Intervalos de confianza
Métodos Cuantitativos
Diego Solís Delgadillo
Estadística inferencial
- Permite ir de pequeñas muestras a información sobre la población
Punto estimado e intervalo
Punto estimado
- Es un solo número que es la mejor conjetura del parámetro
Intervalo estimado
- Es un intervalo de números posibles
Ejemplo
- 73% de los estadounidenses creen en el infierno
Introducción
- En la clase anterior creabamos distribuciones muestrales y estimabamos la media
- Cuya media es muy cercana al parámetro
- Para ello tomabamos múltiples muestras
Introducción
En la vida real no podemos tomar 1000 muestras
Trabajamos con una muestra representativa
¿Cómo cuantificar la variación muestral con una sola muestra?
- Simulando o por medio matemático
Intervalos de confianza
- Es un rango de posibles valores
- En una distribución normal a 1.96 desviaciones estándar se encuentra el 95% de las observaciones
- Por tanto, a 1.96 errores estándar se encuentra el 95% de los estimadores
Importante
- Tomamos nuestro estimador y sumamos (y restamos) 1.96 por el valor del error estándar
Cómo NO interpretar el intervalo
Hay un 95% de probabilidad de que dentro del intervalo esté el valor verdadero
¿Cómo interpretar el intervalo?
Si no hay sesgo y repetimos nuestro estimador infinitamente, el valor del parámetro estará dentro del intervalo el 95% de las veces{style=“color: #3399ff”}
Intervalo de confianza
\(PuntoEstimado \pm MargenError\)
:::
Intervalo al 95%
Para un intervalo de confianza de 95%
\[ \hat{p} \pm 1.96(se) \]
:::
Ejemplo
- Una encuesta pregunta si los consumidores estarían de acuerdo en subir los precios de la gasolina para proteger al ambiente
Hay una muestra de 1,321 personas
637 están a favor del aumento de los precios
¿Cómo construir un intervalo de confianza de 95%?
Ejemplo
- Estimamos la proporción:
\[ \hat{p}= \frac{637}{1,321}= 0.468 \]
- Calculamos el error estándar
Error estándar de la proporción
\[se = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\]
\[se= \sqrt{\frac{0.468(1-0.468)}{1,321}}=0.0135 \]
.3 Para un intervalo de confianza de 95% la puntuación Z es 1.96
\[ 0.468 \pm 1.96(0.0135) \]
Resultado
- Límite inferior= 0.442
- Límite Superior= 0.494
Intervalo de confianza al 99%
- Si quisiéramos un intervalo de confianza de 99%
- Tomamos la puntuación Z que llega a ese nivel de confianza
- Ese valor es 2.58
\[ \hat{p} \pm 2.58(se) \]
Efecto del tamaño de la muestra
Important
- La estimación es más precisa entre más grande sea la muestra
\[ se= \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \]
:::
Distribución t
¿Qué es la Distribución t de Student?
- Es una distribución de probabilidad que se usa cuando el tamaño de la muestra es pequeño y la desviación estándar poblacional es desconocida.
- Similar a la distribución normal, pero con colas más gruesas.
- Se define por grados de libertad \((df)\), que dependen del tamaño de la muestra.
📌 Fórmula de la estadística t:
\[ t = \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}} \] Donde:
\(\bar{x}\) = media muestral
\(\mu\) = media poblacional
\(s\) = desviación estándar muestral
\(n\) = tamaño de la muestra
¿Cuando utilizar la distribución t?
Usos distribución t
✔ Cuando \(n\) es pequeño \(( n < 30)\) y no conocemos la desviación estándar poblacional.
✔ A medida que \(n\) aumenta, la distribución t se aproxima a la normal estándar \((Z)\).
Warning
- Si utilizamos los valores \(Z\) con muestras pequeñas el error estándar es muy grande
- Por ello sustituimos el valor \(Z\) por el valor \(t\)
📊 Comparación: Distribución t vs. Distribución Z
| Característica | Distribución Z (Normal Estándar) | Distribución t |
|---|---|---|
| Forma | Campana simétrica | Similar, pero con colas más gruesas |
| Uso | Tamaño de muestra grande | Tamaño de muestra pequeño |
| Varianza | Se conoce (\(\sigma\)) | No se conoce (\(s\)) se estima) |
| Grados de libertad | No aplica | \(df = n - 1\) |
| Convergencia | Se mantiene igual | Se aproxima a \(Z\) cuando \(n \to \infty\) |
Comparación
Efecto grados de libertad
Tip
- Entre más grados de libertad, la distribución \(t\) se parece más a la normal estandarizada
Tabla \(t\)
Tip
Muestra los valores a distintos niveles de confianza
Expresados como \(t_{.100}\), \(t_{.050}\), \(t_{.025}\), \(t_{.010}\)
Lo que indican es la probabilidad de la cola derecha de la distribución
- Si tenemos 6 grados de libertad y queremos un intervalo de 95%
- El valor \(t\) es 2.446
- El intervalo paa este punto sería
\[ \bar{x} \pm 2.446(se) \]
Ejemplo
Encuesta sobre gasto público en salud
- Tenemos una muestra de 11 personas que respondieron cuánto consideran adecuado que el gobierno invierta mensualmente en salud pública (en pesos, por persona).
- Los valores son:
480, 510, 495, 500, 520, 505, 510, 515, 490, 500, 505 - Su desviación estándar es 11.13
- ¿Cuál es su intervalo de confianza al 95% para el promedio de la población?
