Analysis: Flächenberechnung mit Integralen

Aufgabe 9

Sind die folgenden Flächenberechnungen mit den achsensymmetrischen Graphen von \(f\) und \(g\) korrekt? Korrigieren Sie gegebenenfalls.

Gegeben sind vier Aussagen zu den Flächen \(A_1\) bis \(A_7\):

  1. \(A_4 + A_5 = 2 \cdot \int_{0}^{\sqrt{0,5}} g(x) \, dx\)

  2. \(A_7 + A_1 + A_2 = \int_{-2}^{0} f(x) \, dx\)

  3. \(A_2 = \int_{-1}^{0} (f(x) - g(x)) \, dx\)

  4. \(A_6 = \int_{\sqrt{0,5}}^{\sqrt{2}} (g(x) - f(x)) \, dx\)

Lösung

a) Analyse der Aussage zu \(A_4 + A_5\)

Urteil: Falsch

  • Begründung: Die Fläche liegt im Intervall \([-\sqrt{0,5}, \sqrt{0,5}]\). Der Graph von \(g(x)\) verläuft in diesem Bereich unterhalb der x-Achse (\(g(x) < 0\)).
  • Ein bestimmtes Integral über einen Bereich unterhalb der x-Achse liefert einen negativen Wert. Da Flächeninhalte per Definition positiv sind, muss das Vorzeichen korrigiert werden.
  • Zudem nutzt die rechte Seite der Gleichung nur das Intervall \([0, \sqrt{0,5}]\) und multipliziert mit 2 (wegen der Symmetrie). Das ist prinzipiell richtig, aber das Vorzeichen fehlt.

Korrektur: \[A_4 + A_5 = -2 \cdot \int_{0}^{\sqrt{0,5}} g(x) \, dx\] (Das Minuszeichen macht das negative Integral positiv).

b) Analyse der Aussage zu \(A_7 + A_1 + A_2\)

Urteil: Falsch

  • Begründung: Das Integral \(\int_{-2}^{0} f(x) \, dx\) berechnet die bilanzierte Fläche.
    • Im Intervall \([-2, -1]\) (Fläche \(A_7\)) ist \(f(x) < 0\) \(\rightarrow\) Beitrag zum Integral ist negativ.
    • Im Intervall \([-1, 0]\) (Flächen \(A_1, A_2\)) ist \(f(x) > 0\) \(\rightarrow\) Beitrag zum Integral ist positiv.
  • Das Integral berechnet also \((A_1 + A_2) - A_7\), nicht die Summe aller Flächen.

Korrektur: Um die gesamte Fläche zu berechnen, müssen die Teilbereiche getrennt integriert und die Beträge addiert werden: \[A_{gesamt} = \left| \int_{-2}^{-1} f(x) \, dx \right| + \int_{-1}^{0} f(x) \, dx\]

c) Analyse der Aussage zu \(A_2\)

Urteil: Korrekt

  • Begründung: \(A_2\) ist die Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen im Intervall \([-1, 0]\).
  • In diesem Intervall gilt: \(f(x) \geq g(x)\) (Der blaue Graph liegt über dem grünen Graphen).
  • Die Formel für die Fläche zwischen zwei Kurven ist \(\int_{a}^{b} (\text{obere Funktion} - \text{untere Funktion}) \, dx\).
  • Daher ist \(\int_{-1}^{0} (f(x) - g(x)) \, dx\) korrekt.

d) Analyse der Aussage zu \(A_6\)

Urteil: Korrekt

  • Begründung: \(A_6\) ist die Fläche zwischen den Graphen im Intervall \([\sqrt{0,5}, \sqrt{2}]\).
  • In diesem Intervall gilt: \(g(x) \geq f(x)\) (Der grüne Graph liegt über dem blauen Graphen).
  • Entsprechend der Formel “Oben minus Unten” ist der Integrand \((g(x) - f(x))\) korrekt gewählt.