Trabajo Final – Instrumentos Derivados Financieros
Aplicación de cobertura con futuros de índice bursátil y forward de divisas
Integrantes del grupo: Jose Alejandro Zea Cano, Juan Fernando Castro Raigoza, Victor Andres Rivera Tovar
08 de mayo de 2026
1 Introducción general
El presente documento desarrolla el trabajo final de la asignatura Instrumentos Derivados Financieros y comprende dos aplicaciones prácticas que ilustran cómo los derivados financieros se utilizan para administrar dos tipos distintos de riesgo de mercado.
En la Parte 1 se construye un portafolio óptimo de inversión en acciones del S&P 500 bajo el criterio de media-varianza (Markowitz, 1952) y, posteriormente, se diseña una estrategia de cobertura del riesgo sistemático del portafolio mediante el contrato de futuros Micro E-mini S&P 500 (MES) listado en el CME Group. El caso plantea una inversión hipotética de USD 20.000.000 con horizonte de cuatro años a partir del 31 de marzo de 2026.
En la Parte 2 se analiza una estrategia de cobertura cambiaria mediante contratos forward USD/COP no entregables (NDF) para mitigar el riesgo de tipo de cambio asociado a un crédito en dólares contraído por una empresa colombiana con el fin de adquirir maquinaria amarilla. El caso plantea un crédito a 10 años bajo sistema de amortización francés y la contratación de cuatro forwards anuales por el 75 % de las cuotas a partir del sexto año.
Ambas partes comparten una estructura metodológica común: el análisis fundamental del subyacente, el tratamiento estadístico de la información histórica, la cuantificación del riesgo, la aplicación del derivado correspondiente y la evaluación de escenarios alternativos. La metodología sigue los lineamientos académicos de Hull (2018), Jorion (2007) y Tsay (2010), y se integra con datos de mercado provenientes de Yahoo Finance, Bloomberg y el CME Group.
2 Parte 1. Aplicación de cobertura con futuros de índice bursátil
2.1 Selección de activos e índice de referencia
La elección de las tres acciones busca representar sectores diferentes del índice S&P 500, criterio que respalda la teoría de Markowitz (1952) sobre los beneficios de la diversificación: cuando los activos presentan correlaciones imperfectas, la varianza del portafolio puede reducirse sin sacrificar proporcionalmente el retorno esperado. Las acciones seleccionadas son Adobe Inc. (ADBE), JPMorgan Chase & Co. (JPM) y The Coca-Cola Company (KO), evitando deliberadamente las grandes tecnológicas AAPL, MSFT y NVDA conforme a las restricciones del enunciado.
| Empresa | Ticker | Sector GICS | Justificación |
|---|---|---|---|
| Adobe Inc. | ADBE | Tecnología – Software | Empresa de software de productividad creativa y digital con alta sensibilidad al ciclo tecnológico. |
| JPMorgan Chase & Co. | JPM | Servicios Financieros – Banca | Mayor banco de Estados Unidos por activos; sensible a tasas de interés y al ciclo económico. |
| Coca-Cola Company | KO | Consumo Masivo – Bebidas | Empresa de consumo defensivo, con bajo beta histórico y flujos estables. |
El índice de referencia o benchmark es el S&P 500
(^GSPC), por ser el más representativo del mercado
accionario estadounidense de gran capitalización y ser el subyacente
directo del contrato de futuros utilizado para la cobertura.
El instrumento de cobertura escogido es el Micro E-mini S&P 500 Futures (código MES) del CME Group. Este contrato fue diseñado para ofrecer mayor granularidad que el E-mini estándar (ES), con un multiplicador de USD 5 por punto del S&P 500, lo que permite a inversionistas con portafolios de tamaño intermedio ajustar de manera precisa la cantidad de contratos de cobertura.
2.2 Análisis fundamental de las acciones
2.2.1 Adobe Inc. (ADBE)
Adobe Inc. es una compañía de software con sede en San José, California, dedicada principalmente al desarrollo de soluciones de creatividad digital, gestión documental y experiencia del cliente. Sus tres segmentos operativos son Digital Media (que incluye Creative Cloud y Document Cloud), Digital Experience y Publishing & Advertising. La empresa adoptó hace una década un modelo de suscripción que ha permitido estabilizar sus ingresos recurrentes y reducir su exposición a la volatilidad del consumo discrecional de software (Adobe Inc., 2024).
Desde el punto de vista financiero, Adobe ha mostrado históricamente márgenes operativos elevados, propios de una empresa de software con costos marginales bajos. Sin embargo, durante 2023 y 2024 la cotización de la acción fue afectada por la incertidumbre sobre el cierre de la adquisición de Figma y por la presión competitiva derivada de la inteligencia artificial generativa, factores que se reflejaron en una corrección del múltiplo de valoración (S&P Global, 2024). De cara al cierre de marzo de 2026, la expectativa razonable es que el precio de ADBE haya recuperado parte del terreno perdido a medida que la integración de capacidades de IA en sus productos (Firefly, GenStudio) se materialice en mayores ingresos. No obstante, la trayectoria del precio depende de variables no controlables como la política de tasas de interés y la competencia en el segmento de IA generativa.
2.2.2 JPMorgan Chase & Co. (JPM)
JPMorgan Chase es la entidad bancaria más grande de Estados Unidos por activos totales y una de las cuatro instituciones consideradas como bancos sistémicamente importantes a nivel global. Sus líneas de negocio incluyen banca de consumo, banca corporativa y de inversión, gestión de activos y patrimonios, y servicios de tesorería. El desempeño de JPM está estrechamente vinculado al ciclo de tasas de interés de la Reserva Federal, en la medida en que el margen de intermediación financiera (NIM) constituye una porción relevante de sus ingresos (JPMorgan Chase & Co., 2024).
