Confiabilidade de Sistemas Produtivos

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# Confiabilidade de Sistemas Produtivos
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## Um Problema · Três Linhas · Sete Conceitos
]
.author[
### Prof. Hidelbrando Ferreira Rodrigues
]
.institute[
### Universidade Federal do Amazonas — UFAM
]
.date[
### 30 de abril de 2026
]

---

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/* ── Caixas temáticas ──────────────────────────────────────────────────── */
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---
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# Confiabilidade de Sistemas Produtivos

## Um Problema · Três Linhas · Sete Conceitos

### Prof. Hidelbrando Ferreira Rodrigues
### Universidade Federal do Amazonas — UFAM
### 30 de abril de 2026

---

## O Cenário: Fábrica Amazônia

A **Fábrica Amazônia** produz bebidas não alcoólicas em regime quase contínuo.

Sua capacidade diária depende de **três linhas de produção**:

| Linha | Função principal                | Símbolo de falha |
|:-----:|---------------------------------|:----------------:|
| **L1** | Envase                         | `$F_1$` |
| **L2** | Rotulagem e inspeção visual    | `$F_2$` |
| **L3** | Embalagem e paletização        | `$F_3$` |

Dados históricos indicam:

`$$P(F_1) = 0{,}05 \qquad P(F_2) = 0{,}08 \qquad P(F_3) = 0{,}03$$`

Se qualquer linha crítica para o fluxo parar, há perda de produção.  
**Custo estimado de hora parada: R\$ 25.000,00.**

---
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# ⏰ São 2h da madrugada.
# O supervisor da produção recebe um alerta.

---

## O Incidente

.alerta[
### 02:17 — PARADA NÃO PROGRAMADA — L1 (Envase) — OFF-LINE
Fluxo produtivo comprometido. Risco de atraso de pedidos.
]

Antes de decidir pela parada geral ou redirecionamento de lotes, a equipe precisa **pensar sistematicamente**:

- Quais são todos os estados possíveis do sistema produtivo?
- Qual a probabilidade de cada um?
- Há risco de paradas em cascata (efeito dominó) em L2 e L3?
- O que causou isso? **Falta de insumo ou falha técnica?**

.center[**Hoje respondemos essas perguntas — com Probabilidade e Estatística.**]

---

## Roteiro

Vamos construir a análise progressivamente, sempre **sobre o mesmo problema**:

| # | Conceito | Pergunta que responde |
|---|----------|-----------------------|
| 1 | Experimento Aleatório & Espaço Amostral | Quais estados de operação são possíveis? |
| 2 | Eventos | Quais situações produtivas nos interessam? |
| 3 | Probabilidade Clássica | E se todos os estados fossem igualmente prováveis? |
| 4 | Independência | A parada de uma linha afeta as outras? |
| 5 | Prob. Condicional & Regra do Produto | Como calcular paradas simultâneas com dependência? |
| 6 | Lei da Probabilidade Total | Qual a prob. de parada, ponderando as causas? |
| 7 | Teorema de Bayes | Dado que L1 parou — foi falta de insumo? |

---
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# Bloco 1
## Experimento Aleatório & Espaço Amostral

---

## Conceito

.conceito[
**Experimento Aleatório:** processo cujo resultado não pode ser previsto com certeza, mas cujos resultados possíveis são conhecidos.

**Espaço Amostral (`$\Omega$`):** conjunto de **todos** os resultados possíveis.

**Ponto amostral (`$\omega$`):** cada elemento individual de `$\Omega$`.
]

**No nosso contexto:**  
Observar o estado da **linha de envase** L1 em um dado instante é um experimento aleatório — não sabemos se estará operando ou parada.

---

## Pergunta 1

.pergunta[
### Experimento Aleatório — uma linha de produção

Considere o estado da **linha L1** em um dado instante.

1. O que constitui o **experimento aleatório** aqui?
2. Qual é o **espaço amostral** `$\Omega_{L1}$`?
3. Quantos elementos ele tem?
]

.pausa[⏸ Discutam em duplas — 3 minutos]

---

## Resposta 1

.solucao[
**Experimento aleatório:** observar se L1 está operando ou parada no instante analisado.

