Distribución Probabilística para Gestión de Datos
Erik Fernando Tombe Montano & Jhon Fredy Saavedra
2026-05-13
Universidad del Valle
Seccional Buga
Programa de Ingeniería Industrial
Distribución Probabilística para Gestión de Datos en la Casa de Plantas Medicinales El Frailejón
Autores:
Erik Fernando Tombe Montano erik.tombe@correounivalle.edu.co
Jhon Fredy Saavedra Saavedra.jhon@correounivalle.edu.co
Fecha de entrega: 13 de mayo de 2026
Introducción
En la Casa de Plantas Medicinales El Frailejón se desarrollan procesos de atención en salud tradicional, facturación, farmacia, producción de medicamentos naturales y registro de pacientes. Este contexto permite aplicar distribuciones de probabilidad para modelar ingresos, tiempos de atención, número de pacientes, demanda de medicamentos y tiempos entre llegadas de usuarios.
En este trabajo se desarrollan cinco distribuciones: lognormal, gaussiana, chi cuadrado, Poisson y exponencial. Para cada una se presenta su fórmula, un algoritmo propio en R, comparación con la función nativa de R, un ejemplo aplicado al contexto local, una tabla de datos y una gráfica.
Objetivos
Objetivo general
Desarrollar algoritmos en R para cinco distribuciones de probabilidad y compararlos con las funciones nativas de R, aplicándolos al contexto de la Casa de Plantas Medicinales El Frailejón.
Objetivos específicos
- Construir algoritmos manuales en R para las distribuciones lognormal, gaussiana, chi cuadrado, Poisson y exponencial. - Comparar cada algoritmo con la función correspondiente de R. - Modelar situaciones reales del contexto de la Casa de Plantas Medicinales. - Presentar gráficas, fórmulas y tablas de datos organizadas en data frames.
Contexto local
La Casa de Plantas Medicinales El Frailejón, ubicada en el resguardo de Guambia, integra actividades de facturación, atención por medicina tradicional, enfermería, partería, fisioterapia y farmacia. En este espacio se atienden pacientes subsidiados y particulares, se venden medicamentos naturales y se manejan diferentes tiempos de atención y flujos de usuarios. Por eso, este entorno es adecuado para ilustrar distribuciones de probabilidad con datos reales o simulados del funcionamiento institucional.
fact <- function(n) {
r <- 1
if (n > 0) for (i in 1:n) r <- r * i
return(r)
}
raiz <- function(v) {
if (v < 0) return(NA_real_)
if (v == 0) return(0)
r <- v / 2
for (k in 1:30) r <- (r + v / r) / 2
return(r)
}
expo <- function(x) {
if (x < 0) return(1 / expo(-x))
s <- 0
for (i in 0:100) s <- s + (x ^ i) / fact(i)
return(s)
}1. Distribución Lognormal
Definición
Una distribución lognormal representa variables positivas y asimétricas hacia la derecha. Es útil para modelar ingresos, ventas o valores monetarios cuando unos pocos casos presentan montos altos y la mayoría montos moderados.
Usos más comunes de la distribución lognormal:
- Economía y finanzas:
Para modelar precios de acciones, tasas de retorno o ingresos personales.
- Ingeniería:
Para analizar el tiempo de vida de componentes electrónicos o mecánicos, ya que muchos duran un tiempo normal y unos pocos duran mucho más.
- Ciencias naturales:
Para describir el tamaño de organismos, partículas, gotas de lluvia o granos de arena, donde la mayoría son pequeños y unos pocos muy grandes.
- Medicina y biología:
Para estudiar tiempos de recuperación, crecimiento de bacterias o concentraciones de sustancias.
Fórmula
\[ f(x)=\frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad x>0 \]
Donde:
- \(\mu\) = media del logaritmo natural.
- \(\sigma\) = desviación estándar del logaritmo natural.
- \(x>0\) = solo valores positivos.
