tx_d <-read.csv("tx_desocup.csv", header = T)Curva de Phillips no Brasil
Quarto
Quarto enables you to weave together content and executable code into a finished document. To learn more about Quarto see https://quarto.org.
CURVA DE PHILLIPS NO BRASIL
Vamos estimar uma curva de Phillips para o Brasil. Como já vimos, a curva propõe uma relação negativa entre inflação e desemprego.
A curva de Phillips que vamos estimar é derivada da proposição de Blanchard (capítulos 7 e 8)
Relação de determinação de salários:
\[W = P^e.F(u, z)\]
Relação de determinação de preços:
\[P = (1+m).W\]
Deduzindo uma equação de Phillips
Juntando as duas relações:
\[P = (1+m).P^e.F(u,z) \tag{1}\]
Vamos assumir, como Blanchard (2026) o faz na p. 158, uma forma funcional linear para \(F(u,z)\):
\[F(u,z) = 1 -\alpha u + z\]
Onde \(\alpha\) informa o quanto o desemprego (\(u\)) afeta a função \(F(.)\) e \(z\) representa o impacto positivo das variáveis institucionais na mesma função \(F(.)\).
Desta forma, \(P\) fica agora assim:
\[P = (1+m).P^e.[1 - \alpha u + z]\]
Vamos reorganizar, inserir índices de tempo e dividir a equação acima por \(P_{t-1}\):
\[\frac{P_t}{P_{t-1}} = \frac{P^e_t}{P_{t-1}}.(1+m).[1-\alpha u_t+z] \tag{2}\]
Definindo inflação:
\[\pi_t\equiv\frac{P_t - P_{t-1}}{P_{t-1}}\]
inflação esperada:
\[\pi^e_t \equiv \frac{P^e_t - P_{t-1}}{P_{t-1}}\]
Podemos, então fazer:
\[\frac{P_t}{P_{t-1}} -1+1 = \frac{P_t - P_{t-1}}{P_{t-1}} + 1 = \pi_t + 1\]
O mesmo em relação à inflação esperada:
\[\frac{P^e_t}{P_{t-1}} -1+1 = \frac{P^e_t - P_{t-1}}{P_{t-1}} + 1 = \pi^e_t + 1\]
Vamos botar as duas expressões acima (inflação mais 1) na equação (2):
\[(\pi_t + 1) = (\pi^e_t + 1).(1+m).[1-\alpha u_t+z]\]
Vamos dividir a equação acima por \((\pi^e_t + 1).(1+m)\):
\[\frac{(\pi_t +1)}{(\pi^e_t +1).(1+m)} = [1 -\alpha u_t + z] \tag{3}\]
Assumindo que todas as taxas são pequenas, podemos simplificar a equação acima. Primeiro vamos tratar do denominador do termo à esquerda:
\[(\pi^e_t +1).(1+m) = \pi^e_t + \pi^e_t.m + 1 + m = \pi^e_t + 1 + m\]
Porque a multiplicação de taxas pequenas se anula.
O lado esquerdo da equação (3) fica, então:
\[\frac{(\pi_t + 1)}{\pi^e_t + 1 + m}\]
Ainda considerando taxas pequenas, vamos mostrar que podemos escrever a expressão acima do seguinte modo:
\[\frac{(\pi_t + 1)}{\pi^e_t + 1 + m} = \pi_t + 1 - \pi^e_t - m \tag{4}\]
Para demonstrar isso, façamos a seguinte multiplicação:
\[(\pi_t + 1 - \pi^e_t - m).(\pi^e_t + 1 + m) = \pi_t.\pi^e_t +\pi_t + \pi_t.m + \pi^e_t + 1 + m -(\pi^e_t)^2 - \pi^e_t - \pi^e_t.m - m.\pi^e_t - m - m ^2\]
Realizando a soma e cancelando as taxas multiplicadas entre si ou elevadas ao quadrado, ficamos com:
\[(\pi_t + 1 - \pi^e_t - m).(\pi^e_t + 1 + m) = (\pi_t + 1)\]
Basta dividir a expressão acima por \((\pi^e_t + 1 + m)\) para deduzir a equação (4).
Considerando as equações (3) e (4), ficamos com:
\[\pi_t + 1 - \pi^e_t - m = [1 -\alpha u_t + z]\]
Ou ainda, uma versão acabada para a equação da curva de Phillips:
\[\pi_t = \pi^e_t - \alpha u_t + (m+z) \tag{5}\]
Taxa natural de desemprego na curva de Phillips
Vimos no capítulo 8 do Blanchard que \(u=u_n\), quando \(P^e = P\). Ou, a taxa de desemprego é a de equilíbrio quando as previsões de preço são acertadas.
