Code
x <- 0:10
dx <- dpois(x, lambda = 3)
plot(x, dx, type = "h", lwd = 2, col = "steelblue",
main = "Loi de Poisson (λ = 3)",
xlab = "Nombre d'événements", ylab = "Probabilité")
points(x, dx, pch = 16, col = "steelblue")
Introduction - Analyse de données et Probabilités
Introduction
Ce projet explore différents aspects de la statistique : de la théorie des lois de probabilité à l’analyse de données réelles (Keno) en s’inspirant de l’article.
1. Probabilités Théoriques
Loi de Poisson
La loi de Poisson est une loi de probabilité discrète qui décrit le nombre d’événements se produisant dans un intervalle de temps ou d’espace fixe.
Si \(X \sim \mathcal{P}(\lambda)\), alors : \[P(X=x)=\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}, \quad x \in \mathbb{N}\]
L’esperance mathématique
L’espérance mathématique, c’est la valeur moyenne théorique d’une variable aléatoire
Code
# L'espérance c'est la somme des x * P(X=x)
esperance <- sum(x * dx)
print(paste("Espérance = ", round(esperance, 3)))[1] "Espérance = 2.997"\[ \approx 3\] On peut aussi exécuté le chunck en ligne pour rechercher le resultat qui est ici : 2.997
Application Shiny - La Loi Gamma
** Rappel ** :
La loi de Gamma est une distribution de probabilité continue qui modélise des variables aléatoires réelles positives. Elle est utilisée pour décrire divers phénomènes, tels que la durée de vie d’un système ou le temps entre des événements.
Code
alpha = 1
lambda = 1
curve(dgamma(x,alpha,lambda), 0, 10)
Lancement de l’application shiny
https://user-demon-953281-0.user.lab.sspcloud.fr/?view=shiny_foreground
Code
#install.packages("shiny")
library(shiny)
ui <- fluidPage(
titlePanel("Déformation de la loi Gamma"),
sidebarLayout(
sidebarPanel(
sliderInput("shape",
"Paramètre shape (α)",
min = 0,
max = 10,
value = 2,
step = 1),
sliderInput("rate",
"Paramètre rate (β)",
min = 0.1,
max = 5,
value = 1,
step = 0)
),
mainPanel(
plotOutput("gammaPlot")
)
)
)
server <- function(input, output) {
output$gammaPlot <- renderPlot({
x <- seq(0, 20, length.out = 1000)
y <- dgamma(x,
shape = input$shape,
rate = input$rate)
plot(x, y,
type = "l",
main = expression(f(x) == frac(beta^alpha, Gamma(alpha)) *
x^{alpha-1} * e^{-beta*x}),
xlab = "x",
ylab = "Densité")
grid()
})
}
shinyApp(ui = ui, server = server)Shiny applications not supported in static R Markdown documents
Analyse de Données : data = “mtcars”
Code
library(dplyr)
Attaching package: 'dplyr'The following objects are masked from 'package:stats':
filter, lagThe following objects are masked from 'package:base':
intersect, setdiff, setequal, unionCode
library(kableExtra)
Attaching package: 'kableExtra'The following object is masked from 'package:dplyr':
group_rowsCode
# Réalisation d'une analyse exploratoire - stat desc
stat_desc <- mtcars |>
select(mpg, cyl) |>
summarise(
across(everything(), list(mean = mean, sd = sd))
) |>
round(2)
# présentation sous forme de tableau????
kable(stat_desc, caption = "Moyenne et Écart-type (MPG et Cylindres)") |>
kable_styling(bootstrap_options = "striped")| mpg_mean | mpg_sd | cyl_mean | cyl_sd |
|---|---|---|---|
| 20.09 | 6.03 | 6.19 | 1.79 |
Regréssion Linéaire
Nous cherchons à expliquer la consommation (mpg) par la puissance (hp), en utilisant le jeu de donnée mtcars
Code
### Installation des packages
#install.packages("dplyr")
#install.packages("kableExtra")
#install.packages("stargazer")
#install.packages("ggplot2")
#install.packages("ggthemes")
#install.packages("tidyr")Code
library(stargazer)
Please cite as: Hlavac, Marek (2022). stargazer: Well-Formatted Regression and Summary Statistics Tables. R package version 5.2.3. https://CRAN.R-project.org/package=stargazer Code
library(ggplot2)
library(ggthemes)
modele <- lm(mpg ~ hp, data = mtcars)
# Tableau de régression avec stargazer
stargazer(modele, type = "html", title = "Impact de la puissance sur la consommation")| Dependent variable: | |
| mpg | |
| hp | -0.068*** |
| (0.010) | |
| Constant | 30.099*** |
| (1.634) | |
| Observations | 32 |
| R2 | 0.602 |
| Adjusted R2 | 0.589 |
| Residual Std. Error | 3.863 (df = 30) |
| F Statistic | 45.460*** (df = 1; 30) |
| Note: | p<0.1; p<0.05; p<0.01 |
Code
# Visualisation
ggplot(mtcars, aes(x = hp, y = mpg)) +
geom_point(col = "blue", alpha = 0.6) +
geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, col = "red") +
theme_igray() +
labs(title = "Droite de régression", x = "Puissance (hp)", y = "Consommation (mpg)")`geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'
Analyse exploratoire
Tout d’abord on commence par afficher les noms des colonnes du dataset avec la fonction names(), puis on crée un résumé statistique, de tel sorte à obtenir en sortie un tableau présentant des stats (moyenne et écart-type) des variables mpg et cyl
Code
voiture <- mtcars
