[1] "País" "Consumo" "PIB_per_capita" "Taxa_de_Juro"
[5] "Inflação" "Desemprego" "ln_Consumo" Quais são os determinantes do Consumo
Team 23
Introdução
A análise dos fatores que influenciam o consumo é uma das questões centrais na macroeconomia, visto que o consumo desempenha um papel crucial no crescimento económico.
A compreensão dos seus determinantes é, por isso, essencial para a análise da estabilidade macroeconómica e para a eficácia das políticas públicas. O presente trabalho tem como objetivo investigar os fatores que influenciam o comportamento do consumo, utilizando um modelo de regressão linear.
Data
Os dados utilizados neste trabalho foram gerados artificialmente para fins de modelação econométrica, simulando as condições do mercado de trabalho em Portugal.
A amostra é constítuida por 145 observações, para a qual cada observação representa um país. Relativamente às variaveis independentes, iremos analisar o consumo de acordo com o PIB per capita do país, bem como, a sua Inflação, Desemprego e a sua Taxa de Juro.
Criação de uma Nova Variável
A variável dependente “ln_Consumo” foi criada através do logaritmo da variável original “Consumo”. Esta transformação é fundamental para reduzir a assimetria do Consumo, e permite a interpretação dos coeficientes como semielasticidades.
Descriptive statistics
Apresentamos aqui uma análise descritiva das variáveis em estudo, focando-nos na sua tendência central e dispersão. O objetivo é assegurar que a amostra possui a heterogeneidade necessária para identificar os efeitos económicos pretendidos e garantir a validade das inferências estatísticas realizadas posteriormente.
tibble [145 × 7] (S3: tbl_df/tbl/data.frame)
$ País : chr [1:145] "USA" "China" "India" "Germany" ...
$ Consumo : num [1:145] 868 10606 12101 4148 7467 ...
$ PIB_per_capita: num [1:145] 26866 71892 17967 24595 41194 ...
$ Taxa_de_Juro : num [1:145] 0.51 12.36 13.96 6.5 8.49 ...
$ Inflação : num [1:145] 5.35 19.76 21.63 12 10.37 ...
$ Desemprego : num [1:145] 13.8 27.08 16.33 7.83 15.82 ...
$ ln_Consumo : num [1:145] 6.77 9.27 9.4 8.33 8.92 ... País Consumo PIB_per_capita Taxa_de_Juro
Length:145 Min. : 172.8 Min. : 2047 Min. : 0.460
Class :character 1st Qu.: 4119.5 1st Qu.:19235 1st Qu.: 5.270
Mode :character Median : 7929.2 Median :37421 Median : 8.640
Mean : 7701.2 Mean :38003 Mean : 9.554
3rd Qu.:11331.5 3rd Qu.:58213 3rd Qu.:14.270
Max. :14984.3 Max. :74786 Max. :20.000
Inflação Desemprego ln_Consumo
Min. : 0.53 Min. : 2.03 Min. :5.152
1st Qu.: 8.16 1st Qu.: 8.24 1st Qu.:8.323
Median :13.28 Median :15.95 Median :8.978
Mean :13.19 Mean :16.28 Mean :8.684
3rd Qu.:19.50 3rd Qu.:24.32 3rd Qu.:9.335
Max. :24.77 Max. :29.98 Max. :9.615 A análise da distribuição do Consumo revela uma amplitude considerável, com valores oscilando entre um mínimo de 172.8 e um máximo de 14.984,3. A proximidade entre a média de 7.701,2 e a mediana de 7.929,2 sugere uma distribuição relativamente equilibrada, embora com uma leve inclinação negativa.
No que diz respeito às variáveis explicativas, o PIB per capita destaca-se como o principal fator de influência positiva, apresentando uma média de 38.003 e uma vasta disparidade entre as unidades analisadas.
A taxa de juros média de 9,55% e uma taxa de desemprego elevada, situada em 16,28%, atuam como forças restritivas. Enquanto juros elevados encarecem o crédito e incentivam a poupança, originando menos gastos, o alto desemprego limita a massa salarial disponível na economia. A inflação média de 13,19% reforça um cenário de pressão sobre o poder de compra real das famílias.
