計量経済I：復習テスト6

作者

村澤 康友

公開

2026年5月14日

注意

すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト 1～8 を順に重ねて左上でホチキス止めし，中間テスト実施日（6月9日の予定）に提出すること．

  1. 2 変量データを ((y_1,x_1),\dots,(y_n,x_n)) とする．y_i の x_i 上への単回帰モデルは \operatorname{E}(y_i|x_i)=\alpha+\beta x_i 回帰の誤差項は u_i:=y_i-\operatorname{E}(y_i|x_i)．以下の式を証明しなさい．

\operatorname{E}(u_i|x_i)=0

\operatorname{E}(u_i)=0

\operatorname{E}(x_iu_i)=0

\operatorname{cov}(x_i,u_i)=0

\operatorname{cov}(x_i,y_i)=\beta\operatorname{var}(x_i)

  1. 期待値の線形性より \begin{align*} \operatorname{E}(u_i|x_i) & =\operatorname{E}(y_i-\operatorname{E}(y_i|x_i)|x_i) \\ & =\operatorname{E}(y_i|x_i)-\operatorname{E}(y_i|x_i) \\ & =0 \end{align*}

  2. 繰り返し期待値の法則と前問より \begin{align*} \operatorname{E}(u_i) & =\operatorname{E}(\operatorname{E}(u_i|x_i)) \\ & =\operatorname{E}(0) \\ & =0 \end{align*}

  3. 繰り返し期待値の法則，期待値の線形性と前々問より \begin{align*} \operatorname{E}(x_iu_i) & =\operatorname{E}(\operatorname{E}(x_iu_i|x_i)) \\ & =\operatorname{E}(x_i\operatorname{E}(u_i|x_i)) \\ & =\operatorname{E}(0) \\ & =0 \end{align*}

  4. 共分散の計算公式と前2 問より \begin{align*} \operatorname{cov}(x_i,u_i) & =\operatorname{E}(x_iu_i)-\operatorname{E}(x_i)\operatorname{E}(u_i) \\ & =0-0 \\ & =0 \end{align*}

  5. y_i=\alpha+\beta x_i+u_iより \begin{align*} \operatorname{cov}(x_i,y_i) & =\operatorname{cov}(x_i,\alpha+\beta x_i+u_i) \\ & =\operatorname{cov}(x_i,\alpha)+\operatorname{cov}(x_i,\beta x_i)+\operatorname{cov}(x_i,u_i) \end{align*} \alpha は定数なので第 1 項は 0．前問より第 3 項は 0．第 2 項は \begin{align*} \operatorname{cov}(x_i,\beta x_i) & =\beta\operatorname{cov}(x_i,x_i) \\ & =\beta\operatorname{var}(x_i) \end{align*}

  1. ((y_1,x_1),\dots,(y_n,x_n)) の標本平均を (\bar{y},\bar{x}) とする．次の OLS 問題を考える． \begin{align*} \min_{a,b} & \quad \sum_{i=1}^n(y_i-a-bx_i)^2 \\ \text{and} & \quad a,b \in \mathbb{R} \end{align*} OLS 問題の解を (a^*,b^*)，回帰予測を \hat{y}_i:=a^*+b^*x_i，回帰残差を e_i:=y_i-\hat{y}_iとする．

  1. 総変動（TSS），回帰変動（ESS），残差変動（RSS）をそれぞれ定義しなさい．

  2. 以下の式を証明しなさい． \begin{align*} \sum_{i=1}^ne_i & =0 \\ \sum_{i=1}^nx_ie_i & =0 \end{align*}

  3. \bar{y}=a^*+b^*\bar{x} が成り立つことを示しなさい．

  4. \mathrm{TSS}=\mathrm{ESS}+\mathrm{RSS} が成り立つことを示しなさい．

\begin{align*} \mathrm{TSS} & :=\sum_{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2 \\ \mathrm{ESS} & :=\sum_{i=1}^n(\hat{y}_i-\bar{y})^2 \\ \mathrm{RSS} & :=\sum_{i=1}^ne_i^2 \end{align*}

  1. OLS 問題の 1 階の条件より \begin{align*} \sum_{i=1}^n(y_i-a^*-b^*x_i) & =0 \\ \sum_{i=1}^nx_i(y_i-a^*-b^*x_i) & =0 \end{align*} すなわち \begin{align*} \sum_{i=1}^ne_i & =0 \\ \sum_{i=1}^nx_ie_i & =0 \end{align*}

  2. 前問より \begin{align*} \bar{y} & :=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^ny_i \\ & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\hat{y}_i+e_i) \\ & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(a^*+b^*x_i+e_i) \\ & =\frac{1}{n} \left(\sum_{i=1}^na^*+\sum_{i=1}^nb^*x_i+\sum_{i=1}^ne_i\right) \\ & =\frac{1}{n}\left(na^*+b^*\sum_{i=1}^nx_i\right) \\ & =a^*+b^*\bar{x} \end{align*}

  3. 総変動は \begin{align*} \mathrm{TSS} & :=\sum_{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2 \\ & =\sum_{i=1}^n(\hat{y}_i+e_i-\bar{y})^2 \\ & =\sum_{i=1}^n[(\hat{y}_i-\bar{y})+e_i]^2 \\ & =\sum_{i=1}^n\left[ (\hat{y}_i-\bar{y})^2+2(\hat{y}_i-\bar{y})e_i+e_i^2 \right] \\ & =\sum_{i=1}^n(\hat{y}_i-\bar{y})^2+2\sum_{i=1}^n(\hat{y}_i-\bar{y})e_i +\sum_{i=1}^ne_i^2 \end{align*} 第 1 項は ESS．第 3 項は RSS．前 2 問より第 2 項は \begin{align*} \sum_{i=1}^n(\hat{y}_i-\bar{y})e_i & =\sum_{i=1}^n[(a^*+b^*x_i)-(a^*+b^*\bar{x})]e_i \\ & =b^*\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})e_i \\ & =b^*\sum_{i=1}^nx_ie_i-b^*\bar{x}\sum_{i=1}^ne_i \\ & =0-0 \\ & =0 \end{align*}