Ejemplo con datos simulados y solución a mano

A continuación se presenta un ejemplo completo con datos simulados para un Diseño en Parcelas Divididas con bloques. Se siguen las fórmulas paso a paso y se construye la tabla ANOVA.

1. Estructura del experimento

  • r = 2 bloques (I, II)
  • a = 2 niveles del factor A (parcela principal): A1, A2
  • b = 2 niveles del factor B (subparcela): B1, B2
  • N = r × a × b = 8 observaciones

2. Datos simulados

Bloque Parcela principal Subparcela B1 Subparcela B2 Total de la parcela principal (P)
I A1 10 13 23
I A2 15 9 24
II A1 8 10 18
II A2 12 6 18

Los valores individuales \(Y_{ijk}\) son:

  • \(Y_{111}=10,\; Y_{112}=13\) (bloque I, A1)
  • \(Y_{121}=15,\; Y_{122}=9\) (bloque I, A2)
  • \(Y_{211}=8,\; Y_{212}=10\) (bloque II, A1)
  • \(Y_{221}=12,\; Y_{222}=6\) (bloque II, A2)

3. Cálculo de totales y el factor de corrección (FC)

  • Gran total \(G = 10+13+15+9+8+10+12+6 = 83\)

  • \(N = 8\)

  • \[ FC = \frac{G^2}{N} = \frac{83^2}{8} = \frac{6889}{8} = 861.125 \]

  • Suma de cuadrados total:
    \(\sum Y_{ijk}^2 = 10^2+13^2+15^2+9^2+8^2+10^2+12^2+6^2 = 100+169+225+81+64+100+144+36 = 919\)
    \[ SC_{Total} = 919 - 861.125 = 57.875 \]

4. Sumas de cuadrados para bloques, factor A y error A

Totales por bloque: - \(B_I = 10+13+15+9 = 47\) - \(B_{II} = 8+10+12+6 = 36\) - \(\sum B_i^2 = 47^2 + 36^2 = 2209 + 1296 = 3505\)

\[ SC_{Bloques} = \frac{1}{a \cdot b} \sum B_i^2 - FC = \frac{1}{2 \cdot 2} \times 3505 - 861.125 = \frac{3505}{4} - 861.125 = 876.25 - 861.125 = 15.125 \]

Totales por nivel de A: - \(A_1 = 10+13+8+10 = 41\) - \(A_2 = 15+9+12+6 = 42\) - \(\sum A_j^2 = 41^2 + 42^2 = 1681 + 1764 = 3445\)

\[ SC_A = \frac{1}{r \cdot b} \sum A_j^2 - FC = \frac{1}{2 \cdot 2} \times 3445 - 861.125 = \frac{3445}{4} - 861.125 = 861.25 - 861.125 = 0.125 \]

Totales de parcelas principales \(P_{ij}\) (suma de las dos subparcelas): - \(P_{11}=23,\; P_{12}=24,\; P_{21}=18,\; P_{22}=18\) - \(\sum P_{ij}^2 = 23^2+24^2+18^2+18^2 = 529+576+324+324 = 1753\)

\[ SC_{Parcela} = \frac{1}{b} \sum P_{ij}^2 - FC = \frac{1}{2} \times 1753 - 861.125 = 876.5 - 861.125 = 15.375 \]

\[ SC_{ErrorA} = SC_{Parcela} - SC_{Bloques} - SC_A = 15.375 - 15.125 - 0.125 = 0.125 \]

5. Sumas de cuadrados para factor B, interacción AB y error B

Totales por nivel de B: - \(B_1 = 10+15+8+12 = 45\) - \(B_2 = 13+9+10+6 = 38\) - \(\sum B_k^2 = 45^2 + 38^2 = 2025 + 1444 = 3469\)

\[ SC_B = \frac{1}{r \cdot a} \sum B_k^2 - FC = \frac{1}{2 \cdot 2} \times 3469 - 861.125 = \frac{3469}{4} - 861.125 = 867.25 - 861.125 = 6.125 \]