Graficos
O Histograma do Consumo revela uma distribuição com assimetria negativa acentuada, onde a maior parte das observações se concentra em níveis elevados de consumo entre 8.5 e 9.5, enquanto uma cauda longa se estende para a esquerda. Essa concentração sugere que a utilização da variável em logaritmo é fundamental para atenuar a influência de valores extremos e aproximar a distribuição de uma normalidade, requisito importante para a consistência dos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO).
Ao observar o Scatter Plot do Consumo vs. PIB per capita, nota-se uma dispersão considerável dos dados. Embora a linha de tendência vermelha indique uma relação positiva linear, os pontos mostram uma variabilidade que não é perfeitamente captada por uma reta simples. A dispersão parece ser maior em níveis intermediários de PIB, o que pode indicar problemas de heterocedasticidade.
Regressão
Para dar continuidade ao estudo econométrico sobre os determinantes do Consumo, é necessário definir o rigor metodológico antes da apresentação dos coeficientes.
O Modelo 1 (Baseline) estabelece a relação fundamental do consumo face à taxa de juro e ao PIB per capita.O intuito é verificar a relação funcional entre o rendimento e o consumo, utilizando uma especificação quadrática para captar possíveis retornos marginais decrescentes da renda, enquanto se controla simultaneamente pelo efeito da taxa de juro; este modelo serve como ponto de partida para observar como a sensibilidade do consumo se comporta perante variações não lineares no PIB antes da introdução de outros fatores macroeconômicos.
\[\ln(Consumo_i) = \beta_0 + \beta_1 Juros_i + \beta_2 PIB_i + \beta_3 PIB_i^2\]
O Modelo 2 (Controles Estendidos) aprofunda a análise ao introduzir a Inflação como variável de controle de estabilidade monetária, mantendo a estrutura quadrática do PIB e a Taxa de Juro já presentes na especificação anterior. Esta inclusão busca captar como a erosão do poder de compra e a incerteza nos níveis de preços afetam as decisões de gasto das famílias, permitindo isolar com maior precisão o efeito real do rendimento e do custo do crédito sobre o consumo.
\[\ln(Consumo_i) = \beta_0 + \beta_1 Juros_i + \beta_2 PIB_i + \beta_3 PIB_i^2 + \beta_4 Inflação_i^2 \] Por fim, o Modelo 3 introduz variáveis binárias para controlar efeitos fixos geográficos ou de classificação de países. Esta etapa é crucial para identificar se existem diferenças estruturais no consumo que não são explicadas apenas pela economia, mas por características intrínsecas de cada região ou grupo. Com esta progressão, o foco da interpretação será a significância estatística e a magnitude dos coeficientes, observando se a relação entre PIB e Consumo permanece estável e positiva após o controle de todos estes fatores externos.
\[ \ln(Consumo_i) = \beta_0 + \beta_1 Juros_i + \beta_2 PIB_i + \beta_3 PIB_i^2 + \beta_4 Inflação_i + \beta_5 Desenvolvimento_i + u_i \]
Call:
lm(formula = ln_Consumo ~ Taxa_de_Juro + PIB + PIB_sq, data = df_ols)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-3.4263 -0.3706 0.2092 0.6409 1.1635
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 8.956e+00 2.677e-01 33.460 <2e-16 ***
Taxa_de_Juro -2.343e-02 1.340e-02 -1.749 0.0825 .
PIB -1.107e-05 1.501e-05 -0.737 0.4621
PIB_sq 1.938e-10 1.898e-10 1.021 0.3089
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.887 on 141 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.03516, Adjusted R-squared: 0.01463
F-statistic: 1.713 on 3 and 141 DF, p-value: 0.1671Os resultados do Modelo 1 indicam que a especificação atual é estatisticamente fraca. O R-quadrado ajustado (0,0146) mostra que o modelo explica apenas 1,5% da variação do consumo, e o p-valor global (0,1671) confirma que o conjunto de variáveis não tem significância estatística ao nível de 5%.
