Confiabilidade de Sistemas de TI

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.title[
# Confiabilidade de Sistemas de TI
]
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## Um Problema · Três Servidores · Sete Conceitos
]
.author[
### Prof. Hidelbrando Ferreira Rodrigues
]
.institute[
### Universidade Federal do Amazonas — UFAM
]
.date[
### 30 de abril de 2026
]

---

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/* ── Caixas temáticas ──────────────────────────────────────────────────── */
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---
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# Confiabilidade de Sistemas de TI

## Um Problema · Três Servidores · Sete Conceitos

### Prof. Hidelbrando Ferreira Rodrigues
### Universidade Federal do Amazonas — UFAM
### 30 de abril de 2026

---

## O Cenário: TechMart

A **TechMart** é um e-commerce regional com operação 24/7.  
Sua infraestrutura depende de **três servidores**:

| Servidor | Função | Símbolo de falha |
|:--------:|--------|:----------------:|
| **S1** | Banco de dados de produtos | `$F_1$` |
| **S2** | Processamento de pagamentos | `$F_2$` |
| **S3** | Frontend (site da loja) | `$F_3$` |

A equipe de TI monitora esses servidores continuamente.  
Dados históricos indicam:

`$$P(F_1) = 0{,}05 \qquad P(F_2) = 0{,}08 \qquad P(F_3) = 0{,}03$$`

A falha de qualquer servidor impacta o negócio.  
**Prejuízo estimado: R\$ 12.000 por hora de inatividade.**

---
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# 🚨 São 3h da manhã.
# O sistema de monitoramento dispara um alerta.

---

## O Incidente

.alerta[
### 03:17 — FALHA DETECTADA — S1 (Banco de Dados) — OFFLINE
Operação de e-commerce comprometida. Impacto em todos os serviços.
]

Antes de ligar para o gestor, a equipe precisa **pensar sistematicamente**:

- Quais são todos os estados possíveis do sistema?
- Qual a probabilidade de cada um?
- Há risco de outras falhas em cascata?
- O que causou isso? **Poderia ser um ataque cibernético?**

.center[**Hoje respondemos essas perguntas — com probabilidade.**]

---

## Roteiro

Vamos construir a análise progressivamente, sempre **sobre o mesmo problema**:

| # | Conceito | Pergunta que responde |
|---|----------|-----------------------|
| 1 | Experimento Aleatório & Espaço Amostral | Quais estados são possíveis? |
| 2 | Eventos | Quais situações nos interessam? |
| 3 | Probabilidade Clássica | E se todos os estados fossem igualmente prováveis? |
| 4 | Independência | A falha de um servidor afeta os demais? |
| 5 | Prob. Condicional & Regra do Produto | Como calcular falhas simultâneas com dependência? |
| 6 | Lei da Probabilidade Total | Qual a prob. de falha, ponderando as causas? |
| 7 | Teorema de Bayes | Dado que S1 falhou — foi um ataque? |

---
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# Bloco 1
## Experimento Aleatório & Espaço Amostral

---

## Conceito

.conceito[
**Experimento Aleatório:** processo cujo resultado não pode ser previsto com certeza, mas cujos resultados possíveis são conhecidos.

**Espaço Amostral (`$\Omega$`):** conjunto de **todos** os resultados possíveis.

**Ponto amostral (`$\omega$`):** cada elemento individual de `$\Omega$`.
]

**No nosso contexto:**  
Observar o estado do servidor S1 em um dado instante é um experimento aleatório — não sabemos de antemão se ele estará funcionando ou terá falhado.

---

## Pergunta 1

.pergunta[
### Experimento Aleatório — um servidor

Considere o estado do **servidor S1** em um dado instante.

1. O que constitui o **experimento aleatório** aqui?
2. Qual é o **espaço amostral** `$\Omega_{S1}$`?
3. Quantos elementos ele tem?
]

.pausa[⏸ Discutam em duplas — 3 minutos]

---

## Resposta 1

.solucao[
**Experimento aleatório:** observar se S1 está funcionando ou falho no instante do monitoramento.

**Espaço amostral:**
`$$\Omega_{S1} = \{\ \textit{S1 funciona},\ \textit{S1 falha}\ \}$$`

Dois elementos. Simples — mas o problema se torna muito mais rico quando consideramos **os três servidores ao mesmo tempo**.
]

---

## Pergunta 2

.pergunta[
### Espaço Amostral — três servidores

Considere o estado simultâneo dos três servidores **(S1, S2, S3)**.  
Use a notação `$(\,\cdot\,,\,\cdot\,,\,\cdot\,)$` onde **OK** = funcionando e **F** = falho.

