Comprobación empírica de la Ley de los Grandes Números

Simulación Monte Carlo aplicada al contexto operativo de un call center

1 Introducción

La Ley de los Grandes Números (LGN) establece que, cuando el tamaño de una muestra aleatoria aumenta, el promedio muestral tiende a aproximarse al valor esperado teórico de la variable aleatoria.

En el presente trabajo se realiza una comprobación empírica de esta ley mediante simulaciones Monte Carlo desarrolladas en el lenguaje R. El estudio se contextualiza en la operación de un call center, donde la variabilidad de la demanda y de los tiempos de atención constituye un problema fundamental para la planificación operativa.

Se analizan dos variables aleatorias:

• Variable discreta: número de llamadas recibidas por hora.
• Variable continua: tiempo de atención por llamada.

Se generan muestras de tamaños:

\[ n = 10,\ 50,\ 100,\ 1000,\ 10000 \]

y en cada caso se calcula el promedio muestral para verificar su convergencia hacia el valor esperado teórico.

2 Objetivo

Demostrar empíricamente la Ley de los Grandes Números mediante simulaciones Monte Carlo aplicadas al contexto operativo de un call center.

3 Contexto del estudio

Los call centers representan sistemas altamente dependientes de procesos aleatorios. La llegada de llamadas y el tiempo de atención presentan incertidumbre natural y requieren modelos probabilísticos para su análisis.

En este estudio se consideran dos fenómenos fundamentales:

• El número de llamadas recibidas por hora.
• El tiempo de atención de cada llamada.

Estas variables permiten evaluar cómo el promedio muestral se estabiliza cuando aumenta el número de observaciones.

4 Definición de variables

4.1 Variable discreta

Sea:

\[ X = \text{Número de llamadas recibidas por hora} \]

La variable se modela mediante una distribución de Poisson:

\[ X \sim Poisson(\lambda = 25) \]

donde:

\[ \lambda = 25 \]

representa el número promedio de llamadas por hora.

4.1.1 Propiedades teóricas

\[ E[X] = \lambda = 25 \]

\[ Var(X) = \lambda = 25 \]

\[ \sigma_X = \sqrt{25} = 5 \]

4.1.2 Interpretación

Se espera que el call center reciba, en promedio, 25 llamadas por hora.

5 Variable continua

Sea:

\[ Y = \text{Tiempo de atención por llamada (minutos)} \]

La variable se modela mediante una distribución Gamma:

\[ Y \sim Gamma(\alpha = 4,\ \beta = 2) \]

donde:

• \(\alpha = 4\): parámetro de forma.
• \(\beta = 2\): parámetro de tasa.

5.0.1 Propiedades teóricas

\[ E[Y] = \frac{\alpha}{\beta} = \frac{4}{2} = 2 \]

\[ Var(Y) = \frac{\alpha}{\beta^2} = \frac{4}{4} = 1 \]

\[ \sigma_Y = 1 \]

5.0.2 Interpretación

El tiempo promedio esperado de atención es de 2 minutos por llamada.

6 Metodología de simulación

Se generaron muestras aleatorias con tamaños:

\[ n = 10,\ 50,\ 100,\ 1000,\ 10000 \]

Para la variable discreta se utilizó:

• rpois()

Para la variable continua:

• rgamma()

En cada simulación se calcularon:

• Promedio muestral.
• Error absoluto.
• Intervalo de confianza.
• Trayectoria de convergencia.

7 Simulación inicial de datos

datos_demo <- data.frame(
  Operador = 1:10,
  Llamadas = rpois(10, lambda = 25),
  Tiempo_Atencion = round(rgamma(10, shape = 4, rate = 2), 2)
)

kable(
  datos_demo,
  caption = "Primeros 10 datos simulados del call center"
) %>%
  kable_styling(full_width = FALSE)

Primeros 10 datos simulados del call center

Operador	Llamadas	Tiempo_Atencion
1	27	3.41
2	19	1.08
3	15	1.63
4	32	1.60
5	30	3.61
6	23	3.99
7	28	3.74
8	21	1.80
9	20	2.41
10	12	3.74

