Objetivo: Construir un portafolio accionario óptimo con PG (Procter & Gamble), SYK (Stryker) y WM (Waste Management), pertenecientes al S&P 500, y diseñar una estrategia de cobertura mediante futuros E-mini S&P 500 con horizonte de 4 años.

1 Introducción

El informe presenta una estrategia de inversión y cobertura financiera para un capital de USD 20.000.000, presentando un horizonte de inversión de 4 años desde 30 de abril de 2026. Conformado por tres acciones que pertenecen al índice S&P 500, seleccionadas con base a su solidez fundamental:

PG — Procter & Gamble (Consumo básico defensivo)
SYK — Stryker Corporation (Sector salud / dispositivos médicos)
WM — Waste Management (Servicios ambientales / utilidades)

La estrategia de cobertura se lleva a cabo por medio de contratos de futuros E-mini S&P 500 (ES) los cuales son negociados en el CME Group (Chicago Mercantile Exchange).

2 Parámetros Globales

CAPITAL       <- 20e6
FECHA_INI     <- as.Date("2026-04-30")
FECHA_HIST    <- as.Date("2016-04-30")   # 10 años históricos
TICKERS       <- c("PG", "SYK", "WM")
INDICE        <- "^GSPC"
N_ANUAL       <- 252                     # días hábiles
RF_ANUAL      <- 0.0436                  # ^TNX al 30/04/2026
HORIZONTE     <- 4                       # años
N_MESES       <- HORIZONTE * 12
N_MES         <- 21                      # días hábiles por mes
N_SIM         <- 5000                    # simulaciones GBM

# Contrato E-mini S&P 500 (CME) — actualizar con datos reales al 30/04/2026
MULTIPLICADOR  <- 50
MARGEN_INI     <- 14000
MARGEN_MANT    <- 12700
precio_futuro_ini <- 7168               # ← ACTUALIZAR con precio CME real

params_df <- data.frame(
  Parámetro = c("Capital inicial","Fecha inicial","Horizonte","Tickers",
                "Índice","Días hábiles/año","Tasa libre de riesgo (^TNX)",
                "Multiplicador E-mini","Margen inicial/contrato","Margen mantenimiento/contrato",
                "Precio futuro inicial (F0)"),
  Valor = c(
    scales::dollar(CAPITAL), as.character(FECHA_INI),
    paste(HORIZONTE,"años"), paste(TICKERS, collapse=" · "),
    "S&P 500 (^GSPC)", N_ANUAL,
    paste0(RF_ANUAL*100,"% anual"),
    paste0("USD ",MULTIPLICADOR," / punto"),
    scales::dollar(MARGEN_INI), scales::dollar(MARGEN_MANT),
    paste(precio_futuro_ini,"puntos")
  )
)

kable(params_df, align = c("l","r"), caption = "Tabla 1. Parámetros del ejercicio") %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hover","condensed"), full_width = FALSE)

Tabla 1. Parámetros del ejercicio
Parámetro	Valor
Capital inicial	$20,000,000
Fecha inicial	2026-04-30
Horizonte	4 años
Tickers	PG · SYK · WM
Índice	S&P 500 (^GSPC)
Días hábiles/año	252
Tasa libre de riesgo (^TNX)	4.36% anual
Multiplicador E-mini	USD 50 / punto
Margen inicial/contrato	$14,000
Margen mantenimiento/contrato	$12,700
Precio futuro inicial (F0)	7168 puntos

3 Datos Históricos y Retornos

3.1 Descarga de precios

descargar <- function(tickers, desde, hasta) {
  lst <- lapply(tickers, function(tk) {
    tryCatch({
      raw <- getSymbols(tk, src="yahoo", from=desde, to=hasta,
                        auto.assign=FALSE, warnings=FALSE)
      Ad(raw)
    }, error = function(e) { message("Error: ",tk); NULL })
  })
  names(lst) <- tickers
  lst <- lst[!sapply(lst, is.null)]
  do.call(merge, lst)
}

precios_acc <- descargar(TICKERS, FECHA_HIST, FECHA_INI)
precios_idx <- descargar(INDICE,  FECHA_HIST, FECHA_INI)
colnames(precios_acc) <- TICKERS
colnames(precios_idx) <- "GSPC"

datos <- na.omit(merge(precios_acc, precios_idx))

cat(sprintf("Observaciones: %d | Desde: %s | Hasta: %s",
            nrow(datos),
            as.character(index(datos)[1]),
            as.character(tail(index(datos),1))))

## Observaciones: 2513 | Desde: 2016-05-02 | Hasta: 2026-04-29

3.2 Evolución de precios (base 100)

df_norm <- as.data.frame(datos[, TICKERS])
df_norm <- sweep(df_norm, 2, as.numeric(df_norm[1,]), "/") * 100
df_norm$fecha <- index(datos)

df_long <- pivot_longer(df_norm, -fecha, names_to="Accion", values_to="Precio")

ggplot(df_long, aes(x=fecha, y=Precio, color=Accion)) +
  geom_line(linewidth=0.75) +
  scale_color_manual(values=c(PG="#003087", SYK="#E31837", WM="#00703C")) +
  scale_x_date(date_breaks="1 year", date_labels="%Y") +
  geom_hline(yintercept=100, linetype="dashed", color="gray60") +
  labs(title="Evolución de precios históricos (base 100 = abril 2016)",
       subtitle="Fuente: Yahoo Finance | Precios ajustados por dividendos y splits",
       x=NULL, y="Precio normalizado", color="Acción",
       caption="Datos: 10 años hasta 30/04/2026") +
  theme_minimal(base_size=12) +
  theme(legend.position="bottom",
        axis.text.x=element_text(angle=45, hjust=1))

En la gráfica observamos la evolución desde el año 2016 de las tres acciones: WM (en verde), SYK (en rojo) y PG (en azul)

• WM muestra un crecimiento sostenido alcanzando un valor cercano a 480 y una pequeña disminución en los momentos de crisis.

• SYK tiene un crecimiento significativo, aunque con mayor volatilidad, sobre todo en 2020 y 2022 con un rendimiento promedio con riesgo moderado.

• PG muestra el crecimiento más bajo entre 200 y 270. Es un activo más defensivo y estable, aunque menos rentable.

3.3 Cálculo de retornos y estadísticas anualizadas

ret_d    <- na.omit(diff(log(datos)))
ret_acc  <- ret_d[, TICKERS]
ret_idx  <- ret_d[, "GSPC"]

# ── ANUALIZACIÓN ──────────────────────────────────────────────
mu_anual  <- colMeans(ret_acc)  * N_ANUAL          # μ anual
sd_anual  <- apply(ret_acc, 2, sd) * sqrt(N_ANUAL) # σ anual
cov_anual <- cov(ret_acc) * N_ANUAL                # Σ anual
cor_mat   <- cor(ret_acc)

# Tabla estadísticas
est_df <- data.frame(
  Acción              = TICKERS,
  `μ diario (%)`      = round(colMeans(ret_acc)*100, 4),
  `μ anual (%)`       = round(mu_anual*100, 2),
  `σ diaria (%)`      = round(apply(ret_acc,2,sd)*100, 4),
  `σ anual (%)`       = round(sd_anual*100, 2),
  check.names         = FALSE
)

kable(est_df, align="c", digits=4,
      caption="Tabla 2. Retornos y volatilidades (252 días hábiles/año)") %>%
  kable_styling(bootstrap_options=c("striped","hover","condensed"), full_width=FALSE) %>%
  column_spec(3, bold=TRUE, color="darkblue") %>%
  column_spec(5, bold=TRUE, color="darkred")

Tabla 2. Retornos y volatilidades (252 días hábiles/año)
	Acción	μ diario (%)	μ anual (%)	σ diaria (%)	σ anual (%)
PG	PG	0.0345	8.68	1.1909	18.90
SYK	SYK	0.0463	11.68	1.6470	26.15
WM	WM	0.0608	15.33	1.2260	19.46

Riesgo (σ anual):

• SYK: indica mayor incertidumbre en los retornos con un 26.15% mostrando alta volatilidad.

