Rendimientos de cartera

15.0.1.4 Intervalo de confianza para la diferencia de medias

Un gestor de fondos quiere determinar si existe una diferencia significativa en el rendimiento promedio entre dos carteras de inversión.

• Primera cartera:
  • Tamaño de muestra: \(n_1 = 28\)
  • Rendimiento promedio: \(\bar{x}_1 = 1.5\%\)
  • Desviación estándar: \(s_1 = 0.8\%\)
• Segunda cartera:
  • Tamaño de muestra: \(n_2 = 30\)
  • Rendimiento promedio: \(\bar{x}_2 = 2.2\%\)
  • Desviación estándar: \(s_2 = 0.6\%\)

Se desea calcular un intervalo de confianza del 90% para la diferencia entre los rendimientos medios de ambas carteras.

Datos

• Nivel de confianza: 90%
• Valor crítico:

\[ Z_{\alpha/2} = Z_{0.05} = 1.645 \]

Cálculo del Intervalo de Confianza

El intervalo de confianza para la diferencia de medias se calcula mediante:

\[ IC = (\bar{x}_1 - \bar{x}_2)\pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}} \]

Donde:

• \(\bar{x}_1\) y \(\bar{x}_2\) son las medias muestrales.
• \(s_1\) y \(s_2\) son las desviaciones estándar muestrales.
• \(n_1\) y \(n_2\) son los tamaños de muestra.
• \(Z_{\alpha/2}\) es el valor crítico de la distribución normal estándar.

n1 <- 28
x1_bar <- 1.5
s1 <- 0.8

n2 <- 30
x2_bar <- 2.2
s2 <- 0.6

diff_means <- x1_bar - x2_bar

z_critico <- qnorm(0.95)

error_estandar <- sqrt((s1^2 / n1) + (s2^2 / n2))

IC <- c(diff_means - z_critico * error_estandar,
        diff_means + z_critico * error_estandar)

cat("Media cartera 1 (x̄1):", round(x1_bar, 4), "\n")

## Media cartera 1 (x̄1): 1.5

cat("Media cartera 2 (x̄2):", round(x2_bar, 4), "\n")

## Media cartera 2 (x̄2): 2.2

cat("Diferencia de medias (x̄1 − x̄2):", round(diff_means, 4), "\n")

## Diferencia de medias (x̄1 − x̄2): -0.7

cat("Valor crítico Zα/2:", round(z_critico, 4), "\n")

## Valor crítico Zα/2: 1.6449

cat("Error estándar:", round(error_estandar, 4), "\n")

## Error estándar: 0.1867

cat("Intervalo de confianza (90%):",
    round(IC[1], 4),
    "a",
    round(IC[2], 4),
    "\n")

## Intervalo de confianza (90%): -1.0071 a -0.3929

cat("Intervalo de confianza (90%):",
    round(IC[1], 4),
    "a",
    round(IC[2], 4),
    "\n")

## Intervalo de confianza (90%): -1.0071 a -0.3929

Interpretación

El intervalo de confianza del 90% para la diferencia de medias \((\mu_1 - \mu_2)\) es:

\[ (-1.01\%,\,-0.39\%) \]

Con un 90% de confianza, la diferencia promedio de rendimiento entre la cartera 1 y la cartera 2 está entre −1.01% y −0.39%.

Como todo el intervalo es negativo, se concluye que la cartera 2 tiene un rendimiento promedio significativamente mayor que la cartera 1. ```