8 Funciones para simulación y análisis

simular_poisson <- function(n, lambda){

  datos <- rpois(n, lambda)

  media <- mean(datos)

  ic <- t.test(datos)$conf.int

  error <- abs(media - lambda)

  promedio_acumulado <- cumsum(datos)/seq_along(datos)

  lista <- list(
    datos = datos,
    media = media,
    ic = ic,
    error = error,
    promedio_acumulado = promedio_acumulado
  )

  return(lista)
}

simular_gamma <- function(n, shape, rate){

  datos <- rgamma(n, shape = shape, rate = rate)

  esperado <- shape/rate

  media <- mean(datos)

  ic <- t.test(datos)$conf.int

  error <- abs(media - esperado)

  promedio_acumulado <- cumsum(datos)/seq_along(datos)

  lista <- list(
    datos = datos,
    media = media,
    ic = ic,
    error = error,
    promedio_acumulado = promedio_acumulado
  )

  return(lista)
}

9 Resultados de la variable discreta

La variable discreta representa el número de llamadas recibidas por hora.

\[ X \sim Poisson(25) \]

\[ E[X] = 25 \]

muestras <- c(10,50,100,1000,10000)

resultados_poisson <- list()

for(i in muestras){

  resultados_poisson[[as.character(i)]] <- simular_poisson(i,25)

}

10 Simulación para n = 10

res <- resultados_poisson[["10"]]

cat("Tamaño de muestra:",10,"\n")

## Tamaño de muestra: 10

cat("Promedio muestral:",round(res$media,3),"\n")

## Promedio muestral: 25.5

cat("Valor esperado teórico:",25,"\n")

## Valor esperado teórico: 25

cat("Diferencia absoluta:",round(res$error,3),"\n")

## Diferencia absoluta: 0.5

df <- data.frame(x=res$datos)

ggplot(df,aes(x=x))+

geom_histogram(
  aes(y=after_stat(density)),
  binwidth=1,
  fill="steelblue",
  color="white"
)+

stat_function(
  fun=dpois,
  args=list(lambda=25),
  color="red",
  linewidth=1
)+

geom_vline(
  xintercept=25,
  color="darkgreen",
  linewidth=1.2,
  linetype="dashed"
)+

labs(
  title="Poisson - n = 10",
  x="Número de llamadas",
  y="Densidad"
)+

theme_minimal()

Interpretación.

Para \(n=10\), el promedio muestral presenta una variabilidad considerable debido al tamaño reducido de la muestra.

11 Simulación para n = 50

res <- resultados_poisson[["50"]]

cat("Tamaño de muestra:",50,"\n")

## Tamaño de muestra: 50

cat("Promedio muestral:",round(res$media,3),"\n")

## Promedio muestral: 24.98

cat("Valor esperado teórico:",25,"\n")

## Valor esperado teórico: 25

cat("Diferencia absoluta:",round(res$error,3),"\n")

## Diferencia absoluta: 0.02

12 Simulación para n = 100

res <- resultados_poisson[["100"]]

cat("Tamaño de muestra:",100,"\n")

## Tamaño de muestra: 100

cat("Promedio muestral:",round(res$media,3),"\n")

## Promedio muestral: 25.5

cat("Valor esperado teórico:",25,"\n")

## Valor esperado teórico: 25

cat("Diferencia absoluta:",round(res$error,3),"\n")

## Diferencia absoluta: 0.5

13 Simulación para n = 1000

res <- resultados_poisson[["1000"]]

cat("Tamaño de muestra:",1000,"\n")

## Tamaño de muestra: 1000

cat("Promedio muestral:",round(res$media,3),"\n")

## Promedio muestral: 24.887

cat("Valor esperado teórico:",25,"\n")

## Valor esperado teórico: 25

cat("Diferencia absoluta:",round(res$error,3),"\n")

## Diferencia absoluta: 0.113

14 Simulación para n = 10000

res <- resultados_poisson[["10000"]]

cat("Tamaño de muestra:",10000,"\n")

## Tamaño de muestra: 10000

cat("Promedio muestral:",round(res$media,3),"\n")

## Promedio muestral: 25.002

cat("Valor esperado teórico:",25,"\n")

## Valor esperado teórico: 25

cat("Diferencia absoluta:",round(res$error,3),"\n")