voiture|>names() ### pour voir le nom de chaque colonne [1] "mpg" "cyl" "disp" "hp" "drat" "wt" "qsec" "vs" "am" "gear"
[11] "carb"Code
voiture |> select(mpg, cyl) |> summarise(mean_mpg = mean(mpg), mean_cyl = mean(cyl), sd_mpg = sd(mpg), sd_cyl = sd(cyl) ) |> round(2) -> stat_descOn transforme les résultats statistiques en une matrice structurée, en entrant manuellement les valeur (moyenne , écart-type)
Code
stat_desc |> matrix(c(20.02, 6.19, 6.03, 1.79), nrow = 2, ncol = 2,
dimnames = list(c("mean", "sd"), c("mpg", "cyl"))) |> kable() -> matrice
matrice| mpg | cyl | |
|---|---|---|
| mean | 20.09 | 6.19 |
| sd | 6.03 | 1.79 |
Regression en Latex
Code
#install.packages("stargazer")
library(stargazer)
modele = lm(mpg ~ hp, data = voiture)
### Pour faire le tableau
stargazer(modele,
type = "text",
title = "Modèle de régression du mpg expliqué par le hp",
dep.var.labels = "mpg",
covariate.labels = "hp",
digits = 3)Modèle de régression du mpg expliqué par le hp
Dependent variable:
---------------------------
mpg | hp -0.068*** (0.010) |
| Constant 30.099*** (1.634) |
Observations 32
R2 0.602
Adjusted R2 0.589
Residual Std. Error 3.863 (df = 30)
F Statistic 45.460*** (df = 1; 30)
=============================================== Note: p<0.1; p<0.05; p<0.01
Droite de Regression
Code
voiture |> ggplot(aes(hp, mpg)) + theme_igray() + ggtitle("Consommation en fonction de la puissance") + geom_point(col = "blue") + geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, col = "red")`geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'
Travail avec les données réel
On importe les données historiques du jeu Keno, puis on transforme les données du format large (c’est à dire une une colonne par boule) au format long pour faciliter notre analyse
Code
#install.packages("tidyr")
#install.packages("lubridate")
library(tidyr)
library(lubridate)
Attaching package: 'lubridate'The following objects are masked from 'package:base':
date, intersect, setdiff, unionCode
library(tidyr)
library(dplyr)
df = read.csv2("Projet-Initial_files/keno_202511 6 (1).csv")
## on supprime des variable
df = df[,-c(1, 3,20,21,22,23)]
# On convertit la date PUIS on bascule au format long
df1 <- df |>
mutate(date_de_tirage = dmy(date_de_tirage)) |>
pivot_longer(
cols = !date_de_tirage,
names_to = "boule",
values_to = "valeur",
names_prefix = "boule"
)
df1# A tibble: 1,600 × 3
date_de_tirage boule valeur
<date> <chr> <int>
1 2026-02-10 1 12
2 2026-02-10 2 13
3 2026-02-10 3 17
4 2026-02-10 4 20
5 2026-02-10 5 22
6 2026-02-10 6 23
7 2026-02-10 7 26
8 2026-02-10 8 27
9 2026-02-10 9 39
10 2026-02-10 10 42
# ℹ 1,590 more rowsCode
# Vérification de la date la plus récente
max(df1$date_de_tirage)[1] "2026-02-10"Tableau des fréquences
Code
library(scales)
# Création du tableau des fréquences et pourcentages
tableau_frequences <- df1 |> group_by(valeur) |> summarise(Frequence = n()) |>
mutate(Pourcentage = percent(Frequence / sum(Frequence), accuracy = 0.01))
tableau_frequences# A tibble: 56 × 3
valeur Frequence Pourcentage
<int> <int> <chr>
1 1 30 1.87%
2 2 26 1.62%
3 3 28 1.75%
4 4 32 2.00%
5 5 17 1.06%
6 6 21 1.31%
7 7 37 2.31%
8 8 23 1.44%
9 9 33 2.06%
10 10 30 1.87%
# ℹ 46 more rowsLa probabilité qu’une boule sorte
teste de khi deux
Pour déterminer si les écarts de fréquences observés sont dus au hasard ou à un biais, nous réalisons un test de conformité à une loi uniforme, en fait on va chercher à vérifié l’équiprobabilité, c’est à dire qu’on se pose la question de savoir si toute les boules ont la même probabilité d’être tiré
Sous l’hypothése \(H_0\) : Les boules ont toutes la même probabilité de sortir \(H_1\) : Les boules n’ont pas du tout la même probabilité de sorti
NB : Notons que si la p_value < alpha : on rejette l’hypothese null
Code
chisq.test(tableau_frequences$Frequence)
Chi-squared test for given probabilities
data: tableau_frequences$Frequence
X-squared = 45.14, df = 55, p-value = 0.826Le test de khi deux sortant une pvalue de 0,82, on conserve l’hypothése d’équiprobabilité, donc aucune boule n’est statistiquement favorisé
Simulation de Monté carlo
Afin de renforcer notre conclusion du khi deux, nous simulons 10 000 fois une série de 100 jours de tirages pour observer la distribution du minimum de fréquence (la boule qui sort le moins souvent).
Code
set.seed(123)
res <- c()
for (i in 1:10000) {
# on simule en gros 100 jours de tirages (16 boules parmi 56)
ech <- replicate(100, sample(1:56, 16, replace = FALSE))
res <- c(res, min(table(ech)))
}
min(res)[1] 9Code
library(ggplot2)
as_tibble(res) |> ggplot(aes(value)) + geom_bar(col = "red") + ggtitle("Distribution empirique des minimum de fréquence de sortie sur 100 jours")
Code
as_tibble(res) |> filter(value <= 17) |> summarise(Frequence = n())# A tibble: 1 × 1
Frequence
<int>
1 2615p value est forte donc on conserve l’hypothése selon laquelle aucune boule n’est laisée