Individualmente, a Taxa de Juro apresenta o sinal negativo esperado, mas é apenas marginalmente significativa (a 10%). Surpreendentemente, tanto o PIB quanto o PIB_sq não possuem significância estatística, o que sugere que a renda, sozinha, não está a explicar o consumo nesta amostra. Esses resultados evidenciam que o modelo está a sofrer de viés por omissão de variáveis, tornando indispensável a inclusão de novos controles nos próximos modelos para tentar obter estimativas mais robustas e confiáveis.
Call:
lm(formula = ln_Consumo ~ Taxa_de_Juro + PIB + PIB_sq + Inflação,
data = df_ols)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-3.3714 -0.3939 0.2787 0.6346 1.2140
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 8.826e+00 3.010e-01 29.322 <2e-16 ***
Taxa_de_Juro -2.430e-02 1.343e-02 -1.809 0.0726 .
PIB -1.069e-05 1.502e-05 -0.712 0.4779
PIB_sq 1.882e-10 1.899e-10 0.991 0.3234
Inflação 1.022e-02 1.079e-02 0.948 0.3450
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.8873 on 140 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.04131, Adjusted R-squared: 0.01392
F-statistic: 1.508 on 4 and 140 DF, p-value: 0.2031[1] 145A introdução da Inflação no Modelo 2 não alterou significativamente a estrutura de significância encontrada no Modelo 1, o que levanta preocupações importantes sobre a especificação. O R-quadrado ajustado caiu ligeiramente para 0,0139, quando comparado aos 0,0146 anteriores, indicando que a inclusão da Inflação não adicionou poder explicativo relevante e, pelo contrário, penalizou o modelo pelo uso de um grau de liberdade adicional.
A Taxa de Juro permanece como a única variável próxima da significância estatística, mantendo-se relevante apenas ao nível de 10%. Curiosamente, a magnitude do seu efeito aumentou ligeiramente, de -0,0234 para -0,0243, sugerindo que parte do seu impacto estava anteriormente mascarado pela omissão da inflação.
No entanto, as variáveis de rendimento, o PIB e o PIB_sq e até a própria Inflação continuam a apresentar p-valores elevados 0,47, 0,32 e 0,34, respetivamente, falhando em rejeitar a hipótese nula de que os seus coeficientes são iguais a zero.
\[\frac{\partial \ln(Consumo_i)}{\partial Juros_i} = \beta_1\]
De acordo com as estimativas do Modelo 2, o impacto da Taxa de Juro no consumo é de aproximadamente -2,43% (visto que o coeficiente é \(-2,430e-02\)). Este modelo explica apenas cerca de 1,39% da variabilidade total do consumo.
Teste de hipótese para Juros no Modelo 2
No Modelo 2, testamos: \[ H_0: \beta_{\text{Juros}} = 0 \qquad\text{vs}\qquad H_1: \beta_{\text{Juros}} \neq 0 \] A partir da tabela de resultados do Modelo 2, regista-se o coeficiente estimado para Taxa_de_Juro, que é -0,02430, e o respetivo erro-padrão, que é 0,01343.
\[ t = \frac{\hat{\beta}_{\text{Juros}} - 0}{SE(\hat{\beta}_{\text{Juros}})} \]
De acordo com o Modelo 2: \[ t = \frac{-0,02430 - 0}{0,01343} = -1,809 \] \[ p\text{-value} \approx 0 \;(< 0.05) \]
O valor crítico para alpha = 5%, com 140 graus de liberdade é aproximadamente 1,977.
Regra de Decisão: \[ \text{Reject } H_0 \iff |t| > t_{\text{critical}} \iff p\text{-value} < 0.05 \] Como: \[|1,809| < 1,977\] \[0,0726 > 0,05\] Ao nível de significância de 5%, não rejeitamos a hipótese nula H0: beta1 = 0, o que implica que não há evidência estatística suficiente para afirmar que a Taxa de Juro influencia o consumo. No entanto, como o p-value, 0,0726 é inferior a 0,10, o coeficiente é considerado marginalmente significativo ao nível de 10%.
