Viazane extremy

Projekt z analyzy dat

Anna Krokhmalna

1. Úvod a motivácia

  • Cieľom projektu je analýza extrémov funkcie plochy.
  • Využitie v inžinierskej praxi (optimalizácia rozmerov).
  • Implementácia riešenia v systéme R.

2. Teoretické pozadie

Nutná podmienka pre extrém: \[f'(x_0) = 0\]

Postačujúca podmienka (druhá derivácia): - \(f''(x_0) > 0 \implies\) lokálne minimum - \(f''(x_0) < 0 \implies\) lokálne maximum

3. Viazané extrémy

Pre funkciu \(f(x, y)\) s väzbou \(g(x, y) = 0\) používame Lagrangeovu funkciu: \[L(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda g(x, y)\]

4. Riešený problém

Analýza plochy obdĺžnika: \(f(x) = x(10 - x)\). Hľadáme rozmery pre maximálny obsah pri obvode 20 m.

5. Výpočet в R

Využitie funkcie optimize() pre presný výsledok:

```{r} #| echo: true f_plocha <- function(x) { x * (10 - x) } res <- optimize(f_plocha, interval = c(0, 10), maximum = TRUE) res$maximum

6. Vizualizácia výsledkov

  • Graf kvadratickej funkcie s vyznačeným maximom.

  • 3D model pre komplexnejšie funkcie (plotly).

7. Záver

  • Maximálna plocha (25 \(m^2\)) sa dosiahne pri \(x = 5\) m.

  • Matematický model potvrdil ideálny tvar štvorca.

8. Literatúra

  1. BACIGÁL, T. Úvod do analýzy údajov v R. 2023.

  2. TOMEK, L. Matematická analýza 2.

  3. STEWART, James. Calculus: Early Transcendentals. 8. vyd. Boston: Cengage Learning, 2015. ISBN 978-1285741550.