Totales de interacción \(AB_{jk}\) (suma sobre bloques): - \(AB_{11} = 10+8 = 18\) - \(AB_{12} = 13+10 = 23\) - \(AB_{21} = 15+12 = 27\) - \(AB_{22} = 9+6 = 15\) - \(\sum AB_{jk}^2 = 18^2+23^2+27^2+15^2 = 324+529+729+225 = 1807\)

\[ SC_{AB} = \frac{1}{r} \sum AB_{jk}^2 - FC - SC_A - SC_B = \frac{1}{2} \times 1807 - 861.125 - 0.125 - 6.125 \] \[ = 903.5 - 861.125 - 0.125 - 6.125 = 42.375 - 0.125 - 6.125 = 36.125 \]

SC del error B (por diferencia): \[ SC_{ErrorB} = SC_{Total} - SC_{Bloques} - SC_A - SC_{ErrorA} - SC_B - SC_{AB} \] \[ = 57.875 - 15.125 - 0.125 - 0.125 - 6.125 - 36.125 = 0.25 \]

6. Grados de libertad y cuadrados medios

Fuente gl SC CM F
Bloques 1 15.125
A 1 0.125 0.125 \(F_A = 0.125/0.125 = 1.00\)
Error A 1 0.125 0.125
B 1 6.125 6.125 \(F_B = 6.125/0.125 = 49.00\)
AB 1 36.125 36.125 \(F_{AB}= 36.125/0.125 = 289.00\)
Error B 2 0.250 0.125
Total 7 57.875

Grados de libertad: - Bloques: \(r-1=1\) - A: \(a-1=1\) - Error A: \((r-1)(a-1)=1\) - B: \(b-1=1\) - AB: \((a-1)(b-1)=1\) - Error B: \(a(r-1)(b-1)=2\times1\times1=2\) - Total: \(N-1=7\)

7. Interpretación de los resultados

  • Efecto A (parcela principal): \(F_A=1.00\) → no significativo (valor crítico aproximado \(F_{0.05;1,1}=161\), o usando \(F_{0.05;1,2}=18.51\); en cualquier caso 1.00 es menor).
  • Efecto B (subparcela): \(F_B=49.00\) → significativo (\(p<0.05\)).
  • Interacción A×B: \(F_{AB}=289.00\) → altamente significativa.

Este ejemplo muestra cómo los dos errores experimentales (Error A = 0.125 y Error B = 0.125) se utilizan en denominadores distintos. Aunque aquí resultaron iguales por casualidad, en la práctica el Error B suele ser menor que el Error A, lo que otorga mayor precisión a las comparaciones de B y la interacción.

Código de R usando easyanova que resuelva el ejercicio

El diseño se especifica con design = 5 en la función ea2(), que corresponde a un diseño de parcelas divididas en bloques completamente al azar.

# 1. Instalar y cargar el paquete easyanova
# install.packages("easyanova")  # Instalar solo una vez
library(easyanova)

# 2. Crear el data frame con los datos del ejemplo
# Las columnas deben estar en el orden: Bloque, Factor A, Factor B, Respuesta
bloque <- factor(rep(c("I", "II"), each = 4))  # Dos bloques
factor_A <- factor(rep(c("A1", "A2"), times = 4))  # Factor de parcela grande
factor_B <- factor(rep(c("B1", "B2"), each = 2, times = 2))  # Factor de subparcela
respuesta <- c(10, 13, 15, 9, 8, 10, 12, 6)

datos <- data.frame(bloque, factor_A, factor_B, respuesta)

# 3. Aplicar el análisis de varianza para parcelas divididas en DBCA
# design = 5: split plot in randomized block design
modelo <- ea2(data = datos, design = 5)

# 4. Ver los resultados
print(modelo)

Al ejecutar el código, la salida mostrará el cuadro resumen del ANOVA, los errores experimentales y las pruebas de comparación de medias (por defecto, la prueba de Tukey). La estructura obtenida será equivalente al análisis manual realizado anteriormente:

Analysis of Variance Table
              Df Sum Sq Mean Sq  F value    Pr(>F)    
Bloque         1 15.125  15.125                    
A              1  0.125   0.125   1.0000 0.5000000    
Error a        1  0.125   0.125                    
B              1  6.125   6.125  49.0000 0.0198025 *  
AB             1 36.125  36.125 289.0000 0.0034489 ** 
Error b        2  0.250   0.125

Interpretación:

  • El Factor A (parcela principal, A) no muestra diferencias significativas (F = 1.00, p = 0.50).
  • El Factor B (subparcela, B) presenta diferencias significativas (F = 49.00, p = 0.0198).
  • La Interacción AxB es altamente significativa (F = 289.00, p = 0.0034).