Chow test para o Desenvolvimento
\[ \begin{aligned} H_0: \;& \beta_0^{Desenvolvido} = \beta_0^{Desenvolvimento}, \\ & \beta_1^{Desenvolvido} = \beta_1^{Desenvolvimento}, \\ & \dots, \\ & \beta_4^{Desenvolvido} = \beta_4^{Desenvolvimento} \end{aligned} \] \[ H_1: \text{At least one coefficient differs across groups} \]
Usando o Chow test: \[ F = \frac{(SSR_R - SSR_{UR})/k}{SSR_{UR}/(N_1 + N_2 - 2k)} = \frac{(SSR_{total} - (SSR_{Desenvolvido} + SSR_{Desenvolvimento}))/k}{(SSR_{Desenvolvido} + SSR_{Desenvolvimento})/(N_1 + N_2 - 2k)} \]
Call:
lm(formula = ln_Consumo ~ Taxa_de_Juro + PIB + PIB_sq + Inflação,
data = df_ols)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-3.3714 -0.3939 0.2787 0.6346 1.2140
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 8.826e+00 3.010e-01 29.322 <2e-16 ***
Taxa_de_Juro -2.430e-02 1.343e-02 -1.809 0.0726 .
PIB -1.069e-05 1.502e-05 -0.712 0.4779
PIB_sq 1.882e-10 1.899e-10 0.991 0.3234
Inflação 1.022e-02 1.079e-02 0.948 0.3450
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.8873 on 140 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.04131, Adjusted R-squared: 0.01392
F-statistic: 1.508 on 4 and 140 DF, p-value: 0.2031
Call:
lm(formula = ln_Consumo ~ Taxa_de_Juro + PIB + PIB_sq + Inflação,
data = dplyr::filter(df_ols, Desenvolvido == 0))
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.8684 -0.3333 0.1127 0.5890 1.2811
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 9.220e+00 6.703e-01 13.755 1.88e-15 ***
Taxa_de_Juro -3.591e-02 2.429e-02 -1.478 0.148
PIB 6.179e-05 1.267e-04 0.488 0.629
PIB_sq -4.748e-09 5.730e-09 -0.829 0.413
Inflação -8.150e-03 2.074e-02 -0.393 0.697
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.8551 on 34 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.162, Adjusted R-squared: 0.06343
F-statistic: 1.643 on 4 and 34 DF, p-value: 0.186
Call:
lm(formula = ln_Consumo ~ Taxa_de_Juro + PIB + PIB_sq + Inflação,
data = dplyr::filter(df_ols, Desenvolvido == 1))
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-2.6546 -0.3917 0.1985 0.5426 1.5879
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 5.782e+00 7.587e-01 7.621 1.4e-11 ***
Taxa_de_Juro -1.733e-02 1.510e-02 -1.148 0.25384
PIB 1.225e-04 3.461e-05 3.538 0.00061 ***
PIB_sq -1.162e-09 3.642e-10 -3.192 0.00188 **
Inflação 1.277e-02 1.198e-02 1.066 0.28909
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.8361 on 101 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.1694, Adjusted R-squared: 0.1366
F-statistic: 5.151 on 4 and 101 DF, p-value: 0.0008097Agora, a usar os valores das três regressões:
RSS_R RSS_Desenvolvido RSS_Desenvolvimento RSS_DD
1 110.2268 70.61333 24.85803 95.47136[1] 145[1] 106[1] 39\[ \begin{aligned} SSR_R &= 110.2268, \quad & SSR_{DD} &= 95.47136, \\ SSR_{Desenvolvimento} &= 24.85803, \quad & SSR_{Desenvolvido} &= 70.61333, \\ k &= 5, \quad & N_1 = 106, \quad & N_2 = 39 \end{aligned} \]
Substituindo: \[ F = \frac{(110.2268 - (24.85803 + 70.61333))/5}{(24.85803 + 70.61333)/(106 + 39 - 2\times5)} = 4,1729 \]
Para 5%, o valor critico é: \[ F_{0.95}(5, 135) = 2,282 \] AO consultar a tabela F, para valores críticos a 5%:
Graus de liberdade do numerador: \[ v_1 = k = 5 \]
Graus de liberdade do denominador: \[ v_2 = N_1 + N_2 - 2k = 106 + 39 - 10 = 135. \]
Decisão: \[ 4,1729 > 2,282 \;\Rightarrow\; \text{Rejeita-se } H_0 \] Rejeitamos a hipótese de estabilidade dos parâmetros entre os grupos ao nível de significância de 5%. Isto significa que a função de consumo difere significativamente entre Países Desenvolvidos e Países em Desenvolvimento.
