Caso de estudio: análisis de criminalidad con la base USArrests
Joel Cuvi
2026-05-08
1. Consigna general del taller
La empresa multinacional Global Risk Analytics Corp., dedicada a consultoría en análisis de riesgo, seguridad corporativa y expansión territorial, requiere elaborar un informe técnico basado en datos para comprender los factores asociados a los niveles de arrestos por agresión en Estados Unidos. Para ello, se utilizará la base de datos USArrests, incluida en RStudio. El propósito del taller es que el estudiante aplique estadística descriptiva, análisis gráfico, matriz de correlación, regresión lineal simple y regresión lineal múltiple, interpretando los resultados de manera técnica y vinculándolos con un problema de análisis de riesgo territorial.
Importante:
El taller no consiste únicamente en ejecutar código. Cada resultado debe ser interpretado con lenguaje estadístico claro, evitando conclusiones mecánicas o sin sustento.
Objetivo del taller
Aplicar modelos de regresión lineal simple y múltiple mediante RStudio para analizar la relación entre indicadores de criminalidad y población urbana, utilizando la base USArrests como insumo para la toma de decisiones en una empresa multinacional de análisis de riesgo.
Base de datos a utilizar La base de datos USArrests forma parte del paquete datasets de R. Contiene información de 50 estados de Estados Unidos y cuatro variables cuantitativas relacionadas con arrestos por delitos violentos y población urbana.
data("USArrests")Actividades y enunciados del taller
Actividad 1. Reconocimiento de la base de datos Ejecute los comandos iniciales de carga y exploración de la base USArrests. Luego responda los siguientes enunciados:
1. ¿Cuántas observaciones y cuántas variables contiene la base de datos?
str(USArrests)## 'data.frame': 50 obs. of 4 variables:
## $ Murder : num 13.2 10 8.1 8.8 9 7.9 3.3 5.9 15.4 17.4 ...
## $ Assault : int 236 263 294 190 276 204 110 238 335 211 ...
## $ UrbanPop: int 58 48 80 50 91 78 77 72 80 60 ...
## $ Rape : num 21.2 44.5 31 19.5 40.6 38.7 11.1 15.8 31.9 25.8 ...Respuesta:
La base de datos USArrests compone de 50 observaciones y 4 variables
2. ¿Qué representa cada fila de la base?
Cada fila representa un estado de Estados Unidos.
3. ¿Qué tipo de variables contiene el conjunto de datos?
Contiene 4 variables Cuantitaivas.
4. ¿Cuál será la variable dependiente del estudio y por qué?
Nuestra variable dependiente será Assault por qué varían los arrestos por agresión.
5. ¿Qué variables podrían utilizarse como predictoras en un modelo de regresión?
Las variables predictoras son: Murder, UrbanPop, Rape.
Actividad 2. Estadística descriptiva
Calcule medidas de tendencia central, dispersión, mínimo, máximo y rango para las variables cuantitativas de la base.
summary(USArrests)## Murder Assault UrbanPop Rape
## Min. : 0.800 Min. : 45.0 Min. :32.00 Min. : 7.30
## 1st Qu.: 4.075 1st Qu.:109.0 1st Qu.:54.50 1st Qu.:15.07
## Median : 7.250 Median :159.0 Median :66.00 Median :20.10
## Mean : 7.788 Mean :170.8 Mean :65.54 Mean :21.23
## 3rd Qu.:11.250 3rd Qu.:249.0 3rd Qu.:77.75 3rd Qu.:26.18
## Max. :17.400 Max. :337.0 Max. :91.00 Max. :46.00Enunciados de análisis:
6. Interprete el promedio y la mediana de la variable Assault.
En promedio hay 170.8 de arrestos por agresión y con una mediana 159 arestos por agresión.
7. Determine qué variable presenta mayor variabilidad y justifique su respuesta.
sapply(USArrests, sd)## Murder Assault UrbanPop Rape
## 4.355510 83.337661 14.474763 9.366385Respuesta:
La variable con mas variabilidad es Assault en comparación a otras variables, esto se debe a los datos no solo son de un estado sido de varios estados.
