PREGUNTA 1

# 1. Crear la base de datos del problema
datos <- data.frame(
  anio = c(2006, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012),
  Q = c(35, 49, 81, 156, 255, 277, 400),
  K = c(1, 1, 4, 4, 8, 12, 15),
  L = c(2, 3, 4, 9, 14, 14, 20)
)

# 2. Ver la base de datos
datos
##   anio   Q  K  L
## 1 2006  35  1  2
## 2 2007  49  1  3
## 3 2008  81  4  4
## 4 2009 156  4  9
## 5 2010 255  8 14
## 6 2011 277 12 14
## 7 2012 400 15 20
# 3. Transformar las variables usando logaritmo natural
# Esto se hace porque el modelo Cobb-Douglas no se puede estimar directamente por MCO.
datos$ln_Q <- log(datos$Q)
datos$ln_K <- log(datos$K)
datos$ln_L <- log(datos$L)

# 4. Ver la base con las nuevas variables
datos
##   anio   Q  K  L     ln_Q     ln_K      ln_L
## 1 2006  35  1  2 3.555348 0.000000 0.6931472
## 2 2007  49  1  3 3.891820 0.000000 1.0986123
## 3 2008  81  4  4 4.394449 1.386294 1.3862944
## 4 2009 156  4  9 5.049856 1.386294 2.1972246
## 5 2010 255  8 14 5.541264 2.079442 2.6390573
## 6 2011 277 12 14 5.624018 2.484907 2.6390573
## 7 2012 400 15 20 5.991465 2.708050 2.9957323

PREGUNTA 2

# 5. Estimar el modelo por Mínimos Cuadrados Ordinarios
# Modelo: ln(Q) = beta0 + alpha ln(K) + beta ln(L) + error
modelo <- lm(ln_Q ~ ln_K + ln_L, data = datos)

# 6. Ver los resultados de la regresión
summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = ln_Q ~ ln_K + ln_L, data = datos)
## 
## Residuals:
##          1          2          3          4          5          6          7 
##  0.0006220  0.0062909 -0.0001398 -0.0063396 -0.0125818 -0.0100704  0.0222187 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  2.98921    0.01983  150.74 1.16e-08 ***
## ln_K         0.19790    0.01646   12.02 0.000274 ***
## ln_L         0.81586    0.02040   39.99 2.34e-06 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.01444 on 4 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9998, Adjusted R-squared:  0.9998 
## F-statistic: 1.252e+04 on 2 and 4 DF,  p-value: 2.55e-08
# 7. Guardar los coeficientes del modelo
coeficientes <- coef(modelo)

beta0 <- coeficientes[1]
alpha <- coeficientes[2]
beta <- coeficientes[3]

# 8. Obtener el valor de A
# Como beta0 = ln(A), entonces A = exp(beta0)
A <- exp(beta0)

# 9. Mostrar los resultados principales
A
## (Intercept) 
##    19.87006
alpha #para ver el coef de cuánto cambia la producción cuando aumenta el capital.
##      ln_K 
## 0.1979024
beta #para ver el coef de cuánto cambia la producción cuando aumenta el trabajo.
##      ln_L 
## 0.8158614
alpha + beta #para ver el coef de qué pasa si aumenta capital y trabajo al mismo tiempo.
##     ln_K 
## 1.013764

PREGUNTA 3

# 10. Crear las nuevas variables para probar la hipótesis
# Restamos ln(L) a ln(Q)
datos$ln_Q_menos_ln_L <- datos$ln_Q - datos$ln_L

# Restamos ln(L) a ln(K)
datos$ln_K_menos_ln_L <- datos$ln_K - datos$ln_L

# 11. Estimar el modelo transformado
# Aquí el coeficiente de ln_L representa alpha + beta - 1
modelo_hipotesis <- lm(ln_Q_menos_ln_L ~ ln_K_menos_ln_L + ln_L, data = datos)

# 12. Ver los resultados de la prueba
summary(modelo_hipotesis)
## 
## Call:
## lm(formula = ln_Q_menos_ln_L ~ ln_K_menos_ln_L + ln_L, data = datos)
## 
## Residuals:
##          1          2          3          4          5          6          7 
##  0.0006220  0.0062909 -0.0001398 -0.0063396 -0.0125818 -0.0100704  0.0222187 
## 
## Coefficients:
##                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)     2.989214   0.019830 150.739 1.16e-08 ***
## ln_K_menos_ln_L 0.197902   0.016460  12.024 0.000274 ***
## ln_L            0.013764   0.007218   1.907 0.129222    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.01444 on 4 degrees of freedom
## Multiple R-squared:   0.98,  Adjusted R-squared:  0.9701 
## F-statistic:  98.2 on 2 and 4 DF,  p-value: 0.0003984

Pregunta 4

# 6. Definir los precios de los insumos
# w = salario anual de la mano de obra
# r = costo anual del capital
w <- 25000
r <- 15000

# 7. Calcular la razón óptima K/L
# Esta fórmula viene de la condición de minimización de costos
razon_optima <- (alpha * w) / (beta * r)

# 8. Mostrar la razón óptima
razon_optima
##     ln_K 
## 0.404281

Pregunta 5

# 9. Definir la producción objetivo
# El problema pide producir 400 unidades
Q_objetivo <- 400

# 10. Calcular la cantidad óptima de mano de obra
# Usamos la función de producción:
# Q = A * K^alpha * L^beta
# y sustituimos K = razon_optima * L
L_optima <- (Q_objetivo / (A * razon_optima^alpha))^(1 / (alpha + beta))

# 11. Calcular la cantidad óptima de capital
K_optimo <- razon_optima * L_optima

# 12. Calcular el costo óptimo
costo_optimo <- (w * L_optima) + (r * K_optimo)

# 13. Definir la combinación real usada en 2012
L_real <- 20
K_real <- 15

# 14. Calcular el costo real de 2012
costo_real <- (w * L_real) + (r * K_real)

# 15. Calcular cuánto se podría ahorrar
ahorro <- costo_real - costo_optimo

# 16. Mostrar los resultados principales
A
## (Intercept) 
##    19.87006
alpha
##      ln_K 
## 0.1979024
beta
##      ln_L 
## 0.8158614
razon_optima
##     ln_K 
## 0.404281
L_optima
## (Intercept) 
##    23.06428
K_optimo
##     ln_K 
## 9.324452
costo_real
## [1] 725000
costo_optimo
## (Intercept) 
##    716473.9
ahorro
## (Intercept) 
##    8526.105