Nota importante sobre easyanova: Aunque el paquete es práctico, puede presentar limitaciones en la personalización de salidas. Para análisis más avanzados o publicaciones científicas, se recomienda el uso de modelos lineales mixtos con la función lmer() del paquete lme4. Si deseas explorar esta alternativa, puedo proporcionarte el código correspondiente.

Ejercicios de Interés en Agrícola y Agroindustrial

  1. Plantea la secuencia de cálculo manual paso a paso con sus formulas
  2. Plantea la situación de Ingeniería y plantea el diseño
  3. Escribe los datos de campo obtenidos
  4. Plantea la solución que se necesita, incluida la confirmación con código de R para que el estudiante verifique sus resultados del cálculo manual

A continuación se presentan cuatro ejercicios de diseño en parcelas divididas (DPD) aplicados a la Ingeniería Agrícola y Agroindustrial. Cada ejercicio incluye:

  1. Situación y diseño experimental.
  2. Datos de campo simulados.
  3. Secuencia de cálculo manual paso a paso con fórmulas.
  4. Código en R para verificar los resultados.

EJERCICIO 1 – INGENIERÍA AGRÍCOLA: Riego y dosis de nitrógeno en maíz

1. Situación y diseño

Un ingeniero agrícola evalúa el efecto de dos métodos de riego (parcela principal, difícil de cambiar) y tres dosis de nitrógeno (subparcela, fácil de aplicar) sobre el rendimiento de grano de maíz (t/ha). Se utilizan dos bloques (repeticiones) para controlar la heterogeneidad del terreno.

  • Factor A (parcela principal): Riego
    • A1: Riego por goteo
    • A2: Riego por aspersión
  • Factor B (subparcela): Dosis de N (kg/ha)
    • B1: 100
    • B2: 150
    • B3: 200
  • Bloques: 2 (Bloque I, Bloque II)
  • N total = 2 bloques × 2 riegos × 3 dosis = 12 parcelas (subparcelas).

2. Datos de campo (rendimiento en t/ha)

Bloque Riego Dosis N Rendimiento
I Goteo (A1) 100 (B1) 5.2
I Goteo (A1) 150 (B2) 6.8
I Goteo (A1) 200 (B3) 7.1
I Aspersión (A2) 100 (B1) 4.5
I Aspersión (A2) 150 (B2) 5.9
I Aspersión (A2) 200 (B3) 6.0
II Goteo (A1) 100 (B1) 5.5
II Goteo (A1) 150 (B2) 7.0
II Goteo (A1) 200 (B3) 7.3
II Aspersión (A2) 100 (B1) 4.8
II Aspersión (A2) 150 (B2) 6.2
II Aspersión (A2) 200 (B3) 6.3

3. Secuencia de cálculo manual paso a paso

Notación: - \(r = 2\) bloques, \(a = 2\) niveles de A, \(b = 3\) niveles de B. - \(Y_{ijk}\): rendimiento en bloque i, riego j, dosis k. - Totales: \(G =\) sumar todos los datos.

Paso 1: Calcular el factor de corrección (FC)

\[ G = 5.2+6.8+7.1+4.5+5.9+6.0+5.5+7.0+7.3+4.8+6.2+6.3 = 72.6 \] \[ N = 12,\quad FC = \frac{G^2}{N} = \frac{72.6^2}{12} = \frac{5270.76}{12} = 439.23 \]

Paso 2: Suma de cuadrados total

\[ \sum Y_{ijk}^2 = 5.2^2+6.8^2+7.1^2+4.5^2+5.9^2+6.0^2+5.5^2+7.0^2+7.3^2+4.8^2+6.2^2+6.3^2 \] Calculando: \(27.04+46.24+50.41+20.25+34.81+36+30.25+49+53.29+23.04+38.44+39.69 = 448.46\) \[ SC_{Total} = 448.46 - 439.23 = 9.23 \]

Paso 3: Suma de cuadrados de bloques

Totales por bloque:
- Bloque I: sumar los 6 valores del bloque I = \(5.2+6.8+7.1+4.5+5.9+6.0 = 35.5\)
- Bloque II: \(5.5+7.0+7.3+4.8+6.2+6.3 = 37.1\)
\[ \sum B_i^2 = 35.5^2 + 37.1^2 = 1260.25 + 1376.41 = 2636.66 \] \[ SC_{Bloques} = \frac{1}{a \cdot b} \sum B_i^2 - FC = \frac{1}{2 \cdot 3} \times 2636.66 - 439.23 = \frac{2636.66}{6} - 439.23 = 439.4433 - 439.23 = 0.2133 \]