**Espaço amostral:**
`$$\Omega_{L1} = \{\ \textit{L1 operando},\ \textit{L1 parada}\ \}$$`

Dois elementos. O problema fica mais rico quando consideramos **as três linhas ao mesmo tempo**.
]

---

## Pergunta 2

.pergunta[
### Espaço Amostral — três linhas

Considere o estado simultâneo das três linhas **(L1, L2, L3)**.  
Use a notação `$(\,\cdot\,,\,\cdot\,,\,\cdot\,)$` onde **OP** = operando e **P** = parada.

1. **Liste todos os elementos** do espaço amostral `$\Omega$`.
2. Quantos elementos há? Você consegue enunciar uma regra geral?
3. Como organizaria esses elementos de forma sistemática?
]

.pausa[⏸ Discutam em grupos — 5 minutos]

---

## Resposta 2

.solucao[
Cada linha tem 2 estados. Com 3 linhas: `$2^3 = \mathbf{8}$` elementos.
]

<table>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> Resultado </th>
   <th style="text-align:center;"> Nº de paradas </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> (OP, OP, OP) </td>
   <td style="text-align:center;"> 0 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> (OP, OP, P) </td>
   <td style="text-align:center;"> 1 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> (OP, P, OP) </td>
   <td style="text-align:center;"> 1 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> (P, OP, OP) </td>
   <td style="text-align:center;"> 1 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> (OP, P, P) </td>
   <td style="text-align:center;"> 2 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> (P, OP, P) </td>
   <td style="text-align:center;"> 2 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> (P, P, OP) </td>
   <td style="text-align:center;"> 2 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> (P, P, P) </td>
   <td style="text-align:center;"> 3 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

*Regra geral: `$n$` linhas com 2 estados cada → `$2^n$` pontos amostrais.*

---
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# Bloco 2
## Eventos

---

## Conceito

.conceito[
**Evento:** qualquer **subconjunto** do espaço amostral — um resultado ou conjunto de resultados de interesse.

| Operação | Notação | Significado |
|----------|:-------:|-------------|
| União | `$A \cup B$` | `$A$` **ou** `$B$` ocorre |
| Interseção | `$A \cap B$` | `$A$` **e** `$B$` ocorrem |
| Complemento | `$A^c$` | `$A$` **não** ocorre |

Eventos **mutuamente exclusivos:** `$A \cap B = \emptyset$` — não podem ocorrer simultaneamente.
]

---

## Pergunta 3

.pergunta[
### Definindo eventos relevantes para a produção

Com base no `$\Omega$` das três linhas, **liste os elementos** de cada evento:

- **Evento `$A$`:** "L1 para"
- **Evento `$B$`:** "Pelo menos uma linha para"
- **Evento `$C$`:** "Todas as linhas param" (parada geral)
- **Evento `$D$`:** "Exatamente duas linhas param"

**Bônus:** o que é `$B^c$`? E qual a relação entre `$B^c$` e `$C$`?
]

.pausa[⏸ Discutam em grupos — 5 minutos]

---

## Resposta 3

.solucao[
- `$A = \{(P,OP,OP),\;(P,P,OP),\;(P,OP,P),\;(P,P,P)\}$` — **4 elementos**
- `$B = \Omega \setminus \{(OP,OP,OP)\}$` — **7 elementos**
- `$C = \{(P,P,P)\}$` — **1 elemento** (pior cenário: parada total)
- `$D = \{(P,P,OP),\;(P,OP,P),\;(OP,P,P)\}$` — **3 elementos**

**Bônus:** `$B^c = \{(OP,OP,OP)\}$` — "nenhuma linha para". Note que `$B^c \neq C$`: o complemento de "pelo menos uma linha para" é "nenhuma para", **não** "todas param".
]

---
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# Bloco 3
## Probabilidade Clássica

---

## Conceito

.conceito[
Quando todos os pontos amostrais são **igualmente prováveis**:

`$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$$`

É a **definição clássica** de probabilidade. Exige **equiprobabilidade**.
]

Vamos usar essa hipótese apenas como exercício inicial — depois substituímos pelos dados reais da fábrica.

---

## Pergunta 4

.pergunta[
### Calculando com a hipótese clássica

Assuma, **por ora**, que os 8 resultados são **igualmente prováveis**.

