Aufgabenstellung

Berechnen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche für die folgenden drei Funktionen.

Wir nutzen dazu das bestimmte Integral. Die Grundidee ist: \[ \text{Fläche} = \int_{a}^{b} (\text{obere Funktion} - \text{untere Funktion}) \, dx \]

a) Die Parabel-Funktion

Gegeben: * Funktion: \(f(x) = \frac{1}{4}x^2\) * Die Fläche wird oben durch die Gerade \(y = 4\) und unten durch die Funktion \(f(x)\) begrenzt. * Die Fläche beginnt bei \(x = 0\).

Schritt 1: Integrationsgrenzen bestimmen

Die rechte Grenze ist der Schnittpunkt von \(f(x)\) und \(y=4\). \[ \frac{1}{4}x^2 = 4 \quad | \cdot 4 \] \[ x^2 = 16 \quad | \sqrt{} \] \[ x = 4 \quad (\text{da } x > 0) \] Das Integrationsintervall ist also \[[0; 4]\].

Schritt 2: Integral aufstellen und lösen

Da die Gerade \[y=4\] oberhalb der Parabel liegt, subtrahieren wir die Funktion von der Geraden: \[ A = \int_{0}^{4} \left( 4 - \frac{1}{4}x^2 \right) \, dx \]

Manuelle Rechnung (Stammfunktion bilden): Die Stammfunktion von $4\[ ist \]4x$. Die Stammfunktion von \[-\frac{1}{4}x^2\] ist \[-\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}x^3 = -\frac{1}{12}x^3\].

\[ A = \left[ 4x - \frac{1}{12}x^3 \right]_{0}^{4} \]

Grenzen einsetzen: \[ A = \left( 4 \cdot 4 - \frac{1}{12} \cdot 4^3 \right) - (0 - 0) \] \[ A = 16 - \frac{64}{12} = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48}{3} - \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \approx 10,67 \]

Schritt 3: Überprüfung mit R

# Definition der Funktion
f_a <- function(x) { (1/4) * x^2 }

# Berechnung des Integrals von 0 bis 4
# Wir integrieren (Obere Grenze - Untere Funktion) -> (4 - f(x))
integral_a <- integrate(function(x) 4 - f_a(x), lower = 0, upper = 4)

# Ergebnis ausgeben
cat("Der berechnete Flächeninhalt für Aufgabe a) beträgt:", integral_a$value, "FE")
## Der berechnete Flächeninhalt für Aufgabe a) beträgt: 10.66667 FE
  1. Die Exponentialfunktion

Gegeben:

Funktion: \(f(x) = 4 \cdot e^{-x}\) Die Fläche wird oben durch die Funktion \(f(x)\) und unten durch die x-Achse (\(y=0\)) begrenzt. Intervall: Von \(x = 1\) bis \(x = 4\) (laut Grafik).

Schritt 3: Überprüfung mit R

# Definition der Funktion
f_b <- function(x) { 4 * exp(-x) }

# Berechnung des Integrals von 1 bis 4
integral_b <- integrate(f_b, lower = 1, upper = 4)

# Ergebnis ausgeben
cat("Der berechnete Flächeninhalt für Aufgabe b) beträgt:", round(integral_b$value, 4), "FE")
## Der berechnete Flächeninhalt für Aufgabe b) beträgt: 1.3983 FE
  1. Die Sinus-Funktion

Gegeben:

Funktion: \(f(x) = 4 \cdot \sin(x)\) Die Fläche liegt zwischen der Geraden \(y = 4\) (oben) und der Funktion (unten). Die Fläche beginnt bei der y-Achse (\(x=0\)). Schritt 1: Integrationsgrenzen bestimmen

Die rechte Grenze ist der Schnittpunkt, an dem die Sinus-Kurve ihr Maximum bei \(y=4\) erreicht. 4 ⋅ sin ⁡ ( x ) = 4 4⋅sin(x)=4 sin ⁡ ( x ) = 1 sin(x)=1 Im ersten Quadranten ist dies bei x = π 2 x= 2 π ​
(ca. 1,57). Intervall: [ 0 ; π 2] [0; 2 π]

Schritt 3: Überprüfung mit R

# Definition der Funktion
f_c <- function(x) { 4 * sin(x) }

# Berechnung des Integrals von 0 bis pi/2
# Obere Grenze ist 4, untere Grenze ist f_c(x)
integral_c <- integrate(function(x) 4 - f_c(x), lower = 0, upper = pi/2)

# Ergebnis ausgeben
cat("Der berechnete Flächeninhalt für Aufgabe c) beträgt:", round(integral_c$value, 4), "FE")
## Der berechnete Flächeninhalt für Aufgabe c) beträgt: 2.2832 FE

Zusammenfassung der Ergebnisse

Aufgabe Funktionsterm zur Integration Intervall Exaktes Ergebnis Numerisches Ergebnis:

  1. \(4 - \frac{1}{4}x^2\) \([0; 4]\) –> 10.66667 FE

  2. \(4 \cdot e^{-x}\) \([1; 4]\) –> 1.3983 FE

  3. \(4 - 4\sin(x)\) \([0; \pi/2]\) –> 2.2832 FE