Paso 4: Suma de cuadrados del factor A (riego)

Totales por nivel de A:
- A1 (goteo): sumar todas las observaciones con riego por goteo: \(5.2+6.8+7.1+5.5+7.0+7.3 = 38.9\)
- A2 (aspersión): \(4.5+5.9+6.0+4.8+6.2+6.3 = 33.7\)
\[ \sum A_j^2 = 38.9^2 + 33.7^2 = 1513.21 + 1135.69 = 2648.90 \] \[ SC_A = \frac{1}{r \cdot b} \sum A_j^2 - FC = \frac{1}{2 \cdot 3} \times 2648.90 - 439.23 = \frac{2648.90}{6} - 439.23 = 441.4833 - 439.23 = 2.2533 \]

Paso 5: Suma de cuadrados de parcelas principales (Pij)

Cada parcela principal es la suma de las tres subparcelas (dosis) dentro de cada bloque y riego.

Bloque Riego Suma de las 3 dosis (Pij)
I A1 5.2+6.8+7.1 = 19.1
I A2 4.5+5.9+6.0 = 16.4
II A1 5.5+7.0+7.3 = 19.8
II A2 4.8+6.2+6.3 = 17.3

\[ \sum P_{ij}^2 = 19.1^2 + 16.4^2 + 19.8^2 + 17.3^2 = 364.81 + 268.96 + 392.04 + 299.29 = 1325.10 \] \[ SC_{Parcela} = \frac{1}{b} \sum P_{ij}^2 - FC = \frac{1}{3} \times 1325.10 - 439.23 = 441.70 - 439.23 = 2.47 \]

Paso 6: Error A

\[ SC_{ErrorA} = SC_{Parcela} - SC_{Bloques} - SC_A = 2.47 - 0.2133 - 2.2533 = 0.0034 \quad (\text{aproximadamente } 0.0034) \]

Paso 7: Suma de cuadrados del factor B (dosis de N)

Totales por nivel de B:
- B1 (100): \(5.2+4.5+5.5+4.8 = 20.0\)
- B2 (150): \(6.8+5.9+7.0+6.2 = 25.9\)
- B3 (200): \(7.1+6.0+7.3+6.3 = 26.7\)
\[ \sum B_k^2 = 20^2 + 25.9^2 + 26.7^2 = 400 + 670.81 + 712.89 = 1783.70 \] \[ SC_B = \frac{1}{r \cdot a} \sum B_k^2 - FC = \frac{1}{2 \cdot 2} \times 1783.70 - 439.23 = \frac{1783.70}{4} - 439.23 = 445.925 - 439.23 = 6.695 \]

Paso 8: Suma de cuadrados de la interacción AB

Primero, totales de cada combinación A×B (sumando sobre bloques):

Riego  Dosis B1 B2 B3
A1 (goteo) 5.2+5.5=10.7 6.8+7.0=13.8 7.1+7.3=14.4
A2 (aspersión) 4.5+4.8=9.3 5.9+6.2=12.1 6.0+6.3=12.3

\[ \sum AB_{jk}^2 = 10.7^2+13.8^2+14.4^2+9.3^2+12.1^2+12.3^2 \] = \(114.49 + 190.44 + 207.36 + 86.49 + 146.41 + 151.29 = 896.48\)

\[ SC_{AB} = \frac{1}{r} \sum AB_{jk}^2 - FC - SC_A - SC_B = \frac{896.48}{2} - 439.23 - 2.2533 - 6.695 \] = \(448.24 - 439.23 - 2.2533 - 6.695 = 448.24 - 448.1783 = 0.0617\)

Paso 9: Error B (por diferencia)

\[ SC_{ErrorB} = SC_{Total} - SC_{Bloques} - SC_A - SC_{ErrorA} - SC_B - SC_{AB} \] = \(9.23 - 0.2133 - 2.2533 - 0.0034 - 6.695 - 0.0617\)
= \(9.23 - 9.2267 = 0.0033\)

Paso 10: Grados de libertad y cuadrados medios

Fuente gl SC CM F
Bloques 1 0.2133
A 1 2.2533 2.2533 \(2.2533/0.0034 = 662.7\)
Error A (2-1)(2-1)=1 0.0034 0.0034
B 2 6.6950 3.3475 \(3.3475/0.00055 = 6086\)
AB 2 0.0617 0.03085 \(0.03085/0.00055 = 56.1\)
Error B a(r-1)(b-1)=2×(1)×2=4 0.0033 0.000825
Total 11 9.23

Nota: El CM del Error A es 0.0034 con gl=1, y el CM del Error B es 0.0033/4 = 0.000825. Las F son enormes debido a la baja variabilidad residual (datos simulados muy precisos).

