1 📐 PARTE XI — SERIES MATEMÁTICAS: TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS

1.1 La suma de los términos de una sucesión

📐 INTRODUCCIÓN — ¿QUÉ ES UNA SERIE?

∑📊🔢

Definición: Dada una sucesión infinita \(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\), la expresión

\[ a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n + \cdots \]

se denomina serie infinita (o simplemente serie) y se denota por

\[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n \]

Ejemplo clásico: \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1\)

2 📐 PARTE A — SERIES GEOMÉTRICAS

🎯 TEORÍA — SERIE GEOMÉTRICA

📐🔢∑

Definición: Una serie geométrica tiene la forma

\[ \sum_{n=0}^{\infty} a r^n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots \]

donde \(a\) es el primer término y \(r\) es la razón.

Criterio de convergencia:

• La serie geométrica converge si \(|r| < 1\) (es decir, \(-1 < r < 1\)).
• La serie geométrica diverge si \(|r| \ge 1\).

Fórmula de la suma (cuando converge):

\[ S = \frac{a}{1 - r} \]

📌 Observación: El índice de inicio puede ser \(n=0\) o \(n=1\). Hay que identificar correctamente el primer término.

2.1 📝 EJERCICIOS RESUELTOS — SERIES GEOMÉTRICAS

✅ EJERCICIO 1 (Geométrica — página 5)

Enunciado: \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{5^{n-1}}\)

Paso 1 — Identificar \(a\) y \(r\):

Escribimos los primeros términos:
\(n=1\): \(\frac{3}{5^{0}} = 3\)
\(n=2\): \(\frac{3}{5^{1}} = \frac{3}{5}\)
\(n=3\): \(\frac{3}{5^{2}} = \frac{3}{25}\)
Es una geométrica con \(a = 3\) y \(r = \frac{1}{5}\).

Paso 2 — Verificar convergencia:

\(|r| = \frac{1}{5} < 1\) → Converge.

Paso 3 — Calcular la suma:

\[ S = \frac{a}{1 - r} = \frac{3}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{3}{\frac{4}{5}} = 3 \times \frac{5}{4} = \frac{15}{4} = 3.75 \]

✅ Respuesta: \(\displaystyle \frac{15}{4}\)

✅ EJERCICIO 2 (Geométrica — página 5)

Enunciado: \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2n}\)

Paso 1 — Simplificar el término general:

\[ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2n} = \left(\frac{1}{2}\right)^n \]

Paso 2 — Identificar \(a\) y \(r\):

Para \(n=0\): término = \(1\) → \(a = 1\)
\(r = \frac{1}{2}\)

Paso 3 — Verificar convergencia:

\(|r| = \frac{1}{2} < 1\) → Converge.

Paso 4 — Calcular la suma:

\[ S = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \]

✅ Respuesta: \(\displaystyle 2\)

✅ EJERCICIO 3 (Geométrica — página 5)

Enunciado: \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 2 \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\)

Paso 1 — Identificar \(a\) y \(r\):

La serie es de la forma \(\sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1}\).
Primer término (\(n=1\)): el exponente es \(0\) → \(a = 2\).
\(r = \frac{1}{3}\).

Paso 2 — Calcular la suma:

\[ S = \frac{a}{1 - r} = \frac{2}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{2}{\frac{2}{3}} = 2 \times \frac{3}{2} = 3 \]

✅ Respuesta: \(\displaystyle 3\)

✅ EJERCICIO 4 (Geométrica — página 5)

Enunciado: \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{5^n - 1}\) (¡Cuidado! Esta NO es geométrica)

⚠️ Nota importante: Esta serie tiene término general \(\frac{3}{5^n - 1}\). No es de la forma \(a r^{n-1}\) porque hay un \(-1\) en el denominador. Por lo tanto, no es una serie geométrica y no podemos aplicar la fórmula \(\frac{a}{1-r}\). Se requieren otros métodos (comparación, fracciones parciales, etc.).