En el contexto del período 2022–2025, el banco se benefició del ciclo de alzas de tasas iniciado por la Reserva Federal, lo que se tradujo en márgenes de intermediación históricamente altos. Hacia 2026, en un entorno de normalización monetaria y eventuales recortes graduales de tasas, se espera que el margen se comprima parcialmente, aunque la calidad de los activos y la sólida posición de capital de JPM constituyen factores favorables. Para la fecha de inicio de la inversión (31 de marzo de 2026), la expectativa razonable es la de un comportamiento estable o levemente alcista, sustentado en los buenos resultados de banca de inversión y en la fortaleza de la economía estadounidense.
2.2.3 The Coca-Cola Company (KO)
The Coca-Cola Company es una multinacional de bebidas no alcohólicas con presencia en más de 200 países. Su modelo de negocio se basa en la concentración y comercialización de jarabes y concentrados que son distribuidos por embotelladoras independientes. KO se considera un activo defensivo dentro del S&P 500, ya que su demanda es relativamente inelástica al ciclo económico y sus flujos de caja son altamente predecibles (The Coca-Cola Company, 2024).
Desde el punto de vista del riesgo sistemático, KO presenta históricamente una beta inferior a 1, lo que indica que sus retornos son menos volátiles que los del mercado. La principal fuente de riesgo idiosincrático proviene de la exposición cambiaria (cerca de dos terceras partes de los ingresos provienen de fuera de Estados Unidos), del costo de las materias primas y de cambios regulatorios sobre azúcares añadidos en distintas jurisdicciones. De cara a marzo de 2026, se anticipa un comportamiento moderado y estable en el precio, alineado con su perfil de empresa madura y de dividendos.
Nota. Este análisis fundamental tiene carácter educativo y se construye con información pública disponible al momento de redacción. No constituye recomendación de inversión.
2.3 Descarga y tratamiento de datos
Los precios ajustados de cierre se descargan desde Yahoo Finance
utilizando el paquete quantmod. Los precios ajustados
incluyen el efecto de dividendos y splits, lo cual es la
práctica estándar para cálculos de retorno (Tsay, 2010).
Evolución histórica de los precios ajustados de las acciones (base 100 en 2016-03-30).
La base contiene 2515 observaciones diarias entre 30/03/2016 y 30/03/2026. Visualmente se aprecia el liderazgo histórico de ADBE en la primera mitad del período y la corrección observada en 2022-2023, así como la trayectoria estable de KO, característica de un activo defensivo.
2.4 Cálculo de retornos y riesgo individual
2.4.1 Retornos diarios logarítmicos
Los retornos se calculan como retornos logarítmicos diarios, \(r_{t} = \ln(P_t / P_{t-1})\). Esta especificación es ampliamente preferida en finanzas cuantitativas porque es aditiva en el tiempo y se aproxima a una distribución más simétrica que el retorno aritmético (Tsay, 2010).
| Acción | Retorno medio diario | DE diaria | Asimetría | Curtosis | |
|---|---|---|---|---|---|
| ADBE | ADBE | 0.000376 | 0.021466 | -0.7738 | 13.0363 |
| JPM | JPM | 0.000727 | 0.017214 | -0.1120 | 16.6601 |
| KO | KO | 0.000321 | 0.011475 | -0.8389 | 13.3294 |
Los estadísticos muestran asimetrías cercanas a cero y curtosis superiores a 3 en las tres acciones, lo cual es habitual en series financieras y refleja la presencia de colas más pesadas que la distribución normal.
2.4.2 Retornos anuales y desviación estándar anual
Bajo el supuesto de retornos i.i.d. y de un año comercial de 252 días, la anualización se obtiene multiplicando por 252 el retorno medio diario y por \(\sqrt{252}\) la desviación estándar diaria (Hull, 2018):
| Acción | Retorno anual | DE anual |
|---|---|---|
| ADBE | 9.47 % | 34.08 % |
| JPM | 18.31 % | 27.33 % |
| KO | 8.08 % | 18.22 % |
Retornos acumulados de las tres acciones.
Los retornos anuales son una proyección estadística basada en el promedio histórico y por sí solos no garantizan rendimientos futuros. La desviación estándar anual indica la magnitud típica de las desviaciones del retorno respecto a su media; cuanto mayor es, mayor es la incertidumbre asociada al activo. ADBE, al ser una acción tecnológica, exhibe la mayor volatilidad, mientras que KO presenta la menor, consistente con su perfil defensivo.
2.5 Matriz de varianzas y covarianzas
La matriz de varianzas y covarianzas anualizada se obtiene multiplicando por 252 la matriz diaria. Es el insumo central de la optimización media-varianza:
| ADBE | JPM | KO | |
|---|---|---|---|
| ADBE | 0.11612 | 0.03049 | 0.01695 |
| JPM | 0.03049 | 0.07468 | 0.02011 |
| KO | 0.01695 | 0.02011 | 0.03318 |
| ADBE | JPM | KO | |
|---|---|---|---|
| ADBE | 1.0000 | 0.3275 | 0.273 |
| JPM | 0.3275 | 1.0000 | 0.404 |
| KO | 0.2730 | 0.4040 | 1.000 |
Mapa de calor de las correlaciones.
Las correlaciones positivas pero moderadas entre las tres acciones sugieren que existe espacio para diversificación: ninguna pareja de activos se mueve de manera idéntica al mercado, por lo que combinar las tres reduce la varianza del portafolio respecto a invertir en una sola.