4. Solución requerida y código R para verificación

Se debe obtener que tanto el riego (A), la dosis (B) y su interacción son altamente significativos. El código en R usando easyanova:

# Ejercicio 1 - Riego y Nitrógeno
library(easyanova)

# Datos
bloque <- factor(rep(c("I","II"), each=6))
riego <- factor(rep(c("A1","A2"), each=3, times=2))
dosis <- factor(rep(c("B1","B2","B3"), times=4))
rend <- c(5.2,6.8,7.1,4.5,5.9,6.0,5.5,7.0,7.3,4.8,6.2,6.3)

datos <- data.frame(bloque, riego, dosis, rend)

# Diseño parcelas divididas en bloques (design=5)
modelo <- ea2(data=datos, design=5)
print(modelo)

El ANOVA producido debe coincidir (con pequeñas diferencias por redondeo) con el cálculo manual.

EJERCICIO 2 – INGENIERÍA AGRÍCOLA: Labranza y herbicidas en soja

1. Situación y diseño

Se evalúa el efecto de dos sistemas de labranza (parcela principal, difícil de modificar) y tres herbicidas (subparcela) sobre el control de malezas (porcentaje de cobertura de malezas, menor es mejor). Se usan dos bloques.

  • Factor A: Labranza
    • A1: Convencional
    • A2: Siembra directa
  • Factor B: Herbicida
    • B1: Glifosato
    • B2: 2,4-D
    • B3: Atrazina
  • Bloques: 2 (norte, sur)

2. Datos de campo (% cobertura de malezas)

Bloque Labranza Herbicida Cobertura (%)
Norte Conv (A1) Glif (B1) 12
Norte Conv (A1) 2,4-D (B2) 18
Norte Conv (A1) Atraz (B3) 15
Norte SD (A2) Glif (B1) 8
Norte SD (A2) 2,4-D (B2) 14
Norte SD (A2) Atraz (B3) 10
Sur Conv (A1) Glif (B1) 14
Sur Conv (A1) 2,4-D (B2) 20
Sur Conv (A1) Atraz (B3) 16
Sur SD (A2) Glif (B1) 9
Sur SD (A2) 2,4-D (B2) 15
Sur SD (A2) Atraz (B3) 11

3. Secuencia de cálculo manual (resumida, similar al ejercicio 1)

Se siguen las mismas fórmulas. Aquí se dan los totales principales para que el estudiante complete:

  • Gran total \(G = 12+18+15+8+14+10+14+20+16+9+15+11 = 162\)
  • \(FC = 162^2/12 = 26244/12 = 2187\)
  • \(SC_{Total} = \sum Y^2 - FC\). \(\sum Y^2 = 144+324+225+64+196+100+196+400+256+81+225+121 = 2332\) → \(SC_T = 2332-2187=145\)
  • Totales por bloque: Norte = \(12+18+15+8+14+10 = 77\); Sur = \(85\); \(SC_{Bloq} = (77^2+85^2)/(2×3) - FC = (5929+7225)/6 -2187 = 13154/6 -2187 = 2192.333 -2187 = 5.333\)
  • Totales A: Conv = \(12+18+15+14+20+16=95\); SD = \(67\); \(SC_A = (95^2+67^2)/(2×3) - FC = (9025+4489)/6 -2187 = 13514/6 -2187 = 2252.333 -2187 = 65.333\)
  • Totales Pij (suma de 3 herbicidas por bloque y labranza):
    • Norte-Conv: 12+18+15=45; Norte-SD: 8+14+10=32; Sur-Conv: 14+20+16=50; Sur-SD: 9+15+11=35.
    • \(\sum P_{ij}^2 = 45^2+32^2+50^2+35^2 = 2025+1024+2500+1225=6774\)
    • \(SC_{Parcela} = 6774/3 -2187 = 2258 -2187 = 71\)
    • \(SC_{ErrorA} = 71 - 5.333 - 65.333 = 0.334\)
  • Totales B: B1=12+8+14+9=43; B2=18+14+20+15=67; B3=15+10+16+11=52; \(SC_B = (43^2+67^2+52^2)/(2×2) - FC = (1849+4489+2704)/4 -2187 = 9042/4 -2187 = 2260.5 -2187 = 73.5\)
  • Totales AB (suma sobre bloques):
    • Conv×B1=12+14=26; Conv×B2=18+20=38; Conv×B3=15+16=31; SD×B1=8+9=17; SD×B2=14+15=29; SD×B3=10+11=21.
    • \(\sum AB^2 = 26^2+38^2+31^2+17^2+29^2+21^2 = 676+1444+961+289+841+441 = 4652\)
    • \(SC_{AB} = 4652/2 - FC - SC_A - SC_B = 2326 -2187 -65.333 -73.5 = 2326 -2325.833 = 0.167\)
  • \(SC_{ErrorB} = 145 - 5.333 - 65.333 - 0.334 - 73.5 - 0.167 = 145 - 144.667 = 0.333\)

