Estimasi Distribusi dan Parameter Model

Sebuah restoran cepat saji ingin menganalisis waktu antar kedatangan pelanggan (dalam menit) untuk meningkatkan efisiensi pelayanan. Karena keterbatasan data lapangan, analis memutuskan untuk melakukan simulasi data dengan dugaan bahwa waktu antar kedatangan mengikuti distribusi tertentu. Analis membangkitkan 150 data pengamatan menggunakan distribusi eksponensial, namun parameter distribusi tidak diketahui oleh analis lain.

# Pembangkitan Data
set.seed(1)
data <- rexp(150, rate = 0.4)
data

##   [1]  1.88795458  2.95410695  0.36426682  0.34948815  1.09017156  7.23742134
##   [7]  3.07390513  1.34920710  2.39141873  0.36761498  3.47683782  1.90507464
##  [13]  3.09400888 11.05983554  2.63635792  2.58810987  4.69008793  1.63686659
##  [19]  0.84233369  1.47119930  5.91128813  1.60473147  0.73530097  1.41466381
##  [25]  0.26518156  0.14859790  1.44678116  9.89733213  2.93328026  2.49203239
##  [31]  3.58821336  0.09317132  0.81002538  3.30116982  0.50877588  2.55681469
##  [37]  0.75435234  1.81303576  1.87885673  0.58756863  2.69970284  2.57061726
##  [43]  3.23065412  3.13276339  1.38660349  0.75320749  3.23281164  2.48638947
##  [49]  1.28543574  5.01958101  1.05560611  5.44693142  8.04447254  1.39457339
##  [55]  1.48654413  2.44348951  0.52466645  0.77361964  2.76484067  1.93546941
##  [61]  0.22418520  2.77044164  0.61816063  3.92996712 12.08203186  1.07783033
##  [67]  6.82597328  2.84207854  2.03342061  2.09251623  4.46191351  5.78117907
##  [73]  7.27471817  0.71397746  0.97196693  0.13013862  0.87967624  3.91310336
##  [79]  2.03633952  6.89810947  0.96548391  2.52064114  2.04628547  0.14815301
##  [85]  5.70963368  2.01042728  3.95924020  3.08447877  3.36411005  5.25094307
##  [91]  2.58774287  1.11862973  2.60902129  0.65207061  1.70307277  0.65934566
##  [97]  1.11651414  0.52651723  0.33142851  0.87222086  4.74960835  1.29051526
## [103]  1.12249446  0.94899922  3.12191895  6.73352890  0.49080452  5.74959293
## [109]  1.41425668  1.90795002  3.93179176  4.58910245  0.09288069  0.31391468
## [115]  3.54887299  1.79654399  1.08967638  0.17353086  0.53422990  0.74789730
## [121]  0.58913907  1.85760905  4.27481457  2.45454852  0.05062603  0.44642363
## [127]  8.14834276  3.41143053  0.22777218  2.97773660  0.65710114  3.13365729
## [133]  0.94813924  0.94706706  0.27450312  2.26389365  0.39176972  0.24711404
## [139]  5.18425092  1.96280216  1.32040008  2.57329103  5.62788174  2.96153503
## [145]  0.54956984  2.01252825  1.43770254  1.01231256  4.26628868  5.27690541

# Eksplorasi Data
summary(data)

##     Min.  1st Qu.   Median     Mean  3rd Qu.     Max. 
##  0.05063  0.81810  1.90651  2.46336  3.20641 12.08203

sd(data)

## [1] 2.224055

Statistika Deskriptif

• Mean (2,46) vs Median (1,90): Dalam distribusi eksponensial, nilai rata-rata (mean) selalu lebih besar daripada median. Hal ini dikarenakan adanya ekor panjang ke arah kanan. Hasil menunjukkan selisih ini dengan jelas, yang mengonfirmasi bahwa data positif skewed (miring ke kanan).
• Lebih dari 50% pelanggan datang dengan jeda waktu kurang dari 1,9 menit. Data ini menunjukkan sifat padat di awal. Pelanggan cenderung datang saling berdekatan (berbondong-bondong). Restoran tidak bisa hanya mengandalkan rata-rata. Staf harus selalu dalam posisi siap, karena meskipun rata-ratanya 2,4 menit, kenyataannya banyak pelanggan yang datang hanya dalam jeda 1 menit saja.
• Standard Deviation (2,22): Secara teoritis, pada distribusi eksponensial, nilai rata-rata seharusnya sama dengan standar deviasi (Mean hampir sama dengan SD). Di sini, 2,46 dan 2,22 cukup berdekatan, yang memperkuat indikasi bahwa distribusi ini memang eksponensial.
• Artinya, fakta bahwa tidak ada pelanggan selama 5 menit terakhir tidak mengubah peluang pelanggan akan datang di menit berikutnya. Kedatangan pelanggan di restoran bersifat benar-benar acak. Kita tidak bisa memprediksi kedatangan pelanggan berikutnya hanya berdasarkan kapan pelanggan terakhir datang. Satu-satunya cara menghadapinya adalah dengan kesiapan sistem yang stabil setiap saat.

# Estimasi Parameter (MLE)
lambda_hat <- 1 / mean(data)
lambda_hat

## [1] 0.4059492

Estimasi Parameter

• Nilai \(\hat{\lambda}\) = 0,4059492. Ini sangat presisi. Karena data dibangkitkan dengan rate = 0.4, fakta bahwa analis berhasil mendapatkan angka \(0,4059\) hanya dari data mentah menunjukkan bahwa metode MLE (Maximum Likelihood Estimation) bekerja dengan sangat akurat.
• Ini adalah Laju Kedatangan. Artinya, rata-rata ada sekitar 0,4 pelanggan yang datang setiap menit, atau jika dikonversi: 1 pelanggan setiap 2,46 menit. Jika manajer restoran tahu bahwa pelanggan datang setiap 2,5 menit, maka kecepatan rata-rata pelayanan kasir harus di bawah 2,46 menit. Jika kasir melayani satu orang selama 3 menit, maka antrean akan menumpuk tanpa henti.