1. **Liste todos os elementos** do espaço amostral `$\Omega$`.
2. Quantos elementos há? Você consegue enunciar uma regra geral?
3. Como organizaria esses elementos de forma sistemática?
]

.pausa[⏸ Discutam em grupos — 5 minutos]

---

## Resposta 2

.solucao[
Cada servidor tem 2 estados. Com 3 servidores: `$2^3 = \mathbf{8}$` elementos.
]

<table>
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> Resultado </th>
   <th style="text-align:center;"> Nº de falhas </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> (OK, OK, OK) </td>
   <td style="text-align:center;"> 0 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> (OK, OK, F) </td>
   <td style="text-align:center;"> 1 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> (OK, F, OK) </td>
   <td style="text-align:center;"> 1 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> (F, OK, OK) </td>
   <td style="text-align:center;"> 1 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> (OK, F, F) </td>
   <td style="text-align:center;"> 2 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> (F, OK, F) </td>
   <td style="text-align:center;"> 2 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> (F, F, OK) </td>
   <td style="text-align:center;"> 2 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> (F, F, F) </td>
   <td style="text-align:center;"> 3 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

*Regra geral: `$n$` servidores com 2 estados cada → `$2^n$` pontos amostrais.*

---
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# Bloco 2
## Eventos

---

## Conceito

.conceito[
**Evento:** qualquer **subconjunto** do espaço amostral — um resultado ou conjunto de resultados de interesse.

| Operação | Notação | Significa |
|----------|:-------:|-----------|
| União | `$A \cup B$` | `$A$` **ou** `$B$` ocorre |
| Interseção | `$A \cap B$` | `$A$` **e** `$B$` ocorrem |
| Complemento | `$A^c$` | `$A$` **não** ocorre |

Eventos **mutuamente exclusivos:** `$A \cap B = \emptyset$` — não podem ocorrer simultaneamente.
]

---

## Pergunta 3

.pergunta[
### Definindo eventos relevantes para o incidente

Com base no `$\Omega$` dos três servidores, **liste os elementos** de cada evento:

- **Evento `$A$`:** "S1 falha"
- **Evento `$B$`:** "Pelo menos um servidor falha"
- **Evento `$C$`:** "Todos os servidores falham" (sistema completamente fora)
- **Evento `$D$`:** "Exatamente dois servidores falham"

**Bônus:** o que é `$B^c$`? E qual a relação entre `$B^c$` e `$C$`?
]

.pausa[⏸ Discutam em grupos — 5 minutos]

---

## Resposta 3

.solucao[
- `$A = \{(F,OK,OK),\;(F,F,OK),\;(F,OK,F),\;(F,F,F)\}$` — **4 elementos**
- `$B = \Omega \setminus \{(OK,OK,OK)\}$` — **7 elementos**
- `$C = \{(F,F,F)\}$` — **1 elemento** (o pior cenário)
- `$D = \{(F,F,OK),\;(F,OK,F),\;(OK,F,F)\}$` — **3 elementos**

**Bônus:** `$B^c = \{(OK,OK,OK)\}$` — "nenhum falha". Note que `$B^c \neq C$`: o complemento de "pelo menos um falha" é "nenhum falha", **não** "todos falham".
]

---
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# Bloco 3
## Probabilidade Clássica

---

## Conceito

.conceito[
Quando todos os pontos amostrais são **igualmente prováveis**:

`$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{\text{número de resultados favoráveis a }A}{\text{número total de resultados}}$$`

Esta é a **definição clássica** (laplaciana) de probabilidade. Ela exige a hipótese de **equiprobabilidade**.
]

Antes de usar os dados históricos reais, vamos explorar o que acontece sob essa hipótese — e depois questioná-la.

---

## Pergunta 4

.pergunta[
### Calculando com a hipótese clássica

Assuma, **por ora**, que os 8 resultados são **igualmente prováveis**.

1. `$P(C)$` — probabilidade de **todos** falharem
2. `$P(D)$` — probabilidade de **exatamente dois** falharem
3. `$P(B)$` — probabilidade de **pelo menos um** falhar
4. `$P(B^c)$` — probabilidade de **nenhum** falhar

Perceba a relação entre (3) e (4). Ela tem um nome?
]

.pausa[⏸ Calculem — 5 minutos]

---

## Resposta 4

.solucao[
`$$P(C) = \frac{1}{8} = 0{,}125 \qquad P(D) = \frac{3}{8} = 0{,}375$$`

`$$P(B) = \frac{7}{8} = 0{,}875 \qquad P(B^c) = \frac{1}{8} = 0{,}125$$`

`$P(B) + P(B^c) = 1$` — **Lei do Complemento**: `$P(A^c) = 1 - P(A)$`.  
Útil para calcular `$P(B)$` sem listar seus 7 elementos: basta calcular `$1 - P(B^c)$`.
]

---

## A Hipótese Clássica é Realista?

.alerta[
Um servidor de banco de dados falha com a **mesma frequência** que um servidor de frontend?  
A probabilidade clássica exige **equiprobabilidade** — uma hipótese forte raramente sustentada em sistemas reais.
]

Os dados históricos da TechMart mostram:

`$$P(F_1) = 0{,}05 \qquad P(F_2) = 0{,}08 \qquad P(F_3) = 0{,}03$$`

Os 8 resultados do espaço amostral **não têm a mesma probabilidade**.  
Como calcular probabilidades corretamente agora?