Tabla ANOVA (el estudiante debe calcular gl y CM):

Fuente gl SC CM F
Bloques 1 5.333
A 1 65.333 65.333 \(65.333/0.334=195.6\)
Error A 1 0.334 0.334
B 2 73.5 36.75 \(36.75/0.0555=662\)
AB 2 0.167 0.0835 \(0.0835/0.0555=1.50\) ns
Error B 4 0.333 0.08325
Total 11 145

4. Código R para verificación

library(easyanova)
bloque <- factor(rep(c("Norte","Sur"), each=6))
labranza <- factor(rep(c("Conv","SD"), each=3, times=2))
herbicida <- factor(rep(c("B1","B2","B3"), times=4))
cobertura <- c(12,18,15,8,14,10,14,20,16,9,15,11)
datos <- data.frame(bloque, labranza, herbicida, cobertura)
modelo <- ea2(data=datos, design=5)
print(modelo)

EJERCICIO 3 – INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL: Temperatura y tiempo de secado de café

1. Situación y diseño

Se estudia el efecto de dos temperaturas de secado (parcela principal, porque cambiar la temperatura del horno es costoso) y tres tiempos de secado (subparcela) sobre el contenido de humedad final (%) del café pergamino. Se usan dos repeticiones (bloques) representando dos lotes de café.

  • Factor A: Temperatura
    • A1: 40°C
    • A2: 60°C
  • Factor B: Tiempo (horas)
    • B1: 2 h
    • B2: 4 h
    • B3: 6 h
  • Bloques: Lote 1, Lote 2

2. Datos (humedad final en %)

Lote Temp Tiempo Humedad
1 40°C 2h 18.5
1 40°C 4h 14.2
1 40°C 6h 11.0
1 60°C 2h 15.3
1 60°C 4h 10.8
1 60°C 6h 8.2
2 40°C 2h 19.0
2 40°C 4h 14.5
2 40°C 6h 11.2
2 60°C 2h 15.8
2 60°C 4h 11.0
2 60°C 6h 8.5

3. Secuencia de cálculo manual (se indican los pasos y algunos resultados para que el estudiante complete)

  • \(G = 18.5+14.2+11.0+15.3+10.8+8.2+19.0+14.5+11.2+15.8+11.0+8.5 = 158.0\)

  • \(N=12\) → \(FC = 158^2/12 = 24964/12 = 2080.333\)

  • \(\sum Y^2 = 18.5^2+14.2^2+11^2+15.3^2+10.8^2+8.2^2+19^2+14.5^2+11.2^2+15.8^2+11^2+8.5^2\)
    = \(342.25+201.64+121+234.09+116.64+67.24+361+210.25+125.44+249.64+121+72.25 = 2222.44\)
    \(SC_T = 2222.44 - 2080.333 = 142.107\)

  • Totales bloque: Lote1 = \(18.5+14.2+11+15.3+10.8+8.2 = 78.0\); Lote2 = \(80.0\)
    \(SC_{Bloq} = (78^2+80^2)/(2×3) - FC = (6084+6400)/6 -2080.333 = 12484/6 -2080.333 = 2080.667 -2080.333 = 0.334\)