• WM: presenta un riesgo moderado con un19.46% relacionado con su crecimiento estable.

• PG: tiene una baja volatilidad relativa con un 18.90% asociado a activos defensivos.

Observamos que WM es el activo más eficaz de la muestra, debido a la relación entre el riesgo y el rendimiento. SYK presenta una prima de riesgo negativa dado su elevada volatilidad por lo que no se traduce en un aumento conveniente del rendimiento. PG muestra un activo refugio, que se distingue por la volatilidad baja apropiada para proteger y cubrir el capital, sacrificando una mayor tasa de crecimiento.

3.4 Matrices de covarianzas y correlaciones

# Covarianzas anualizadas
kable(round(cov_anual*1e4, 4), caption="Tabla 3. Matriz de covarianzas anualizadas (×10⁴)") %>%
  kable_styling(bootstrap_options=c("striped","hover","condensed"), full_width=FALSE)

Tabla 3. Matriz de covarianzas anualizadas (×10⁴)
	PG	SYK	WM
PG	357.3681	192.6061	183.2490
SYK	192.6061	683.5970	239.2143
WM	183.2490	239.2143	378.7504

# Correlaciones
kable(round(cor_mat, 4), caption="Tabla 4. Matriz de correlaciones") %>%
  kable_styling(bootstrap_options=c("striped","hover","condensed"), full_width=FALSE) %>%
  column_spec(2:4, color=ifelse(round(cor_mat,4) > 0.5, "darkgreen", "black"))

Tabla 4. Matriz de correlaciones
	PG	SYK	WM
PG	1.0000	0.3897	0.4981
SYK	0.3897	1.0000	0.4701
WM	0.4981	0.4701	1.0000

corrplot(cor_mat, method="color", type="upper", tl.col="black",
         tl.srt=45, addCoef.col="black", number.cex=1.1,
         col=colorRampPalette(c("#E31837","white","#003087"))(200),
         mar=c(0,0,1.5,0), title="Figura 2. Correlaciones entre retornos diarios")

Como podemos observar la matriz de covarianzas anualizadas del portafolio son positivas, esto nos dice, que los activos tienden a moverse en la misma dirección, lo que aumenta el riesgo del portafolio. Observamos que SYK presenta la mayor varianza (683.5974) indicando que es el activo con una contribución mas alta al riesgo del portafolio, mientras que la combinación entre SYK y WM (239.2144), esta combinación tiene un aporte de mayor riesgo conjunto. PG por otro lado presenta la covarianza mas baja con los demás activos (aproximadamente 183–192), esto sugiere que actúa como estabilizador dentro del portafolio.

La matriz de correlaciones nos muestra un comportamiento positivo pero moderado (0.38 – 0.50). La mayor correlación se da entre PG–WM (0.4981), demostrando que estos activos tienen un comportamiento sincronizado relativo. La menor correlación es entre PG–SYK (0.3897), esta combinación es interesante para la diversificación. Además se observa que, ninguna correlación es cercana a 1, esto hace posible reducir el riesgo del portafolio sin sacrificar el rendimiento esperado.

En resumen las matrices observados nos muestran que la correlación moderada permite construir un portafolio óptima, en el cual cada activo cumple una función específica: PG actúa como activo defensivo, WM como motor de retorno y SYK como fuente de mayor riesgo.

4 Optimización Media-Varianza

4.1 Construcción de la frontera eficiente

n <- length(TICKERS)

# ── Barrido de retornos objetivo (200 portafolios) ───────────
mu_seq   <- seq(min(mu_anual), max(mu_anual), length.out=200)
frontera <- data.frame(mu=numeric(0), sigma=numeric(0))

for (mu_t in mu_seq) {
  tryCatch({
    Dmat <- 2 * cov_anual
    dvec <- rep(0, n)
    Amat <- cbind(rep(1,n), mu_anual, diag(n))
    bvec <- c(1, mu_t, rep(0,n))
    sol  <- solve.QP(Dmat, dvec, Amat, bvec, meq=2)
    w    <- sol$solution
    if (all(w >= -1e-8) && abs(sum(w)-1) < 1e-6) {
      sp <- sqrt(as.numeric(t(w) %*% cov_anual %*% w))
      frontera <- rbind(frontera, data.frame(mu=mu_t, sigma=sp))
    }
  }, error=function(e) NULL)
}

# ── Portafolio de máximo Sharpe (tangencia) ───────────────────
sharpe_v <- (frontera$mu - RF_ANUAL) / frontera$sigma
idx_opt  <- which.max(sharpe_v)
mu_opt   <- frontera$mu[idx_opt]

Dmat <- 2*cov_anual; dvec <- rep(0,n)
Amat <- cbind(rep(1,n), mu_anual, diag(n))
bvec <- c(1, mu_opt, rep(0,n))
sol_opt    <- solve.QP(Dmat, dvec, Amat, bvec, meq=2)
w_opt      <- sol_opt$solution / sum(sol_opt$solution)

mu_port    <- as.numeric(t(w_opt) %*% mu_anual)
sigma_port <- as.numeric(sqrt(t(w_opt) %*% cov_anual %*% w_opt))
sharpe_opt <- (mu_port - RF_ANUAL) / sigma_port
monto_opt  <- w_opt * CAPITAL

# ── Portafolio mínima varianza ────────────────────────────────
idx_mv  <- which.min(frontera$sigma)
mu_mv   <- frontera$mu[idx_mv]
sigma_mv <- frontera$sigma[idx_mv]

cat(sprintf("✔ Retorno portafolio óptimo : %.2f%% anual\n", mu_port*100))

## ✔ Retorno portafolio óptimo : 15.23% anual

cat(sprintf("✔ Volatilidad portafolio    : %.2f%% anual\n", sigma_port*100))

## ✔ Volatilidad portafolio    : 19.28% anual

cat(sprintf("✔ Sharpe Ratio              : %.4f\n", sharpe_opt))

## ✔ Sharpe Ratio              : 0.5639

4.2 Gráfico de la frontera eficiente

# Puntos de acciones individuales
pts_acc <- data.frame(
  ticker = TICKERS,
  sigma  = sqrt(diag(cov_anual)) * 100,
  mu     = mu_anual * 100
)

