1 - (3) = 0$ $0 - (12) = -4$ $2 - (0) = 2$ $2 - (0) = 2$
Matrix: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 12 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & -4 & 2 & 2 \end{array} \right) \]
Schritt 2: Zweite Spalte bereinigen Wir nutzen Z2, um die -4 in Z3 zu eliminieren. * Neue Z3: \[Z3 + 4 \cdot Z2\]
Rechnung Z3: \[-4 + 4(1) = 0\] $2 + 4(3) = 14$ $2 + 4(5) = 22$
Treppenform: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 12 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 14 & 22 \end{array} \right) \]
Schritt 3: Rückwärts Einsetzen
\[x_3\]: \[14x_3 = 22 \implies x_3 = \frac{22}{14} = \frac{11}{7}\] \[\mathbf{x_3 = 11/7}\]
\[x_2\] (mit Z2): \[x_2 + 3x_3 = 5\] \[x_2 + 3(\frac{11}{7}) = 5\] \[x_2 + \frac{33}{7} = \frac{35}{7}\] \[x_2 = \frac{35}{7} - \frac{33}{7} = \frac{2}{7}\] \[\mathbf{x_2 = 2/7}\]
\[x_1\] (mit Z1): \[3x_1 + 12x_2 = 0\] (Teilen durch 3: \[x_1 + 4x_2 = 0\]) \[x_1 + 4(\frac{2}{7}) = 0\] \[x_1 + \frac{8}{7} = 0\] \[\mathbf{x_1 = -8/7}\]
Ergebnis c): \[L = \{ (-8/7; 2/7; 11/7) \}\] (Als Dezimalzahl gerundet: \[L \approx \{ (-1,14; 0,29; 1,57) \}\])