Lineare Gleichungssysteme lösen

Aufgabenstellung

Bestimmen Sie die Lösung der folgenden linearen Gleichungssysteme (LGS):

a)

\[ \begin{aligned} 10x_1 + 3x_2 - 2x_3 &= 3 \\ 5x_3 &= 10 \\ 2x_1 - x_2 - 3x_3 &= 1 \end{aligned} \]

b)

\[ \begin{aligned} x_1 + 2x_2 - 2x_3 &= 4 \\ x_2 - 2x_3 &= -1 \\ 4x_2 + 3x_3 &= 7 \end{aligned} \]

c)

\[ \begin{aligned} 2x_1 - 3x_2 - x_3 &= 1 \\ 2x_2 + 3x_3 &= 1 \\ 4x_1 + 2x_2 + 3x_3 &= 6 \end{aligned} \]

Lösungen mit Lösungsweg

Lösung a)

Schritt 1: Einfachste Gleichung zuerst lösen

Die zweite Gleichung enthält nur eine Variable: \[5x_3 = 10 \Rightarrow x_3 = 2\]

Schritt 2: \[x_3\] in die anderen Gleichungen einsetzen

Einsetzen in Gleichung 1: \[10x_1 + 3x_2 - 2(2) = 3\] \[10x_1 + 3x_2 - 4 = 3\] \[10x_1 + 3x_2 = 7 \quad \text{(I')}\]

Einsetzen in Gleichung 3: \[2x_1 - x_2 - 3(2) = 1\] \[2x_1 - x_2 - 6 = 1\] \[2x_1 - x_2 = 7 \quad \text{(III')}\]

Schritt 3: System mit zwei Variablen lösen

Aus (III’): \[x_2 = 2x_1 - 7\]

Einsetzen in (I’): \[10x_1 + 3(2x_1 - 7) = 7\] \[10x_1 + 6x_1 - 21 = 7\] \[16x_1 = 28\] \[x_1 = \frac{28}{16} = \frac{7}{4} = 1.75\]

Schritt 4: \[x_2\] berechnen

\[x_2 = 2(1.75) - 7 = 3.5 - 7 = -3.5\]

Lösung: \[x_1 = 1.75, \quad x_2 = -3.5, \quad x_3 = 2\]

Probe: - $10(1.75) + 3(-3.5) - 2(2) = 17.5 - 10.5 - 4 = 3$ ✓ - $5(2) = 10$ ✓ - $2(1.75) - (-3.5) - 3(2) = 3.5 + 3.5 - 6 = 1$ ✓

Lösung b)

Schritt 1: Gleichungen 2 und 3 nutzen (nur \[x_2\] und \[x_3\])

\[ \begin{aligned} x_2 - 2x_3 &= -1 \quad \text{(II)} \\ 4x_2 + 3x_3 &= 7 \quad \text{(III)} \end{aligned} \]

Aus (II): \[x_2 = 2x_3 - 1\]

Einsetzen in (III): \[4(2x_3 - 1) + 3x_3 = 7\] \[8x_3 - 4 + 3x_3 = 7\] \[11x_3 = 11\] \[x_3 = 1\]

Schritt 2: \[x_2\] berechnen

\[x_2 = 2(1) - 1 = 1\]

Schritt 3: \[x_1\] aus Gleichung 1 berechnen

\[x_1 + 2(1) - 2(1) = 4\] \[x_1 + 2 - 2 = 4\] \[x_1 = 4\]

Lösung: \[x_1 = 4, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = 1\]

Probe: - $4 + 2(1) - 2(1) = 4 + 2 - 2 = 4$ ✓ - $1 - 2(1) = 1 - 2 = -1$ ✓ - $4(1) + 3(1) = 4 + 3 = 7$ ✓

Lösung c)

Schritt 1: Gleichung 2 nach \[x_2\] auflösen

\[2x_2 + 3x_3 = 1 \Rightarrow x_2 = \frac{1 - 3x_3}{2}\]

Schritt 2: In Gleichung 1 und 3 einsetzen

Gleichung 1: \[2x_1 - 3\left(\frac{1 - 3x_3}{2}\right) - x_3 = 1\] \[2x_1 - \frac{3 - 9x_3}{2} - x_3 = 1\] \[2x_1 - 1.5 + 4.5x_3 - x_3 = 1\] \[2x_1 + 3.5x_3 = 2.5 \quad \text{(I')}\]

Gleichung 3: \[4x_1 + 2\left(\frac{1 - 3x_3}{2}\right) + 3x_3 = 6\] \[4x_1 + 1 - 3x_3 + 3x_3 = 6\] \[4x_1 + 1 = 6\] \[4x_1 = 5\] \[x_1 = 1.25\]

Schritt 3: \[x_3\] aus (I’) berechnen

\[2(1.25) + 3.5x_3 = 2.5\] \[2.5 + 3.5x_3 = 2.5\] \[3.5x_3 = 0\] \[x_3 = 0\]

Schritt 4: \[x_2\] berechnen

\[x_2 = \frac{1 - 3(0)}{2} = \frac{1}{2} = 0.5\]

Lösung: \[x_1 = 1.25, \quad x_2 = 0.5, \quad x_3 = 0\]

Probe: - $2(1.25) - 3(0.5) - 0 = 2.5 - 1.5 = 1$ ✓ - $2(0.5) + 3(0) = 1 + 0 = 1$ ✓ - $4(1.25) + 2(0.5) + 3(0) = 5 + 1 + 0 = 6$ ✓

Zusammenfassung der Lösungen

Aufgabe \[x_1\] \[x_2\] \[x_3\]
a) 1.75 -3.5 2
b) 4 1 1
c) 1.25 0.5 0

Tipps für das Lösen von LGS

  1. Beginne mit der einfachsten Gleichung (wenigste Variablen)
  2. Eliminiere systematisch Variablen durch Einsetzen
  3. Arbeite schrittweise von einer Variable zur nächsten
  4. Mache immer die Probe am Ende
  5. Achte auf Vorzeichen beim Einsetzen und Umformen