# Capital Market Line
cml_x <- seq(0, max(frontera$sigma)*1.15, length.out=100)
cml_y <- RF_ANUAL + sharpe_opt * cml_x
cml_df <- data.frame(sigma=cml_x*100, mu=cml_y*100)

ggplot() +
  # CML
  geom_line(data=cml_df, aes(x=sigma, y=mu),
            color="darkorange", linetype="dashed", linewidth=1.1) +
  # Frontera eficiente
  geom_path(data=data.frame(sigma=frontera$sigma*100, mu=frontera$mu*100),
            aes(x=sigma, y=mu),
            color="steelblue", linewidth=1.5) +
  # Acciones individuales
  geom_point(data=pts_acc, aes(x=sigma, y=mu, color=ticker),
             size=5, shape=17) +
  geom_label(data=pts_acc, aes(x=sigma, y=mu, label=ticker, color=ticker),
             nudge_y=0.4, fontface="bold", size=4, show.legend=FALSE) +
  # Mínima varianza
  geom_point(aes(x=sigma_mv*100, y=mu_mv*100),
             color="purple", size=4, shape=15) +
  annotate("text", x=sigma_mv*100+0.3, y=mu_mv*100-0.4,
           label="Mín. Varianza", color="purple", size=3.2, hjust=0) +
  # Portafolio óptimo
  geom_point(aes(x=sigma_port*100, y=mu_port*100),
             color="red", size=6, shape=18) +
  annotate("label", x=sigma_port*100+0.3, y=mu_port*100+0.5,
           label=sprintf("Óptimo\nSharpe=%.3f", sharpe_opt),
           color="red", size=3.2, hjust=0, fill="white", label.size=0.3) +
  # RF
  geom_point(aes(x=0, y=RF_ANUAL*100), color="black", size=3) +
  annotate("text", x=0.2, y=RF_ANUAL*100+0.2,
           label=sprintf("rf = %.2f%%", RF_ANUAL*100), size=3, hjust=0) +
  scale_color_manual(values=c(PG="#003087", SYK="#E31837", WM="#00703C")) +
  scale_x_continuous(labels=function(x) paste0(x,"%")) +
  scale_y_continuous(labels=function(x) paste0(x,"%")) +
  labs(
    title    = "Frontera Eficiente — PG, SYK, WM",
    subtitle = sprintf("Portafolio óptimo: μ=%.2f%% | σ=%.2f%% | Sharpe=%.4f | rf=%.2f%%",
                       mu_port*100, sigma_port*100, sharpe_opt, RF_ANUAL*100),
    x        = "Riesgo — Desviación estándar anual (%)",
    y        = "Retorno esperado anual (%)",
    color    = "Acción",
    caption  = "Línea naranja: Capital Market Line | ◆ Portafolio tangente | ■ Mínima varianza"
  ) +
  theme_minimal(base_size=13) +
  theme(legend.position="bottom",
        plot.title=element_text(face="bold", color="#003087"),
        plot.subtitle=element_text(color="gray40"))

Como podemos observar en la frontera eficiente, la diversificación del portafolio a través de los activos elegidos optimiza la relación entre riesgo y rendimiento. Se distingue que el portafolio con el rendimiento mas alto logra una rentabilidad del 15.23% y una volatilidad del 19%, comparado con activos individuales, como, por ejemplo, SYK son menos eficientes dado el elevado nivel de riesgo. A nivel general se puede decir que el grafico confirma que la combinación de activos es mas eficaz que una inversión individualizada.

4.3 Pesos óptimos y asignación de capital

pesos_df <- data.frame(
  Acción            = TICKERS,
  `Peso (%)`        = round(w_opt*100, 2),
  `Monto (USD)`     = scales::dollar(round(monto_opt)),
  `μ anual (%)`     = round(mu_anual*100, 2),
  `σ anual (%)`     = round(sd_anual*100, 2),
  check.names       = FALSE
)

kable(pesos_df, align=c("l","c","r","c","c"),
      caption="Tabla 5. Pesos óptimos y asignación de capital (USD 20,000,000)") %>%
  kable_styling(bootstrap_options=c("striped","hover","condensed"), full_width=FALSE) %>%
  row_spec(which.max(w_opt), bold=TRUE, background="#eef4fb")

Tabla 5. Pesos óptimos y asignación de capital (USD 20,000,000)
	Acción	Peso (%)	Monto (USD)	μ anual (%)	σ anual (%)
PG	PG	0.00	$0	8.68	18.90
SYK	SYK	2.75	$549,098	11.68	26.15
WM	WM	97.25	$19,450,902	15.33	19.46

cat(sprintf("\nRetorno esperado portafolio : %.4f%% anual\n", mu_port*100))

## 
## Retorno esperado portafolio : 15.2290% anual

cat(sprintf("Desviación estándar         : %.4f%% anual\n", sigma_port*100))

## Desviación estándar         : 19.2751% anual

cat(sprintf("Sharpe Ratio                : %.4f\n", sharpe_opt))

## Sharpe Ratio                : 0.5639

En los pesos óptimos y asignación de capital, podemos observar una concentración en WM del 97.25% esto indica la mejor relación riesgo-retorno dentro del portafolio, el activo de SYK muestra una participación baja con un (2.75%) debido a su mayor volatilidad, mientras que PG con un (0%) no es incluida por su menor contribución al rendimiento. La asignación confirma que el portafolio prioriza activos con mayor eficiencia en términos de rendimiento ajustado por riesgo. Esto da como resultado, un retorno esperado del 15.23% con una volatilidad del 19.28% y un ratio de Sharpe de 0.5639, confirmando una asignación que maximiza el rendimiento ajustado por riesgo.

5 Simulación — Movimiento Browniano Geométrico (GBM)

GBM por acción: Se simulan 5000 trayectorias independientes para PG, SYK y WM usando el proceso: \[S_t = S_0 \exp\!\left[\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)t + \sigma\sqrt{t}\,Z\right], \quad Z\sim\mathcal{N}(0,1)\]

S0       <- as.numeric(tail(datos[, TICKERS], 1))
names(S0) <- TICKERS
mu_d     <- colMeans(ret_acc)
sd_d     <- apply(ret_acc, 2, sd)

simular_gbm <- function(s0, mu_d, sigma_d, n_sim, n_pasos) {
  paths <- matrix(NA, nrow=n_sim, ncol=n_pasos+1)
  paths[,1] <- s0
  for (t in 2:(n_pasos+1)) {
    Z <- rnorm(n_sim)
    paths[,t] <- paths[,t-1] * exp((mu_d - 0.5*sigma_d^2) + sigma_d*Z)
  }
  paths
}

sim_precios <- lapply(TICKERS, function(tk)
  simular_gbm(S0[tk], mu_d[tk], sd_d[tk], N_SIM, N_MES))
names(sim_precios) <- TICKERS