1. `$P(C)$` — probabilidade de **parada total** (todas param)
2. `$P(D)$` — probabilidade de **exatamente duas linhas** pararem
3. `$P(B)$` — probabilidade de **pelo menos uma** parar
4. `$P(B^c)$` — probabilidade de **nenhuma** parar

Perceba a relação entre (3) e (4). Ela tem um nome?
]

.pausa[⏸ Calculem — 5 minutos]

---

## Resposta 4

.solucao[
`$$P(C) = \frac{1}{8} = 0{,}125 \qquad P(D) = \frac{3}{8} = 0{,}375$$`

`$$P(B) = \frac{7}{8} = 0{,}875 \qquad P(B^c) = \frac{1}{8} = 0{,}125$$`

`$P(B) + P(B^c) = 1$` — **Lei do Complemento**: `$P(A^c) = 1 - P(A)$`.
]

---

## A Hipótese Clássica é Realista?

.alerta[
Uma linha de envase para com a **mesma frequência** que a de embalagem?  
A probabilidade clássica exige equiprobabilidade — raro em sistemas produtivos reais.
]

Os dados históricos da Fábrica Amazônia mostram:

`$$P(F_1) = 0{,}05 \qquad P(F_2) = 0{,}08 \qquad P(F_3) = 0{,}03$$`

Os 8 resultados não são igualmente prováveis.  
Precisamos de probabilidade com **pesos diferentes**.

---
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# Bloco 4
## Independência & Probabilidade Condicional

---

## Conceito: Independência

.conceito[
Dois eventos `$A$` e `$B$` são **independentes** se:

`$$P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B)$$`

Equivalente: `$P(A \mid B) = P(A)$`.
]

Pergunta chave:  
Se L1 para, a probabilidade de L2 parar continua sendo `$P(F_2) = 0{,}08$`?

---

## Pergunta 5

.pergunta[
### Probabilidade de paradas simultâneas — com independência

Suponha, **por ora**, que as paradas das linhas são **independentes**.  
Use `$P(F_1) = 0{,}05$`, `$P(F_2) = 0{,}08$`, `$P(F_3) = 0{,}03$`.

1. Calcule `$P(F_1 \cap F_2)$` — L1 **e** L2 param
2. Calcule `$P(F_1 \cap F_2 \cap F_3)$` — as **três** param
3. Calcule `$P(B^c)$` — **nenhuma** linha para
]

.pausa[⏸ Calculem — 5 minutos]

---

## Resposta 5

.solucao[
`$$P(F_1 \cap F_2) = 0{,}05 \times 0{,}08 = 0.004$$`

`$$P(F_1 \cap F_2 \cap F_3) = 0{,}05 \times 0{,}08 \times 0{,}03 = 1.2\times 10^{-4}$$`

`$$P(B^c) = (1-0{,}05)(1-0{,}08)(1-0{,}03) \approx 0.8478$$`
]

Mas em chão de fábrica há **efeito dominó**: gargalo, acúmulo de WIP, bloqueio, starvations etc.

---

## Linhas de Produção Não São Independentes!

Na prática, a parada de L1 (envase) gera **efeitos em cascata**:

- L2 fica sem produto → ociosidade, ajustes → **maior risco de parada**
- L3 tem fluxo irregular → excesso de setups, retrabalho → **instabilidade**

Dados históricos registram **dependência**:

| | Prob. base | Prob. dado L1 parada |
|--|:----------:|:--------------------:|
| `$P(F_2)$` vs `$P(F_2 \mid F_1)$` | `$0{,}08$` | `$0{,}20$` |
| `$P(F_3)$` vs `$P(F_3 \mid F_1)$` | `$0{,}03$` | `$0{,}10$` |
| `$P(F_3)$` vs `$P(F_3 \mid F_2)$` | `$0{,}03$` | `$0{,}15$` |

---

## Conceito: Probabilidade Condicional & Regra do Produto

.conceito[
`$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0$$`

**Regra do Produto** (geral):

`$$P(A \cap B) = P(A \mid B)\cdot P(B)$$`
]

Se as paradas fossem independentes, `$P(A\mid B)=P(A)$` e voltamos ao produto simples.