8. Identifique posibles valores extremos a partir de los mínimos y máximos.
sapply(USArrests, range)## Murder Assault UrbanPop Rape
## [1,] 0.8 45 32 7.3
## [2,] 17.4 337 91 46.09. Explique qué significa la desviación estándar de Assault en el contexto del caso.
La desviación estándar de Assault muestra qué tan dispersos están los niveles de arrestos por agresión del valor promedio.
10. Redacte un párrafo descriptivo sobre el comportamiento general de la criminalidad observada en la base.
Algunos estados tienen niveles muy altos de criminalidad, mientras que otros son mucho más bajos. Variables como Assault y Murder muestran mucha variación, lo que indica que en ciertos estados la violencia es mucho mayor. Además, pareciera que a mayor población urbana, también aumentan los niveles de criminalidad.
Actividad 3. Análisis gráfico exploratorio
Construya gráficos que permitan analizar la distribución de Assault y su relación con las variables UrbanPop, Murder y Rape.
Enunciados de análisis:
11. Describa la forma general de la distribución de Assault.
hist(USArrests$Assault)
Respuesta:
Visualmente podemos ver que es asimetrica y con los datos concentrados en su media.
12. Explique si la relación visual entre UrbanPop y Assault parece débil, moderada o fuerte.
library(ggplot2)
ggplot(USArrests, aes(UrbanPop, Assault))+
geom_point() +
geom_smooth(method = "lm")+
theme_minimal()## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'
Respuesta:
Se puede ver que es una relacion débil por que estan muy dispersos los datos
13. Explique si la relación visual entre Murder y Assault parece positiva o negativa.
library(ggplot2)
ggplot(USArrests, aes(Murder, Assault))+
geom_point() +
geom_smooth(method = "lm")+
theme_minimal()## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'
Respuesta:
La relación es positiva.
14. Compare cuál de las relaciones observadas parece más adecuada para iniciar un modelo de regresión simple.
La relación entre Murder y Assault parece más mejor.
15. Identifique posibles observaciones atípicas y explique cómo podrían afectar el modelo.
boxplot(USArrests$Murder,USArrests$Assault,horizontal = T)
### Respuesta: Al haber hecho el analisis gráfico de mis variables con
la ayuda del boxplot se puedo ver ya ausencia de datos atípicos que
puedan afectar mi modelo. ´ # Actividad 4. Matriz de correlación Calcule
e interprete la matriz de correlación entre las variables cuantitativas.
Enunciados de análisis: ## 16.Identifique la variable con mayor
correlación positiva con Assault.
cor(USArrests)## Murder Assault UrbanPop Rape
## Murder 1.00000000 0.8018733 0.06957262 0.5635788
## Assault 0.80187331 1.0000000 0.25887170 0.6652412
## UrbanPop 0.06957262 0.2588717 1.00000000 0.4113412
## Rape 0.56357883 0.6652412 0.41134124 1.0000000Respuesta
La que tiene mayor corelación con Assault es Murder.
17. Determine si UrbanPop tiene una relación fuerte o débil con Assault.
Tiene una relación débil.
18. Analice si existe correlación relevante entre las variables independientes.
No existe correlaciones relevantes sino moderadas.
19. Explique por qué la correlación no implica necesariamente causalidad.
La correlación solo muestra que dos variables están relacionadas, pero no significa que una provoque a la otra.
20. Argumente qué variables deberían incluirse inicialmente en el modelo múltiple.
Se pueden aumentar Murder, UrbanPop y Rape porque todas se relacionan positivamente con Assault.
Actividad 5. Regresión lineal simple: modelo con UrbanPop
Ajuste un modelo de regresión lineal simple para explicar Assault a partir de UrbanPop.