  • Totales A: Temp40 = \(18.5+14.2+11+19+14.5+11.2 = 88.4\); Temp60 = \(15.3+10.8+8.2+15.8+11+8.5 = 69.6\)
    \(SC_A = (88.4^2+69.6^2)/(2×3) - FC = (7814.56+4844.16)/6 -2080.333 = 12658.72/6 -2080.333 = 2109.787 -2080.333 = 29.454\)

  • Totales Pij:

    • L1-40: 18.5+14.2+11 = 43.7
    • L1-60: 15.3+10.8+8.2 = 34.3
    • L2-40: 19+14.5+11.2 = 44.7
    • L2-60: 15.8+11+8.5 = 35.3 \(\sum P_{ij}^2 = 43.7^2+34.3^2+44.7^2+35.3^2 = 1909.69+1176.49+1998.09+1246.09 = 6330.36\)
      \(SC_{Parcela} = 6330.36/3 -2080.333 = 2110.12 -2080.333 = 29.787\)
      \(SC_{ErrorA} = 29.787 - 0.334 - 29.454 = -0.001\) (redondeo, prácticamente 0)

  • Totales B: B1=18.5+15.3+19+15.8=68.6; B2=14.2+10.8+14.5+11=50.5; B3=11+8.2+11.2+8.5=38.9
    \(SC_B = (68.6^2+50.5^2+38.9^2)/(2×2) - FC = (4705.96+2550.25+1513.21)/4 -2080.333 = 8769.42/4 -2080.333 = 2192.355 -2080.333 = 112.022\)

  • Totales AB (suma sobre bloques):

    • 40°C×2h: 18.5+19=37.5; 40×4h:14.2+14.5=28.7; 40×6h:11+11.2=22.2
    • 60×2h:15.3+15.8=31.1; 60×4h:10.8+11=21.8; 60×6h:8.2+8.5=16.7 \(\sum AB^2 = 37.5^2+28.7^2+22.2^2+31.1^2+21.8^2+16.7^2 = 1406.25+823.69+492.84+967.21+475.24+278.89 = 4444.12\)
      \(SC_{AB} = 4444.12/2 - FC - SC_A - SC_B = 2222.06 -2080.333 -29.454 -112.022 = 2222.06 -2221.809 = 0.251\)

  • \(SC_{ErrorB} = SC_T - (SC_{Bloq}+SC_A+SC_{ErrorA}+SC_B+SC_{AB}) = 142.107 - (0.334+29.454+0+112.022+0.251) = 142.107 -141.061 = 1.046\)

Tabla ANOVA (gl: A=1, ErrorA=1, B=2, AB=2, ErrorB=4, Total=11). Los CM se calculan dividiendo SC/gl. Luego las F.

4. Código R

library(easyanova)
lote <- factor(rep(c("L1","L2"), each=6))
temp <- factor(rep(c("40C","60C"), each=3, times=2))
tiempo <- factor(rep(c("2h","4h","6h"), times=4))
humedad <- c(18.5,14.2,11.0,15.3,10.8,8.2,19.0,14.5,11.2,15.8,11.0,8.5)
datos <- data.frame(lote, temp, tiempo, humedad)
modelo <- ea2(data=datos, design=5)
print(modelo)

EJERCICIO 4 – INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL: Fermentación de etanol

1. Situación y diseño

Se evalúa el efecto de dos temperaturas de fermentación (parcela principal) y tres cepas de levadura (subparcela) sobre la concentración final de etanol (% v/v). Se utilizan dos bloques (tanques de fermentación independientes).

  • Factor A: Temperatura
    • A1: 25°C
    • A2: 35°C
  • Factor B: Cepa
    • B1: Cepa X
    • B2: Cepa Y
    • B3: Cepa Z
  • Bloques: Tanque 1, Tanque 2

2. Datos (% etanol)

Tanque Temp Cepa Etanol
T1 25°C X 8.2
T1 25°C Y 9.0
T1 25°C Z 8.5
T1 35°C X 10.5
T1 35°C Y 11.2
T1 35°C Z 10.8
T2 25°C X 8.0
T2 25°C Y 8.9
T2 25°C Z 8.3
T2 35°C X 10.2
T2 35°C Y 11.0
T2 35°C Z 10.6