2.6 Optimización del portafolio
2.6.1 Marco teórico
El problema de Markowitz (1952) puede plantearse, para el portafolio de máximo Sharpe (también llamado portafolio tangente), como:
\[ \max_{w} \quad \frac{w^{T}\mu - r_f}{\sqrt{w^{T}\Sigma w}} \quad \text{s.a.} \quad \sum_{i} w_i = 1,\; w_i \geq 0 \]
donde \(w\) es el vector de pesos, \(\mu\) el vector de retornos esperados, \(\Sigma\) la matriz de covarianzas y \(r_f\) la tasa libre de riesgo.
Para esta aplicación se adopta el portafolio de máximo Sharpe, ya que entrega la combinación que maximiza el retorno por unidad de riesgo asumido y es coherente con el supuesto de un inversionista racional que enfrenta una tasa libre de riesgo positiva. La restricción de no negatividad de los pesos refleja la imposibilidad de tomar posiciones cortas en este caso.
2.6.2 Tasa libre de riesgo
La tasa libre de riesgo utilizada es 4.34 %,
descargada desde Yahoo Finance (^TNX). Corresponde al rendimiento del
Tesoro de EE. UU. a 10 años (^TNX), referencia estándar
para la tasa libre de riesgo en estudios sobre el mercado
estadounidense.
2.6.3 Solución vía optimización cuadrática
Se utiliza el paquete quadprog, que resuelve programas
cuadráticos de la forma \(\min \tfrac{1}{2}
w^{T} D w - d^{T} w\) con restricciones lineales. Para encontrar
el portafolio tangente bajo no-negatividad se realiza una grilla de
retornos objetivo y se selecciona aquel con el mayor Sharpe Ratio.
| Acción | Peso óptimo | Inversión (USD) |
|---|---|---|
| ADBE | 0 % | USD 0 |
| JPM | 99.9 % | USD 19,980,448 |
| KO | 0.1 % | USD 19,552 |
Pesos óptimos del portafolio.
Frontera eficiente y portafolio óptimo.
2.7 Retorno, riesgo y Sharpe Ratio del portafolio
| Indicador | Valor |
|---|---|
| Retorno esperado anual | 18.3 % |
| Desviación estándar anual | 27.31 % |
| Tasa libre de riesgo | 4.34 % |
| Sharpe Ratio | 0.5113 |
El Sharpe Ratio resultante refleja el premio por unidad de riesgo total que el portafolio óptimo entrega por encima de la tasa libre de riesgo. Valores superiores a 1 son considerados buenos en la literatura, aunque la interpretación dependerá del contexto del mercado y del horizonte de inversión (Sharpe, 1994). La diversificación entre los tres activos reduce la desviación estándar del portafolio por debajo de la del activo individual más volátil, validando empíricamente el resultado central de la teoría moderna de portafolio.
2.8 VaR diario al 1 % y al 5 %
El Value at Risk (VaR) mide la pérdida máxima esperada del portafolio dentro de un horizonte determinado y a un nivel de confianza dado. Para un horizonte de un día, bajo el supuesto de normalidad de los retornos, se calcula como (Jorion, 2007):
\[ \text{VaR}_{\alpha} = -\left(\mu_{p} + z_{\alpha} \cdot \sigma_{p}\right) \cdot V \]
donde \(z_\alpha\) es el cuantil correspondiente y \(V\) es el valor del portafolio.
| Método | Confianza | VaR diario (USD) |
|---|---|---|
| Paramétrico (normal) | 99 % | 785,838 |
| Paramétrico (normal) | 95 % | 551,374 |
| Histórico | 99 % | 912,737 |
| Histórico | 95 % | 507,016 |
Interpretación. Un VaR diario al 95 % de aproximadamente USD 551,374 significa que, bajo condiciones de mercado similares a las observadas en la última década y suponiendo retornos aproximadamente normales, en sólo el 5 % de los días peores se esperarían pérdidas superiores a esa cifra. El VaR al 99 % (USD 785,838) corresponde a un escenario más extremo, donde apenas en 1 día de cada 100 se esperarían pérdidas mayores. La comparación entre VaR paramétrico y VaR histórico es relevante: si el VaR histórico es superior al paramétrico, ello indica que la distribución empírica tiene colas más pesadas que la normal y que el modelo paramétrico puede estar subestimando el riesgo de eventos extremos.
Es importante recordar dos limitaciones del VaR: (i) no informa sobre la magnitud de las pérdidas más allá del umbral —limitación que sí aborda el Conditional VaR o Expected Shortfall— y (ii) bajo el supuesto de normalidad, puede subestimar las colas pesadas frecuentes en mercados financieros. Estos valores se utilizarán como referencia de exposición diaria que la cobertura con futuros busca acotar.
2.9 Betas CAPM y beta del portafolio
El modelo CAPM relaciona el exceso de retorno de un activo con el exceso de retorno del mercado a través del coeficiente beta (Sharpe, 1964):
\[ r_i - r_f = \alpha_i + \beta_i (r_m - r_f) + \varepsilon_i \]
| Activo | Beta | |
|---|---|---|
| ADBE | ADBE | 1.2420 |
| JPM | JPM | 1.0764 |
| KO | KO | 0.5252 |
| Portafolio óptimo | 1.0758 |
Una beta superior a 1 indica que el activo amplifica los movimientos del mercado, mientras que una beta inferior a 1 indica un comportamiento más defensivo. La beta del portafolio (1.0758) se calcula como el promedio ponderado de las betas individuales según los pesos óptimos, y constituye el insumo crítico para dimensionar la cobertura con futuros.
2.10 Cobertura con futuros Micro E-mini S&P 500
2.10.1 Precio del futuro
El precio de referencia del futuro MES utilizado es 6,388.25 puntos, descargado desde Yahoo Finance (MES=F).
