Übung 6 - Aufgabe 5: Bestimmte Integrale berechnen

Aufgabenstellung

Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale:

  1. \(\int_{-1}^{3} (x^2 - 4x) \, dx\)

  2. \(\int_{3}^{5} 2x^{-3} \, dx\)

  3. \(\int_{1}^{2} (5 - x^{-2}) \, dx\)

  4. \(\int_{-2}^{3} \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) \, dx\)

Lösungsschritte

a) \(\int_{-1}^{3} (x^2 - 4x) \, dx\)

Schritt 1: Stammfunktion bestimmen

Für \(x^2\): \(\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}\)

Für \(-4x\): \(\int -4x \, dx = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2\)

Stammfunktion: \(F(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2\)

Schritt 2: Grenzen einsetzen

\(F(3) = \frac{3^3}{3} - 2 \cdot 3^2 = \frac{27}{3} - 2 \cdot 9 = 9 - 18 = -9\)

\(F(-1) = \frac{(-1)^3}{3} - 2 \cdot (-1)^2 = \frac{-1}{3} - 2 \cdot 1 = -\frac{1}{3} - 2 = -\frac{7}{3}\)

Schritt 3: Differenz bilden

\(\int_{-1}^{3} (x^2 - 4x) \, dx = F(3) - F(-1) = -9 - \left(-\frac{7}{3}\right) = -9 + \frac{7}{3} = -\frac{27}{3} + \frac{7}{3} = -\frac{20}{3}\)

Ergebnis: \(-\frac{20}{3} \approx -6,67\)

b) \(\int_{3}^{5} 2x^{-3} \, dx\)

Schritt 1: Stammfunktion bestimmen

\(\int 2x^{-3} \, dx = 2 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\)

Stammfunktion: \(F(x) = -\frac{1}{x^2}\)

Schritt 2: Grenzen einsetzen

\(F(5) = -\frac{1}{5^2} = -\frac{1}{25}\)

\(F(3) = -\frac{1}{3^2} = -\frac{1}{9}\)

Schritt 3: Differenz bilden

\(\int_{3}^{5} 2x^{-3} \, dx = F(5) - F(3) = -\frac{1}{25} - \left(-\frac{1}{9}\right) = -\frac{1}{25} + \frac{1}{9}\)

Hauptnenner: \(25 \cdot 9 = 225\)

\(= -\frac{9}{225} + \frac{25}{225} = \frac{16}{225}\)

Ergebnis: \(\frac{16}{225} \approx 0,071\)

c) \(\int_{1}^{2} (5 - x^{-2}) \, dx\)

Schritt 1: Stammfunktion bestimmen

Für \(5\): \(\int 5 \, dx = 5x\)

Für \(-x^{-2}\): \(\int -x^{-2} \, dx = -\frac{x^{-1}}{-1} = \frac{1}{x}\)

Stammfunktion: \(F(x) = 5x + \frac{1}{x}\)

Schritt 2: Grenzen einsetzen

\(F(2) = 5 \cdot 2 + \frac{1}{2} = 10 + 0,5 = 10,5\)

\(F(1) = 5 \cdot 1 + \frac{1}{1} = 5 + 1 = 6\)

Schritt 3: Differenz bilden

\(\int_{1}^{2} (5 - x^{-2}) \, dx = F(2) - F(1) = 10,5 - 6 = 4,5\)

Ergebnis: \(4,5\) oder \(\frac{9}{2}\)

d) \(\int_{-2}^{3} \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) \, dx\)

Schritt 1: Stammfunktion bestimmen

Bei \(\sin(kx)\) ist die Stammfunktion \(-\frac{1}{k}\cos(kx)\)

Hier: \(k = \frac{\pi}{2}\), also \(\frac{1}{k} = \frac{2}{\pi}\)

Stammfunktion: \(F(x) = -\frac{2}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)\)

Schritt 2: Grenzen einsetzen

\(F(3) = -\frac{2}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{2} \cdot 3\right) = -\frac{2}{\pi}\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -\frac{2}{\pi} \cdot 0 = 0\)

\(F(-2) = -\frac{2}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{2} \cdot (-2)\right) = -\frac{2}{\pi}\cos(-\pi) = -\frac{2}{\pi} \cdot (-1) = \frac{2}{\pi}\)

Schritt 3: Differenz bilden

\(\int_{-2}^{3} \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) \, dx = F(3) - F(-2) = 0 - \frac{2}{\pi} = -\frac{2}{\pi}\)

Ergebnis: \(-\frac{2}{\pi} \approx -0,637\)

Zusammenfassung der Ergebnisse

Aufgabe Exaktes Ergebnis Dezimalwert
a) \(-\frac{20}{3}\) \(-6,67\)
b) \(\frac{16}{225}\) \(0,071\)
c) \(\frac{9}{2}\) \(4,5\)
d) \(-\frac{2}{\pi}\) \(-0,637\)

Wichtige Hinweise für die 12. Klasse

  1. Stammfunktion bilden: Potenzregel \(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\) (für \(n \neq -1\))
  2. Konstanten: \(\int k \, dx = kx\)
  3. Trigonometrie: \(\int \sin(kx) \, dx = -\frac{1}{k}\cos(kx)\)
  4. Grenzen einsetzen: Immer \(F(\text{obere}) - F(\text{untere})\)
  5. Vorzeichen beachten: Besonders bei negativen Exponenten und Grenzen!