1. Introducción

La Ley de los Grandes Números establece que, al aumentar el tamaño de la muestra, el promedio muestral converge hacia el valor esperado poblacional.

En este estudio se simulan dos fenómenos aleatorios: uno discreto y uno continuo, con el objetivo de analizar empíricamente este comportamiento.

2. Definición de Variables

Variable Discreta

Se utiliza una distribución Binomial con parámetros:

  • n = 10
  • p = 0.5

Valor esperado:

E[X] = 5

Variable Continua

Se utiliza una distribución Normal con parámetros:

  • media = 50
  • desviación estándar = 10

Valor esperado:

E[Y] = 50

3. Librerías

library(ggplot2)

4. Función de Simulación

simular_lgn <- function(n, tipo="discreta") {
  
  if(tipo=="discreta"){
    datos <- rbinom(n, 10, 0.5)
    media_teorica <- 5
    titulo <- paste("Binomial - n =", n)
  } else {
    datos <- rnorm(n, 50, 10)
    media_teorica <- 50
    titulo <- paste("Normal - n =", n)
  }
  
  media <- cumsum(datos)/seq_along(datos)
  
  df <- data.frame(x = datos)
  
  # Panel integrado
  g <- ggplot(df, aes(x=x)) +
    geom_histogram(aes(y=..density..), bins=30, fill="lightblue", color="black") +
    geom_density(color="red", linewidth=1) +
    geom_vline(xintercept=media_teorica, color="blue", linetype="dashed") +
    ggtitle(paste("Distribución y densidad -", titulo)) +
    theme_minimal()
  
  print(g)
  
  # Convergencia
  plot(media, type="l", col="darkgreen",
       main=paste("Convergencia del promedio -", titulo),
       xlab="Observaciones", ylab="Promedio muestral")
  
  abline(h=media_teorica, col="red", lty=2)
}

5. Simulación Variable Discreta

simular_lgn(10, "discreta")
## Warning: The dot-dot notation (`..density..`) was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `after_stat(density)` instead.
## This warning is displayed once per session.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.

simular_lgn(50, "discreta")

simular_lgn(100, "discreta")

simular_lgn(1000, "discreta")

simular_lgn(10000, "discreta")

6. Simulación Variable Continua

simular_lgn(10, "continua")

simular_lgn(50, "continua")

simular_lgn(100, "continua")

simular_lgn(1000, "continua")

simular_lgn(10000, "continua")

7. Análisis e Interpretación

Los resultados obtenidos evidencian claramente la Ley de los Grandes Números.

En tamaños de muestra pequeños (n = 10 y n = 50), el promedio muestral presenta alta variabilidad debido a la influencia del azar. Esto ocurre porque cada observación individual tiene un impacto significativo sobre el promedio.

A medida que el tamaño de la muestra aumenta (n = 100, n = 1000 y n = 10000), se observa una reducción progresiva de la variabilidad, permitiendo que el promedio muestral se estabilice alrededor del valor esperado.

La simulación es necesaria porque en muchos contextos reales no se dispone de suficientes datos o resulta costoso obtenerlos. Además, permite analizar escenarios teóricos bajo condiciones controladas.

En este estudio, la estabilización visual clara se observa aproximadamente en:

👉 n = 1000

A partir de este punto, las fluctuaciones del promedio son mínimas, lo que evidencia la convergencia hacia el parámetro poblacional.

8. Conclusiones

Se comprobó empíricamente la Ley de los Grandes Números mediante simulaciones en R.

Se evidenció que el promedio muestral converge hacia el valor esperado tanto en distribuciones discretas como continuas.

Además:

Este principio es fundamental en estadística, ya que respalda la validez de los métodos de inferencia.

9. Referencias

Wackerly, D., Mendenhall, W., & Scheaffer, R. (2010). Estadística matemática con aplicaciones.

Lefebvre, M. (2009). Basic Probability Theory with Applications.

R Core Team (2024). R: A Language and Environment for Statistical Computing.