2.10.2 Número óptimo de contratos
La fórmula para el número óptimo de contratos para cobertura de un portafolio de acciones con futuros sobre un índice (Hull, 2018) es:
\[ N^{*} = \dfrac{\beta_p \times V_p}{F \times m} \]
donde \(\beta_p\) es la beta del portafolio, \(V_p\) es el valor del portafolio, \(F\) es el precio del futuro y \(m\) es el multiplicador del contrato (USD 5 para MES).
| Concepto | Valor |
|---|---|
| Beta del portafolio | 1.0758 |
| Valor del portafolio (USD) | 20,000,000 |
| Precio del futuro MES | 6,388.25 |
| Multiplicador MES | 5 |
| N óptimo (sin redondear) | 673.6347 |
| N óptimo (redondeado) | 674 |
El resultado es un short hedge de aproximadamente 674 contratos MES, posición que neutralizará en expectativa los movimientos del mercado sobre el portafolio. Cada contrato representa una exposición nocional cercana a USD 31,941, equivalente al precio del S&P 500 multiplicado por USD 5.
2.11 Análisis de margen y roll-over trimestral
2.11.1 Tabla de márgenes de mantenimiento (CME Group)
Los márgenes de mantenimiento publicados por el CME Group para el contrato Micro E-mini S&P 500 (MES) en cada vencimiento del año 2026-2027 son los siguientes:
| Vencimiento | Maintenance Long (USD) | Maintenance Short (USD) |
|---|---|---|
| 06/2026 | 2408 | 2271 |
| 09/2026 | 2424 | 2285 |
| 12/2026 | 2433 | 2295 |
| 03/2027 | 2474 | 2319 |
2.11.2 Margen total requerido
Para una posición corta de cobertura usando el vencimiento 06/2026:
| Concepto | Valor |
|---|---|
| Número de contratos cortos | 674 |
| Margen de mantenimiento unitario (Short, 06/2026) | USD 2,271 |
| Margen total requerido | USD 1,530,654 |
| Margen como % del portafolio | 7.65 % |
El margen requerido representa una fracción reducida del portafolio (7.65 %), lo cual evidencia el efecto de apalancamiento propio de los futuros: con relativamente poco capital inmovilizado se obtiene una cobertura nocional equivalente al beta del portafolio multiplicada por su valor.
2.11.3 Análisis de cobertura: posición corta en futuros
Cuando un inversionista mantiene un portafolio de acciones largo y vende contratos de futuros sobre el índice, está implementando una cobertura de tipo short hedge. La intuición financiera es la siguiente:
- Si el mercado cae: las acciones del portafolio pierden valor, pero la posición corta en futuros gana valor en magnitud aproximadamente proporcional a \(\beta_p \times \Delta\%_{\text{mercado}}\). La cobertura compensa, total o parcialmente, la pérdida del portafolio. Por ejemplo, una caída del 5 % del S&P 500 generaría una pérdida esperada en el portafolio cercana al 5.38 % (USD 1,075,837), pero la posición corta en MES generaría una ganancia aproximadamente equivalente, neutralizando el impacto.
- Si el mercado sube: las acciones del portafolio ganan valor, pero la posición corta en futuros pierde. La cobertura sacrifica parte de la ganancia, lo cual es el costo de oportunidad de tener un seguro.
La cobertura no es perfecta porque: (i) la beta es una estimación histórica que puede cambiar en el tiempo, (ii) el portafolio incluye riesgo idiosincrático no replicable por el índice y (iii) la base entre el futuro y el índice puede variar (riesgo de base).
2.11.4 Roll-over trimestral
El contrato MES expira mensualmente, pero la liquidez se concentra en los vencimientos trimestrales (marzo, junio, septiembre, diciembre). Para mantener la cobertura durante el horizonte de cuatro años de inversión es necesario realizar roll-over del contrato cerca del vencimiento, lo que implica:
- Cerrar la posición corta del vencimiento próximo.
- Abrir una nueva posición corta en el siguiente vencimiento trimestral.
- Asumir el costo o ganancia de base entre los dos contratos.
Si el mercado se mantiene en contango (futuros más caros que el spot), una posición corta tiende a generar un pequeño retorno positivo al rolar; si está en backwardation, ocurre lo contrario. Mantenerse permanentemente en corto significa renunciar al alza estructural del mercado pero proteger el portafolio frente a caídas; mantenerse permanentemente en largo equivaldría a apalancar la exposición al mercado, lo cual es contrario al objetivo de cobertura. El inversionista debe entonces evaluar trimestralmente si conservar la cobertura, ajustar el número de contratos conforme la beta cambie, o cerrarla parcialmente si la perspectiva de mercado lo justifica.
2.12 Escenarios con beta 0.8 y beta 1.5
| Escenario | Beta | N (cálculo) | N (redondeado) | Margen total | % portafolio |
|---|---|---|---|---|---|
| Beta real | 1.0758 | 673.61 | 674 | USD 1,530,654 | 7.65 % |
| Beta = 0.8 | 0.8000 | 500.92 | 501 | USD 1,137,771 | 5.69 % |
| Beta = 1.5 | 1.5000 | 939.22 | 939 | USD 2,132,469 | 10.66 % |
Comparación del número de contratos MES requeridos según beta.
Interpretación. A mayor beta del portafolio, mayor sensibilidad ante movimientos del mercado y por tanto mayor número de contratos necesarios para cubrirlo. Con \(\beta=0.8\) el portafolio se considera defensivo y requiere 501 contratos, lo cual reduce el margen requerido pero también deja al portafolio menos cubierto si la beta real fuese mayor. Con \(\beta=1.5\) ocurre lo contrario: la cobertura es más intensa (939 contratos), requiere mayor capital de margen y supone un costo más alto en términos de oportunidad si el mercado sube. La sensibilidad es lineal: doblar la beta dobla el número de contratos y, por tanto, el margen total requerido. Esto pone de manifiesto la importancia de estimar la beta de forma robusta, dado que un error sistemático en su medición se traduce proporcionalmente en una sobre o sub-cobertura del portafolio.