Modelo teórico:
\(Assault_i =\beta_0 + \beta_1 UrbanPop_i +\epsilon_i\) Enunciados de análisis:
21. Escriba la ecuación estimada del modelo.
modelo_simple_urban <- lm(Assault ~ UrbanPop, data = USArrests)
summary(modelo_simple_urban)##
## Call:
## lm(formula = Assault ~ UrbanPop, data = USArrests)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -150.78 -61.85 -18.68 58.05 196.85
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 73.0766 53.8508 1.357 0.1811
## UrbanPop 1.4904 0.8027 1.857 0.0695 .
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 81.33 on 48 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.06701, Adjusted R-squared: 0.04758
## F-statistic: 3.448 on 1 and 48 DF, p-value: 0.06948Respuesta:
El ecuación del modelo estimado es: \[ \widehat{Assault}=73.0766+1.4904UrbanPop \]
22. Interprete el intercepto del modelo, considerando si tiene sentido práctico en este contexto.
El intercepto dice que si UrbanPop fuera 0, Assault sería 73.08, pero esto no tiene sentido en la práctica porque no hay estados con 0% de población urbana; es solo un valor teórico del modelo.
23. Interprete el coeficiente de UrbanPop.
Por cada 1% más de personas que viven en ciudades, se registran en promedio, 1.49 arrestos más por agresión.
24. Determine si UrbanPop es estadísticamente significativo al 5%.
No es estadísticamente significativo ya su p-valor es mas alto que el 0.05.
25. Interprete el R cuadrado del modelo.
\(R^2=0.06701\): esto nos indica que el 6.701% de los datos abarca nustro modelo.
26. Explique si este modelo es suficiente para explicar los arrestos por agresión.
No el modelo no es suficiente para explicar completamente ya que el \(R^2\) es bajo.
Actividad 6. Regresión lineal simple alternativa: modelo con Murder
Ajuste un segundo modelo simple para explicar Assault a partir de Murder.
modelo_simple_murder <- lm(Assault ~ Murder, data = USArrests)
summary(modelo_simple_murder)##
## Call:
## lm(formula = Assault ~ Murder, data = USArrests)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -107.24 -36.35 -3.67 32.15 118.45
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 51.27 14.69 3.490 0.00105 **
## Murder 15.34 1.65 9.298 2.6e-12 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 50.31 on 48 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.643, Adjusted R-squared: 0.6356
## F-statistic: 86.45 on 1 and 48 DF, p-value: 2.596e-12Enunciados de análisis:
27. Escriba la ecuación estimada del modelo.
La ecuación del modelo estimado es: \[ \widehat{Assault}=51.27+15.34 Murder \]
28. Interprete el coeficiente de Murder.
Por cada aumento de una unidad en Murder,Assault aumentan en promedio, 15.34 unidades.
29. Determine si Murder es estadísticamente significativo al 5%.
Es estadísticamente significativa porque su p-valor es menor a 0.05.
30. Compare el R cuadrado de este modelo con el modelo que usa UrbanPop.
En comparación al anterior modelo que usa UrbanPop en este modelo actual nuestro \(R^2=0.643\) es mas alto.
31. Explique cuál modelo simple resulta más conveniente desde el punto de vista estadístico y contextual.
El modelo simple que nos resulta conveniente comparando ambos modelos es cuando usa Murder ya que su \(R^2\) es mas alto y estadísticamente significativo.
Actividad 7. Comparación de modelos simples
Compare los modelos simples utilizando R cuadrado, R cuadrado ajustado, AIC y BIC.
summary(modelo_simple_urban)$r.squared## [1] 0.06701456summary(modelo_simple_murder)$r.squared## [1] 0.6430008summary(modelo_simple_urban)$adj.r.squared## [1] 0.04757736summary(modelo_simple_murder)$adj.r.squared## [1] 0.6355633AIC(modelo_simple_urban, modelo_simple_murder)BIC(modelo_simple_urban, modelo_simple_murder)Enunciados de análisis:
32. Indique cuál modelo tiene mayor R cuadrado.
El modelos simple murder indica mayor R cuadrado
33. Indique cuál modelo tiene menor AIC y menor BIC.
El modelo simple de murder presenta menor AIC y menor BIC.
34. Explique si el mejor modelo debe elegirse únicamente por criterios numéricos.
No basta solo con ver los criterios números también es importante que el modelo tenga sentido en la realidad y se entienda bien en el contexto del problema que se está estudiando.