Como fica a equação (5) se \(P^e = P\)?
\[\pi_t = \pi^e_t\]
Pois:
\[\frac{P_t - P_{t-1}}{P_{t-1}} = \frac{P^e_t - P_{t-1}}{P_{t-1}}\]
A equação (5), fica, então:
\[\pi_t - \pi^e_t = 0 = -\alpha u_n + (m+z)\]
E:
\[\alpha u_n = (m+z)\]
Chegamos, portanto, a uma expressão para a taxa natural de desemprego (\(u_n\)):
\[u_n = \frac{(m+z)}{\alpha} \tag{6}\]
Vamos inserir o termo \(u_n\) na equação (5). Da equação (6) temos que:
\[(m+z) = \alpha u_n\]
Logo, a equação (5) pode ser escrita da seguinte forma:
\[\pi_t = \pi^e_t - \alpha u_t + \alpha u_n\]
Rearranjando:
\[\pi_t- \pi^e_t = -\alpha(u_t - u_n) \tag{7}\]
A equação (7) é uma versão bem popular para a curva de Phillips. Notem que se a taxa de desemprego está abaixo da taxa natural (\(u_t > u_n\)), a inflação é maior que a inflação esperada (\(\pi_t > \pi^e_t\)).
Versões da Curva de Phillips
1ª Versão - Original
Imagine que inflação é baixa e está há muito tempo em torno de um patamar histórico conhecido por todos.
Os agentes aprendem observando a realidade à sua volta. Então, suas expectativas logo se adaptam ao valor histórico notado. Dizemos que as expectativas estão “ancoradas”:
\[\pi^e = \bar{\pi} \tag{8}\]
Logo, a equação (7) fica:
\[\pi_t = \bar{\pi} + \alpha(u_t - u_n) \tag{9}\]
2ª Versão - Aceleracionista
Contudo, se a inflação aumenta, de forma continuada, as agentes econômicas devem reelaborar seu processo de formação de expectativas. Por exemplo:
\[\pi^e = (1 - \theta)\bar{\pi} + \theta\pi_{t-1} \tag{10}\]
Onde o \(\theta\) dá a importância das inflações ancorada (\(\bar{\pi})\) e do período imediatamente anterior (\(\pi_{t-1}\)) .
Notem que se a inflação tá crescendo tanto que não faz mais sentido ancorar as expectativas em um determinado valor histórico, só a inflação de ontem realmente importa (\(\theta = 1\)):
\[\pi_t = \pi_{t-1} - \alpha(u_t - u_n)\]
Ou, finalmente:
\[\pi_t - \pi_{t-1} = -\alpha(u_t - u_n) \tag{11}\]
Essa é a chamada versão aceleracionista da curva de Phillips. O desemprego afeta a variação da inflação e não só a inflação propriamente dita.
Hiperinflação
Quando a inflação é muito, muito alta, digamos mais de 50% ao mês, os agentes se preocupam não só com a inflação passada, mas com os indícios de inflação presente. Numa situação como essa, a curva de Phillips deve ser reescrita da seguinte maneira:
\[\pi_t = [\lambda\pi_t + (1-\lambda)\pi_{t-1}] -\alpha(u_t -u_n)\]
Onde a letra grega \(\lambda\) dá a proporção dos valores que são atualizados imediatamente com a inflação, o que é conhecido como indexação de preços e salários. Passando os termos dos colchetes para o outro lado:
\[\pi_t - \lambda\pi_t - (1-\lambda)\pi_{t-1} = -\alpha(u_t -u_n)\]
Ou:
\[(1-\lambda)\pi_t - (1-\lambda)\pi_{t-1} = -\alpha(u_t -u_n)\]
E, pondo, agora \((1-\lambda)\) em evidência no lado esquerdo da equação acima:
\[(1 -\lambda)(\pi_t - \pi_{t-1}) = -\alpha(u_t -u_n)\]
Então apresentamos uma fórmula de curva de Phillips que mostra como a variação da inflação responde a mudanças na taxa de desemprego (\(u_t\)) levando em conta o quão indexada está a economia (p. 170):
\[\pi_t - \pi_{t-1}= -\frac{\alpha}{1 - \lambda}(u_t -u_n)\]
Com números:
\(\alpha = 0,2\)
\(\lambda = 0,1\)
\(u_n = 0,06\)
\(u_t = 0,05\)
Então a variação da inflação vai ser de:
\[\pi_t - \pi_{t-1} = 0,22\%\]
Considere agora que a proporção de contratos indexados subiu para 90%:
\(\alpha = 0,2\)
\(\lambda = 0,90\)
\(u_n = 0,06\)
\(u_t = 0,05\)
A variação na inflação é agora de 2%.