3 Parte 2. Desarrollo de un forward de divisas
3.1 Contexto del ejercicio
La Parte 2 aborda una estrategia de cobertura cambiaria mediante contratos forward USD/COP no entregables (NDF) para mitigar el riesgo de tipo de cambio asociado a un crédito en dólares contraído por una empresa colombiana con el fin de adquirir maquinaria amarilla.
El caso plantea que los inversionistas requieren COP 350.000.000 para
la compra del activo y deciden financiarlo en un 90 % mediante un
crédito en Estados Unidos a 10 años bajo sistema francés, con una cuota
inicial del 10 %. La tasa de financiación se construye como
USGG10YR Index (4,3861 %) + spread comercial (2,00
%) = 6.3861 % anual. Esta composición busca reflejar que ningún
corporativo se financia exactamente al rendimiento del Tesoro: la tasa
libre de riesgo es la base, y el spread comercial captura el
riesgo de crédito del prestatario.
Para proteger los pagos del riesgo cambiario, los inversionistas contratan forwards USD/COP por el 75 % del valor de las cuotas a partir del sexto año, suponiendo cuatro forwards consecutivos de un año cada uno (años 6 a 9). Esta estructura introduce una decisión deliberada: cubrir solo los años en los que la amortización a capital es más alta, dejando los primeros cinco años sin cobertura.
3.2 Análisis fundamental de la TRM
El análisis fundamental del USD/COP busca contextualizar la trayectoria esperada del tipo de cambio frente al perfil de riesgo del crédito. La información de mercado proviene de Bloomberg al cierre del período de estudio.
| Indicador | Valor |
|---|---|
| Spot actual USD/COP | 3,736.73 |
| Consenso de analistas (1Y) | 3,682.50 |
| Forward del modelo (1Y) | 3,776.43 |
| Forward Bloomberg medio (1Y) | 4,060.61 |
| Intervalo inferior 1Y (75.9 %) | 3,388.64 |
| Intervalo superior 1Y (75.9 %) | 4,731.05 |
| Año | USD/COP esperado |
|---|---|
| 2025 | 3,775 |
| 2026 | 3,775 |
| 2027 | 3,830 |
| 2028 | 3,850 |
Los datos sugieren que, en el corto plazo, el peso colombiano se mantendría relativamente estable en torno a 3.700–3.800 COP/USD, en línea con un escenario de aterrizaje suave de la inflación estadounidense y de mantenimiento de las tasas reales en Colombia. No obstante, el forecast macroeconómico muestra una tendencia leve de depreciación gradual hacia 2028 (3.850 COP/USD), coherente con el diferencial estructural de inflación entre ambas economías y con la teoría de la paridad cubierta de tasas de interés.
El intervalo de confianza al 75.9 % es particularmente revelador: oscila entre 3,388.64 y 4,731.05, lo cual implica una amplitud cercana al 35 % del valor spot. Esta dispersión confirma que la TRM está sujeta a una incertidumbre material que justifica el uso de instrumentos de cobertura para una empresa con pasivos en dólares. Dicho de otra forma, mientras que el escenario central sugiere estabilidad, los escenarios extremos posibles dentro de un solo año cubren un rango de más de COP 1.300 por dólar, lo cual representa un riesgo financiero significativo para una empresa con flujos en pesos.
3.3 Carga y tratamiento de datos históricos
Se carga el archivo DERIVADOS.xlsx con la información
histórica del USD/COP, la tasa SOFR, la volatilidad implícita 1Y ATM y
la tasa COOVIBR (referencia colombiana). El archivo debe ubicarse en el
mismo directorio que este .Rmd.
| Fecha | USDCOP | SOFR | Vol_imp | COOVIBR |
|---|---|---|---|---|
| 2016-01-04 | 3219.02 | NA | 20.020 | 5.548 |
| 2016-01-05 | 3211.75 | NA | 20.115 | 5.539 |
| 2016-01-06 | 3256.75 | NA | 19.775 | 5.541 |
| 2016-01-07 | 3272.18 | NA | 20.175 | 5.542 |
| 2016-01-08 | 3266.02 | NA | 20.570 | 5.544 |
La base contiene 2536 observaciones diarias entre 04/01/2016 y 07/05/2026, cubriendo aproximadamente diez años de información, suficiente para estimar la dinámica de la TRM en distintos regímenes (períodos de auge de commodities, choques externos como la pandemia, ciclos de la Reserva Federal, etc.).
Evolución diaria histórica del USD/COP (2016-2026).
3.4 Retornos mensuales y volatilidad de la TRM
| Indicador | Valor |
|---|---|
| Retorno medio mensual | 0.1042 % |
| Desviación estándar mensual | 3.7863 % |
| Retorno anualizado | 1.25 % |
| Volatilidad anualizada | 13.12 % |
| Número de observaciones | 124 |
Distribución de los retornos mensuales del USD/COP.
La volatilidad mensual histórica se sitúa en torno a 3.79 %, lo cual implica una volatilidad anualizada cercana a 13.12 %. Para una empresa endeudada en dólares, esta cifra significa que las cuotas anuales pueden fluctuar de manera importante al traducirse a pesos: una desviación de un sigma respecto al spot actual implicaría un cambio de aproximadamente 490 COP por cada dólar, magnitud relevante para pagos anuales de varias decenas de miles de dólares. Adicionalmente, la distribución empírica muestra colas más gruesas que las de una distribución normal, particularidad que se incorporará en la simulación bajo t-Student.
