Analysis: Eigenschaften von Stammfunktionen verstehen

Lösung zu Übung 6 - Aufgabe 12

1. Die Aufgabenstellung

Gegeben ist der Graph einer Funktion \(f\) im Intervall \([-2; 2]\). Wir sollen beurteilen, ob bestimmte Aussagen über den Graphen \(K\) einer Stammfunktion von \(f\) wahr, falsch oder nur manchmal wahr sind.

Wichtig zu wissen: Wenn \(K\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, dann gilt: \[K'(x) = f(x)\]

Das bedeutet für die Interpretation des Graphen: * Der y-Wert von \(f\) ist die Steigung von \(K\). * \(f(x) > 0\) (oberhalb der x-Achse) \(\rightarrow\) \(K\) steigt. * \(f(x) < 0\) (unterhalb der x-Achse) \(\rightarrow\) \(K\) fällt. * \(f(x) = 0\) (Nullstelle) \(\rightarrow\) \(K\) hat eine waagerechte Tangente (potenzieller Extrempunkt). * Die Steigung von \(f\) bestimmt die Krümmung von \(K\). * \(f\) steigt \(\rightarrow\) \(K\) ist linksgekrümmt (Konvex). * \(f\) fällt \(\rightarrow\) \(K\) ist rechtsgekrümmt (Konkav). * Extremstellen von \(f\) \(\rightarrow\) Wendestellen von \(K\).

2. Schritt-für-Schritt Analyse der Aussagen

Aussage A: K hat drei Extrempunkte.

  • Überlegung: Ein Extrempunkt von \(K\) liegt dort vor, wo die Ableitung \(K'\) (also \(f\)) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat.
  • Beobachtung im Graphen: Wir suchen die Schnittpunkte des Graphen von \(f\) mit der x-Achse.
    1. Ca. bei \(x \approx -1,8\) (Wechsel von \(-\) nach \(+\)).
    2. Ca. bei \(x \approx 1,1\) (Wechsel von \(+\) nach \(-\)).
    3. Ca. bei \(x \approx 1,6\) (Wechsel von \(-\) nach \(+\)).
  • Ergebnis: Da es drei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel gibt, hat jede Stammfunktion \(K\) genau drei Extrempunkte.
  • Entscheidung: WAHR

Aussage B: K besitzt den Hochpunkt H(1|4).

  • Überlegung: Damit bei \(x=1\) ein Hochpunkt liegt, muss zwei Bedingungen erfüllt sein:
    1. Die Steigung muss null sein (\(f(1) = 0\)).
    2. Der y-Wert des Punktes muss 4 sein.
  • Beobachtung im Graphen:
    • An der Stelle \(x=1\) hat der Graph von \(f\) einen positiven Wert (ca. \(0,5\)). Er ist nicht null. Das bedeutet, \(K\) steigt an dieser Stelle noch und hat dort keinen Extrempunkt.
    • Zudem können wir den y-Wert einer Stammfunktion nie exakt bestimmen, da er von der Integrationskonstante \(C\) abhängt (\(K(x) = \int f(x)dx + C\)).
  • Ergebnis: Die Bedingung für einen Extrempunkt ist an \(x=1\) nicht erfüllt.
  • Entscheidung: FALSCH

Aussage C: K hat drei Wendepunkte.

  • Überlegung: Wendepunkte von \(K\) entsprechen den Extremstellen (Hoch- oder Tiefpunkten) von \(f\). Dort ändert sich die Monotonie von \(f\) und somit die Krümmung von \(K\).
  • Beobachtung im Graphen: Wir zählen die Hoch- und Tiefpunkte von \(f\):
    1. Ein Hochpunkt bei \(x \approx -1\).
    2. Ein Tiefpunkt bei \(x \approx 1,4\).
    • (Der Verlauf dazwischen ist ein durchgehendes Fallen ohne weiteren klaren Extrempunkt).
  • Ergebnis: Der Graph von \(f\) besitzt im sichtbaren Intervall nur zwei Extremstellen. Folglich hat \(K\) nur zwei Wendepunkte.
  • Entscheidung: FALSCH

Aussage D: Bis x = 1 steigt der Graph K streng monoton.

  • Überlegung: \(K\) steigt streng monoton in allen Bereichen, in denen \(f(x) > 0\) ist. Die Aussage behauptet, dies gelte für den gesamten Bereich “bis \(x=1\)” (also ab dem Start des Intervalls).
  • Beobachtung im Graphen:
    • Im Intervall von \(x = -2\) bis ca. \(x = -1,8\) verläuft der Graph von \(f\) unterhalb der x-Achse (\(f(x) < 0\)).
    • In diesem kurzen Abschnitt fällt \(K\) also.
  • Ergebnis: Da \(K\) am linken Rand des Intervalls fällt, steigt es nicht durchgehend bis \(x=1\).
  • Entscheidung: FALSCH

Aussage E: K ist im Intervall [-1; 1] linksgekrümmt.

  • Überlegung: Linksgekrümmt bedeutet, dass die Steigung zunimmt. Das ist der Fall, wenn die Ableitungsfunktion \(f\) in diesem Intervall steigt.
  • Beobachtung im Graphen:
    • Im Intervall \([-1; 1]\) beginnt \(f\) bei einem Hochpunkt (bei \(x=-1\)) und fällt danach bis zum Wert bei \(x=1\).
    • Da \(f\) fällt, ist die Krümmung von \(K\) rechtsgekrümmt (Konkav).
  • Ergebnis: Die Krümmung ist genau entgegengesetzt zur Behauptung.
  • Entscheidung: FALSCH

Aussage F: K liegt im Intervall I über der x-Achse.

  • Überlegung: Diese Aussage bezieht sich auf die absolute Lage des Graphen (die y-Werte).
  • Mathematischer Hintergrund: Eine Stammfunktion ist keine einzelne Funktion, sondern eine Schar von Funktionen: \(K(x) = \int f(x) dx + C\).
    • Die Konstante \(C\) verschiebt den Graphen senkrecht nach oben oder unten.
    • Wir können \(C\) so wählen (z.B. ein sehr großes negatives \(C\)), dass der gesamte Graph \(K\) unterhalb der x-Achse liegt.
  • Ergebnis: Die Aussage gilt nicht für jede Stammfunktion, sondern nur für jene mit einem ausreichend großen positiven \(C\).
  • Entscheidung: NUR MANCHMAL WAHR

3. Zusammenfassung

Aussage Ergebnis Kurze Begründung
A Wahr \(f\) hat 3 Nullstellen mit Vorzeichenwechsel.
B Falsch Bei \(x=1\) ist \(f(x) \neq 0\) (keine waagerechte Tangente).
C Falsch \(f\) hat nur 2 Extremstellen (Hoch- und Tiefpunkt).
D Falsch \(f\) ist im Bereich \([-2; -1,8]\) negativ (K fällt dort).
E Falsch \(f\) fällt im Intervall \([-1; 1]\) (K ist rechtsgekrümmt).
F Manchmal Hängt von der Integrationskonstante \(C\) ab.