Problema local
En la Casa de Plantas Medicinales, el valor de venta de algunos productos puede ser positivo y asimétrico. Por ejemplo, los ingresos mensuales provenientes de productos de farmacia como jarabes, pomadas, jabones, aceites esenciales y medicamentos líquidos no siempre son iguales. Los pacientes subsidiados generan un flujo constante de ingresos, mientras que los pacientes particulares generan pagos más altos por evento o consulta. Por esta razón, la distribución lognormal permite modelar el comportamiento de los ingresos mensuales por ventas y atención.
En este estudio se analizarán dos grupos: - Pacientes subsidiados. - Pacientes particulares.
Además, se observará el comportamiento mensual durante un año para determinar cuál de los dos grupos genera más ingresos.
Algoritmo en R
lognormal_manual <- function(x, mu, sigma) {
if (x <= 0 || sigma <= 0) return(0)
return((1 / (x * sigma * sqrt(2 * pi))) * exp(-((log(x) - mu)^2) / (2 * sigma^2)))
}Comparación con R
lognormal_manual(30, 3, 0.5)## [1] 0.01927575dlnorm(30, meanlog = 3, sdlog = 0.5)## [1] 0.01927575Datos y data frame
meses <- c("Ene","Feb","Mar","Abr","May","Jun","Jul","Ago","Sep","Oct","Nov","Dic")
ingreso_subsidiados <- c(540000,585000,630000,615000,660000,690000,720000,705000,735000,750000,765000,780000)
ingreso_particulares <- c(350000,375000,400000,390000,425000,450000,460000,440000,475000,500000,510000,540000)
log_df <- data.frame(
Mes = meses,
Ingreso_Subsidiados = ingreso_subsidiados,
Ingreso_Particulares = ingreso_particulares
)
log_df## Mes Ingreso_Subsidiados Ingreso_Particulares
## 1 Ene 540000 350000
## 2 Feb 585000 375000
## 3 Mar 630000 400000
## 4 Abr 615000 390000
## 5 May 660000 425000
## 6 Jun 690000 450000
## 7 Jul 720000 460000
## 8 Ago 705000 440000
## 9 Sep 735000 475000
## 10 Oct 750000 500000
## 11 Nov 765000 510000
## 12 Dic 780000 540000Gráfica lognormal
par(mfrow = c(1, 2))
mu_sub <- mean(log(ingreso_subsidiados))
sd_sub <- sd(log(ingreso_subsidiados))
mu_par <- mean(log(ingreso_particulares))
sd_par <- sd(log(ingreso_particulares))
x1 <- seq(0.1, max(ingreso_subsidiados) * 1.1, length.out = 300)
y1 <- dlnorm(x1, meanlog = mu_sub, sdlog = sd_sub)
x2 <- seq(0.1, max(ingreso_particulares) * 1.1, length.out = 300)
y2 <- dlnorm(x2, meanlog = mu_par, sdlog = sd_par)
plot(x1, y1,
type = "l", col = "brown", lwd = 2,
main = "Lognormal - Subsidiados",
xlab = "Ingreso mensual", ylab = "Densidad")
plot(x2, y2,
type = "l", col = "darkgreen", lwd = 2,
main = "Lognormal - Particulares",
xlab = "Ingreso mensual", ylab = "Densidad")
par(mfrow = c(1, 1))#———————————————————————————————————-
## Warning: package 'kableExtra' was built under R version 4.5.3| Meses | Ingreso_subsidiado | Ingreso_Particulares |
|---|---|---|
| Ene | 540000 | 350000 |
| Feb | 585000 | 375000 |
| Mar | 630000 | 400000 |
| Abr | 615000 | 390000 |
| May | 660000 | 425000 |
| Jun | 690000 | 450000 |
| Jul | 720000 | 46000 |
| Ago | 705000 | 440000 |
| Sep | 735000 | 475000 |
| Oct | 750000 | 500000 |
| Nov | 765000 | 510000 |
| Dec | 780000 | 540000 |
#———————————————————————————————————- ## Modelación de comportamiento
Para este caso, se observa el comportamiento de los ingresos mensuales durante un año. En los datos simulados, los pacientes subsidiados generan un ingreso mensual promedio mayor que los pacientes particulares, porque su volumen de atención es más alto. Sin embargo, los particulares pueden aportar mayor valor por consulta o evento. Esta comparación permite analizar cuál grupo tiene mayor impacto económico en la institución.
