Resumen

En el comercio internacional de productos básicos, el café, que representa el producto agrícola tropical más valioso del mundo, ocupa el segundo lugar después del petróleo. Se estima que alrededor de 40 millones de personas en los principales países productores de África derivan su sustento del café, siendo África responsable de aproximadamente el 12% de la producción mundial.

El presente estudio aplicó el modelo de series de tiempo Autorregresivo Integrado de Media Móvil (ARIMA) para analizar el comportamiento de la producción anual de café en Ghana, así como para realizar pronósticos a cinco años. Los datos utilizados corresponden al periodo 1990–2010 y fueron obtenidos del Ghana Cocoa Board.

Los resultados mostraron que la producción presenta fluctuaciones con tendencias ascendentes y descendentes. El mejor modelo seleccionado fue ARIMA(0,3,1). Los pronósticos indican una disminución continua en la producción durante los próximos cinco años, manteniendo constantes las demás condiciones.

Palabras clave: Café, Producción Anual, ARIMA, Series de Tiempo.

1. Introducción

En el comercio internacional de productos básicos, el café, que representa el producto agrícola tropical más valioso del mundo, ocupa el segundo lugar después del petróleo. De hecho, se estima que alrededor de 40 millones de personas en los principales países productores de África derivan su sustento del café, siendo África responsable de aproximadamente el 12 por ciento de la producción mundial. Aunque el cultivo de café en Ghana se remonta a finales del siglo XVIII, aproximadamente en la misma época en que el cacao fue introducido en el país, el desarrollo del café ha sido superado por el del cacao (Zaney, 2011).

A diferencia del cacao, el café generalmente se ha cultivado en pequeñas parcelas disper- sas en las zonas productoras de cacao, con solo unas pocas plantaciones grandes. En 2007 y 2008, por ejemplo, Ghana recibió ingresos modestos de US$1,331,308.36 y US$2,767,378.00, respectivamente, por exportaciones de café. Esto implica que la producción de café, si se impulsa adecuadamente, puede generar ingresos sustanciales para complementar los recursos obtenidos por el gobierno a partir de otras fuentes. El Gobierno, por supuesto, no desconoce este hecho y ha emprendido esfuerzos en esta dirección. A través del Ghana Cocoa Board, el Gobierno ha financiado investigaciones sobre el café en el Cocoa Research Institute of Ghana (CRIG). Asimismo, ha apoyado actividades orientadas a fortalecer la industria cafetera en Ghana (Zaney, 2011).

La organización en Ghana de la 49ª Asamblea General Anual (AGA) de la International African Coffee Organization (IACO), en noviembre de 2009, también formó parte de los esfuerzos para revitalizar la producción y comercialización del café, con el fin de aprovechar plenamente el potencial del sector. La IACO es una organización intergubernamental conformada por 25 países africanos productores de café. Fue creada en 1960 por países productores de café en África, entre ellos Angola, Camerún, República Centroafricana, República Democrática del Congo, Côte d’Ivoire, Benín, Gabón, Kenia, Madagascar, Uganda y Tanzania. Posteriormente, su membresía aumentó a 25 países con la incorporación de Burundi, Congo, Guinea Ecuatorial, Etiopía, Ghana, Guinea, Liberia, Malawi, Nigeria, Ruanda, Sierra Leona, Togo, Zambia y Zimbabue. El objetivo de la IACO es enfrentar los desafíos asociados al sector mundial del café mediante la cooperación regional e internacional, con el fin de proteger los intereses de los productores y economías africanas dependientes del café. Por tanto, la Asamblea General Anual de la IACO sirve como plataforma para la discusión y el intercambio de información entre los distintos miembros sobre asuntos relacionados con la industria cafetera (Zaney, 2011).

La producción de café no ha prosperado realmente en Ghana, a pesar de que se cree que fue el primer cultivo exportado por el país antes de la llegada del cacao. Debido al bajo rendimiento del café en Ghana, muchos agricultores están abandonando su cultivo para dedicarse a otras actividades agrícolas, especialmente al cultivo de cacao, que se ha convertido en la principal fuente de divisas del país. Los agricultores no están dispuestos a cultivar café, ya que al final no cuentan con intervenciones gubernamentales en la comercialización de su producción. Se ven obligados a negociar precios que favorecen a los compradores y no a ellos, lo que les genera pérdidas económicas.