Quanto mais indexada for a economia, mais os preços sobem:
\(\alpha = 0,2\)
\(\lambda = 0,99\)
\(u_n = 0,06\)
\(u_t = 0,05\)
Quando \(\lambda\) se aproxima muito de 1, o denominador de \(\frac{\alpha}{1 - \lambda}\) fica muito pequeno, fazendo a sensibilidade da inflação explodir. Assim, um desemprego apenas 1 ponto percentual abaixo do desemprego natural gera um aumento extremamente forte da inflação, de cerca de 20%.
Estimando a curva de Phillips para o Brasil (1ª Versão)
Dados:
Inflação: IPCA mensal (Tabela 1737)
Desemprego: variação mensal da taxa de desemprego da PNADc (Tabela 6381).
As duas séries devem começar em janeiro de 2015.
Taxa de desemprego.
Explicando o código: os dados foram salvos do SIDRA no formato CSV.US. Depois de baixar os dados em nosso PC, devemos limpar a planilha, deixando apenas os números e o nome da coluna. Exclua também a coluna com as datas. Isso torna a leitura dos dados com a função read.csv() mais direta. O argumento header=T pede que o cabeçalho dos dados seja preservado.
Inflação.
ipca <- read.csv("ipca.csv", header = T)Explicando o código: os mesmos procedimentos do caso acima.
Agora vamos criar uma sequência de datas.
datas <- seq(as.Date("2015-01-01"), as.Date("2026-03-01"), by = "month")Explicando o código: a função seq() cria uma sequencia. No primeiro argumento, informamos o primeiro valor e no segundo argumento o ultimo valor. A função as.Date() cria datas no formato padrão, o argumento by=“month” especifica que a variação de datas no intervalo considerado será mensal, ou seja, “2015-01-01”, “2015-02-01”, etc.
Vamos juntar tudo feito até agora em uma tabela (data frame). A sigla CP faz referência, claro, à Curva de Phillips.
CP <- data.frame(
data = datas,
inflacao = ipca,
desemprego = tx_d
)Explicando o código: usamos a função data.frame() para criar a tabela com as variáveis descritas em seu argumento.
plot(CP$tx_des, CP$ipca,
pch = 16, col="red",
xlab = "Desemprego",
ylab = "Inflação (IPCA)",
main = "Curva de Phillips para o Brasil (2015-2026)")
Explicando o código: a nossa base dados é o CP. Para desenhar linhas correspondentes às colunas de inflação e desemprego, sinalizamos isso com o operador “$”; o argumento “pch=16” especifica o tipo de ponto, no caso redondo.
Regressão linear
Vamos ajustar os dados a uma reta que melhor os represente. O método empregado será o de regressão linear simples.
modelo <- lm( CP$ipca ~ CP$tx_des, data = CP)
summary(modelo)
Call:
lm(formula = CP$ipca ~ CP$tx_des, data = CP)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.13938 -0.23366 -0.04807 0.25147 1.15799
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 0.447422 0.132403 3.379 0.000954 ***
CP$tx_des 0.001315 0.012408 0.106 0.915781
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.4017 on 133 degrees of freedom
Multiple R-squared: 8.439e-05, Adjusted R-squared: -0.007434
F-statistic: 0.01123 on 1 and 133 DF, p-value: 0.9158Explicando o código: a função lm() produz os coeficientes da regressão. Note que estamos dizendo que a inflação é a variável dependente (a que queremos explicar) e que a taxa de desemprego é a variável independente (a que explica). A função summary() apresenta os resultados estatísticos.
Resultados do modelo de regressão
O modelo resultou na seguinte fórmula:
\[\hat{\pi_t} = 0.447422 + 0.001315.u_t\]
Na equação acima o “chapéu” ou circunflexo em cima da variável inflação informa que estamos diante de uma estimativa. O primeiro valor é o intercepto e o segundo o \(\alpha\) da Curva de Phillips.
Vamos acrescentar ao gráfico de pontos observados a reta de regressão (em azul)
plot(CP$tx_des, CP$ipca,
pch = 16, col="red",
xlab = "Desemprego",
ylab = "Inflação (IPCA)",
main = "Curva de Phillips para o Brasil (2015-2026)")
abline(modelo, col = "blue", lwd = 2)
Explicando o código: apenas repetimos o código anterior acrescentando abline(). Essa função desenha a reta do modelo de regressão.
O sinal do coeficiente da taxa de desemprego está positivo, quando pela Curva de Phillips deveria ser negativo.
Além disso, o valor-p associado à variável de desemprego está muito alto (0,9158). Isso não nos permite rejeitar \(H_0: \alpha = 0\). Ou seja, do ponto de vista estatístico o desemprego não afeta a inflação.
Por fim o \(R^2 = 0,00008439\) está baixíssimo, indicando que o modelo não explica nada da inflação.
Precisamos recorrer a uma versão diferenciada da Curva de Phillips. É o que vocês devem fazer e apresentar em grupo.
Bibliografia: Macroeconomia, Olivier Blanchard. 9 ed. Porto Alegre: Pearson/Bookman, 2026.