2. Distribución Gaussiana
Definición
La distribución gaussiana o normal describe variables que se concentran alrededor de un promedio. Su forma es simétrica y se usa frecuentemente para tiempos de atención, medidas físicas y valores observados alrededor de una media central.
Fórmula
\[ f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]
Algoritmo en R
gaussiana_manual <- function(x, mu, sigma) {
if (sigma <= 0) return(0)
return((1 / (sigma * sqrt(2 * pi))) * exp(-((x - mu)^2) / (2 * sigma^2)))
}Comparación con R
gaussiana_manual(40, 35, 6)## [1] 0.04698531dnorm(40, mean = 35, sd = 6)## [1] 0.04698531Tabla de datos
trabajador <- c("Medico tradicional","Partera","Enfermera","Fisioterapeuta","Facturacion")
tiempo_estimado <- c(25, 35, 18, 45, 8)
desviacion <- c(5, 7, 4, 10, 2)
gauss_df <- data.frame(
Trabajador = trabajador,
Tiempo_Estimado_Min = tiempo_estimado,
Desviacion_Estandar = desviacion
)
gauss_df## Trabajador Tiempo_Estimado_Min Desviacion_Estandar
## 1 Medico tradicional 25 5
## 2 Partera 35 7
## 3 Enfermera 18 4
## 4 Fisioterapeuta 45 10
## 5 Facturacion 8 2Gráfica por trabajador
barplot(tiempo_estimado,
names.arg = trabajador,
col = c("brown","darkorange","goldenrod","steelblue","darkgreen"),
main = "Tiempo estimado de atención por trabajador",
ylab = "Minutos",
las = 2)
3. Distribución Chi cuadrado
Algoritmo en R
chi_cuadrado_manual <- function(O, E) {
suma <- 0
for (i in 1:length(O)) {
suma <- suma + ((O[i] - E[i])^2) / E[i]
}
return(suma)
}Comparación con R
observado <- c(22, 28, 19, 31, 24)
esperado <- c(20, 25, 20, 30, 25)
chi_cuadrado_manual(observado, esperado)## [1] 0.6833333sum((observado - esperado)^2 / esperado)## [1] 0.6833333Gráficas
chi_df <- data.frame(
Categoria = c("Tiempo1","Tiempo2","Tiempo3","Tiempo4","Tiempo5"),
Observado = observado,
Esperado = esperado
)
par(mfrow = c(1, 2))
barplot(rbind(observado, esperado),
beside = TRUE,
col = c("brown","skyblue"),
names.arg = chi_df$Categoria,
main = "Tiempos observados y esperados",
ylab = "Minutos")
legend("topright", legend = c("Observado","Esperado"),
fill = c("brown","skyblue"))
costos_obs <- c(120000, 135000, 110000, 150000, 128000)
costos_exp <- c(115000, 130000, 115000, 145000, 125000)
barplot(rbind(costos_obs, costos_exp),
beside = TRUE,
col = c("darkred","gray"),
names.arg = chi_df$Categoria,
main = "Costos observados y esperados",
ylab = "COP")
legend("topright", legend = c("Observado","Esperado"),
fill = c("darkred","gray"))
par(mfrow = c(1, 1))4. Distribución Poisson
Algoritmo en R
poisson_manual <- function(x, lambda) {
return((lambda^x * exp(-lambda)) / factorial(x))
}Comparación con R
poisson_manual(10, 7)## [1] 0.07098327dpois(10, 7)## [1] 0.07098327Data frame
atenciones_eps <- c(14, 15, 13, 16, 14, 18, 17, 19, 18, 20, 21, 22)
atenciones_particulares <- c(6, 7, 5, 8, 7, 9, 8, 10, 9, 11, 10, 12)
ventas_eps <- c(20, 22, 19, 24, 21, 25, 23, 26, 24, 27, 28, 30)