El objetivo de este estudio es aplicar el modelo de series de tiempo Autorregresivo Integrado de Media Móvil (ARIMA) para modelar el comportamiento de la producción de café en Ghana, así como pronosticar la producción total de café para algunos años hacia adelante, excluyendo factores externos como el cambio climático, plagas y enfermedades, entre otros.

Los productores de café en los países en desarrollo reciben una proporción notoriamente pequeña del precio de exportación del café verde, lo cual a menudo se explica por una regulación gubernamental excesiva en los mercados internos y por ineficiencias del mercado. La participación del precio recibido por los productores varía considerablemente entre países, incluso cuando se comparan sistemas de exportación aparentemente similares. Por ejemplo, los productores en Tanzania recibieron únicamente el 42% del precio de exportación del café arábica y el 30% del precio del café robusta en 1998/99 (Baffes, 2003), mientras que en Uganda la proporción del precio de exportación que correspondía a los productores de robusta en el mismo período fue del 75% (ITF, 2002b).

En el contexto actual, el café es económicamente más rentable (casi tres veces más) para los agricultores en comparación con otros cultivos de cereales en regiones montañosas (Bajracharya, 2003). En su mayoría, la producción de café es orgánica por defecto, y algu- nas partes de la producción están certificadas como orgánicas. Además, puede constituir un medio importante para la conservación del suelo, el mantenimiento de la biodiversidad y el equilibrio de las cuencas hidrográficas en las zonas montañosas medias de Nepal (Nepal, 2006). La industria cafetera se encuentra en una etapa incipiente y aún no es capaz de generar un apalancamiento económico adicional ni una producción excedentaria significativa. No obstante, ha representado un sustento para muchas poblaciones rurales y marginadas en la región montañosa media.

Ponte (2002) destacó la importancia de la calidad del café más que la cantidad desde la perspectiva de los productores. Argumentó que los productores deben tener en cuenta las preferencias de los consumidores finales y las características del café por las cuales estos estarían dispuestos a pagar un precio mayor. El café de alta calidad genera mayores ingresos para los productores y constituye una mejor estrategia para obtener mayores beneficios con la misma cantidad producida, en comparación con el café de baja calidad. Se han realizado diversos estudios para determinar la importancia de numerosos fac- tores que afectan el crecimiento y la calidad del grano en los agroecosistemas cafetaleros, incluyendo las condiciones climáticas, el manejo de sombra, los regímenes de fertilización y la poda adecuada (Wintgens, 2004; Steiman, 2008; Bosselmann et al., 2009; Avalos-Sartorio y Blackman, 2010).

El manejo de sombra varía desde sistemas de café bajo cobertura forestal natural no modificada, pasando por árboles dispersos de uso múltiple, hasta sombra altamente controlada en sistemas agroforestales comerciales (Perfecto et al., 2005; Siles et al., 2010). Algunos estudios han documentado la relación entre sombra y rendimiento del café; por ejemplo, Beer (1987) y DaMatta (2004) encontraron efectos positivos en ubicaciones subóptimas, mientras que Soto-Pinto et al. (2000) y Elevitch et al. (2009) encontraron efectos negativos cuando el nivel de sombra superaba el 50%. Lin (2009) encontró que niveles altos de sombra (60–80%) producen una floración similar a la observada con sombra media (30–50%) en fincas de café de bajo uso de insumos en Chiapas, México. Los resultados difieren debido a que los factores ambientales y las variedades de café analizadas varían entre estudios, y las necesidades ambientales exactas son difíciles de cuantificar debido a dicha variabilidad (Carr, 2001).