## Diferencia absoluta: 0.002

15 Resumen de la variable discreta

tabla_poisson <- data.frame(
  n = muestras,
  Promedio_Muestral = sapply(resultados_poisson,function(x) round(x$media,4)),
  Valor_Esperado = 25,
  Diferencia_Absoluta = sapply(resultados_poisson,function(x) round(x$error,4))
)

kable(
  tabla_poisson,
  caption = "Resumen de convergencia - Variable discreta"
) %>%
  kable_styling(full_width = FALSE)

Resumen de convergencia - Variable discreta

	n	Promedio_Muestral	Valor_Esperado	Diferencia_Absoluta
10	10	25.5000	25	0.5000
50	50	24.9800	25	0.0200
100	100	25.5000	25	0.5000
1000	1000	24.8870	25	0.1130
10000	10000	25.0017	25	0.0017

16 Gráfico de convergencia estocástica

trayectoria_poisson <- cumsum(
  rpois(10000,25)
)/seq_len(10000)

df_conv <- data.frame(
  n = 1:10000,
  promedio = trayectoria_poisson
)

ggplot(df_conv,aes(x=n,y=promedio))+

geom_line(color="steelblue")+

geom_hline(
  yintercept=25,
  color="red",
  linetype="dashed",
  linewidth=1
)+

scale_x_log10()+

labs(
  title="Convergencia estocástica - Poisson",
  x="Tamaño muestral",
  y="Promedio acumulado"
)+

theme_minimal()

17 Resultados de la variable continua

La variable continua representa el tiempo de atención por llamada.

\[ Y \sim Gamma(4,2) \]

\[ E[Y] = 2 \]

resultados_gamma <- list()

for(i in muestras){

  resultados_gamma[[as.character(i)]] <- simular_gamma(i,4,2)

}

18 Simulación para n = 10

res <- resultados_gamma[["10"]]

cat("Tamaño de muestra:",10,"\n")

## Tamaño de muestra: 10

cat("Promedio muestral:",round(res$media,3),"\n")

## Promedio muestral: 2.136

cat("Valor esperado teórico:",2,"\n")

## Valor esperado teórico: 2

cat("Diferencia absoluta:",round(res$error,3),"\n")

## Diferencia absoluta: 0.136

df <- data.frame(x=res$datos)

ggplot(df,aes(x=x))+

geom_histogram(
  aes(y=after_stat(density)),
  bins=10,
  fill="skyblue",
  color="white"
)+

stat_function(
  fun=dgamma,
  args=list(shape=4,rate=2),
  color="blue",
  linewidth=1
)+

geom_vline(
  xintercept=2,
  color="darkgreen",
  linewidth=1.2,
  linetype="dashed"
)+

labs(
  title="Gamma - n = 10",
  x="Tiempo de atención",
  y="Densidad"
)+

theme_minimal()

19 Simulación para n = 50

res <- resultados_gamma[["50"]]

cat("Tamaño de muestra:",50,"\n")

## Tamaño de muestra: 50

cat("Promedio muestral:",round(res$media,3),"\n")

## Promedio muestral: 1.995

cat("Valor esperado teórico:",2,"\n")

## Valor esperado teórico: 2

cat("Diferencia absoluta:",round(res$error,3),"\n")

## Diferencia absoluta: 0.005

20 Simulación para n = 100

res <- resultados_gamma[["100"]]

cat("Tamaño de muestra:",100,"\n")

## Tamaño de muestra: 100

cat("Promedio muestral:",round(res$media,3),"\n")

## Promedio muestral: 1.972

cat("Valor esperado teórico:",2,"\n")

## Valor esperado teórico: 2

cat("Diferencia absoluta:",round(res$error,3),"\n")

## Diferencia absoluta: 0.028

21 Simulación para n = 1000

res <- resultados_gamma[["1000"]]

cat("Tamaño de muestra:",1000,"\n")

## Tamaño de muestra: 1000

cat("Promedio muestral:",round(res$media,3),"\n")

## Promedio muestral: 1.994

cat("Valor esperado teórico:",2,"\n")

## Valor esperado teórico: 2

cat("Diferencia absoluta:",round(res$error,3),"\n")