# Retornos simulados del portafolio
ret_sim_port <- vapply(seq_len(N_SIM), function(i) {
  r <- sapply(TICKERS, function(tk)
    log(sim_precios[[tk]][i, N_MES+1] / sim_precios[[tk]][i, 1]))
  sum(w_opt * r)
}, numeric(1))

colores <- c(PG="#003087", SYK="#E31837", WM="#00703C")
n_show  <- 80

par(mfrow=c(1,3), mar=c(4,4,3,1), bg="white")
for (tk in TICKERS) {
  paths <- sim_precios[[tk]]
  med   <- apply(paths, 2, median)
  p05   <- apply(paths, 2, quantile, 0.05)
  p95   <- apply(paths, 2, quantile, 0.95)
  ylim  <- range(p05, p95)

  plot(0:N_MES, paths[1,], type="l",
       col=adjustcolor(colores[tk], 0.08),
       ylim=ylim, xlab="Días hábiles", ylab="Precio (USD)",
       main=paste0("GBM — ", tk), cex.main=1.1, font.main=2)
  for (i in 2:n_show)
    lines(0:N_MES, paths[i,], col=adjustcolor(colores[tk], 0.08))
  polygon(c(0:N_MES, rev(0:N_MES)), c(p05, rev(p95)),
          col=adjustcolor(colores[tk], 0.15), border=NA)
  lines(0:N_MES, med, col=colores[tk], lwd=2.5)
  lines(0:N_MES, p05, col="gray30", lwd=1.2, lty=2)
  lines(0:N_MES, p95, col="gray30", lwd=1.2, lty=2)
  legend("topleft", legend=c("Mediana","IC 90%"),
         lty=c(1,2), col=c(colores[tk],"gray30"), lwd=c(2.5,1.2), bty="n", cex=0.8)
}

par(mfrow=c(1,1))

Observamos tres simulaciones de precios basadas en el modelo de Movimiento Browniano Geométrico a lo largo de 20 días hábiles, se demuestra que las acciones de PG, SYK y WM presentan una sutil tendencia creciente alineada con sus rendimientos esperados positivos. Las trayectorias de los precios se expanden de manera natural a medida que transcurre el tiempo, mostrando la acumulación de la volatilidad y el aumento de la incertidumbre en horizontes temporales más extensos. Vemos que el intervalo de confianza del 90%, SYK registra la mayor dispersión y holgura en sus bandas, corroborando que es el activo más volátil y con mayor incertidumbre futura; en cambio, PG muestra la menor amplitud, corroborando un comportamiento estable y previsible, mientras que WM se sitúa en un punto intermedio pues combina crecimiento con dispersión moderada. Estas proyecciones demuestran que, riesgo difiere significativamente entre las opciones, fortaleciendo a SYK como el activo más riesgoso, a PG como el más conservador y a WM como el balance entre ambos, un comportamiento consistente con los roles estratégicos que cada uno asume dentro del portafolio eficiente.

6 VaR Mensual del Portafolio

# ── Paramétrico ───────────────────────────────────────────────
mu_m   <- mu_port / 12
sig_m  <- sigma_port / sqrt(12)
VaR_99_par <- -(mu_m + qnorm(0.01)*sig_m)
VaR_95_par <- -(mu_m + qnorm(0.05)*sig_m)

# ── Histórico ─────────────────────────────────────────────────
ret_ph <- as.numeric(ret_acc %*% w_opt)
n_bl   <- floor(length(ret_ph)/N_MES)
ret_pm <- sapply(1:n_bl, function(i)
  sum(ret_ph[((i-1)*N_MES+1):(i*N_MES)]))
VaR_99_hist <- -quantile(ret_pm, 0.01)
VaR_95_hist <- -quantile(ret_pm, 0.05)

# ── Monte Carlo GBM ───────────────────────────────────────────
VaR_99_mc <- -quantile(ret_sim_port, 0.01)
VaR_95_mc <- -quantile(ret_sim_port, 0.05)

var_df <- data.frame(
  Método       = c("Paramétrico","Histórico","Monte Carlo GBM"),
  `VaR 99% (%)` = round(c(VaR_99_par, VaR_99_hist, VaR_99_mc)*100, 3),
  `VaR 99% (USD)` = scales::dollar(round(c(VaR_99_par, VaR_99_hist, VaR_99_mc)*CAPITAL)),
  `VaR 95% (%)` = round(c(VaR_95_par, VaR_95_hist, VaR_95_mc)*100, 3),
  `VaR 95% (USD)` = scales::dollar(round(c(VaR_95_par, VaR_95_hist, VaR_95_mc)*CAPITAL)),
  check.names  = FALSE
)

kable(var_df, align=c("l","c","r","c","r"),
      caption="Tabla 6. VaR mensual del portafolio — tres métodos") %>%
  kable_styling(bootstrap_options=c("striped","hover","condensed"), full_width=FALSE) %>%
  row_spec(3, bold=TRUE, background="#eef4fb")

Tabla 6. VaR mensual del portafolio — tres métodos
Método	VaR 99% (%)	VaR 99% (USD)	VaR 95% (%)	VaR 95% (USD)
Paramétrico	11.675	$2,335,052	7.883	$1,576,653
Histórico	10.715	$2,142,905	6.408	$1,281,603
Monte Carlo GBM	12.004	$2,400,838	8.015	$1,602,972

ggplot(data.frame(ret=ret_sim_port*100), aes(x=ret)) +
  geom_histogram(aes(y=after_stat(density)), bins=80,
                 fill="steelblue", alpha=0.65, color="white") +
  geom_density(color="navy", linewidth=1.1) +
  geom_vline(xintercept=-VaR_99_mc*100, color="red",    linetype="dashed", linewidth=1.1) +
  geom_vline(xintercept=-VaR_95_mc*100, color="orange", linetype="dashed", linewidth=1.1) +
  annotate("label", x=-VaR_99_mc*100, y=Inf,
           label=sprintf("VaR 99%%\n%.2f%%", VaR_99_mc*100),
           color="red", vjust=1.5, size=3.2, fill="white", label.size=0.3) +
  annotate("label", x=-VaR_95_mc*100, y=Inf,
           label=sprintf("VaR 95%%\n%.2f%%", VaR_95_mc*100),
           color="darkorange", vjust=1.5, size=3.2, fill="white", label.size=0.3) +
  labs(title="Distribución de retornos mensuales del portafolio (Monte Carlo GBM)",
       subtitle=sprintf("N = %s simulaciones | VaR 99%% = USD %s | VaR 95%% = USD %s",
                        format(N_SIM, big.mark=","),
                        scales::dollar(round(VaR_99_mc*CAPITAL)),
                        scales::dollar(round(VaR_95_mc*CAPITAL))),
       x="Retorno mensual (%)", y="Densidad") +
  theme_minimal(base_size=12) +
  theme(plot.title=element_text(face="bold"))

Las simulaciones GBM indican que, a pesar de que los activos exponen una tendencia de crecimiento esperada, la dispersión de las trayectorias se hace cada vez mayor, lo cual indica que el riesgo aumenta con el tiempo. El VaR mide este comportamiento y marca que el portafolio podría experimentar pérdidas mensuales entre el 10.7% y el 12.0%, con nivel de confianza del 99%. El método de Monte Carlo da como resultado el VaR más alto cerca del 12%, lo cual es consistente con la gran incertidumbre que se ha observado; el método histórico muestra estimaciones más sensatas. En términos generales, los resultados son coherentes y muestran un nivel de riesgo medio-alto

7 Betas CAPM

betas <- sapply(TICKERS, function(tk)
  cov(as.numeric(ret_acc[,tk]), as.numeric(ret_idx)) / var(as.numeric(ret_idx)))

beta_port <- sum(w_opt * betas)