La producción de café (Coffea arabica L.) en sistemas agroforestales puede ofrecer numerosas ventajas a los agricultores interesados en servicios ambientales, tales como el aumento de la biodiversidad local, la reducción de la erosión (Donald, 2004), la mejora del almacenamiento de agua en los suelos (Lin y Richards, 2007) y la mitigación de los extremos climáticos (Lin, 2007; Morais et al., 2006). También puede generar ventajas económicas mediante la producción de bienes adicionales y la oportunidad de explorar mercados alternativos (Donald, 2004), así como reducir el patrón bienal del rendimiento del café (Da Matta, 2004). No obstante, a pesar de estos beneficios potenciales, las complejas interacciones entre los componentes abióticos y las especies en los sistemas agroforestales resultan en un desempeño extremadamente variable de los cafetos. En Costa Rica, bajo condiciones de alta precipitación y alto contenido de materia orgánica en el suelo, los cafetos intercalados con árboles de Eucalyptus deglupta mostraron una producción similar (Schaller et al., 2003) o superior (van Kanten et al., 2004) en comparación con los cafetos intercalados con Terminalia ivorensis o Erythrina poeppigiana. El cultivo intercalado de café robusta y arábica con cultivos alimentarios como fríjol, maní, soya, arroz, ñame y maíz ha sido reportado en diversos estudios (Okelana, 1982; Snoeck, 1988; Wrigley, 1988; Njoroge, Waithaka & Chweya, 1993). Sin embargo, los informes contradictorios de Okelana (1982) y Snoeck (1988) sobre la idoneidad del maíz como cultivo intercalado con café indican que el éxito de cualquier sistema de cultivo intercalado puede estar influenciado por el tipo de cultivos utilizados y por factores específicos de la ubicación.

La mayoría de los caficultores en Brasil optan por la producción a pleno sol. Una de las razones de esta elección es la reducción en el crecimiento y el rendimiento observada en los cafetos cultivados bajo sombra en comparación con aquellos cultivados a pleno sol (Campanha et al., 2004; Morais et al., 2006). En particular, bajo condiciones de disponibilidad restringida de agua y nutrientes, el efecto negativo de la baja radiación sobre la producción se vuelve más evidente (Da Matta, 2004).

El cultivo intercalado de café robusta y arábica con cultivos alimentarios como fríjol, maní, soya, arroz, ñame y maíz ha sido reportado en diversos estudios (Okelana, 1982; Snoeck, 1988; Wrigley, 1988; Njoroge, Waithaka & Chweya, 1993). Sin embargo, los in- formes contradictorios de Okelana (1982) y Snoeck (1988) sobre la idoneidad del maíz como cultivo intercalado con café indican que el éxito de cualquier sistema de cultivo intercalado puede estar influenciado por el tipo de cultivos utilizados y por factores específicos de la ubicación. Osei-Bonsu (1998) también afirmó que se debe proporcionar una sombra temporal de plátano en el cultivo del café.

2. Materiales y Métodos

2.1 Especificación del Modelo, Estimación y Pruebas

El modelo ARIMA fue introducido inicialmente por Box y Jenkins (1976) y, hasta la actualidad, se ha convertido en uno de los modelos más populares para la predicción de series de tiempo univariadas. Este modelo se origina a partir del modelo Autorregresivo (AR), el modelo de Media Móvil (MA) y la combinación de ambos, conocida como modelo ARMA.

2.1.1 Estacionariedad

Un concepto clave que subyace en los procesos de series de tiempo es el de estacionariedad. Una serie de tiempo es estacionaria en covarianza cuando cumple las siguientes tres características:

1. Presenta reversión a la media, es decir, fluctúa alrededor de una media constante de largo plazo;
1. Tiene una varianza finita que es invariante en el tiempo;
1. Posee un correlograma teórico que disminuye a medida que aumenta el rezago.

En términos simples, una serie de tiempo $Y_t$ se dice que es estacionaria si:

\[ E(Y_t) = \text{constante} \quad \forall t \]

\[ Var(Y_t) = \text{constante} \quad \forall t \]

\[ Cov(Y_t, Y_{t+k}) = \text{constante} \quad \forall t \]

Es decir, su media, varianza y covarianzas permanecen constantes a lo largo del tiempo.

La estacionariedad es importante porque, si la serie es no estacionaria, entonces los resultados típicos del análisis clásico de regresión no son válidos.

2.1.2 Procesos Integrados y Modelos ARIMA

El modelo ARMA$(p, q)$ solo puede aplicarse a series de tiempo $Y_t$ que sean estacionarias. Para evitar este problema y lograr inducir estacionariedad, es necesario eliminar la tendencia de los datos originales mediante un proceso denominado diferenciación (differencing):

\[ \nabla X_t = X_t - X_{t-1} \]

Dado que la mayoría de las series de tiempo económicas y financieras presentan algún grado de tendencia, casi siempre es necesario tomar primeras diferencias de la serie original.