---

## Pergunta 6

.pergunta[
### Probabilidade de paradas simultâneas — com dependência

Agora usando a dependência observada:

1. Calcule `$P(F_1 \cap F_2)$` com `$P(F_2 \mid F_1) = 0{,}20$`.
2. **Compare** com o valor sob independência (Resposta 5).
3. O que essa diferença implica para o planejamento da produção (estoques, manutenção, TPM)?
]

.pausa[⏸ Calculem e discutam — 5 minutos]

---

## Resposta 6

.solucao[
`$$P(F_1 \cap F_2) = P(F_2 \mid F_1)\cdot P(F_1) = 0{,}20 \times 0{,}05 = 0.01$$`
]

| Hipótese | `$P(F_1 \cap F_2)$` |
|----------|:-----------------:|
| Independência | `$0.004$` |
| Dependência   | `$0.01$` |

A probabilidade de paradas simultâneas é **2.5× maior** com a dependência real.  
Ignorar isso leva a um planejamento de capacidade e manutenção **otimista demais**.

---

## Pergunta 7

.pergunta[
### Complementar condicional

O sistema registra: **L2 acabou de parar também**.

Qual a probabilidade de que **L3 não pare**, dado que L2 está parada?

`$$P(F_3^c \mid F_2) = ?$$`

Use `$P(F_3 \mid F_2) = 0{,}15$`.
]

.pausa[⏸ Calculem — 3 minutos]

---

## Resposta 7

.solucao[
`$$P(F_3^c \mid F_2) = 1 - P(F_3 \mid F_2) = 1 - 0{,}15 = \mathbf{0{,}85}$$`
]

Há 85% de chance de a etapa de embalagem continuar operando, mesmo com L2 parada — por enquanto.

.alerta[
Mas essa probabilidade tende a cair com o tempo: acúmulo de produto intermediário, mudanças de sequência, aumento da variabilidade etc.
]

---
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# Bloco 5
## Lei da Probabilidade Total

---

## Uma Nova Dimensão: Por Que L1 Parou?

Confirmado: **L1 (envase) está parada.**

Agora o foco é **causa**:

.alerta[
O gerente de produção pergunta:  
*"Foi falta de insumo (fornecedor atrasou) ou falha técnica normal? Isso muda o plano de ação amanhã."*
]

Duas hipóteses, mutuamente exclusivas e exaustivas:

- **Causa `$A$`:** Falta de insumo crítico (ex.: garrafas) – `$P(A) = 0{,}01$`
- **Causa `$T$`:** Falha técnica/operacional – `$P(T) = 0{,}99$`

Com dados históricos:

`$$P(F_1 \mid A) = 0{,}60 \qquad P(F_1 \mid T) = 0{,}04$$`

---

## Conceito: Lei da Probabilidade Total

.conceito[
Se `$\{B_1, \ldots, B_n\}$` formam uma **partição** de `$\Omega$`:

`$$P(A) = \sum_{i=1}^n P(A \mid B_i) P(B_i)$$`
]

Aqui, `$A$` e `$T$` formam a partição das causas da parada.

---

## Pergunta 8

.pergunta[
### Probabilidade total de parada de L1

Usando:

`$$P(F_1) = P(F_1 \mid A) P(A) + P(F_1 \mid T) P(T)$$`

com `$P(A)=0{,}01$`, `$P(T)=0{,}99$`, `$P(F_1\mid A)=0{,}60$`, `$P(F_1\mid T)=0{,}04$`:

1. Calcule `$P(F_1)$`.
2. Qual causa **domina** o valor final?
3. O resultado é compatível com o histórico `$P(F_1)=0{,}05$`?
]

.pausa[⏸ Calculem e discutam — 5 minutos]

---

## Resposta 8

.solucao[
`$$P(F_1) = 0{,}60 \times 0{,}01 + 0{,}04 \times 0{,}99 
           = 0{,}006 + 0{,}0396 = 0.0456$$`
]

A falha técnica domina, pois é muito mais frequente que a falta de insumo, apesar de a falta de insumo ter impacto forte quando ocorre.

O valor obtido é coerente com o histórico de `$P(F_1)\approx 0{,}05$`.

---
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# Bloco 6
## Teorema de Bayes

---

## A Pergunta que Interessa ao Gerente

.alerta[
Dado que L1 realmente parou, qual a probabilidade de ter sido **falta de insumo crítico**?