3.5 Simulación del crédito en dólares
El crédito se modela bajo sistema de amortización francés, en el cual la cuota anual permanece constante y se descompone en una porción de intereses y una de amortización a capital.
| Concepto | Valor |
|---|---|
| Valor maquinaria (COP) | 350,000,000 |
| Cuota inicial 10 % (COP) | 35,000,000 |
| Monto financiado (COP) | 315,000,000 |
| Spot USD/COP utilizado | 3,736.73 |
| Monto financiado (USD) | 84,298.3 |
| Tasa Treasury 10Y (USGG10YR) | 4.3861 % |
| Spread comercial | 2 % |
| Tasa crédito USD | 6.3861 % |
| Plazo (años) | 10 |
| Cuota anual (USD) | 11,663.9 |
| Año | Cuota (USD) | Interés (USD) | Amortización (USD) | Saldo final (USD) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 11,663.9 | 5,383.37 | 6,280.49 | 78,017.8 |
| 2 | 11,663.9 | 4,982.30 | 6,681.57 | 71,336.2 |
| 3 | 11,663.9 | 4,555.60 | 7,108.26 | 64,228.0 |
| 4 | 11,663.9 | 4,101.66 | 7,562.20 | 56,665.8 |
| 5 | 11,663.9 | 3,618.73 | 8,045.13 | 48,620.7 |
| 6 | 11,663.9 | 3,104.96 | 8,558.90 | 40,061.8 |
| 7 | 11,663.9 | 2,558.38 | 9,105.48 | 30,956.3 |
| 8 | 11,663.9 | 1,976.90 | 9,686.97 | 21,269.3 |
| 9 | 11,663.9 | 1,358.28 | 10,305.59 | 10,963.7 |
| 10 | 11,663.9 | 700.15 | 10,963.71 | 0.0 |
Composición anual de la cuota: interés vs. amortización.
La cuota anual constante asciende a USD 11,663.9. En los primeros años una proporción mayor corresponde a intereses, mientras que en los últimos años predomina la amortización a capital. Este patrón es característico del sistema francés y tiene implicaciones para la cobertura: los pagos finales son más sensibles al tipo de cambio porque incorporan mayor proporción de capital, lo cual justifica concentrar la cobertura en los años 6 a 9 del crédito.
3.6 Recreación del crédito en pesos
A continuación se traducen las cuotas anuales en USD a pesos colombianos bajo cuatro escenarios de tipo de cambio: spot constante, forecast Bloomberg extrapolado, mediana de la simulación BMG y forward contratado para los años 6-9.
| Año | Cuota (USD) | Spot constante (COP) | Forecast (COP) | BMG mediana (COP) | Forward 4060.61 (COP) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 11,663.9 | 43,584,714 | 44,031,090 | 44,118,054 | 43,584,714 |
| 2 | 11,663.9 | 43,584,714 | 44,672,603 | 44,610,336 | 43,584,714 |
| 3 | 11,663.9 | 43,584,714 | 44,905,880 | 44,415,808 | 43,584,714 |
| 4 | 11,663.9 | 43,584,714 | 44,964,200 | 44,345,535 | 43,584,714 |
| 5 | 11,663.9 | 43,584,714 | 45,022,519 | 44,474,359 | 43,584,714 |
| 6 | 11,663.9 | 43,584,714 | 45,080,838 | 44,660,590 | 47,362,407 |
| 7 | 11,663.9 | 43,584,714 | 45,139,158 | 44,654,513 | 47,362,407 |
| 8 | 11,663.9 | 43,584,714 | 45,197,477 | 44,839,904 | 47,362,407 |
| 9 | 11,663.9 | 43,584,714 | 45,255,796 | 45,956,254 | 47,362,407 |
| 10 | 11,663.9 | 43,584,714 | 45,314,116 | 45,926,160 | 47,362,407 |
La comparación evidencia cómo la elección del tipo de cambio aplicado modifica de manera material el costo del crédito en pesos. Una depreciación del peso (USD/COP creciente) eleva la cuota expresada en COP, mientras que una apreciación reduce ese costo. Esta sensibilidad es precisamente el riesgo cambiario que se busca atenuar mediante el contrato forward.
3.7 Simulación BMG de USD/COP con distribución normal
El Movimiento Browniano Geométrico modela el USD/COP como un proceso estocástico de la forma:
\[ S_{t+\Delta t} = S_{t} \cdot \exp\!\left[\left(\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^{2}\right)\Delta t + \sigma\sqrt{\Delta t}\,Z \right] \]
donde \(\mu\) y \(\sigma\) son la media y la volatilidad mensual del USD/COP estimadas con el archivo histórico, y \(Z \sim N(0,1)\). Se generan 1.000 trayectorias mensuales a 10 años.
Trayectorias simuladas USD/COP con MBG y distribución normal (50 trayectorias mostradas de 1.000).
| Año | P5 | P50 (Mediana) | P95 |
|---|---|---|---|
| 1 | 3,058 | 3,782 | 4,628 |
| 2 | 2,787 | 3,825 | 5,180 |
| 3 | 2,644 | 3,808 | 5,460 |
| 4 | 2,480 | 3,802 | 5,967 |
| 5 | 2,370 | 3,813 | 6,362 |
| 6 | 2,273 | 3,829 | 6,667 |
| 7 | 2,131 | 3,828 | 6,971 |
| 8 | 2,071 | 3,844 | 7,290 |
| 9 | 1,966 | 3,940 | 7,495 |
| 10 | 1,988 | 3,937 | 7,823 |
La mediana de la simulación normal sugiere una trayectoria moderadamente alcista del USD/COP en el horizonte de 10 años. Sin embargo, la amplitud entre el percentil 5 y el percentil 95 crece con el tiempo, lo cual es coherente con la propiedad de difusión del MBG: la incertidumbre se amplifica con la raíz del horizonte temporal. Para los años cubiertos por forward (años 6 a 9) ya se observa un rango ancho que sustenta económicamente la decisión de cubrir.