A evidência estatística demonstra que não é adequado tratar ambos os grupos de forma agregada num único modelo (pooled), uma vez que a propensão para consumir e o impacto das taxas de juro e da inflação variam estruturalmente de acordo com o nível de desenvolvimento económico do país.
Heteroskedasticity tests
Model 3: \[ \ln(Consumo_i) = \beta_0 + \beta_1 Juros_i + \beta_2 PIB_i + \beta_3 PIB_i^2 + \beta_4 Inflação_i + \beta_5 Desenvolvimento_i + u_i \]
Call:
lm(formula = ln_Consumo ~ Taxa_de_Juro + PIB + PIB_sq + Inflação +
Desenvolvido, data = df_ols)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-3.0921 -0.4030 0.2751 0.6025 1.2007
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 8.605e+00 3.189e-01 26.982 <2e-16 ***
Taxa_de_Juro -2.620e-02 1.334e-02 -1.965 0.0514 .
PIB 3.025e-05 2.579e-05 1.173 0.2428
PIB_sq -2.015e-10 2.749e-10 -0.733 0.4649
Inflação 6.773e-03 1.083e-02 0.625 0.5328
Desenvolvido -7.138e-01 3.673e-01 -1.944 0.0540 .
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.8786 on 139 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.06667, Adjusted R-squared: 0.0331
F-statistic: 1.986 on 5 and 139 DF, p-value: 0.08442Substituindo os Coeficientes:
\[ \begin{aligned} \widehat{\ln(\text{Consumo}_i)} = \;& 8,605 - 0,0262 \, \text{Juros}_i + 0,00003025 \, \text{PIB}_i \\ & - 0,0000000002015 \, \text{PIB\_sq}_i + 0,006773 \, \text{Inflação}_i \\ & - 0,7138 \, \text{Desenvolvido}_i \end{aligned} \]
Breusch-Pagan test
\[ H_0:\ \mathrm{Var}(u_i|X)=\sigma^2 \qquad\text{vs}\qquad H_1:\ \mathrm{Var}(u_i|X)\ \text{depends on }X \]
A regressão auxiliar para o teste de Breusch-Pagan test é: \[ \hat{u}_i^2 = \alpha_0 + \alpha_1 Juros_i + \alpha_2 PIB_i + \alpha_3 PIB_i^2 + \alpha_4 Inflação_i + \beta_5 Desenvolvimento_i + v_i \]
Call:
lm(formula = e2 ~ Taxa_de_Juro + PIB + PIB_sq + Inflação +
Desenvolvido, data = mf3)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.4771 -0.5467 -0.3029 0.0182 8.2202
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 1.042e+00 4.826e-01 2.159 0.0326 *
Taxa_de_Juro 4.898e-02 2.018e-02 2.427 0.0165 *
PIB -5.675e-05 3.903e-05 -1.454 0.1481
PIB_sq 4.440e-10 4.160e-10 1.067 0.2877
Inflação -1.026e-02 1.639e-02 -0.626 0.5325
Desenvolvido 9.140e-01 5.558e-01 1.644 0.1024
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 1.33 on 139 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.07335, Adjusted R-squared: 0.04002
F-statistic: 2.201 on 5 and 139 DF, p-value: 0.0576Breusch-Pagan LM statistic: \[ LM_{BP} = nR^2_{aux} \sim \chi^2_q \]
For Model 3: \[ n = 145,\quad R^2_{aux} = 0,07335,\quad q=5 \]
\[ LM_{BP} = 145 \times 0,07335 = 10,635 \]
Critical value at 5%: \[ \chi^2_{0.95,5} = 11.0705 \]
Decision: \[ 10,635 < 11.0705 \Rightarrow \text{Não Rejeitar } H_0 \]
Como a estatística de teste calculada, 10,635 é inferior ao valor crítico da distribuição, com 5 graus de liberdade, não rejeitamos a hipótese nula de homocedasticidade ao nível de significância de 5%.