Solución
Datos disponibles
- Tamaño de la muestra: n = 11
- Media muestral:
\(\bar{x} = \frac{480 + 510 + \dots + 505}{11} = 501.36\) - Desviación estándar: s = 11.13
Paso 1: Calcular el error estándar
\[se = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{11.13}{\sqrt{11}} \approx 3.35\]
Solución
Paso 2: Valor t (gl = 10) para 95%
\[t \approx 2.228\]
Paso 3: Intervalo de confianza
\[IC = \bar{x} \pm t \cdot se = 501.36 \pm 2.228 \cdot 3.35\]
\[ IC \approx [493.89, 508.83]\]
- Límite inferior$493.89
- Límite superior $508.83
Tamaño de la muestra
Estadística para las Ciencias Sociales
Diego Solís Delgadillo
Tamaño de la muestra
¿Qué determina el tamaño de la muestra?
- El tamaño de una muestra depende de la precisión que se busque
Note
- El número de personas incluidas depende del margen de error
- El margen de error depende del error estándar
- El error estándar depende del tamaño de la muestra
Tamaño de la muestra para proporción
Primer paso
Primero debemos decidir el margen de error que deseamos
Debemos señalar a qué nivel de confianza queremos alcanzar
Tip
- Comúnmente se usa el 95%
¿Qué tamaño de muestra?
Tip
- Queremos hacer una encuesta de salida de una elección
- Queremos un estimado de la proporción de personas que votaron por los candidatos
- La encuesta más reciente ubica al candidato A con 58% y al B con 42%
- Decidimos que el margen de error deseado es 4% (0.04)
Cálculo tamaño muestra
Calculamos el margen de error
- Sabemos que el margen de error con un intervalo de confianza es el producto de \[ \hat{p} \pm 1.96(se)=0.04 \]
Sustituimos el error estándar
Sustituyendo con la fórmula del error estándar
\[ \hat{p} \pm 1.96(\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}})=0.04 \]
📌 Necesitamos despejar esta fórmula para calacular \(n\)
Despeje
- Igualando el margen de error a 0.04: \[ 1.96 \left( \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right) = 0.04 \]
- Paso 2: Despejar la raíz cuadrada Dividiendo ambos lados por 1.96: \[ \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \frac{0.04}{1.96} \]
Despeje
Elevando al cuadrado ambos lados: \[ \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} = \left( \frac{0.04}{1.96} \right)^2 \]
Despejar el tamaño de muestra (n)
- Reordenando la expresión para despejar (n): \[ n = \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{\left( \frac{0.04}{1.96} \right)^2} \]
Despeje
- Recordemos una propiedad de fracciones:
\[ \left( \frac{a}{b} \right)^2 = \frac{a^2}{b^2} \]
Por lo tanto:
\[ \frac{1}{\left( \frac{m}{z} \right)^2} = \frac{1}{\frac{m^2}{z^2}} = \frac{z^2}{m^2} \]
⚠️ Cuando divides algo entre una fracción, es idéntico a multiplicar por su inverso
Entonces:
\[ n = \hat{p}(1 - \hat{p}) \cdot \frac{z^2}{m^2} \]
Que es lo mismo que:
\[ n = \frac{z^2 \cdot \hat{p}(1 - \hat{p})}{m^2} \]
Despeje
Paso 4: Simplificación: - Utilizando la notación general para el nivel de confianza y margen de error: \[ n = \frac{z^2 \cdot \hat{p}(1-\hat{p})}{m^2} \]
Important
- Sustituyendo
\[ n= \frac{1.96^2(\hat{p}(1-\hat{p}))}{0.04^2} \]
Valor de \(\hat{p}\)
Tip
Pero nosotros desconocemos el valor de \(\hat{p}\) antes de levantar la encuesta
Hacemos una estimación informada de \(\hat{p}\)
Si en la última encuesta el candidato A obtuvo 58% podemos utilizar esta información
\[ n= \frac{1.96^2(0.58(1-0.58))}{0.04^2}= 584.88 \]
Muestra sin información de \(\hat{p}\)
Important
- En ocasiones puede no existir información previa que nos oriente sobre el valor de \(\hat{p}\)
- El producto \(\hat{p}(1-\hat{p})\) tiene un valor máximo de 0.25
- Ese valor se obtiene cuando \(\hat{p}\) es igual a 0.50
- Cuando no tenemos información tomamos a 0.50 como el valor de \(\hat{p}\)
Tamaño de la muestra para la media
Determinamos el nivel de confianza
- Primero determinamos el intervalo de confianza deseado (95%)
\[ \bar{x} \pm t_{.025}(se) \]
- Sustituyendo el error estándar
\[ \bar{x} \pm t_{.025}(\frac{s}{\sqrt{n}}) \]
Limitaciones
- No conocemos los grados de libertad
- Y desconocemos la desviación estándar de la muestra
Valores Z
- Sabemos que en muestras mayores a 30 la distribución \(t\) es muy similar a la distribución \(z\)
- Utilizamos valores \(Z\)
\[ n= \frac{\sigma^2z^2}{m^2} \]
¿Qué hacer si no conoce<mos \(\sigma\)?
- Tomar la desviación de algún estudio similar
- O hacer una muestra piloto para estimarla
Ejemplo
Identificamos el rango de valores
Queremos conocer en una comunidad el número de años de estudio completados por los habitantes
❌ No tenemos información previa
✅ Pero podemos pensar que el rango puede ir de 0 a 18 años
Asumimos una distribución normal
- Si esta tiene una distribución normal entonces todos los casos estarán contenidos en \(\mu+3\sigma\) 𝒚 \(\mu-3\sigma\)
- Entonces hay seis desviaciones estándar en total
- Dividiendo 18/6 obtenemos un estimado de \(\sigma\)
- Quiero un margen de error de un año
\[ n= \frac{\sigma^2z^2}{m^2} n= \frac{(3^2)(1.96^2)}{1^2}= 34.57 \]