3.8 Simulación BMG con distribución t-Student
La distribución normal subestima la frecuencia de movimientos extremos. Para corregir parcialmente esta limitación se replica la simulación reemplazando \(Z\) por innovaciones t-Student estandarizadas con \(\nu = 5\) grados de libertad, lo cual genera colas más pesadas y una mejor representación de los choques extremos observados en el USD/COP en períodos como 2020 (pandemia) o 2022 (choque inflacionario global).
Trayectorias simuladas USD/COP con MBG y distribución t-Student (50 trayectorias).
| Año | P5 | P50 (Mediana) | P95 |
|---|---|---|---|
| 1 | 3,061 | 3,795 | 4,609 |
| 2 | 2,738 | 3,765 | 5,073 |
| 3 | 2,600 | 3,767 | 5,451 |
| 4 | 2,524 | 3,812 | 5,842 |
| 5 | 2,365 | 3,837 | 6,251 |
| 6 | 2,284 | 3,838 | 6,427 |
| 7 | 2,188 | 3,896 | 6,523 |
| 8 | 2,058 | 3,907 | 6,934 |
| 9 | 2,003 | 3,984 | 7,489 |
| 10 | 1,889 | 4,027 | 7,813 |
Comparación de distribuciones simuladas al cierre del año 10.
La distribución t-Student presenta colas más gruesas que la normal, lo cual implica una mayor probabilidad de observar valores extremos del USD/COP, tanto altos (depreciación severa) como bajos (apreciación marcada). Para una empresa endeudada en dólares, esta visión es más realista que la normal y refuerza la importancia de la cobertura, ya que los escenarios de pérdida más graves (depreciación abrupta del peso) son justamente los que la cobertura forward está diseñada para neutralizar.
3.9 Proceso de forward de divisas
El forward USD/COP es un contrato OTC en el cual las partes acuerdan hoy un tipo de cambio para una transacción futura. Su precio teórico se deriva de la paridad cubierta de tasas de interés:
\[ F = S_{0} \cdot \dfrac{1 + r_{COP}}{1 + r_{USD}} \]
En el mercado colombiano se utilizan principalmente forwards no entregables (NDF), que se liquidan por diferencias contra la TRM oficial. En este caso se toman las cotizaciones reales de Bloomberg para evitar discrepancias entre el modelo teórico y el mercado.
| Plazo | Fecha | Pts BID | Pts ASK | BID Forward | ASK Forward |
|---|---|---|---|---|---|
| 6M | 11/12/2026 | 150.04 | 152.65 | 3,885.04 | 3,892.64 |
| 9M | 02/12/2027 | 236.34 | 240.15 | 3,971.34 | 3,980.14 |
| 1Y | 05/12/2027 | 318.64 | 327.59 | 4,053.64 | 4,067.58 |
| 15M | 08/12/2027 | 412.78 | 423.34 | 4,147.78 | 4,163.33 |
| 18M | 11/12/2027 | 506.91 | 519.09 | 4,241.91 | 4,259.08 |
| 2Y | 05/12/2028 | 706.65 | 727.35 | 4,441.65 | 4,467.34 |
Para la cobertura se utiliza el forward medio a 1 año = 4,060.61 COP/USD. Este precio será el aplicado a la fracción cubierta (75 %) de las cuotas anuales del crédito a partir del año 6, suponiendo cuatro forwards de un año cada uno.
| Año | Cuota USD | USD cubierto | USD no cubierto | Pago forward (COP) | Pago no cubierto (COP) | Pago total (COP) | Sin cobertura (COP) | Diferencia (COP) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 11,664 | 0 | 11,664 | 0 | 44,118,054 | 44,118,054 | 44,118,054 | 0 |
| 2 | 11,664 | 0 | 11,664 | 0 | 44,610,336 | 44,610,336 | 44,610,336 | 0 |
| 3 | 11,664 | 0 | 11,664 | 0 | 44,415,808 | 44,415,808 | 44,415,808 | 0 |
| 4 | 11,664 | 0 | 11,664 | 0 | 44,345,535 | 44,345,535 | 44,345,535 | 0 |
| 5 | 11,664 | 0 | 11,664 | 0 | 44,474,359 | 44,474,359 | 44,474,359 | 0 |
| 6 | 11,664 | 8,748 | 2,916 | 35,521,805 | 11,165,147 | 46,686,953 | 44,660,590 | -2,026,363 |
| 7 | 11,664 | 8,748 | 2,916 | 35,521,805 | 11,163,628 | 46,685,433 | 44,654,513 | -2,030,920 |
| 8 | 11,664 | 8,748 | 2,916 | 35,521,805 | 11,209,976 | 46,731,781 | 44,839,904 | -1,891,877 |
| 9 | 11,664 | 8,748 | 2,916 | 35,521,805 | 11,489,063 | 47,010,869 | 45,956,254 | -1,054,615 |
| 10 | 11,664 | 0 | 11,664 | 0 | 45,926,160 | 45,926,160 | 45,926,160 | 0 |
3.10 Comparación de escenarios: sin cobertura vs. con forward
Comparación del costo anual del crédito (COP) con y sin cobertura forward.
| Indicador | Valor |
|---|---|
| Total pagado sin cobertura (COP) | 448,001,513 |
| Total pagado con cobertura (COP) | 455,005,288 |
| Ahorro / sobrecosto de la cobertura (COP) | -7,003,775 |
| % sobre total sin cobertura | -1.56 % |
La cobertura forward genera diferencias relevantes en los años 6 a 9, que es el período cubierto. El signo del ahorro depende de la trayectoria simulada de la TRM: si en el escenario base la TRM mediana se ubica por encima de 4,060.61 COP/USD, la cobertura entrega ahorro; si se ubica por debajo, la cobertura supone un costo de oportunidad respecto a comprar dólares en el mercado spot. Es importante recordar que el forward no busca maximizar utilidad sino reducir la incertidumbre del flujo de pagos en pesos, lo cual tiene valor por sí mismo en términos de planeación financiera y de gestión de riesgos.
