📄 Aufgabenstellung

Untersuchen Sie, wie sich der Graph der Stammfunktion \(F\) verändert, wenn die Anfangsbedingung von \(F(0) = 1\) auf \(F(0) = 0\) geändert wird.

Gegeben ist weiterhin die Ableitungsfunktion: \[ f(x) = 2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}x\right) \]

🧠 Mathematische Herleitung

Eine Stammfunktion ist nur bis auf eine Konstante \[C\] bestimmt. Es gilt allgemein: \[ F(x) = \int f(x) \, dx = -\frac{6}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{3}x\right) + C \]

Die Konstante \[C\] bestimmt die vertikale Lage des Graphen.

Fall 1: Bedingung \[F(0) = 1\]

\[ \begin{aligned} F_1(0) &= -\frac{6}{\pi} \cos(0) + C_1 = 1 \\ -\frac{6}{\pi} + C_1 &= 1 \\ C_1 &= 1 + \frac{6}{\pi} \approx 2.91 \end{aligned} \]

Fall 2: Bedingung \[F(0) = 0\]

\[ \begin{aligned} F_2(0) &= -\frac{6}{\pi} \cos(0) + C_2 = 0 \\ -\frac{6}{\pi} + C_2 &= 0 \\ C_2 &= \frac{6}{\pi} \approx 1.91 \end{aligned} \]

Erkenntnis: Der Unterschied zwischen \[C_1\] und \[C_2\] beträgt genau 1. Der Graph von \[F_2\] ist also der Graph von \[F_1\], der um 1 Einheit nach unten verschoben wurde. Die Form (Steigung, Extremstellen) bleibt identisch.

💻 Visualisierung in R

Der folgende Code plottert die Ableitung \[f(x)\] sowie beide Stammfunktionen \[F_1\] (mit \[F(0)=1\]) und \[F_2\] (mit \[F(0)=0\]) in ein gemeinsames Koordinatensystem.

library(ggplot2)

# 1. Funktionen definieren
f <- function(x) {
  2 * sin((pi/3) * x)
}

# Konstanten berechnen
C1 <- 1 + (6/pi)  # Für F(0) = 1
C2 <- 6/pi        # Für F(0) = 0

# Stammfunktionen definieren
F1 <- function(x) {
  -(6/pi) * cos((pi/3) * x) + C1
}

F2 <- function(x) {
  -(6/pi) * cos((pi/3) * x) + C2
}

# Daten vorbereiten
x_werte <- seq(-7, 7, length.out = 1000)
daten <- data.frame(
  x = x_werte,
  f_x = f(x_werte),
  F1_x = F1(x_werte),
  F2_x = F2(x_werte)
)

# 2. Plot erstellen
ggplot(daten, aes(x = x)) +
  # Graph der Ableitung f(x) (grau, dünn im Hintergrund)
  geom_line(aes(y = f_x, color = "f(x) (Ableitung)"), linewidth = 0.8, linetype = "dotted") +
  
  # Stammfunktion F1 (F(0)=1)
  geom_line(aes(y = F1_x, color = "F₁(x) mit F(0)=1"), linewidth = 1.2) +
  
  # Stammfunktion F2 (F(0)=0)
  geom_line(aes(y = F2_x, color = "F₂(x) mit F(0)=0"), linewidth = 1.2, linetype = "dashed") +
  
  # Startpunkte markieren
  geom_point(aes(x = 0, y = 1), color = "blue", size = 3) + # Punkt für F1
  geom_point(aes(x = 0, y = 0), color = "red", size = 3) +  # Punkt für F2
  
  # Hilfslinien
  geom_hline(yintercept = 0, color = "black", linewidth = 0.5) +
  geom_vline(xintercept = 0, color = "black", linewidth = 0.5) +
  
  # Beschriftung und Design
  labs(
    title = "Einfluss der Anfangsbedingung auf die Stammfunktion",
    subtitle = "F₂(x) ist gegenüber F₁(x) um genau 1 Einheit nach unten verschoben.",
    x = "x",
    y = "y",
    color = "Legende"
  ) +
  scale_color_manual(values = c(
    "f(x) (Ableitung)" = "gray50", 
    "F₁(x) mit F(0)=1" = "blue", 
    "F₂(x) mit F(0)=0" = "red"
  )) +
  theme_minimal() +
  theme(legend.position = "bottom")