ventas_particulares <- c(11, 12, 10, 13, 12, 14, 13, 15, 14, 16, 15, 17)
pois_df <- data.frame(
Mes = meses,
Atenciones_EPS = atenciones_eps,
Atenciones_Particulares = atenciones_particulares,
Ventas_Medicamentos_EPS = ventas_eps,
Ventas_Medicamentos_Particulares = ventas_particulares
)
pois_df## Mes Atenciones_EPS Atenciones_Particulares Ventas_Medicamentos_EPS
## 1 Ene 14 6 20
## 2 Feb 15 7 22
## 3 Mar 13 5 19
## 4 Abr 16 8 24
## 5 May 14 7 21
## 6 Jun 18 9 25
## 7 Jul 17 8 23
## 8 Ago 19 10 26
## 9 Sep 18 9 24
## 10 Oct 20 11 27
## 11 Nov 21 10 28
## 12 Dic 22 12 30
## Ventas_Medicamentos_Particulares
## 1 11
## 2 12
## 3 10
## 4 13
## 5 12
## 6 14
## 7 13
## 8 15
## 9 14
## 10 16
## 11 15
## 12 17Gráfica
k <- 0:15
y_eps <- dpois(k, lambda = mean(atenciones_eps))
y_part <- dpois(k, lambda = mean(atenciones_particulares))
plot(k, y_eps, type = "b", col = "brown", pch = 16, lwd = 2,
main = "Poisson: pacientes atendidos por hora",
xlab = "Número de pacientes", ylab = "Probabilidad")
lines(k, y_part, type = "b", col = "darkgreen", pch = 16, lwd = 2)
legend("topright",
legend = c("EPS","Particulares"),
col = c("brown","darkgreen"),
lty = 1, pch = 16)
5. Distribución Exponencial
Algoritmo en R
exponencial_manual <- function(x, lambda) {
if (x < 0 || lambda <= 0) return(0)
return(lambda * exp(-lambda * x))
}Comparación con R
exponencial_manual(5, 1/12)## [1] 0.05493672dexp(5, rate = 1/12)## [1] 0.05493672Data frame
proceso <- c("Facturacion EPS","Facturacion Particular","Medico Tradicional","Partera","Enfermera","Fisioterapeuta")
tiempo_espera <- c(6, 9, 12, 18, 10, 25)
exp_df <- data.frame(
Proceso = proceso,
Tiempo_Espera_Promedio_Min = tiempo_espera
)
exp_df## Proceso Tiempo_Espera_Promedio_Min
## 1 Facturacion EPS 6
## 2 Facturacion Particular 9
## 3 Medico Tradicional 12
## 4 Partera 18
## 5 Enfermera 10
## 6 Fisioterapeuta 25Gráfica
plot(1:length(proceso), tiempo_espera, type = "b", col = "brown", pch = 16, lwd = 2,
main = "Tiempos de espera promedio por proceso",
xlab = "Proceso", ylab = "Minutos", xaxt = "n")
axis(1, at = 1:length(proceso), labels = proceso, las = 2)
Conclusiones
El desarrollo de los algoritmos manuales permitió comparar cada distribución con la función nativa de R y verificar resultados consistentes. Además, el contexto de la Casa de Plantas Medicinales El Frailejón permitió aplicar las distribuciones a situaciones reales de atención, farmacia, facturación y producción.
La distribución lognormal resultó útil para estudiar ingresos positivos y asimétricos; la gaussiana sirvió para modelar tiempos promedio de atención; chi cuadrado permitió comparar observados y esperados; Poisson modeló el número de eventos; y la exponencial describió los tiempos entre llegadas de pacientes.
Referencias
- Manuales de R y funciones de distribución estadística. - Material de clase. - Documento guía de exposición. - Contexto institucional de la Casa de Plantas Medicinales El Frailejón.