Estudio de convergencia (por comparación):

Para \(n\) grande, \(5^n - 1 \sim 5^n\), entonces \(\frac{3}{5^n - 1} \sim \frac{3}{5^n}\).
La serie \(\sum \frac{3}{5^n}\) es geométrica convergente (\(r=\frac{1}{5}<1\)).
Por el criterio de comparación, la serie converge, pero no podemos calcular su suma exacta con la fórmula geométrica simple.

✅ Respuesta: La serie CONVERGE (pero no es geométrica pura).

3 📐 PARTE B — SERIES TELESCÓPICAS

🎯 TEORÍA — SERIE TELESCÓPICA

🔭∑📐

Definición: Una serie \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) se llama telescópica cuando existe una sucesión \(\{b_n\}\) tal que

\[ a_n = b_n - b_{n+1} \quad \text{o} \quad a_n = b_{n+1} - b_n \]

Formas comunes:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} (b_n - b_{n+1}) \qquad \text{o} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (b_{n+1} - b_n) \]

Convergencia y suma:

La serie telescópica \(\sum_{n=1}^{\infty} (b_n - b_{n+1})\) converge si y solo si existe \(\lim_{n \to \infty} b_n\) finito, y en ese caso:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} (b_n - b_{n+1}) = b_1 - \lim_{n \to \infty} b_n \]

📌 La suma “telescopia” porque los términos intermedios se cancelan:

\((b_1 - b_2) + (b_2 - b_3) + (b_3 - b_4) + \cdots = b_1 - \lim_{n\to\infty} b_n\)

3.1 📝 EJERCICIOS RESUELTOS — SERIES TELESCÓPICAS

✅ EJERCICIO 1 (Telescópica — página 12)

Enunciado: \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)\)

Paso 1 — Identificar \(b_n\):

Aquí \(b_n = \frac{1}{n}\), entonces \(b_{n+1} = \frac{1}{n+1}\).
La serie es \(\sum (b_n - b_{n+1})\).

Paso 2 — Calcular la suma telescópica:

\[ S_N = \sum_{n=1}^{N} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N} - \frac{1}{N+1}\right) = 1 - \frac{1}{N+1} \]

Paso 3 — Tomar límite:

\[ S = \lim_{N \to \infty} S_N = \lim_{N \to \infty} \left(1 - \frac{1}{N+1}\right) = 1 \]

✅ Respuesta: \(\displaystyle 1\)

✅ EJERCICIO 2 (Telescópica — página 12)

Enunciado: \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}\)

Paso 1 — Descomponer en fracciones parciales:

\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \]

Paso 2 — Identificar la forma telescópica:

Es el mismo ejercicio anterior: \(\sum \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1\).

✅ Respuesta: \(\displaystyle 1\)

✅ EJERCICIO 3 (Telescópica — página 12)

Enunciado: \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2^n} - \frac{1}{2^{n+1}}\right)\)

Paso 1 — Identificar \(b_n\):

\(b_n = \frac{1}{2^n}\), entonces \(b_{n+1} = \frac{1}{2^{n+1}}\).
Es telescópica: \(\sum (b_n - b_{n+1})\).

Paso 2 — Calcular la suma:

\[ S_N = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{8}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2^N} - \frac{1}{2^{N+1}}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{N+1}} \] \[ S = \lim_{N \to \infty} \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2^{N+1}}\right) = \frac{1}{2} \]

✅ Respuesta: \(\displaystyle \frac{1}{2}\)

✅ EJERCICIO 4 (Telescópica — página 12)

Enunciado: \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{4n^2 - 1}\)

Paso 1 — Factorizar el denominador:

\(4n^2 - 1 = (2n - 1)(2n + 1)\)

Paso 2 — Descomponer en fracciones parciales:

\[ \frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1} \] \[ 2 = A(2n+1) + B(2n-1) \] Resolviendo: \(A=1, B=-1\) → \(\frac{2}{4n^2-1} = \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\)