Si, después de aplicar la primera diferencia, la serie resulta ser estacionaria, entonces se dice que la serie es integrada de orden uno y se denota como $I(1)$.

2.1.3 Modelos ARIMA

Si un proceso $X_t$ tiene una representación ARIMA$(p, d, q)$, entonces la serie diferenciada tiene una representación ARMA$(p, q)$, la cual se expresa mediante:

\[ \nabla^d X_t (1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2 - \cdots - \phi_p B^p) = (1 - \theta_1 B - \theta_2 B^2 - \cdots - \theta_q B^q) u_t \]

Definiendo:

\[ W_t = \nabla^d X_t = (1 - B)^d X_t \]

el proceso general ARIMA puede escribirse como:

\[ W_t = \sum_{i=1}^{p} \phi_i W_{t-i} + \sum_{i=1}^{q} \theta_i \varepsilon_{t-i} + \mu + \varepsilon_t \]

Proceso ARIMA (1,1,1)

Un ejemplo particular de un modelo ARIMA$(p, d, q)$ es el ARIMA$(1,1,1)$, el cual tiene un parámetro autorregresivo, un nivel de diferenciación y un parámetro de media móvil. Este modelo se expresa como:

\[ W_t = \phi_1 W_{t-1} + \theta_1 e_{t-1} + \mu + \varepsilon_t \]

Sustituyendo $W_t = (1 - B)Y_t$, se obtiene:

\[ (1 - B)X_t = \phi_1 (1 - B) X_{t-1} + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \mu + \varepsilon_t \]

Lo anterior puede simplificarse como:

\[ X_t - X_{t-1} = \phi_1 X_{t-1} - \phi_1 X_{t-2} + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \mu + \varepsilon_t \]

o equivalentemente,

\[ X_t - X_{t-1} = \phi_1 (X_{t-1} - X_{t-2}) + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \mu + \varepsilon_t \]

2.1.4 Selección del Modelo Box–Jenkins

En general, Box y Jenkins popularizaron un método de tres etapas cuyo objetivo es seleccionar un modelo ARIMA apropiado y parsimonioso para la estimación y el pronóstico de una serie de tiempo univariada.

Las tres etapas son:

1. Identificación
1. Estimación
1. Diagnóstico del modelo

2.1.5 Identificación

La comparación de las funciones de autocorrelación muestral (ACF) y autocorrelación parcial (PACF) con las correspondientes a distintos procesos ARIMA teóricos puede sugerir varios modelos plausibles.

Si la serie es no estacionaria, la ACF no decae ni muestra señales de disminución.

Una transformación común para inducir estacionariedad consiste en aplicar logaritmos y posteriormente primeras diferencias a la serie. Una vez alcanzada la estacionariedad, el siguiente paso es identificar los órdenes $p$ y $q$ del modelo ARIMA.

Tabla 1: Identificación de los órdenes $p$ y $q$ en modelos ARIMA

Modelo	ACF	PACF
Ruido blanco	Todas las autocorrelaciones son cero	Todas las autocorrelaciones parciales son cero
MA(1)	Un único pico significativo en el rezago 1	Decaimiento exponencial o sinusoidal amortiguado
AR(1)	Decaimiento exponencial o sinusoidal amortiguado	Un único pico significativo en el rezago 1
ARMA(1,1)	Decaimiento desde el rezago 1	Decaimiento desde el rezago 1
ARMA(p,q)	Decaimiento desde el rezago $q$	Decaimiento desde el rezago $p$

2.1.6 Estimación

En esta segunda etapa, los modelos estimados se comparan utilizando los criterios de información:

AIC (Criterio de Información de Akaike)
BIC (Criterio de Información Bayesiano)

2.1.7 Diagnóstico del Modelo

En la etapa de diagnóstico se examina la bondad de ajuste del modelo.

Se debe tener cuidado para evitar el sobreajuste, es decir, la inclusión innecesaria de parámetros adicionales cuando no son apropiados.

Las estadísticas utilizadas en esta etapa son:

Estadística Box–Pierce (BP)
Estadística Q de Ljung–Box (LB)

Estas se emplean para contrastar la presencia de autocorrelación en los residuos.