35. Argumente qué modelo simple recomendaría para una primera aproximación del problema.
Se recomienda usar Modelo Simple Murder para una primera aproximación.
36. Mencione al menos dos limitaciones de trabajar solo con regresión simple.
- Solo usa una variable independiente.
- Es muy sensible a valores atípicos.
- Puede generar sesgo en los coeficientes.
Actividad 8. Regresión lineal múltiple
Ajuste un modelo de regresión lineal múltiple para explicar Assault a partir de Murder, UrbanPop y Rape.
modelo_multiple <- lm(Assault ~ Murder + UrbanPop + Rape, data = USArrests)
summary(modelo_multiple)##
## Call:
## lm(formula = Assault ~ Murder + UrbanPop + Rape, data = USArrests)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -102.420 -21.226 -4.897 21.999 125.744
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -15.4520 31.8581 -0.485 0.6300
## Murder 12.4700 1.8533 6.729 2.33e-08 ***
## UrbanPop 0.6304 0.5054 1.247 0.2186
## Rape 2.2502 0.9432 2.386 0.0212 *
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 45.58 on 46 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.7192, Adjusted R-squared: 0.7009
## F-statistic: 39.27 on 3 and 46 DF, p-value: 9.678e-13Modelo teórico: \(Assault_i = \beta_0 + \beta_1 Murder_i + \beta_2 UrbanPop_i + \beta_3 Rape_i + \epsilon_i\)
Enunciados de análisis:
37. Escriba la ecuación estimada del modelo múltiple.
El modelo múltiple estimado es: \[ \widehat{Assault}=-15.4520+12.4700 Murder+0.6304UrbanPop+2.2502Rape \]
38. Interprete el coeficiente de Murder manteniendo constantes UrbanPop y Rape.
Manteniendo contantes a UrbanPop y Rape donde Murder incrementa en promedio 12.47 unidades los arrestos por agresión.
39. Interprete el coeficiente de UrbanPop manteniendo constantes las demás variables.
Manteniendo constante a Murder y Rape en UrbanPop incrementa en promedio 0.63 unidades los arrestos por agresión.
40. Interprete el coeficiente de Rape manteniendo constantes Murder y UrbanPop.
Manteniendo constante a Murder y UrbanPop en Rape incrementa en promedio 2.25 unidades los arrestos por agresión.
41. Determine qué variables son estadísticamente significativas al 5%.
Las variables que son estadísticamente significativas son: - Murder - Rape
42. Interprete el R cuadrado y el R cuadrado ajustado del modelo múltiple.
El \(R^2=0.7192\) nos da a conocer que nuestro modelo abarca el 71.92% de nuestros datos. Mientras que el $Ajusted-R^2=0.7009 $ nos indica que el nuestro modelo se ajusta con un 70.09% a los datos.
43. Compare el modelo múltiple con los modelos simples y determine cuál ofrece mejor explicación estadística.
El modelo múltiple ofrece mejor explicación estadística que los modelos simples porque presenta un mayor \(R^2\)
44. Explique si todos los coeficientes tienen signos coherentes con el contexto analizado.
Los coeficientes tienen signos que tienen sentido en el contexto, porque a mayor nivel de Murder, UrbanPop y Rape, se espera que también aumenten los arrestos por agresión.
Actividad 9. Evaluación de supuestos del modelo múltiple
Evalúe los supuestos básicos del modelo de regresión lineal múltiple mediante gráficos y pruebas estadísticas.
Enunciados de análisis:
45. Analice gráficamente si los residuos presentan un patrón aleatorio.
par(mfrow = c(2,2))
plot(modelo_multiple)
Respuesta:
Si ven vizualmente que nuestros residuos muestran un patrón aleatorio y indica que nuestros datos se ajustan a nuestro modelo
46. Interprete la prueba de Shapiro-Wilk para normalidad de residuos.
\(H_0:\) Los residuos presentan normalidad.
