Modelapproximatie in transportdynamica
Begeleider: Dr. Sander Hille
11 mei 2026
Recap: Velocity-jump
- Huidige staat (positie en snelheid)
- Positie \(\mathbf{x} \in \Omega \subseteq \mathbb{R}^n\)
- Snelheidsvector \(\mathbf{v} \in V \subseteq \mathbb{R}^n\) symmetrisch
- Regels voor veranderingen van de huidige staat
Poisson proces met parameter \(\lambda\)
Recap: Velocity-jump
Recap: Velocity-jump model
Recap: Velocity-jump model
- \(p(\mathbf{x},\mathbf{v},t)\): dichtheid van deeltjes op positie \(\mathbf{x}\), snelheid \(\mathbf{v}\), tijdstip \(t\)
\[ \underbrace{\frac{\partial}{\partial t} p(\mathbf{x},\mathbf{v},t)}_{\text{verandering in tijd}} \;+\; \underbrace{\mathbf{v} \cdot \nabla_x p(\mathbf{x},\mathbf{v},t)}_{\text{ruimtelijk transport}} \class{mj-dim}{ =-\lambda\, p(\mathbf{x},\mathbf{v},t) + \int_V \lambda\, T(\mathbf{v},\mathbf{v}')\, p(\mathbf{x},\mathbf{v}',t)\, d\mathbf{v}' } \]
- \(T(\mathbf{v},\mathbf{v}')\): turning kernel (kans op sprong van \(\mathbf{v}'\) naar \(\mathbf{v}\))
Recap: Velocity-jump model
- \(p(\mathbf{x},\mathbf{v},t)\): dichtheid van deeltjes op positie \(\mathbf{x}\), snelheid \(\mathbf{v}\), tijdstip \(t\)
\[ \underbrace{\frac{\partial}{\partial t} p(\mathbf{x},\mathbf{v},t)}_{\text{verandering in tijd}} \;+\; \underbrace{\mathbf{v} \cdot \nabla_x p(\mathbf{x},\mathbf{v},t)}_{\text{ruimtelijk transport}} = \underbrace{ -\lambda\, p(\mathbf{x},\mathbf{v},t)}_{\text{sprong vanaf } \mathbf{v}} + \underbrace{\int_V \lambda\, T(\mathbf{v},\mathbf{v}')\, p(\mathbf{x},\mathbf{v}',t)\, d\mathbf{v}'}_{\text{sprongen naar }\mathbf{v}} \]
- \(T(\mathbf{v},\mathbf{v}')\): turning kernel (kans op sprong van \(\mathbf{v}'\) naar \(\mathbf{v}\))
Recap: Velocity-jump op macroschaal
Recap: Velocity-jump op macroschaal
\[ \frac{\partial}{\partial t}p(\mathbf{x},\mathbf{v},t) = \text{div}(D\nabla_x p(\mathbf{x},\mathbf{v},t)) \]
- \(D\): diffusiecoëfficiënt
Onderzoeksvraag
Hoe kunnen stochastische transportmodellen voor velocity-jump processen formeel gerelateerd worden aan deterministische PDE modellen?
Context: foretische interacties
Hitchhikers model
Hitchhikers: twee toestanden
- Bewegingstoestand: \(s_m(\mathbf{x},\mathbf{v},t)\) dichtheid van individuen die bewegen met snelheid \(\mathbf{v} \in V\)
- Rusttoestand: \(s_i(\mathbf{x}\mathbf{v},t)\) dichtheid van individuen in pauze na een jump van snelheid \(\mathbf{v}\in V\)
Hitchhikers model
\[ \begin{equation} \begin{cases} \frac{\partial}{\partial t}s_i = \nu s_m - \mu(u) s_i,\\[4pt] \frac{\partial}{\partial t}s_m + \mathbf{v} \cdot \nabla_x s_m= -\nu s_m + \mu(u) s_i + \mathcal{L}s_m, \end{cases}\end{equation} \]
met
\(\mathcal{L} p = -\lambda p + \lambda\int_V T(\mathbf{v},\mathbf{v}')~ d\mathbf{v}\)
Diffusieve limiet van het Hitchhikers model
wat behandelen over dimensieloos maken, schalingen, expansies, etc…
Diffusieve limiet van het Hitchhikers model
\[\begin{equation} \partial_\tau s = \nabla_\chi\cdot\left(D\nabla_\chi(\alpha s)\right) \end{equation}\]
met
\[\begin{equation} \alpha(\mathbf{x},t):=\frac{\mu_0(1-\exp(-\Lambda(t)\cdot t)) }{\mu_0(1-\exp(-\Lambda(t)\cdot t)) +\lambda}, \quad \Lambda(\mathbf{x},t) \int_{\mathcal{D}_b}u(\mathbf{y},t) ~ d\mathbf{y}. \end{equation}\]
Simulaties
Simulaties
Diffusiviteit bepalen
Mean squared distance
Mean squared distance
afleiding behandelen? numeriek resultaat laten zien
Vervolgplan: generalizeren
- Aanname diffusieve transporters loslaten
- Aannames Markoviaanse dynamiek loslaten
Bedankt voor de aandacht!
Vragen?
References