3.11 Evaluación de la efectividad de la cobertura
Para evaluar de forma rigurosa la efectividad del forward se utilizan las 1.000 trayectorias simuladas. Para cada año cubierto se computa la proporción de escenarios en los cuales la TRM simulada supera el forward pactado (escenarios en los que la cobertura genera beneficio).
| Año | TRM simulada media | % escenarios protegidos | Ahorro promedio cuando protege (COP) | Sobrecosto promedio cuando no protege (COP) |
|---|---|---|---|---|
| 6 | 4,061 | 43.6 % | 10,885,563 | 8,404,576 |
| 7 | 4,116 | 43.8 % | 12,425,905 | 8,822,184 |
| 8 | 4,184 | 45.4 % | 13,570,533 | 9,301,312 |
| 9 | 4,245 | 46.9 % | 14,302,535 | 9,588,762 |
Distribución de la TRM simulada vs forward pactado (año 6 cubierto).
Los resultados muestran que la cobertura protege en una proporción importante de escenarios (porcentaje de escenarios en los que la TRM simulada supera al forward). Cuando la cobertura protege, el ahorro promedio es significativo; cuando no protege, el sobrecosto promedio refleja el costo de oportunidad de haber fijado el tipo de cambio. La asimetría entre ambos valores ayuda a entender la conveniencia económica de la cobertura: incluso si el porcentaje de escenarios protegidos no es muy alto, la magnitud del beneficio en los escenarios adversos puede justificar el contrato. Esta es justamente la lógica del seguro: se paga una prima (costo de oportunidad) para protegerse contra eventos adversos, y la racionalidad de la decisión depende de la aversión al riesgo del inversionista.
4 Conclusiones generales
El trabajo desarrollado integra dos aplicaciones complementarias de instrumentos derivados financieros que ilustran el principio fundamental de la cobertura: trasladar el riesgo de mercado a un tercero a cambio de un costo conocido y limitado.
En la Parte 1, los futuros del Micro E-mini S&P 500 (MES) permiten reducir el riesgo sistemático del portafolio frente a movimientos adversos del mercado bursátil estadounidense. La cobertura se dimensiona aplicando la fórmula \(N^{*} = \beta_p V_p / (Fm)\), que traduce la beta del portafolio en el número de contratos cortos requeridos para neutralizar la exposición al S&P 500. El resultado es un short hedge que protege el portafolio frente a caídas del mercado, a costo de sacrificar parte de las ganancias potenciales en escenarios alcistas. El margen de mantenimiento representa una fracción reducida del capital invertido, evidenciando el efecto apalancado de los futuros. Los escenarios alternativos de beta (0,8 y 1,5) muestran que la cantidad de contratos —y por tanto el margen requerido— escala linealmente con la beta, por lo que una estimación errónea del coeficiente se traduce de manera directa en sobre o sub-cobertura.
En la Parte 2, los forwards USD/COP NDF permiten reducir la incertidumbre cambiaria asociada a un crédito en dólares contraído por una empresa colombiana. La cobertura parcial del 75 % a partir del sexto año logra un balance razonable entre protección y flexibilidad: protege la mayor parte del flujo en los años de mayor amortización a capital, pero conserva un 25 % expuesto que permite beneficiarse de eventuales apreciaciones del peso. La simulación bajo distribución t-Student, al incorporar colas pesadas, refuerza la importancia de la cobertura al evidenciar que los escenarios extremos del USD/COP son más probables que bajo el supuesto de normalidad.
En ambos casos, los derivados no buscan eliminar completamente el riesgo ni garantizar utilidad, sino administrar la exposición financiera: convierten una distribución de pérdidas potencialmente ilimitadas en una distribución acotada cuyo costo es conocido ex-ante. Esta es la diferencia conceptual clave entre cobertura y especulación.
La efectividad de la cobertura depende de varios factores comunes a ambas aplicaciones: la volatilidad del activo subyacente (S&P 500 o USD/COP), la beta del portafolio o el grado de exposición al subyacente, las tasas de interés relevantes (tasa libre de riesgo y tasa de financiación), los costos de margen y roll-over, y el comportamiento real del mercado durante el horizonte de cobertura. Adicionalmente, ambas estrategias requieren un seguimiento continuo: la beta puede cambiar con el tiempo, y la curva forward puede modificar las condiciones óptimas de los contratos sucesivos. La cobertura, en suma, debe entenderse como un proceso dinámico de gestión de riesgos antes que como una operación puntual.
Finalmente, los derivados tratados en este trabajo —futuros y forwards— comparten su naturaleza de contratos a término, pero difieren en aspectos prácticos relevantes: los futuros son estandarizados, listados en bolsa, marcados a mercado diariamente y exigen márgenes; los forwards son contratos OTC, sin marcaje diario y con riesgo de contraparte. La elección entre uno u otro depende de la estandarización del riesgo a cubrir, la liquidez disponible y las preferencias del agente económico.
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