# Regresiones OLS
reg_df <- data.frame(
  Acción = TICKERS,
  Alpha  = sapply(TICKERS, function(tk)
    round(coef(lm(as.numeric(ret_acc[,tk]) ~ as.numeric(ret_idx)))[1]*N_ANUAL, 5)),
  Beta   = round(betas, 4),
  `R²`   = sapply(TICKERS, function(tk)
    round(summary(lm(as.numeric(ret_acc[,tk]) ~ as.numeric(ret_idx)))$r.squared, 4)),
  Peso   = round(w_opt*100, 2),
  check.names = FALSE
)

kable(reg_df, align="c",
      caption="Tabla 7. Betas CAPM — regresión OLS sobre S&P 500") %>%
  kable_styling(bootstrap_options=c("striped","hover","condensed"), full_width=FALSE) %>%
  add_footnote(sprintf("Beta del portafolio (ponderado): %.4f", beta_port),
               notation="symbol")

Tabla 7. Betas CAPM — regresión OLS sobre S&P 500
	Acción	Alpha	Beta	R²	Peso
PG.(Intercept)	PG	0.02688	0.4849	0.2159	0.00
SYK.(Intercept)	SYK	-0.00312	0.9701	0.4518	2.75
WM.(Intercept)	WM	0.08367	0.5633	0.2749	97.25
^* Beta del portafolio (ponderado): 0.5744

Beta del portafolio ponderado: $\beta_p = \sum_i w_i \beta_i =$ 0.5744

Un $\beta_p$ < 1 indica que el portafolio es más defensivo que el mercado.

Como podemos observar en la tabla, las betas indican que los tres activos son menos sensibles al mercado (β < 1), donde SYK presenta la mayor sensibilidad con el 0.97 y PG el menos sensible con el 0.48; mostrando un comportamiento defensivo. WM muestra una beta intermedia de 0.56 debido a su peso en el portafolio del 97.25%, esto hace que la beta total sea baja con un 0.57, indicando así un portafolio con menor riesgo que el mercado. A su vez, los valores de R² muestra una relación moderada con el índice, siendo entonces SYK el que tiene mayor explicación por parte del mercado.

8 Instrumento de Cobertura — E-mini S&P 500

F0 <- precio_futuro_ini
QF <- MULTIPLICADOR
VP <- CAPITAL

contrato_df <- data.frame(
  Característica = c("Activo subyacente","Bolsa / Plataforma","Multiplicador",
                     "Precio inicial F₀","Valor nocional F₀",
                     "Vencimientos","Margen inicial","Margen mantenimiento",
                     "Liquidación","Ajuste mark-to-market"),
  Valor = c(
    "Índice S&P 500","CME Group (Chicago Mercantile Exchange)",
    paste0("USD ", QF, " por punto"),
    paste0(F0, " puntos"),
    scales::dollar(F0 * QF),
    "Trimestral: Mar / Jun / Sep / Dic",
    scales::dollar(MARGEN_INI), scales::dollar(MARGEN_MANT),
    "Entrega en efectivo (cash settlement)",
    "Diario en práctica; mensual en este ejercicio"
  )
)

kable(contrato_df, align=c("l","r"),
      caption="Tabla 8. Parámetros del contrato E-mini S&P 500 (CME)") %>%
  kable_styling(bootstrap_options=c("striped","hover","condensed"), full_width=FALSE)

Tabla 8. Parámetros del contrato E-mini S&P 500 (CME)
Característica	Valor
Activo subyacente	Índice S&P 500
Bolsa / Plataforma	CME Group (Chicago Mercantile Exchange)
Multiplicador	USD 50 por punto
Precio inicial F₀	7168 puntos
Valor nocional F₀	$358,400
Vencimientos	Trimestral: Mar / Jun / Sep / Dic
Margen inicial	$14,000
Margen mantenimiento	$12,700
Liquidación	Entrega en efectivo (cash settlement)
Ajuste mark-to-market	Diario en práctica; mensual en este ejercicio

9 Número Óptimo de Contratos

\[N^* = \frac{\beta_p \times V_p}{F_0 \times Q_F}\]

N_star_exacto <- beta_port * VP / (F0 * QF)
N_star_round  <- round(N_star_exacto)

cat(sprintf("β_portafolio          = %.4f\n", beta_port))

## β_portafolio          = 0.5744

cat(sprintf("V_p (capital)         = USD %s\n", format(VP, big.mark=",")))

## V_p (capital)         = USD 2e+07

cat(sprintf("F₀ × Q_F              = %d × %d = USD %s\n", F0, QF, format(F0*QF, big.mark=",")))

## F₀ × Q_F              = 7168 × 50 = USD 358,400

cat(sprintf("N* exacto             = %.4f contratos\n", N_star_exacto))

## N* exacto             = 32.0561 contratos

cat(sprintf("N* redondeado         = %d contratos\n", N_star_round))

## N* redondeado         = 32 contratos

cat(sprintf("Nocional cubierto     = USD %s\n", format(N_star_round*F0*QF, big.mark=",")))

## Nocional cubierto     = USD 11,468,800

cat(sprintf("Margen inicial total  = USD %s\n", format(N_star_round*MARGEN_INI, big.mark=",")))

## Margen inicial total  = USD 448,000

Justificación del redondeo: Se usa round() (entero más cercano) para minimizar el error de cobertura. Redondear hacia arriba sobreprotege (sobre-hedging) mientras que hacia abajo subprotege (under-hedging). El error residual es de 0.18%.

10 Posición en Futuros: Corta vs Larga

Tabla 9. Análisis de la posición en futuros
Situación	Descripción
Inversionista largo en acciones (nuestro caso)	Portafolio de USD 20M en PG, SYK, WM
¿Qué riesgo se cubre?	Caída del índice → pérdida en valor de las acciones
Posición adoptada	CORTA en 32 contratos E-mini S&P 500
Si el mercado BAJA	Ganancia en futuros cortos compensa pérdida en acciones ✔
Si el mercado SUBE	Pérdida en futuros cortos reduce la ganancia en acciones (costo de la cobertura)
Cuándo se usaría posición LARGA	Cuando se anticipa compra futura de acciones y se teme alza de precios

11 Flujos Mensuales — Mark-to-Market

# Simulación del precio del índice mes a mes (GBM mensual)
mu_idx_d  <- as.numeric(mean(ret_idx))
sd_idx_d  <- as.numeric(sd(ret_idx))
S0_idx    <- as.numeric(tail(datos[,"GSPC"], 1))

set.seed(99)
precio_idx_mes <- numeric(N_MESES + 1)
precio_idx_mes[1] <- S0_idx
for (m in 2:(N_MESES+1)) {
  Z <- rnorm(N_MES)
  precio_idx_mes[m] <- precio_idx_mes[m-1] *
    exp(sum((mu_idx_d - 0.5*sd_idx_d^2) + sd_idx_d*Z))
}

# Precio del futuro (aproximación cost-of-carry trimestral)
T_trim <- 0.25
precio_fut_mes <- precio_idx_mes * exp(RF_ANUAL * T_trim)

# Mark-to-market mensual
saldo_margen <- MARGEN_INI * N_CONT
mtm_lst <- vector("list", N_MESES)

for (m in 1:N_MESES) {
  F_ini  <- precio_fut_mes[m]
  F_fin  <- precio_fut_mes[m+1]
  dF     <- F_fin - F_ini
  GP_l   <-  dF * QF * N_CONT
  GP_c   <- -GP_l
  saldo_margen <- saldo_margen + GP_c
  mc     <- 0
  if (saldo_margen < MARGEN_MANT * N_CONT) {
    mc <- MARGEN_INI * N_CONT - saldo_margen
    saldo_margen <- MARGEN_INI * N_CONT
  }
  mtm_lst[[m]] <- data.frame(
    Mes=m, Trim=ceiling(m/3),
    F_ini=round(F_ini,2), F_fin=round(F_fin,2), dF=round(dF,2),
    GP_larga=round(GP_l), GP_corta=round(GP_c),
    Saldo_margen=round(saldo_margen), Margin_call=round(mc)
  )
}
mtm_tabla <- do.call(rbind, mtm_lst)