## Diferencia absoluta: 0.006

22 Simulación para n = 10000

res <- resultados_gamma[["10000"]]

cat("Tamaño de muestra:",10000,"\n")

## Tamaño de muestra: 10000

cat("Promedio muestral:",round(res$media,3),"\n")

## Promedio muestral: 2.008

cat("Valor esperado teórico:",2,"\n")

## Valor esperado teórico: 2

cat("Diferencia absoluta:",round(res$error,3),"\n")

## Diferencia absoluta: 0.008

23 Resumen de la variable continua

tabla_gamma <- data.frame(
  n = muestras,
  Promedio_Muestral = sapply(resultados_gamma,function(x) round(x$media,4)),
  Valor_Esperado = 2,
  Diferencia_Absoluta = sapply(resultados_gamma,function(x) round(x$error,4))
)

kable(
  tabla_gamma,
  caption = "Resumen de convergencia - Variable continua"
) %>%
  kable_styling(full_width = FALSE)

Resumen de convergencia - Variable continua

	n	Promedio_Muestral	Valor_Esperado	Diferencia_Absoluta
10	10	2.1363	2	0.1363
50	50	1.9949	2	0.0051
100	100	1.9721	2	0.0279
1000	1000	1.9939	2	0.0061
10000	10000	2.0077	2	0.0077

24 Gráfico de convergencia estocástica

trayectoria_gamma <- cumsum(
  rgamma(10000,shape=4,rate=2)
)/seq_len(10000)

df_conv2 <- data.frame(
  n = 1:10000,
  promedio = trayectoria_gamma
)

ggplot(df_conv2,aes(x=n,y=promedio))+

geom_line(color="darkorange")+

geom_hline(
  yintercept=2,
  color="red",
  linetype="dashed",
  linewidth=1
)+

scale_x_log10()+

labs(
  title="Convergencia estocástica - Gamma",
  x="Tamaño muestral",
  y="Promedio acumulado"
)+

theme_minimal()

25 Comparación de convergencia

comparacion <- data.frame(
  n = 1:10000,
  Poisson = trayectoria_poisson/25,
  Gamma = trayectoria_gamma/2
)

ggplot(comparacion,aes(x=n))+

geom_line(aes(y=Poisson,color="Poisson"))+

geom_line(aes(y=Gamma,color="Gamma"))+

geom_hline(
  yintercept=1,
  linetype="dashed",
  color="black"
)+

scale_x_log10()+

labs(
  title="Comparación normalizada de convergencia",
  x="Tamaño muestral",
  y="Promedio normalizado"
)+

theme_minimal()

26 Análisis general

Los resultados muestran claramente la Ley de los Grandes Números.

En muestras pequeñas:

• Existe alta variabilidad.
• El promedio muestral puede alejarse del valor esperado.
• El azar tiene fuerte influencia.

En muestras grandes:

• Las fluctuaciones disminuyen.
• El promedio acumulado se estabiliza.
• La convergencia hacia el parámetro poblacional es evidente.

En ambas variables se observa una estabilización clara aproximadamente desde:

\[ n \approx 1000 \]

27 Conclusiones

• La simulación confirma empíricamente la Ley de los Grandes Números.

• Para la variable Poisson, el promedio converge hacia:

\[ E[X]=25 \]

• Para la variable Gamma, el promedio converge hacia:

\[ E[Y]=2 \]

• El efecto del azar disminuye conforme aumenta el tamaño muestral.

• Los gráficos de convergencia muestran que las trayectorias se estabilizan alrededor del valor esperado teórico.

• En aplicaciones operativas de call centers, contar con suficientes observaciones permite estimaciones más precisas sobre demanda y tiempos de atención.

28 Referencias

• Ross, S. (2014). Introduction to Probability Models. Academic Press.

• Wackerly, D., Mendenhall, W., & Scheaffer, R. (2010). Estadística matemática con aplicaciones. Cengage Learning.

• R Core Team. (2025). R: A Language and Environment for Statistical Computing. R Foundation for Statistical Computing.

• Xie, Y. (2015). Dynamic Documents with R and knitr. Chapman & Hall/CRC.

• Xie, Y., Allaire, J., & Grolemund, G. (2018). R Markdown: The Definitive Guide.