3. Análisis y Resultados

3.1 Análisis Preliminar

## Warning: package 'readr' was built under R version 4.5.3

## 
## Adjuntando el paquete: 'dplyr'

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union

## 
## Adjuntando el paquete: 'scales'

## The following object is masked from 'package:readr':
## 
##     col_factor

## Rows: 10972 Columns: 9
## ── Column specification ────────────────────────────────────────────────────────
## Delimiter: ","
## chr (8): Departamento, Municipio, Producto, Área Cosechada, Área Sembrada, P...
## dbl (1): Año
## 
## ℹ Use `spec()` to retrieve the full column specification for this data.
## ℹ Specify the column types or set `show_col_types = FALSE` to quiet this message.

## Rows: 10972 Columns: 9
## ── Column specification ────────────────────────────────────────────────────────
## Delimiter: ","
## chr (8): Departamento, Municipio, Producto, Área Cosechada, Área Sembrada, P...
## dbl (1): Año
## 
## ℹ Use `spec()` to retrieve the full column specification for this data.
## ℹ Specify the column types or set `show_col_types = FALSE` to quiet this message.

## # A tibble: 6 × 2
##    Anio Produccion_Total
##   <dbl>            <dbl>
## 1  2007        11770667.
## 2  2008        12772288.
## 3  2009        12613439.
## 4  2010        13102972.
## 5  2011        12201862.
## 6  2012        11881040.

## [1] 18

Figura 1:

Gráfico de series temporales de la producción total de café de Ghana de 1990 a 2010.

Se observa un cambio sistemático en el gráfico temporal presentado en la Figura 1, el cual no es de carácter periódico. Esto indica que el comportamiento de la producción total de café en Ghana presenta una tendencia decreciente o, al menos, no constante. La producción total fue baja después de 1991, lo cual puede atribuirse a la liberalización del sector cafetero por parte del gobierno en 1991/1992, cuando el Estado dejó de intervenir en la compra y venta de los granos de café. En consecuencia, los agricultores quedaron obligados a negociar los precios directamente con los compradores, generalmente en condiciones desfavorables.

Se presentó un aumento pronunciado en la producción entre 1997 y 1999, después del cual esta disminuyó drásticamente. En términos generales, la tendencia de la producción total de café en Ghana muestra movimientos tanto ascendentes como descendentes.

La figura exhibe una tendencia móvil; por lo tanto, es necesario aplicar el método de diferenciación para alcanzar la estacionariedad, ya que la tendencia observada en los datos indica que la serie es no estacionaria.

El análisis de la serie de tiempo de los datos de café se realizó utilizando el software R. En primer lugar, se examina el comportamiento de la Función de Autocorrelación (ACF) de la serie.

Figura 2: Función de autocorrelación (ACF) de la producción total de café de Ghana.

La función de autocorrelación de la producción total de café en Ghana se presenta en la Figura 2. El gráfico de la ACF en función del rezago se denomina correlograma.

La presencia de una tendencia en los datos se manifiesta en el correlograma como un decaimiento lento de las autocorrelaciones, lo que refleja una pendiente descendente debido a la naturaleza exponencial del gráfico. Este describe la correlación entre los valores de la producción total de café en Ghana en distintos momentos del tiempo, en función de la diferencia temporal entre ellos.

La función de autocorrelación presenta un comportamiento decreciente, lo cual indica la existencia de una tendencia en los datos de producción total de café en Ghana.

3.2 Diferenciación

Figura 3: Primera diferenciación de la producción de café de Ghana de 1990 a 2010.

Para eliminar el componente de tendencia de los datos, se aplica el método de diferenciación. La Figura 3 muestra la transformación de la producción total de café en Ghana utilizando la primera diferencia. Sin embargo, las observaciones no revierten hacia su valor medio. La transformación mediante la primera diferencia presenta características que sugieren que la serie aún es no estacionaria.

Debido a ello, es necesario realizar una nueva transformación con el fin de obtener una serie más compatible con el supuesto de estacionariedad. En general, el gráfico de la primera diferencia revela todavía cierta variabilidad. Por lo tanto, se emplea la segunda diferenciación.

Figura 4: Segunda diferenciación de la producción de café de Ghana entre 1990 y 2010.