# Mostrar primeros 12 meses
kable(
  mtm_tabla[1:12, c("Mes","F_ini","F_fin","dF","GP_corta","Saldo_margen","Margin_call")],
  col.names=c("Mes","F ini","F fin","ΔF","G/P Corta","Saldo Margen","Margin Call"),
  align="c", format.args=list(big.mark=","),
  caption="Tabla 10. Flujos mensuales — primeros 12 meses (posición corta)"
) %>%
  kable_styling(bootstrap_options=c("striped","hover","condensed"), full_width=FALSE) %>%
  row_spec(which(mtm_tabla$Margin_call[1:12] > 0), background="#ffe0e0", bold=TRUE)

Tabla 10. Flujos mensuales — primeros 12 meses (posición corta)
Mes	F ini	F fin	ΔF	G/P Corta	Saldo Margen
1	7,214.16	6,801.74	-412.42	659,873	1,107,873
2	6,801.74	6,721.30	-80.43	128,694	1,236,567
3	6,721.30	6,097.52	-623.78	998,045	2,234,612
4	6,097.52	6,134.33	36.80	-58,885	2,175,727
5	6,134.33	6,304.92	170.59	-272,944	1,902,783
6	6,304.92	5,968.52	-336.39	538,231	2,441,014
7	5,968.52	6,351.68	383.16	-613,053	1,827,962
8	6,351.68	6,661.69	310.00	-496,007	1,331,955
9	6,661.69	6,560.09	-101.60	162,560	1,494,515
10	6,560.09	5,799.05	-761.04	1,217,664	2,712,178
11	5,799.05	5,898.64	99.60	-159,355	2,552,823
12	5,898.64	6,113.57	214.92	-343,878	2,208,945

ggplot(mtm_tabla, aes(x=Mes)) +
  geom_col(aes(y=GP_corta/1e3, fill=GP_corta >= 0), alpha=0.75, width=0.8) +
  geom_line(aes(y=Saldo_margen/1e3), color="navy", linewidth=1, linetype="solid") +
  geom_hline(yintercept=MARGEN_MANT*N_CONT/1e3, linetype="dashed",
             color="red", linewidth=0.9) +
  geom_point(data=mtm_tabla[mtm_tabla$Margin_call>0,],
             aes(x=Mes, y=Margin_call/1e3), color="red", size=3, shape=8) +
  scale_fill_manual(values=c("TRUE"="forestgreen","FALSE"="firebrick"),
                    labels=c("Pérdida","Ganancia"),
                    name="G/P posición corta") +
  scale_x_continuous(breaks=seq(0,N_MESES,6)) +
  labs(title="Flujos mensuales — posición corta en futuros (4 años)",
       x="Mes", y="Miles USD",
       caption="— Línea azul: saldo de margen  |  — — Línea roja: margen de mantenimiento  |  ✱ Margin call") +
  theme_minimal(base_size=12) + theme(legend.position="bottom")

observamos la evaluación de una posición corta (vendedor) bajo una valoración a precio de mercado (Mark-to-Market) y administración de garantías. Esta información se ha dividido en dos partes: de manera analítica detallada de los primeros 12 meses según la Tabla 10 y el comportamiento de la estrategia a lo largo de 4 años o 48 meses según la gráfica. En el mes 1 según la Tabla 10, podemos ver una caída del precio del futuro de $7,214.16 a $6,801.74 generando una ganancia de $659,873, la cual se abona al saldo de Margen. En el Mes 4, se evidencia una subida del precio que genera una pérdida de -$58,885, los fondos acumulados operan como un colchón de liquidez. Dado a que el saldo de Margen se mantiene fácilmente por encima del límite mínimo requerido durante todo este periodo, la columna de Margin Call no registra llamados, indicando que en el corto plazo la cuenta no experimentó estrés crediticio. Según el grafico al ampliar el horizonte a 48 meses, la dinámica de riesgo cambia drásticamente. La línea azul (Saldo de Margen) se conserva en una zona de confort frente a la línea punteada roja (Margen de Mantenimiento) durante los primeros tres años (meses 1 al 36). No obstante, a partir del mes 37, el activo subyacente percibe un fuerte mercado alcista. Este aumento continuo en los precios del futuro genera pérdidas para la posición corta, simbolizadas por las barras rojas que apuntan hacia abajo, en la cual se observa una caída en la liquidez del mes 38 rompiendo el límite del margen de mantenimiento. Los asteriscos rojos en el último muestran los momentos en los que se realizan los llamados al margen (Margin Calls), obligando al inversionista a realizar depósitos de capital para restituir la cuenta al nivel inicial y evitar la liquidación forzosa del contrato.

12 Estrategia de Roll-Over Trimestral

gp_roll <- data.frame()
for (q in 1:16) {
  mi <- (q-1)*3+1; mf <- q*3
  if (mf > N_MESES) break
  Fa  <- precio_fut_mes[mi]
  Fc  <- precio_fut_mes[mf+1]
  GPc <- (Fa - Fc) * QF * N_CONT
  base <- precio_idx_mes[mf+1] - Fc
  gp_roll <- rbind(gp_roll, data.frame(
    Trimestre=q, F_apertura=round(Fa,2), F_cierre=round(Fc,2),
    GP_corta=round(GPc), Riesgo_base=round(base,2),
    Efecto_pct=round(GPc/CAPITAL*100, 3)
  ))
}

kable(gp_roll,
      col.names=c("Trim.","F Apertura","F Cierre","G/P Corta (USD)","Base (pts)","Efecto (%)"),
      align="c", format.args=list(big.mark=","),
      caption="Tabla 11. Ganancias/pérdidas por roll-over trimestral") %>%
  kable_styling(bootstrap_options=c("striped","hover","condensed"), full_width=FALSE) %>%
  row_spec(which(gp_roll$GP_corta > 0), background="#e8f5e9") %>%
  row_spec(which(gp_roll$GP_corta < 0), background="#ffebee")

Tabla 11. Ganancias/pérdidas por roll-over trimestral
Trim.	F Apertura	F Cierre	G/P Corta (USD)	Base (pts)	Efecto (%)
1	7,214.16	6,097.52	1,786,612	-66.10	8.933
2	6,097.52	5,968.52	206,402	-64.70	1.032
3	5,968.52	6,560.09	-946,500	-71.12	-4.732
4	6,560.09	6,113.57	714,431	-66.28	3.572
5	6,113.57	6,460.23	-554,668	-70.03	-2.773
6	6,460.23	6,123.81	538,272	-66.39	2.691
7	6,123.81	6,329.75	-329,496	-68.62	-1.647
8	6,329.75	6,888.56	-894,101	-74.68	-4.471
9	6,888.56	6,235.83	1,044,374	-67.60	5.222
10	6,235.83	6,757.88	-835,278	-73.26	-4.176
11	6,757.88	6,796.37	-61,591	-73.68	-0.308
12	6,796.37	6,445.66	561,136	-69.88	2.806
13	6,445.66	7,565.57	-1,791,860	-82.02	-8.959
14	7,565.57	7,833.21	-428,213	-84.92	-2.141
15	7,833.21	8,744.68	-1,458,356	-94.80	-7.292
16	8,744.68	8,445.63	478,478	-91.56	2.392

Riesgo de base: La diferencia entre el precio spot del índice y el precio del futuro al momento del cierre no es cero. Este riesgo de base genera una cobertura imperfecta y es el principal costo oculto del roll-over.