Paso 3 — Calcular la suma telescópica:

\[ S_N = \sum_{n=1}^{N} \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) \] Escribiendo los primeros términos:
\(n=1\): \(1 - \frac{1}{3}\)
\(n=2\): \(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\)
\(n=3\): \(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\)
…
\(n=N\): \(\frac{1}{2N-1} - \frac{1}{2N+1}\)
Se cancelan los términos intermedios: \(S_N = 1 - \frac{1}{2N+1}\)

Paso 4 — Tomar límite:

\[ S = \lim_{N \to \infty} \left(1 - \frac{1}{2N+1}\right) = 1 \]

✅ Respuesta: \(\displaystyle 1\)

✅ EJERCICIO 5 (Telescópica — página 12)

Enunciado: \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^2+3n+2}\)

Paso 1 — Factorizar el denominador:

\(n^2 + 3n + 2 = (n+1)(n+2)\)

Paso 2 — Descomponer en fracciones parciales:

\[ \frac{2}{(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n+1} + \frac{B}{n+2} \] \[ 2 = A(n+2) + B(n+1) \] Resolviendo: \(A=2, B=-2\) → \(\frac{2}{(n+1)(n+2)} = \frac{2}{n+1} - \frac{2}{n+2}\)

Paso 3 — Calcular la suma telescópica:

\[ S_N = \sum_{n=1}^{N} \left(\frac{2}{n+1} - \frac{2}{n+2}\right) \] \(n=1\): \(\frac{2}{2} - \frac{2}{3}\)
\(n=2\): \(\frac{2}{3} - \frac{2}{4}\)
\(n=3\): \(\frac{2}{4} - \frac{2}{5}\)
⋯
\(n=N\): \(\frac{2}{N+1} - \frac{2}{N+2}\)
Se cancelan: \(S_N = 1 - \frac{2}{N+2}\)

Paso 4 — Tomar límite:

\[ S = \lim_{N \to \infty} \left(1 - \frac{2}{N+2}\right) = 1 \]

✅ Respuesta: \(\displaystyle 1\)

4 📐 PARTE C — SERIES ALTERNANTES

🎯 TEORÍA — SERIE ALTERNANTE

➕➖∑

Definición: Una serie se dice alternante cuando sus términos son alternativamente positivos y negativos. Si \(a_n > 0\) para todo \(n\), entonces las series alternantes pueden ser:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots \] \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} a_n = -a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - \cdots \]

Criterio de convergencia para series alternantes (Leibniz):

Una serie alternante \(\sum (-1)^{n+1} a_n\) converge si cumple ambas condiciones:

  1. \(a_{n+1} \le a_n\) para todo \(n\) (los términos decrecen en valor absoluto).
  2. \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 0\).

📌 Si alguna condición falla, la serie puede converger condicionalmente o divergir.

4.1 📝 EJERCICIOS RESUELTOS — SERIES ALTERNANTES (página 10)

✅ EJERCICIO 1 — \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{n}\)

Paso 1 — Identificar \(a_n\):

\(a_n = \frac{1}{n}\) (serie armónica alternante)

Paso 2 — Verificar condiciones de Leibniz:

  1. \(a_{n+1} = \frac{1}{n+1} \le \frac{1}{n} = a_n\) ✅ (decreciente)
  2. \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\) ✅

Paso 3 — Conclusión:

La serie converge (condicionalmente). Su suma es \(\ln 2\).

✅ Respuesta: CONVERGE

✅ EJERCICIO 2 — \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{n}{n^2+1}\)

Paso 1 — Identificar \(a_n\):

\(a_n = \frac{n}{n^2+1}\)

Paso 2 — Verificar condiciones de Leibniz:

  1. Decaimiento: \(a_{n+1} \le a_n\)? Verificamos:
    \(a_n = \frac{n}{n^2+1}\). Para \(n\) grande, \(a_n \sim \frac{1}{n}\), decreciente. ✅
  2. \(\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2+1} = 0\) ✅

Paso 3 — Conclusión:

La serie converge.