\(H_1:\) Los residuos no presentan normalidad.
shapiro.test(residuals(modelo_multiple))##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: residuals(modelo_multiple)
## W = 0.9725, p-value = 0.2915Respuesta:
Hal ver nuestro p-valor que es mayor a 0.05 rechazamos la \(H_0\) y aceptamos la \(H_1\) lo cual decimos que los residuos no presnetan normalidad.
47. Interprete la prueba de Breusch-Pagan para homocedasticidad.
\(H_0:\) El modelo es Homocedastica.
\(H_1:\) El modelo es Heterosedastica.
library(lmtest)## Warning: package 'lmtest' was built under R version 4.5.3## Cargando paquete requerido: zoo## Warning: package 'zoo' was built under R version 4.5.3##
## Adjuntando el paquete: 'zoo'## The following objects are masked from 'package:base':
##
## as.Date, as.Date.numericbptest(modelo_multiple)##
## studentized Breusch-Pagan test
##
## data: modelo_multiple
## BP = 4.6168, df = 3, p-value = 0.2021Respuesta:
Como se que el p-value es mayor que 0.05, no se rechaza la \(H_0\) por lo que se puede decir que el modelo es homocedastica.
48. Interprete los valores VIF y determine si existe multicolinealidad relevante.
library(car)## Warning: package 'car' was built under R version 4.5.3## Cargando paquete requerido: carData## Warning: package 'carData' was built under R version 4.5.3vif(modelo_multiple)## Murder UrbanPop Rape
## 1.536825 1.262276 1.840863Respuesta:
Los valores VIF de muestran que son bajos y menores a 5, por lo que no existe multicolinealidad relevante en el modelo.
49. Identifique si existen observaciones influyentes en los gráficos de diagnóstico.
La mayoría de las datos gráficados presenta un comportamiento normal; sin embargo, algunos estados que sobresalen del resto y podrían influir de manera importante en los resultados de nuestro modelo.
50. Redacte una conclusión general sobre el cumplimiento de los supuestos del modelo.
En conclusión el modelo cumple de forma aceptable con los supuestos básicos de la regresión por ello se puede usar para explicar la variable Assault.
Actividad 10. Predicción e interpretación aplicada
Utilice el modelo múltiple para estimar el nivel esperado de arrestos por agresión en un estado hipotético con las siguientes características: Murder = 8, UrbanPop = 70 y Rape = 25.
nuevo_estado <- data.frame(
Murder = 8,
UrbanPop = 70,
Rape=25
)
predict(modelo_multiple, nuevo_estado, interval = "confidence")## fit lwr upr
## 1 184.6941 170.3306 199.0577predict(modelo_multiple, nuevo_estado, interval = "prediction")## fit lwr upr
## 1 184.6941 91.83006 277.5582Enunciados de análisis:
51. Reporte la predicción puntual obtenida para Assault.
La predicción puntual nos muestra que para Assault es 184.6941 arrestos por agresión por cada 100000 habitantes.
52. Interprete el intervalo de confianza.
Con un nivel de confianza del 95%, el promedio esperado de Assault se encuentra entre 170.33 y 199.06.
53. Interprete el intervalo de predicción.
Que el valor futuro de Assault podría estar entre 91.83 y 277.56.
54. Explique la diferencia entre intervalo de confianza e intervalo de predicción.
El intervalo de confianza estima el promedio esperado, mientras que el intervalo de predicción estima un valor individual posible; por eso, el de predicción es más amplio.
55. Explique cómo podría usar esta predicción una empresa multinacional dedicada al análisis de riesgo.
Una empresa multinacional dedicada al análisis de riesgo podría usar esta predicción para anticipar posibles problemas y tomar decisiones antes de que ocurran. Por ejemplo, le serviría para evaluar qué tan riesgosa puede ser una zona o un cliente y así reducir pérdidas.
Conclusión
El análisis mostró que las variables Murder y Rape están relacionadas con los arrestos por agresión (Assault). Además, el modelo de regresión múltiple fue mejor que los modelos simples porque explicó mejor los datos. También se comprobó que el modelo cumple bien los supuestos.