PROCESOS Y TEOREMAS DE RENOVACIÓN

Título de la Investigación

“Modelamiento de la disponibilidad de una estructura en serie reparable con dos unidades”

Autor(es)

Lilia Rodríguez y Álvaro Calvache

Situación Problemática

En la industria moderna, los procesos de manufactura y producción continua dependen a menudo de sistemas multicomponentes interconectados en serie. En este tipo de configuración, el fallo o la necesidad de mantenimiento de una sola unidad provoca la interrupción de toda la cadena operativa. Estimar con precisión la disponibilidad de estos sistemas se ha convertido en un desafío crítico, dado que las averías inesperadas y los tiempos de inactividad programados para mantenimientos preventivos merman drásticamente la capacidad de cumplir con los plazos de una misión operativa específica.

Para solucionar este problema, el modelamiento matemático apoyado en procesos y teoremas de renovación se presenta como una técnica sumamente eficaz para el análisis de datos. Al tratar los tiempos de vida, reparación y mantenimiento de cada componente como variables estocásticas con distribuciones específicas (por ejemplo, distribución exponencial), es posible formular ecuaciones integrales complejas. Esta metodología analítica permite a los ingenieros e investigadores estimar la Función de Distribución Acumulativa (Cdf) del tiempo operacional continuo de la estructura, proporcionando así bases cuantitativas sólidas para la toma de decisiones, la optimización de cronogramas de mantenimiento y la mejora integral en los índices de productividad.

Procesos y Teoremas de Renovación: Modelo Matemático

El enfoque de los procesos de renovación modela las transiciones entre los estados operativos y no operativos de las unidades a lo largo del tiempo. La base fundamental de un proceso de renovación establece que el comportamiento de un sistema a largo plazo puede evaluarse mediante ciclos repetitivos de fallos y reparaciones.

Fórmulas del Modelo

La ecuación matemática que rige el comportamiento probabilístico de estos sistemas puede describirse a través de la siguiente ecuación integral basada en teoremas de renovación:

\[H(t) = \int_{[0,t_1] \times [0,t_2]} J(dw)H(t-w) + V(t)\]

Donde:

• \(H(t)\) es la matriz de funciones desconocidas que representa la disponibilidad o probabilidad en los distintos estados.
  
• \(J(w)\) es la matriz de transiciones conjuntas, detallando el paso de un estado operativo al estado de reparación.
  
• \(V(t)\) es el vector probabilístico inicial dependiente del tiempo.

La disponibilidad en una misión, es decir, la probabilidad de que el equipo no pase más de \(t_2\) horas acumuladas en reparación en una misión de duración \(t_1\), se define como:

\[W(t_1, t_2) = P(M_{t1} - t_1 \leq t_2)\]

A nivel de componentes y de forma continua, el modelo utiliza una ecuación integral de la siguiente forma para determinar la probabilidad de los estados de funcionamiento (\(W_U\)):

\[W_U(t_1,t_2) = 1 - K_U D(t_1) \cdot 1 + \int_{0}^{t_1} \int_{0}^{t_2} W_U(t_1-w_1, t_2-w_2) \frac{\partial^2 G_{UU}(w_1,w_2)}{\partial w_1 \partial w_2} dw_2 dw_1\]

Ejercicio Práctico

El ejemplo numérico analizado cuenta con una estructura en serie de dos unidades, A y B. Se asume inicialmente que ambas unidades se encuentran en perfectas condiciones y no presentan ninguna falla. Para cada unidad se presentan tres tiempos operativos estocásticos: - Tiempo de vida (\(V_i\))
- Tiempo de reparación (\(R_i\))
- Tiempo de mantenimiento (\(M_i\))

Cada uno de ellos es completamente independiente de los otros y obedece a un comportamiento exponencial. Los valores de los parámetros del modelo se detallan a continuación:

Unidad A:

• Tasa de falla: \(\lambda_A = \frac{1}{100} \text{ h}^{-1}\)
  
• Tasa de reparación: \(\psi_A = \frac{1}{5} \text{ h}^{-1}\)
  
• Tasa de mantenimiento: \(\alpha_A = \frac{1}{10} \text{ h}^{-1}\)
  
• Tiempo de funcionamiento antes de mantenimiento preventivo: \(C_A = 90 \text{ h}\)

Unidad B:

• Tasa de falla: \(\lambda_B = \frac{1}{120} \text{ h}^{-1}\)
  
• Tasa de reparación: \(\psi_B = \frac{1}{3} \text{ h}^{-1}\)
  
• Tasa de mantenimiento: \(\alpha_B = \frac{1}{15} \text{ h}^{-1}\)
  
• Tiempo de funcionamiento antes de mantenimiento preventivo: \(C_B = 65 \text{ h}\)

El tiempo de la misión estipulada para toda la estructura productiva es \(t_m = 120\) horas.

Resultados

En la presente sección se reproducen los resultados tabulares y gráficos extraídos mediante el cálculo numérico del modelo de renovación original.

Análisis para Misión de 120 Horas

Se generó la función de Distribución Acumulativa (Cdf) del tiempo operacional acumulativo para una misión total de \(t_m = 120\) horas.

Valores de Cdf, cuando el tiempo de misión es de 120 horas.

Tiempo (t2)	Pr(C120 <= t2)
0	0.0000
4	0.0000
8	0.0000
12	0.0000
16	0.0000
20	0.0000
24	0.0000
28	0.0000
32	0.0000
36	0.0000
40	0.0000
44	0.0000
48	0.0000
52	0.0000
56	0.0000
60	0.0001
64	0.0001
68	0.0102
72	0.0148
76	0.0215
80	0.0314
84	0.0463
88	0.0729
92	0.1087
96	0.1631
100	0.2444
104	0.3626
108	0.5269
112	0.7391
116	0.9808
120	1.0000

Función Cdf para una misión igual a 120 horas.

A través de las especificaciones proporcionadas para la estructura en serie, se deduce que es poco probable que el tiempo acumulado de la estructura opere por debajo de los valores bajos de \(t_2\). Sin embargo, la probabilidad de que el funcionamiento del proceso sea menor a 92 horas es del \(10.87\%\).

Análisis Multivariado para Misiones Diversas (60h, 80h, 100h)

Para entender cómo se altera el comportamiento del sistema bajo distintos umbrales de tiempo, se simularon y recopilaron los datos para tres tiempos de misión diferentes.

Funciones Cdf comparativas para diferentes misiones y mantenimientos.

Como resultado analítico clave, se observa que en la misión de \(t_m = 60\) h existe un incremento súbito en las probabilidades (anomalía) entre las horas 33 y 36, pasando de \(0.39\%\) a \(11.71\%\). Este quiebre matemático es un reflejo directo del ingreso a mantenimiento preventivo programado, demostrando que los modelos de renovación son herramientas excepcionales para cuantificar el impacto del tiempo de inactividad operativa.

Conlusiones

La investigación “Modelamiento de la disponibilidad de una estructura en serie reparable con dos unidades” utiliza procesos y teoremas de renovación para modelar matemáticamente el comportamiento de sistemas industriales reparables. Mediante ecuaciones integrales de renovación y distribuciones probabilísticas, los autores analizan datos de fallas, reparación y mantenimiento para calcular la disponibilidad operacional del sistema en distintos tiempos de misión.

Referencias Bibliográficas

Rodríguez, L., & Calvache, A. (2020). Modelamiento de la disponibilidad de una estructura en serie reparable con dos unidades. Ingeniería y Ciencia, 16(31), 53-76. https://doi.org/10.17230/ingciencia.16.31.3