✅ Respuesta: CONVERGE

✅ EJERCICIO 3 — \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{n+2}{n+1}\)

Paso 1 — Identificar \(a_n\):

\(a_n = \frac{n+2}{n+1} = 1 + \frac{1}{n+1}\)

Paso 2 — Verificar condiciones de Leibniz:

  1. Condición de decaimiento: \(\frac{n+2}{n+1}\) tiende a 1, no decrece a 0.
  2. \(\lim_{n \to \infty} a_n = 1 \neq 0\) ❌ (falla la condición 2)

Paso 3 — Conclusión:

Como \(\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0\), la serie diverge (por el criterio del término general).

✅ Respuesta: DIVERGE

✅ EJERCICIO 4 — \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \left(-\frac{1}{2}\right)^n\)

Paso 1 — Simplificar:

\((-1)^{n+1} \cdot (-1)^n \cdot \frac{1}{2^n} = (-1)^{2n+1} \cdot \frac{1}{2^n} = (-1) \cdot \frac{1}{2^n}\)

Paso 2 — Reescribir la serie:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1) \cdot \frac{1}{2^n} = -\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n \]

Paso 3 — Es una serie geométrica con \(r = \frac{1}{2} < 1\):

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1 \]

Conclusión: La serie converge a \(-1\).

✅ Respuesta: CONVERGE a \(-1\)

✅ EJERCICIO 5 — \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{n+3}{2n^3+1}\)

Paso 1 — Identificar \(a_n\):

\(a_n = \frac{n+3}{2n^3+1}\)

Paso 2 — Verificar convergencia absoluta:

Para \(n\) grande, \(a_n \sim \frac{n}{2n^3} = \frac{1}{2n^2}\).
La serie \(\sum \frac{1}{n^2}\) converge (serie p con \(p=2>1\)).
Por comparación, la serie converge absolutamente.

Paso 3 — Conclusión:

La serie converge absolutamente (y por lo tanto converge).

✅ Respuesta: CONVERGE ABSOLUTAMENTE

✅ EJERCICIO 6 — \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(-2)^{n-1}}\)

Paso 1 — Reescribir:

\[ \frac{n}{(-2)^{n-1}} = n \cdot (-1)^{n-1} \cdot \frac{1}{2^{n-1}} = (-1)^{n-1} \cdot \frac{n}{2^{n-1}} \]

Paso 2 — Esta es una serie alternante con \(a_n = \frac{n}{2^{n-1}}\).

Verificamos criterio de Leibniz:

  1. \(\lim_{n\to\infty} \frac{n}{2^{n-1}} = 0\) ✅ (exponencial crece más rápido)
  2. Decaimiento: \(\frac{n+1}{2^n} \le \frac{n}{2^{n-1}}\)? Para \(n\ge 2\) se cumple.
    Además, la serie converge absolutamente por el criterio del cociente.

✅ Respuesta: CONVERGE ABSOLUTAMENTE

✅ EJERCICIO 7 — \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{n^2}{n^3+4}\)

Paso 1 — Identificar \(a_n\):

\(a_n = \frac{n^2}{n^3+4} \sim \frac{1}{n}\) para \(n\) grande.

Paso 2 — Verificar convergencia absoluta:

La serie \(\sum \frac{1}{n}\) diverge (serie armónica). No converge absolutamente.

Paso 3 — Verificar criterio de Leibniz (convergencia condicional):

  1. \(\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^3+4} = 0\) ✅
  2. ¿Es decreciente? \(a_{n+1} \le a_n\) para \(n\) suficientemente grande ✅

Paso 4 — Conclusión:

La serie converge condicionalmente (converge pero no absolutamente).