# Histogram
hist(data, probability = TRUE, col = "lightblue",
     main = "Histogram Waktu Antar Kedatangan")
# Overlay distribusi
curve(dexp(x, rate = lambda_hat),
      col = "red", lwd = 2, add = TRUE)

Histogram

• Puncak tertinggi berada di area nilai kecil (antara 0 - 2 menit). Ini sangat realistis untuk restoran cepat saji: kebanyakan pelanggan datang dalam rentang waktu yang berdekatan.
• Kurva merah (teoritis) menempel sangat presisi pada batang histogram, menunjukkan bahwa estimasi \(\hat{\lambda}\) sudah sangat akurat.

# Boxplot
boxplot(data, col = "orange", main = "Boxplot Data")

Boxplot

• Kotak menumpuk di bagian bawah, menunjukkan konsentrasi data di nilai rendah. Ini adalah kondisi sibuk, pelanggan datang berturut-turut dalam waktu singkat. Pada histogram, ini adalah batang yang paling tinggi.

• Terdapat beberapa titik outlier di bagian atas (mencapai nilai 12). Dalam realita, ini mewakili momen sepi di mana tidak ada pelanggan yang datang selama 12 menit. Kehadiran outlier ini normal dan memang ciri khas restoran cepat saji (pelanggan tidak selalu datang berturut-turut.

• Akan ada momen-momen langka di mana kasir akan menganggur selama 12 menit karena tidak ada satu pun pelanggan yang masuk. Manajer bisa menyusun SOP agar di saat jeda panjang seperti ini, staf bisa melakukan tugas sekunder seperti membersihkan area dining atau mengisi ulang stok tisu/saus, tanpa perlu merasa khawatir meninggalkan pos kasir terlalu lama.

# Uji Kolmogorov-Smirnov
ks.test(data, "pexp", rate = lambda_hat)

## 
##  Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  data
## D = 0.057756, p-value = 0.6989
## alternative hypothesis: two-sided

Analisis Uji Kolmogorov-Smirnov

\(H_0:\) Data berdisr=tribusi normal.

\(H_1:\) Data berdisr=tribusi tidak normal.

• Karena p-value = 0.6989, maka \(H_0\) diterima. Secara statistik, tidak ada perbedaan signifikan antara data lapangan dengan distribusi eksponensial. Dengan kata lain, model eksponensial dinyatakan valid untuk data ini.

# QQ Plot
qqplot(qexp(ppoints(length(data)), rate=lambda_hat),
       data,
       main="QQ Plot Eksponensial")
abline(0,1,col="blue")

QQ plot

• Di bagian awal dan tengah (nilai 0 hingga 6), titik-titik menempel hampir sempurna pada garis biru. Ini menunjukkan kecocokan yang sangat tinggi.

• Di bagian ujung kanan (nilai \(>8\)), titik-titik mulai sedikit menjauh dari garis. Ini adalah hal yang sangat wajar pada distribusi eksponensial karena variansi di area ekor (tail) memang tinggi. Hal ini tidak menggugurkan validitas model yang digunakan.

• Karena model eksponensial ini terbukti sangat akurat (fit), kita bisa menggunakan rumus matematika distribusi ini untuk menghitung risiko. Contoh, Berapa probabilitas kita akan kedatangan pelanggan dalam waktu kurang dari 30 detik? atau Berapa peluang tidak ada pelanggan selama 20 menit?. Ini memungkinkan untuk membuat simulasi dengan metode Monte Carlo untuk mencoba berbagai skenario jumlah kasir tanpa harus melakukan eksperimen langsung yang berisiko mengganggu pelanggan nyata.

Kesimpulan

Data waktu antar kedatangan pelanggan sebesar 150 sampel terbukti secara signifikan mengikuti Distribusi Eksponensial.

• Uji Kolmogorov-Smirnov menghasilkan p-value 0,6989 (jauh di atas alpha 0,05), yang berarti asumsi distribusi eksponensial sangat akurat dan tidak dapat ditolak.
• Metode estimasi berhasil menemukan nilai \(\lambda \approx 0,406\), yang sangat mendekati parameter simulasi asli (0,4). Ini menunjukkan bahwa data yang dikumpulkan memiliki kualitas yang baik untuk pemodelan.

Secara nyata, angka-angka ini memberikan gambaran tentang beban kerja di restoran:

• Rata-rata pelanggan datang setiap 2,46 menit. Dalam satu jam, restoran diperkirakan akan menerima sekitar 24 hingga 25 pelanggan (60/2,46).
• Agar tidak terjadi antrean panjang yang tak terhingga, kecepatan pelayanan kasir (durasi transaksi) wajib lebih cepat dari 2,46 menit per pelanggan. Jika rata-rata pelayanan lebih lama dari angka ini, antrean akan terus memanjang.
• nilai Median (1,90 menit) lebih kecil dari Rata-rata (2,46 menit), ini menunjukkan bahwa lebih dari separuh pelanggan datang dengan jeda waktu yang sangat singkat. Restoran harus siap menghadapi lonjakan kedatangan yang tiba-tiba dalam waktu berdekatan (bersama-sama).
• Adanya nilai outlier (jeda hingga 12 menit) menunjukkan bahwa kedatangan pelanggan sangat tidak teratur. Tidak ada pola tetap (seperti tepat setiap 2 menit sekali), sehingga staf harus fleksibel dalam berpindah tugas saat kondisi sepi.