`$$P(A \mid F_1) = ?$$`
]

Até agora usamos `$P(F_1 \mid A)$`.  
Agora queremos inverter: `$P(A \mid F_1)$`.

---

## Conceito: Teorema de Bayes

.conceito[
`$$P(B_i \mid A) = \frac{P(A \mid B_i) P(B_i)}{P(A)}$$`

com `$P(A)$` dado pela Lei da Probabilidade Total.
]

---

## Pergunta 9

.pergunta[
### Teorema de Bayes — causa da parada

Usando:

`$$P(A \mid F_1) = \frac{P(F_1 \mid A) P(A)}{P(F_1)}$$`

com `$P(F_1 \mid A)=0{,}60$`, `$P(A)=0{,}01$`, `$P(F_1)\approx 0.0456$`:

1. Calcule `$P(A \mid F_1)$`.
2. O resultado é alto ou baixo?
3. O que você diria ao gerente de produção?
]

.pausa[⏸ Calculem — 5 minutos]

---

## Resposta 9

.solucao[
`$$P(A \mid F_1) = \frac{0{,}60 \times 0{,}01}{0.0456} 
  = \frac{0{,}006}{0.0456} \approx 0.1316$$`
]

Mesmo observando a parada de L1, a probabilidade de ter sido falta de insumo fica em torno de **13.2%**.

Ou seja, a parada continua muito mais provável por falha técnica/operacional do que por problema de fornecimento.

---

## Intuição Numérica

.conceito[
Imagine 10.000 turnos de produção:

- Em ~100 turnos há falta de insumo (`$1\%$`). Em 60 deles L1 para (`$60\%$`).
- Em ~9.900 turnos não há falta de insumo. Em 4% deles L1 para (~396 turnos).

Total de paradas de L1: `$\approx 60 + 396 = 456$`.

Frações por causa:
- Por falta de insumo: `$60/456 \approx 0.132$`.
- Por falha técnica: `$396/456 \approx 0.868$`.

Isso é exatamente o que o Teorema de Bayes formaliza.
]

---
class: inverse, center, middle

# Discussão Final

---

## O Que a Análise Probabilística Muda na Engenharia de Produção?

1. **Modelagem de confiabilidade de linhas:**  
   Ignorar dependências entre linhas (efeito dominó) **subestima** risco de paradas múltiplas.

2. **Planejamento de manutenção:**  
   Saber `$P(F_1)$` e `$P(F_1\cap F_2)$` ajuda a dimensionar estoques de sobressalentes, equipes e janelas de manutenção preventiva.

3. **Gestão de fornecedores e estoques:**  
   Bayes mostra que, mesmo com paradas, a principal causa pode estar dentro da fábrica — não no fornecedor.

4. **Custo esperado de parada:**  
   Com R\$ 25.000/hora parada e probabilidades de falha, é possível estimar o custo anual esperado e discutir **investimento ótimo** em redundância, manutenção e automação.

---

## O Que Aprendemos

| Conceito | Aplicação no sistema produtivo |
|----------|--------------------------------|
| Exp. Aleatório & `$\Omega$` | 8 estados possíveis de 3 linhas |
| Eventos | Falha de uma, de duas, de todas, nenhuma parada |
| Prob. Clássica | Baseline com equiprobabilidade — e suas limitações |
| Independência | Diferença entre linhas independentes vs. acopladas |
| Prob. Condicional & Produto | Cálculo de paradas simultâneas com dependência real |
| Lei da Prob. Total | Decompor `$P(F_1)$` em causas (insumo x falha técnica) |
| Teorema de Bayes | Após a parada, reavaliar probabilidades das causas |

---
class: center, middle, inverse

# Próximo Desafio

Uma **quarta linha L4** de inspeção automatizada é adicionada ao sistema.  
`$P(F_4) = 0{,}06$`, com `$P(F_4 \mid F_1) = 0{,}35$` e `$P(F_4 \mid F_2) = 0{,}25$`.

Como isso muda a análise de risco de paradas múltiplas e o custo esperado de produção perdida?

**Pensem para a próxima aula.**

---
class: center, middle

## Obrigado!

Prof. Hidelbrando Ferreira Rodrigues  
Universidade Federal do Amazonas — UFAM