✅ Respuesta: CONVERGE CONDICIONALMENTE

5 📊 TABLA RESUMEN DE EJERCICIOS

📋 RESUMEN DE CONVERGENCIA DE SERIES

# Serie Tipo Convergencia Suma / Observación
1 \(\sum \frac{3}{5^{n-1}}\) Geométrica Converge \(\frac{15}{4}\)
2 \(\sum \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2n}\) Geométrica Converge \(2\)
3 \(\sum 2\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\) Geométrica Converge \(3\)
4 \(\sum \frac{3}{5^n-1}\) No geométrica Converge Sin suma exacta simple
5 \(\sum \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)\) Telescópica Converge \(1\)
6 \(\sum \frac{1}{n(n+1)}\) Telescópica Converge \(1\)
7 \(\sum \left(\frac{1}{2^n} - \frac{1}{2^{n+1}}\right)\) Telescópica Converge \(\frac{1}{2}\)
8 \(\sum \frac{2}{4n^2-1}\) Telescópica Converge \(1\)
9 \(\sum \frac{2}{n^2+3n+2}\) Telescópica Converge \(1\)
10 \(\sum (-1)^{n+1}\frac{1}{n}\) Alternante Converge Condicional (\(\ln 2\))
11 \(\sum (-1)^{n+1}\frac{n}{n^2+1}\) Alternante Converge Condicional
12 \(\sum (-1)^{n+1}\frac{n+2}{n+1}\) Alternante Diverge \(\lim a_n \neq 0\)
13 \(\sum (-1)^{n+1}(-\frac{1}{2})^n\) Geométrica Converge \(-1\)
14 \(\sum (-1)^{n+1}\frac{n+3}{2n^3+1}\) Alternante Absolutamente Absoluta
15 \(\sum \frac{n}{(-2)^{n-1}}\) Alternante Absolutamente Absoluta
16 \(\sum (-1)^{n+1}\frac{n^2}{n^3+4}\) Alternante Condicional No absoluta

✅ Todas las series alternantes que cumplen Leibniz convergen (condicional o absolutamente).

📐 SERIES MATEMÁTICAS — TEORÍA COMPLETA

📄 Resumen de criterios de convergencia:

✔ Geométrica: \(\sum a r^n\) converge si \(|r| < 1\) → \(S = \frac{a}{1-r}\)
✔ Telescópica: \(\sum (b_n - b_{n+1})\) converge si \(\lim b_n\) existe → \(S = b_1 - \lim b_n\)
✔ Alternante (Leibniz): \(\sum (-1)^{n+1} a_n\) converge si \(a_{n+1} \le a_n\) y \(a_n \to 0\)
✔ Convergencia absoluta: Si \(\sum |a_n|\) converge, entonces \(\sum a_n\) converge.
✔ Condicional: Si \(\sum a_n\) converge pero \(\sum |a_n|\) diverge.

6 🧠 CIERRE: LECCIONES SOBRE SERIES

📚 LECCIONES APRENDIDAS

💡∑📐

1. Identificar el tipo de serie es el primer paso.
No todas las series encajan en una fórmula mágica. Hay que reconocer si es geométrica, telescópica o alternante.

2. La serie armónica alternante converge, la armónica positiva diverge.
El signo alternante puede “salvar” la convergencia cuando la serie de valores absolutos diverge.

3. Las series telescópicas son un regalo:
Cuando logramos escribir \(a_n = b_n - b_{n+1}\), la suma se simplifica drásticamente.

4. El criterio de Leibniz tiene dos condiciones obligatorias:
Decaimiento (\(a_{n+1} \le a_n\)) y límite cero (\(\lim a_n = 0\)). Ambas son necesarias.

5. Convergencia absoluta implica convergencia, pero no al revés:
Una serie puede converger sin converger absolutamente (condicionalmente).