Al aplicar la segunda diferenciación a los datos, aún se observa cierta variabilidad, lo que indica que la serie sigue siendo no estacionaria. Por lo tanto, se procede a aplicar una tercera diferenciación a los datos.

Figura 5: Tercera diferenciación de la producción de café de Ghana entre 1990 y 2010.

Se realiza una transformación de los datos de la producción total de café en Ghana mediante el método de la tercera diferenciación, con el fin de eliminar el componente de tendencia presente en los datos originales.

Las observaciones presentan movimientos irregulares, pero ahora revierten hacia su valor medio y la variabilidad es aproximadamente constante. En consecuencia, los datos de la producción total de café en Ghana parecen ser aproximadamente estacionarios.

Figura 6: ACF y PACF de la tercera diferenciación de la producción de café de Ghana (1990-2010).

ACF y PACF de la tercera diferenciación de la producción de café en Ghana (1990–2010)

La Figura 6 muestra tanto la función de autocorrelación (ACF) como la función de autocorrelación parcial (PACF) correspondientes a la tercera diferenciación de la producción de café en Ghana para distintos rezagos.

Al inspeccionar tanto la ACF como la PACF de la tercera diferenciación de la producción de café en Ghana, se sugieren los siguientes modelos:

ARIMA(1, 3, 0)
ARIMA(0, 3, 1)
ARIMA(1, 3, 1)

Con el fin de seleccionar el mejor modelo para realizar pronósticos futuros, cada modelo es evaluado con base en sus estimaciones de parámetros, los diagnósticos correspondientes de los residuos y los criterios de información AIC, BIC y AICc.

3.3 Estimación de Parámetros

MODELO ARIMA (1,3,0)

Coef.	Estimación	Error Est.	Valor t	AIC	BIC
ar1	-0.616	0.200	3.08	22.93659	22.03552
xmean	1362.992	7748.801

$\sigma^2$ estimado como $2.694 \times 10^{9}$; log-verosimilitud = -221.21; AIC = 448.42.

El parámetro basado en la prueba del valor t es estadísticamente significativo.

MODELO ARIMA (0,3,1)

Coef.	Estimación	Error Est.	Valor t	AIC	BIC
ma1	-1.0000	0.1417	7.0572	22.39	21.48893
xmean	505.2666	1654.6015

$\sigma^2$ estimado como $1.56 \times 10^{9}$; log-verosimilitud = -217.52; AIC = 441.05.

El parámetro basado en la prueba del valor t es estadísticamente significativo.

MODELO ARIMA (1,3,1)

Coef.	Estimación	Error Est.	Valor t	AIC	BIC
ar1	-0.4542	0.2288	1.985	22.26478	21.41318
ma1	-1.0000	0.1479	6.761
xmean	194.7241	1069.6642

$\sigma^2$ estimado como $1.231 \times 10^{9}$; log-verosimilitud = -215.87; AIC = 439.74.

El valor t de ma1 es estadísticamente significativo, mientras que el de ar1 no es estadísticamente significativo, ya que su valor absoluto es menor que 2.

3.4 Diagnóstico del modelo

Figura 7: Diagnóstico de ARIMA (0, 3, 1).

Se puede observar en el modelo ARIMA(0,3,1) mostrado en la Fig. 7 anterior que el gráfico de los residuos estandarizados no presenta ningún patrón evidente y se asemeja a una secuencia i.i.d. (independiente e idénticamente distribuida) con media cero, aunque con algunos pocos valores atípicos. La parte central del diagnóstico corresponde al gráfico de la función de autocorrelación (ACF) de los residuos. No hay evidencia de correlación significativa en los residuos para ningún rezago positivo. En la parte derecha del centro del panel de diagnóstico se encuentra el gráfico Q-Q nor- mal de los residuos estandarizados. La mayoría de los residuos se ubican sobre la línea recta, excepto algunos pocos que se desvían de la normalidad. Por lo tanto, el supuesto de normalidad parece cumplirse y los residuos aparentan estar normalmente distribuidos. La parte inferior del diagnóstico corresponde al gráfico temporal de la estadística de Ljung-Box. Se puede observar que la estadística de Ljung-Box no es significativa en ningún rezago positivo. También se observó que los modelos ARIMA(1,3,0) y ARIMA(1,3,1) presentaron características diagnósticas similares al modelo ARIMA(0,3,1) mostrado en la Fig. 7.