En la tabla 11 observamos que la estrategia de roll over genera ganancias y pérdidas en cada trimestre, mostrando la exposición al riesgo de base. A su vez vemos, que las ganancias más altas se dan cuando el precio del futuro cae fuertemente, mientras que las pérdidas se presentan cuando el precio sube. La base negativa en todos los periodos indica que el futuro se negocia por debajo del spot, lo que afecta directamente el resultado y evidencia una cobertura imperfecta. Algunos trimestres presentan pérdidas considerables, como se observa por ejemplo, en los trimestres 13 y 15, resaltando que el roll over no elimina el riesgo, sino que lo transforma. El efecto % muestra alta variabilidad, confirmando que el desempeño de la estrategia depende de las condiciones del mercado en cada periodo. La estrategia permite mantener la cobertura en el tiempo, pero implica un costo implícito asociado al riesgo de base y a la renovación de contratos.

13 Valor Esperado de la Cobertura Trimestral

RF_mens <- RF_ANUAL / 12

VE_sin_cob  <- CAPITAL * exp(mu_port * T_trim)
VE_fut_teo  <- F0 * exp(RF_ANUAL * T_trim)
VE_pos_corta <- (F0 - VE_fut_teo) * QF * N_CONT
VE_cubierto  <- VE_sin_cob + VE_pos_corta

ve_df <- data.frame(
  Concepto = c(
    "Tasa libre de riesgo anual (^TNX)",
    "VE portafolio sin cobertura (1 trimestre)",
    "Precio teórico del futuro F₀ × e^(rf×T)",
    "VE posición corta en futuros",
    "VE portafolio CUBIERTO"
  ),
  Valor = c(
    paste0(RF_ANUAL*100,"% anual"),
    scales::dollar(round(VE_sin_cob)),
    round(VE_fut_teo, 2),
    scales::dollar(round(VE_pos_corta)),
    scales::dollar(round(VE_cubierto))
  )
)

kable(ve_df, align=c("l","r"),
      caption="Tabla 12. Valor esperado de la cobertura trimestral") %>%
  kable_styling(bootstrap_options=c("striped","hover","condensed"), full_width=FALSE) %>%
  row_spec(5, bold=TRUE, background="#eef4fb")

Tabla 12. Valor esperado de la cobertura trimestral
Concepto	Valor
Tasa libre de riesgo anual (^TNX)	4.36% anual
VE portafolio sin cobertura (1 trimestre)	$20,776,133
Precio teórico del futuro F₀ × e^(rf×T)	7246.56
VE posición corta en futuros	-$125,694
VE portafolio CUBIERTO	$20,650,439

14 Rendimiento Mensual y Valor de la Cartera

# Tres escenarios
valor_sc  <- CAPITAL * exp(mu_port  * (1:N_MESES)/12)
valor_cub <- numeric(N_MESES)
for (m in 1:N_MESES) {
  q <- ceiling(m/3)
  aj <- if (q <= nrow(gp_roll)) gp_roll$GP_corta[q]/3 else 0
  valor_cub[m] <- valor_sc[m] + aj
}
valor_var <- CAPITAL * exp((mu_port - VaR_99_mc) * (1:N_MESES)/12)

df_ev <- data.frame(
  Mes=1:N_MESES,
  `Sin cobertura`=valor_sc/1e6,
  `Cubierto`=valor_cub/1e6,
  `Escenario VaR 99%`=valor_var/1e6,
  check.names=FALSE
)

df_ev_long <- pivot_longer(df_ev, -Mes, names_to="Escenario", values_to="Valor_MM")

ggplot(df_ev_long, aes(x=Mes, y=Valor_MM, color=Escenario)) +
  geom_line(linewidth=1.1) +
  geom_hline(yintercept=CAPITAL/1e6, linetype="dashed", color="gray50") +
  scale_color_manual(values=c("Sin cobertura"="steelblue",
                               "Cubierto"="forestgreen",
                               "Escenario VaR 99%"="firebrick")) +
  scale_x_continuous(breaks=seq(0,N_MESES,6)) +
  scale_y_continuous(labels=scales::dollar_format(suffix=" M")) +
  labs(title="Evolución del valor de la cartera — 4 años (48 meses)",
       subtitle="Comparación: portafolio libre, cubierto y escenario pesimista VaR 99%",
       x="Mes", y="Valor (millones USD)", color="Escenario") +
  theme_minimal(base_size=12) +
  theme(legend.position="bottom", plot.title=element_text(face="bold"))

En la tabla 12 observamos el valor esperado del portafolio cubierto por $20,650,439, es levemente menor que el portafolio sin cobertura $20,776,133, lo que demuestra el costo de la cobertura procedente de la posición corta de -$125,694. La cobertura no busca maximizar el rendimiento, sino reducir la exposición al riesgo, pagando parte del retorno esperado. En la gráfica, se observa con línea verde que el portafolio cubierto sigue de cerca al portafolio libre con línea azul, pero con una leve disminución en su valor, consistente con el costo de cobertura. La línea roja nos muestra un escenario pesimista con un VaR del 99%, muestra una trayectoria inferior, representando el peor escenario esperado bajo circunstancias extremas, lo que permite dimensionar el riesgo. La cobertura reduce la volatilidad relativa frente al portafolio libre, pero no elimina las fluctuaciones, esto confirma que es una cobertura parcial e imperfecta.

res_df <- data.frame(
  Escenario = c("Sin cobertura","Cubierto","VaR 99%"),
  `Mes 12`  = scales::dollar(round(c(valor_sc[12], valor_cub[12], valor_var[12]))),
  `Mes 24`  = scales::dollar(round(c(valor_sc[24], valor_cub[24], valor_var[24]))),
  `Mes 48`  = scales::dollar(round(c(valor_sc[48], valor_cub[48], valor_var[48]))),
  check.names = FALSE
)
kable(res_df, align=c("l","r","r","r"),
      caption="Tabla 13. Valor esperado de la cartera por escenario") %>%
  kable_styling(bootstrap_options=c("striped","hover","condensed"), full_width=FALSE)

Tabla 13. Valor esperado de la cartera por escenario
Escenario	Mes 12	Mes 24	Mes 48
Sin cobertura	$23,289,966	$27,121,126	$36,777,775
Cubierto	$23,528,110	$26,823,093	$36,937,267
VaR 99%	$20,655,481	$21,332,445	$22,753,661

Dividendos: PG (~2.4%/año), WM (~1.5%/año) y SYK (~1.0%/año) pagan dividendos. Al usar precios ajustados de Yahoo Finance los dividendos ya están incorporados en los retornos calculados, por lo que no se deben sumar de forma adicional para evitar doble conteo.

