📄 Aufgabenstellung & Material

Die vollständige Aufgabenstellung inklusive des Graphen von \(f(x)\) ist nachfolgend direkt im Bericht sichtbar:

🧠 Kurze Wiederholung: Von \(f\) zu \(F\)

Gesucht ist die Stammfunktion \(F\) mit \(F(0)=1\). Es gilt \(F'(x) = f(x)\).

Eigenschaft von \(f(x)\) (im Graphen) Konsequenz für \(F(x)\) (zu skizzieren)
\(f(x) > 0\) (oberhalb x-Achse) \(F(x)\) steigt streng monoton
\(f(x) < 0\) (unterhalb x-Achse) \(F(x)\) fällt streng monoton
\(f(x) = 0\) (Nullstelle) \(F(x)\) hat Hoch- oder Tiefpunkt (waagrechte Tangente)
\(f(x)\) hat Extremum \(F(x)\) hat Wendepunkt (steilster Anstieg/Abfall)
Startbedingung Der Graph muss durch den Punkt \((0|1)\) gehen.

💻 Lösungsweg in R

Wir modellieren die Funktion aus dem Graphen (sinusförmig, Amplitude 2, Periode 6) und berechnen die exakte Stammfunktion.

1. Funktionen definieren und Plot erstellen

# 1. Paket laden
library(ggplot2)

# 2. Funktionen definieren
f <- function(x) {
  2 * sin((pi/3) * x)
}

C_const <- 1 + (6/pi)

F <- function(x) {
  -(6/pi) * cos((pi/3) * x) + C_const
}

# 3. Daten vorbereiten
x_werte <- seq(-7, 7, length.out = 1000)
daten <- data.frame(
  x = x_werte,
  f_x = f(x_werte),
  F_x = F(x_werte)
)

# 4. Plot erstellen
ggplot(daten, aes(x = x)) +
  geom_line(aes(y = f_x, color = "f(x) (gegeben)"), linewidth = 1) +
  geom_line(aes(y = F_x, color = "F(x) (gesucht)"), linewidth = 1, linetype = "dashed") +
  geom_point(aes(x = 0, y = 1), color = "red", size = 3) +
  geom_vline(xintercept = 0, linetype = "dotted", color = "gray") +
  geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dotted", color = "gray") +
  labs(
    title = "Graph von f(x) und ihrer Stammfunktion F(x)",
    subtitle = "Bedingung: F(0) = 1",
    x = "x",
    y = "y",
    color = "Funktion"
  ) +
  scale_color_manual(values = c("f(x) (gegeben)" = "blue", "F(x) (gesucht)" = "darkred")) +
  theme_minimal() +
  theme(legend.position = "bottom")