3.5 Selección del Mejor Modelo para la Predicción

Los gráficos de residuos estandarizados de todos los modelos muestran que los residuos son independientes e idénticamente distribuidos con media cero y algunos pocos valores atípicos. No existe evidencia de significancia en las funciones de autocorrelación de los residuos para ninguno de los modelos, excepto uno, y los residuos parecen estar normalmente distribuidos en todos los casos. Las estadísticas de Ljung-Box no son significativas en ningún rezago positivo para todos los modelos. El parámetro AR en el modelo ARIMA(1,3,1) no es significativo al nivel del 5%, lo cual podría tener un efecto negativo en la predicción si se utiliza este modelo; sin embargo, el parámetro MA sí es significativo al 5%. Los parámetros en los modelos ARIMA(0,3,1) y ARIMA(1,3,0) son estadísticamente significativos. Los criterios AIC , AICc y BIC son adecuados para todos los modelos, pero favorecen al modelo ARIMA(0,3,1). De la discusión anterior se concluye que el modelo ARIMA(0,3,1) es el mejor modelo para la predicción.

Modelo seleccionado

El modelo puede escribirse como:

\[ \nabla^3 X_t = \nabla^3 (w_t - w_{t-1}) + 505.2666 \]

donde:

\[ \nabla X_t = X_t - X_{t-1} \]

\[ X_t = X_{t-3} - 3X_{t-2} + 3X_{t-1} + w_{t-4} - 3w_{t-3} - 3w_{t-2} - w_{t-1} - w_t + 505.2666 \]

Por lo tanto, nuestro modelo de predicción es un proceso MA(1) con ecuación:

\[ X_t = -\varepsilon_{t-1} + 505.2666 \]

con una varianza estimada de:

\[ \delta_e^2 = 1654.6015 \]

3.6 Pronóstico

Se realiza un pronóstico a 5 pasos hacia el futuro:

6421.089, −9736.733, −28473.467, −49789.111, −73683.667

Errores estándar asociados:

40623.99, 92636.94, 157859.59, 235128.29, 323719.85

## Registered S3 method overwritten by 'quantmod':
##   method            from
##   as.zoo.data.frame zoo

##      Point Forecast      Lo 80    Hi 80       Lo 95    Hi 95
## 2016       12427374 10816274.2 14038473   9963409.6 14891338
## 2017       11613825  7835463.3 15392188   5835319.2 17392332
## 2018       10598583  4004877.0 17192288    514380.1 20682785
## 2019        9381645  -647361.7 19410652  -5956397.2 24719687
## 2020        7963013 -6105297.2 22031323 -13552610.6 29478636

Figura 8: Producción total de café de Ghana, sus previsiones e intervalo de confianza.

La Figura 8 muestra los datos originales de la producción total de café de Ghana representados con una línea negra, sus pronósticos a 5 años con una línea roja y el intervalo de confianza con líneas azules discontinuas cortas.

Conclusión

El estudio mostró que la producción total fue baja después de 1991. Hubo un aumento pronunciado en la producción entre 1997 y 1999, después del cual disminuyó drásticamente. En general, la tendencia de la producción total de café de Ghana presenta movimientos ascendentes y descendentes. El mejor modelo obtenido, con base en diversos diagnósti- cos, criterios de selección y evaluación, fue el modelo ARIMA(0,3,1). El esquema de pronóstico ARIMA elaborado con base en la metodología de Box-Jenkins muestra que la producción anual de café en Ghana continuará disminuyendo en los próximos cinco años, manteniendo constantes las demás condiciones. Se recomiendan las siguientes intervenciones: el gobierno podría apoyar a los agricultores proporcionándoles plántulas de alto rendimiento del cultivo, así como equipos modernos y apoyo logístico. Además, los agricultores deben ser capacitados para fortalecer sus conocimientos y habilidades en el cultivo del café. Las empresas que compran café a los agricultores deberían registrarse en el COCOBOD, de manera similar al sistema de compradores autorizados existente en la industria del cacao. Finalmente, se debe incentivar a los agricultores a cultivar otros tipos de café, como el Arábica, que requiere menor intensidad de mano de obra.

Referencias

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Modelado de la producción anual de café en Ghana mediante el modelo de series temporales ARIMA

Juliana García

2026-06-05