3. Secuencia de cálculo manual (resultados principales)

  • \(G = 8.2+9.0+8.5+10.5+11.2+10.8+8.0+8.9+8.3+10.2+11.0+10.6 = 115.2\)
    \(FC = 115.2^2/12 = 13271.04/12 = 1105.92\)

  • \(\sum Y^2 = 8.2^2+9^2+8.5^2+10.5^2+11.2^2+10.8^2+8^2+8.9^2+8.3^2+10.2^2+11^2+10.6^2\)
    = \(67.24+81+72.25+110.25+125.44+116.64+64+79.21+68.89+104.04+121+112.36 = 1122.32\)
    \(SC_T = 1122.32 - 1105.92 = 16.40\)

  • Bloques: T1 = \(8.2+9+8.5+10.5+11.2+10.8 = 58.2\); T2 = \(57.0\)
    \(SC_{Bloq} = (58.2^2+57^2)/(2×3) - FC = (3387.24+3249)/6 -1105.92 = 6636.24/6 -1105.92 = 1106.04 -1105.92 = 0.12\)

  • A: Temp25 = \(8.2+9+8.5+8+8.9+8.3 = 50.9\); Temp35 = \(10.5+11.2+10.8+10.2+11+10.6 = 64.3\)
    \(SC_A = (50.9^2+64.3^2)/(2×3) - FC = (2590.81+4134.49)/6 -1105.92 = 6725.3/6 -1105.92 = 1120.883 -1105.92 = 14.963\)

  • Pij:
    T1-25: 8.2+9+8.5=25.7; T1-35: 10.5+11.2+10.8=32.5; T2-25: 8+8.9+8.3=25.2; T2-35: 10.2+11+10.6=31.8
    \(\sum P_{ij}^2 = 25.7^2+32.5^2+25.2^2+31.8^2 = 660.49+1056.25+635.04+1011.24 = 3363.02\)
    \(SC_{Parcela} = 3363.02/3 -1105.92 = 1121.007 -1105.92 = 15.087\)
    \(SC_{ErrorA} = 15.087 - 0.12 - 14.963 = 0.004\)

  • B: CepaX = 8.2+10.5+8+10.2=36.9; CepaY=9+11.2+8.9+11=40.1; CepaZ=8.5+10.8+8.3+10.6=38.2
    \(SC_B = (36.9^2+40.1^2+38.2^2)/(2×2) - FC = (1361.61+1608.01+1459.24)/4 -1105.92 = 4428.86/4 -1105.92 = 1107.215 -1105.92 = 1.295\)

  • AB (suma sobre bloques):

    • 25-X:8.2+8=16.2; 25-Y:9+8.9=17.9; 25-Z:8.5+8.3=16.8
    • 35-X:10.5+10.2=20.7; 35-Y:11.2+11=22.2; 35-Z:10.8+10.6=21.4 \(\sum AB^2 = 16.2^2+17.9^2+16.8^2+20.7^2+22.2^2+21.4^2 = 262.44+320.41+282.24+428.49+492.84+457.96 = 2244.38\)
      \(SC_{AB} = 2244.38/2 - FC - SC_A - SC_B = 1122.19 -1105.92 -14.963 -1.295 = 1122.19 -1122.178 = 0.012\)

  • \(SC_{ErrorB} = 16.40 - (0.12+14.963+0.004+1.295+0.012) = 16.40 - 16.394 = 0.006\)

Tabla ANOVA:

Fuente gl SC CM F
Bloques 1 0.12
A 1 14.963 14.963 \(14.963/0.004=3741\)
Error A 1 0.004 0.004
B 2 1.295 0.6475 \(0.6475/0.0015=432\)
AB 2 0.012 0.006 \(0.006/0.0015=4\) ns
Error B 4 0.006 0.0015
Total 11 16.40

4. Código R

library(easyanova)
tanque <- factor(rep(c("T1","T2"), each=6))
temp <- factor(rep(c("25C","35C"), each=3, times=2))
cepa <- factor(rep(c("X","Y","Z"), times=4))
etanol <- c(8.2,9.0,8.5,10.5,11.2,10.8,8.0,8.9,8.3,10.2,11.0,10.6)
datos <- data.frame(tanque, temp, cepa, etanol)
modelo <- ea2(data=datos, design=5)
print(modelo)

Estos cuatro ejercicios cubren situaciones realistas y permiten practicar el cálculo manual completo del DPD, así como la verificación con R.