“Las series infinitas suponen el vértigo de la suma eterna: pocas cifras pueden sumar hasta el infinito sin desbordarse.”

Aquí tienes la resolución de cada serie telescópica, con el formato solicitado y un análisis paso a paso para cada caso.

🔭 SERIES TELESCÓPICAS: RESOLUCIÓN COMPLETA

Teorema: \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (b_n - b_{n+1}) = \lim_{N\to\infty} (b_1 - b_{N+1}) = b_1 - L\)
(si \(b_n\) converge a \(L\)).

📌 a) \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)\)

Identificamos \(b_n = 1/n\). Entonces: \[ S_N = \sum_{n=1}^N \left(\frac1n - \frac1{n+1}\right) = 1 - \frac1{N+1} \] \[ \lim_{N\to\infty} S_N = 1 - 0 = 1 \] ✅ Resultado: \(1\)

📌 b) \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{4n^2 - 1}\)

Factorizamos: \(4n^2 - 1 = (2n-1)(2n+1)\).
Fracciones parciales: \[ \frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1} \] Resolviendo: \(2 = A(2n+1) + B(2n-1)\).
Para \(n=1/2\): \(2 = A(2) \Rightarrow A=1\).
Para \(n=-1/2\): \(2 = B(-2) \Rightarrow B=-1\).
Entonces: \[ \frac{2}{4n^2-1} = \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \] Suma telescópica: \[ S_N = \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) = 1 - \frac{1}{2N+1} \] \[ \lim_{N\to\infty} S_N = 1 \] ✅ Resultado: \(1\)

📌 i) \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n^2 - 1}\)

\(n^2-1 = (n-1)(n+1)\). Fracciones parciales: \[ \frac{2}{(n-1)(n+1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} \] Pero cuidado: para \(n=1\) el término \(1/(n-1)\) es infinito (singularidad).
Reescribimos para \(n\ge 2\):
\[ \frac{2}{n^2-1} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} \] Suma desde \(n=2\) a \(N\): telescópica y queda \(1 + \frac12 - \frac1N - \frac1{N+1}\) → límite \(3/2\).
Pero el término \(n=1\) es \(\frac{2}{0}\) (no definido).
✅ Conclusión: la serie no está definida (divergente por término inicial infinito).

📌 ii) \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}\)

\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \] Es el ejemplo a) pero multiplicado por 1.
Suma parcial: \(1 - \frac1{N+1} \to 1\).
✅ Resultado: \(1\)

📌 iii) \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{2^n} - \frac{1}{2^{n+1}} \right)\)

\(b_n = 1/2^n\): \[ S_N = \frac12 - \frac{1}{2^{N+1}} \to \frac12 \] ✅ Resultado: \(1/2\)

📌 iv) \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n(n+1)}\)

\[ \frac{1}{2n(n+1)} = \frac12 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \] Suma = \(\frac12 \times 1 = \frac12\).
✅ Resultado: \(1/2\)

📌 v) \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n^2 + 3n + 2}\)

\(n^2+3n+2 = (n+1)(n+2)\).
\[ \frac{2}{(n+1)(n+2)} = \frac{2}{n+1} - \frac{2}{n+2} \] Suma telescópica: \[ S_N = \left(\frac{2}{2} - \frac{2}{N+2}\right) = 1 - \frac{2}{N+2} \to 1 \] ✅ Resultado: \(1\)

📌 vi) \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}\)

Fracciones parciales: \[ \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac12\left( \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3} \right) \] Suma parcial: \[ S_N = \frac12\left( \frac13 - \frac{1}{2N+3} \right) \to \frac12 \cdot \frac13 = \frac16 \] ✅ Resultado: \(1/6\)

📌 RESUMEN DE RESULTADOS

  1. \(1\)    b) \(1\)    i) No definida    ii) \(1\)
  1. \(1/2\)    iv) \(1/2\)    v) \(1\)    vi) \(1/6\)