En la tabla 13 se observa la comparación entre el avance del valor capitalizado de la estrategia y la eficacia de los mecanismos para cubrir y controlar el riesgo extremo, en el corto plazo, que es el mes 12, el escenario cubierto alcanza un valor de $23,528,109; este monto es mayor al de la alternativa sin cobertura $23,289,966, se evidencia la habilidad inmediata del derivado para reducir oscilaciones perjudiciales y asegurar ganancias tempranas. Sin embargo, al alcanzar el mes 24 se observa un comportamiento de los esquemas de cobertura: el escenario sin cobertura $27,121,125 supera temporalmente al cubierto $26,823,091. Esta restitución temporal responde al costo de oportunidad inherente a los contratos de futuros. La estrategia en el largo plazo mes 48, ratifica la capacidad estructural del portafolio cubierto, el cual recupera su superioridad con un valor esperado de $36,937,264 frente a los $36,777,771 de la cartera desprotegida, demostrando una efectiva conservación y optimización de la riqueza en horizontes amplios.

15 Sensibilidad de la Cobertura: β = 0.5 y β = 2

betas_hip <- c(0.5, beta_port, 2.0)
etiquetas <- c("β = 0.5 (defensivo)","β actual del portafolio","β = 2.0 (agresivo)")

sens_df <- data.frame(
  Escenario           = etiquetas,
  Beta                = betas_hip,
  `N* exacto`         = round(betas_hip * VP / (F0*QF), 4),
  `N* contratos`      = round(betas_hip * VP / (F0*QF)),
  `Nocional cubierto` = scales::dollar(round(round(betas_hip*VP/(F0*QF)) * F0*QF)),
  `Exp. sistemática`  = scales::dollar(round(betas_hip * VP)),
  check.names         = FALSE
)

kable(sens_df, align=c("l","c","c","c","r","r"),
      caption="Tabla 14. Sensibilidad del número de contratos según beta") %>%
  kable_styling(bootstrap_options=c("striped","hover","condensed"), full_width=FALSE) %>%
  row_spec(2, bold=TRUE, background="#eef4fb") %>%
  row_spec(3, background="#fff3cd")

Tabla 14. Sensibilidad del número de contratos según beta
Escenario	Beta	N* exacto	N* contratos	Nocional cubierto	Exp. sistemática
β = 0.5 (defensivo)	0.5000000	27.9018	28	$10,035,200	$10,000,000
β actual del portafolio	0.5744461	32.0561	32	$11,468,800	$11,488,922
β = 2.0 (agresivo)	2.0000000	111.6071	112	$40,140,800	$40,000,000

beta_rango <- seq(0.3, 2.5, by=0.05)
n_rango    <- beta_rango * VP / (F0*QF)

ggplot(data.frame(beta=beta_rango, N=n_rango), aes(x=beta, y=N)) +
  geom_line(color="steelblue", linewidth=1.3) +
  geom_point(aes(x=0.5,       y=0.5*VP/(F0*QF)), color="forestgreen", size=4) +
  geom_point(aes(x=beta_port, y=N_CONT),          color="red",         size=4) +
  geom_point(aes(x=2.0,       y=2.0*VP/(F0*QF)), color="orange",      size=4) +
  annotate("text", x=0.5,       y=0.5*VP/(F0*QF)+3,  label="β=0.5",         color="forestgreen", size=3.5) +
  annotate("text", x=beta_port, y=N_CONT+3,           label=sprintf("β=%.2f\n(actual)",beta_port), color="red", size=3.2) +
  annotate("text", x=2.0,       y=2.0*VP/(F0*QF)+3,  label="β=2.0",         color="darkorange",  size=3.5) +
  labs(title="Número óptimo de contratos en función de la beta del portafolio",
       x="Beta del portafolio (β)", y="N* contratos",
       caption="N* = β × Vp / (F₀ × Q_F)") +
  theme_minimal(base_size=12) +
  theme(plot.title=element_text(face="bold"))

La relación entre el beta del portafolio y el número óptimo de contratos es directamente proporcional, lo que implica que a mayor riesgo sistemático, se pretende una mayor cantidad de contratos para cubrir la exposición. Se observa que en un portafolio defensivo con un beta de 0.5 se necesitan 28 contratos, mientras que al aumentar el beta a 0.57, la cobertura se incrementa moderadamente a 32 contratos, y en un escenario agresivo con un beta de 2, la cantidad de contratos crece significativamente a 112. Esto muestra que el nivel de cobertura depende del grado de exposición al mercado, ajustándose para equilibrar el riesgo sistemático del portafolio

16 Resumen Ejecutivo

resumen_df <- data.frame(
  Indicador = c(
    "Capital inicial",
    "Acciones seleccionadas",
    "Horizonte de inversión",
    "Retorno esperado portafolio",
    "Volatilidad portafolio",
    "Sharpe Ratio",
    "Beta portafolio",
    "VaR mensual 99% (MC GBM)",
    "VaR mensual 95% (MC GBM)",
    "Contratos E-mini (posición corta)",
    "Nocional cubierto",
    "Margen inicial total",
    "Tasa libre de riesgo (^TNX)"
  ),
  Valor = c(
    scales::dollar(CAPITAL),
    paste(TICKERS, collapse=" | "),
    paste(HORIZONTE, "años"),
    paste0(round(mu_port*100,2), "% anual"),
    paste0(round(sigma_port*100,2), "% anual"),
    round(sharpe_opt, 4),
    round(beta_port, 4),
    paste0(round(VaR_99_mc*100,2), "% = ", scales::dollar(round(VaR_99_mc*CAPITAL))),
    paste0(round(VaR_95_mc*100,2), "% = ", scales::dollar(round(VaR_95_mc*CAPITAL))),
    paste0(N_CONT, " contratos"),
    scales::dollar(N_CONT*F0*QF),
    scales::dollar(N_CONT*MARGEN_INI),
    paste0(RF_ANUAL*100, "% anual")
  )
)

kable(resumen_df, align=c("l","r"),
      caption="Tabla 15. Resumen ejecutivo del ejercicio") %>%
  kable_styling(bootstrap_options=c("striped","hover","condensed"), full_width=FALSE) %>%
  row_spec(c(4,5,6,8,9,10), bold=TRUE)

Tabla 15. Resumen ejecutivo del ejercicio
Indicador	Valor
Capital inicial	$20,000,000
Acciones seleccionadas	PG \| SYK \| WM
Horizonte de inversión	4 años
Retorno esperado portafolio	15.23% anual
Volatilidad portafolio	19.28% anual
Sharpe Ratio	0.5639
Beta portafolio	0.5744
VaR mensual 99% (MC GBM)	12% = $2,400,838
VaR mensual 95% (MC GBM)	8.01% = $1,602,972
Contratos E-mini (posición corta)	32 contratos
Nocional cubierto	$11,468,800
Margen inicial total	$448,000
Tasa libre de riesgo (^TNX)	4.36% anual

Informe generado en R Markdown | Datos: Yahoo Finance | Futuros: CME Group

Referencia: Hull, J.C. (2022). Options, Futures, and Other Derivatives (11th ed.). Pearson.

Cobertura con Futuros sobre Índice Bursátil

Portafolio: PG · SYK · WM | Capital: USD 20,000,000

Grupo — [Insertar nombres]

Fecha inicial de inversión: 30 de abril de 2026