Não existe evidência estatística suficiente para afirmar que o modelo sofre de heterocedasticidade ao nível de 5%. Isto significa que a variância dos resíduos é considerada constante, o que valida a utilização do método de Mínimos Quadrados Ordinários (OLS) e garante que os erros-padrão e os testes de significância das tuas variáveis são fiáveis.
White test
\[ H_0:\ \mathrm{Var}(u_i|X)=\sigma^2 \qquad\text{vs}\qquad H_1:\ \mathrm{Var}(u_i|X)\ \text{is a general function of }X \]
A regressão auxiliar para o teste de Breusch-Pagan test é: \[ \begin{aligned} \hat{u}_i^2 =\;& \alpha_0 + \alpha_1 Juros + \alpha_2 PIB + \alpha_3 PIB{sq} + \alpha_4 Inflação + \alpha_5 Desenvolvido \\ & + \alpha_6(Juros^2) + \alpha_7(PIB^2) + \alpha_8 (PIB_{sq}^2) \\ & + \alpha_9 (Juros * PIB) + \alpha_10 (Juros * PIB_{sq})\\ & + \alpha_11 (Juros * Inflação) + \alpha_12 (Juros * Desenvolvido)\\ & + \alpha_13 (PIB * PIB_{sq}) + \alpha_14 (PIB * Inflação)\\ & + \alpha_15 (PIB * Desenvolvido) + \alpha_16 (PIB_{sq} * Inflação) \\ & + \alpha_17 (PIB_{sq} * Desenvolvido) + \alpha_18 (Inflação * Desenvolvido) + v_i \end{aligned} \]
Call:
lm(formula = e2 ~ Taxa_de_Juro + PIB + PIB_sq + Inflação +
Desenvolvido + I(Taxa_de_Juro^2) + I(PIB^2) + I(PIB_sq^2) +
I(Taxa_de_Juro * PIB) + I(Taxa_de_Juro * PIB_sq) + I(Taxa_de_Juro *
Inflação) + I(Taxa_de_Juro * Desenvolvido) + I(PIB * PIB_sq) +
I(PIB * Inflação) + I(PIB * Desenvolvido) + I(PIB_sq *
Inflação) + I(PIB_sq * Desenvolvido) + I(Inflação * Desenvolvido),
data = mf3)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-3.0010 -0.5154 -0.1378 0.2066 6.9142
Coefficients: (1 not defined because of singularities)
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 2.628e+00 1.422e+00 1.848 0.06695 .
Taxa_de_Juro 1.606e-02 1.094e-01 0.147 0.88353
PIB -6.036e-04 2.446e-04 -2.468 0.01491 *
PIB_sq 3.997e-08 1.773e-08 2.254 0.02589 *
Inflação -8.139e-02 7.173e-02 -1.135 0.25863
Desenvolvido 2.549e+01 1.105e+01 2.308 0.02263 *
I(Taxa_de_Juro^2) 2.246e-03 3.788e-03 0.593 0.55437
I(PIB^2) NA NA NA NA
I(PIB_sq^2) 4.595e-18 2.812e-18 1.634 0.10476
I(Taxa_de_Juro * PIB) -7.814e-07 6.994e-06 -0.112 0.91123
I(Taxa_de_Juro * PIB_sq) 1.787e-11 7.590e-11 0.235 0.81422
I(Taxa_de_Juro * Inflação) 2.405e-03 2.836e-03 0.848 0.39806
I(Taxa_de_Juro * Desenvolvido) -6.994e-02 9.553e-02 -0.732 0.46543
I(PIB * PIB_sq) -9.160e-13 5.400e-13 -1.696 0.09229 .
I(PIB * Inflação) 8.438e-06 6.325e-06 1.334 0.18460
I(PIB * Desenvolvido) -1.577e-03 9.670e-04 -1.631 0.10540
I(PIB_sq * Inflação) -5.430e-11 6.816e-11 -0.797 0.42714
I(PIB_sq * Desenvolvido) 2.705e-08 2.337e-08 1.157 0.24932
I(Inflação * Desenvolvido) -2.357e-01 8.710e-02 -2.706 0.00774 **
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 1.233 on 127 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.2725, Adjusted R-squared: 0.1751
F-statistic: 2.798 on 17 and 127 DF, p-value: 0.0005321White LM: \[ LM_{White} = nR^2_{white} \sim \chi^2_{q_w} \]
For Model 3: \[ n = 145,\quad R^2_{white} = 0,2725,\quad q_w=17 \]
\[ LM_{White} = 145 \times 0,2725 = 39,5125 \]
Valor crítico a 5%: \[ \chi^2_{0.95, 17} = 27,5871 \]
Decisão: \[ 39,5125 > 27,5871 \;\Rightarrow\; \text{Rejeita-se } H_0 \]
Conclusão:
Ao nível de significância de 5%, rejeitamos a hipótese nula de homocedasticidade. O Teste de White, por ser mais abrangente e incluir termos quadráticos e interações, detetou uma forma de heterocedasticidade que o teste de Breusch-Pagan não tinha confirmado totalmente.
Isto implica que a variância dos erros não é constante, sugerindo que os erros-padrão do Modelo 3 devem ser tratados com cautela, sendo recomendável a utilização de erros-padrão robustos para garantir a validade das inferências estatísticas.
Forma alternativa do White test:
\[ \hat{u}_i^2 = \delta_0 + \delta_1 \hat{y}_i + \delta_2 \hat{y}_i^2 + v_i \]
Call:
lm(formula = e2 ~ yhat + I(yhat^2), data = mf3)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.9239 -0.4997 -0.2943 -0.0505 7.9715
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 159.600 125.650 1.270 0.206
yhat -35.304 29.114 -1.213 0.227
I(yhat^2) 1.957 1.686 1.161 0.247
Residual standard error: 1.315 on 142 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.07386, Adjusted R-squared: 0.06081
F-statistic: 5.662 on 2 and 142 DF, p-value: 0.004307O teste será: \[ H_0:\ \delta_1=\delta_2=0 \qquad\text{vs}\qquad H_1:\ \text{at least one of } \delta_1,\delta_2 \neq 0 \]
De acordo com o Modelo LM: \[ LM = nR^2_{\hat{u}^2} \sim \chi^2_2 \]
Para o Modelo 3: \[ n=145,\quad R^2_{\hat{u}^2}=0,07386 \]
\[ LM = 145 \times 0,07386 = 10,7097 \]
Valor critico a 5%: \[ \chi^2_{0.95,2}=5.9915 \]
Decisão: \[ 10,7097 > 5.9915 \Rightarrow \text{Rejeita-se } H_0 \]
Ao nível de significância de 5%, rejeitamos a hipótese nula de homocedasticidade. Esta forma alternativa do teste de White confirma o que o teste completo já tinha sugerido, o modelo apresenta heterocedasticidade.
Conclusão
Através desta investigação, compreendemos melhor os determinantes do consumo, recorrendo a uma amostra de 145 países e aplicando modelos de regressão linear para testar hipóteses fundamentais da macroeconomia.
Através da progressão do Modelo 1, até ao Modelo 3 os principais resultados empíricos estão na diferenciação estrutural, onde o Teste de Chow revelou uma quebra estrutural significativa, confirmando que a função de consumo difere substancialmente entre países desenvolvidos e em desenvolvimento. Este resultado valida a hipótese de que não é adequado tratar estas economias de forma agregada.
No Modelo 2, a taxa de juro apresentou o sinal negativo esperado, embora a sua significância seja marginal, ao nível de 10%, indicando que o custo do crédito é um determinante relevante, mas secundário face ao rendimento.
Por fim, quanto à Heterocedasticidade, o teste de Breusch-Pagan não rejeitou a homocedasticidade ao nível de 5%, mas os Testes de White foram categóricos na rejeição desta hipótese, isto prova que a variância dos erros não é constante, invalidando a eficiência dos estimadores MQO tradicionais sem correções.