---
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# Bloco 4
## Independência & Probabilidade Condicional

---

## Conceito: Independência

.conceito[
Dois eventos `$A$` e `$B$` são **independentes** se a ocorrência de um **não altera** a probabilidade do outro:

`$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$`

Equivalentemente: `$P(A \mid B) = P(A)$`.

Se essa igualdade **não vale**, os eventos são **dependentes**.
]

**A pergunta crítica para nosso sistema:**  
Se S1 cai, a probabilidade de S2 falhar continua sendo `$P(F_2) = 0{,}08$`?

---

## Pergunta 5

.pergunta[
### Probabilidade de falha simultânea — com independência

Suponha, **por ora**, que as falhas dos servidores são **independentes**.  
Use `$P(F_1) = 0{,}05$`, `$P(F_2) = 0{,}08$`, `$P(F_3) = 0{,}03$`.

1. Calcule `$P(F_1 \cap F_2)$` — S1 **e** S2 falham
2. Calcule `$P(F_1 \cap F_2 \cap F_3)$` — os **três** falham
3. Calcule `$P(B^c)$` — **nenhum** falha
]

.pausa[⏸ Calculem — 5 minutos]

---

## Resposta 5

.solucao[
`$$P(F_1 \cap F_2) = P(F_1) \cdot P(F_2) = 0{,}05 \times 0{,}08 = 0.004$$`

`$$P(F_1 \cap F_2 \cap F_3) = 0{,}05 \times 0{,}08 \times 0{,}03 = 1.2\times 10^{-4}$$`

`$$P(B^c) = (1-P_{F_1})(1-P_{F_2})(1-P_{F_3}) = 0{,}95 \times 0{,}92 \times 0{,}97 \approx 0.8478$$`
]

Mas **servidores conectados na mesma infraestrutura realmente se comportam de forma independente?**

---

## Servidores Não São Independentes!

Na prática, a falha de S1 (banco de dados) gera **efeitos em cascata**:

- S2 tenta re-rotear transações → sobrecarga → **maior risco de falha**
- S3 fica sem dados → tentativas repetidas de reconexão → **instabilidade**

Os dados históricos registram **dependência**:

| | Prob. base | Prob. dado S1 falhou |
|--|:----------:|:--------------------:|
| `$P(F_2)$` vs `$P(F_2 \mid F_1)$` | `$0{,}08$` | `$0{,}20$` — **2,5× maior** |
| `$P(F_3)$` vs `$P(F_3 \mid F_1)$` | `$0{,}03$` | `$0{,}10$` — **3,3× maior** |
| `$P(F_3)$` vs `$P(F_3 \mid F_2)$` | `$0{,}03$` | `$0{,}15$` — **5× maior** |

---

## Conceito: Probabilidade Condicional & Regra do Produto

.conceito[
**Probabilidade Condicional:** probabilidade de `$A$` ocorrer **dado que** `$B$` já ocorreu:
`$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \qquad P(B) > 0$$`

**Regra do Produto** — forma geral, **sem** exigir independência:
`$$P(A \cap B) = P(A \mid B) \cdot P(B)$$`

Quando `$A$` e `$B$` são independentes, `$P(A \mid B) = P(A)$`, e recuperamos `$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$`.
]

---

## Pergunta 6

.pergunta[
### Probabilidade de falha simultânea — com dependência

Agora usando a dependência real entre os servidores:

1. Calcule `$P(F_1 \cap F_2)$` com `$P(F_2 \mid F_1) = 0{,}20$`
2. **Compare** com o valor obtido sob independência (Resposta 5)
3. O que essa diferença implica para o planejamento de TI?
]

.pausa[⏸ Calculem e discutam — 5 minutos]

---

## Resposta 6

.solucao[
`$$P(F_1 \cap F_2) = P(F_2 \mid F_1) \cdot P(F_1) = 0{,}20 \times 0{,}05 = 0.01$$`
]

| Hipótese | `$P(F_1 \cap F_2)$` |
|----------|:-----------------:|
| Independência | `$0.004$` |
| Dependência (dado histórico) | `$0.01$` |

A probabilidade de falha simultânea é **2.5× maior** com a dependência real.  
Ignorar essa dependência leva a uma **subestimação grave do risco** — um erro crítico em projetos de infraestrutura.

---

## Pergunta 7

.pergunta[
### Complementar condicional

O monitoramento confirma: **S2 acabou de falhar também**.

Qual a probabilidade de que **S3 não falhe**, dado que S2 está fora?

`$$P(F_3^c \mid F_2) = ?$$`

Use `$P(F_3 \mid F_2) = 0{,}15$`.
]

.pausa[⏸ Calculem — 3 minutos]

---

## Resposta 7

.solucao[
`$$P(F_3^c \mid F_2) = 1 - P(F_3 \mid F_2) = 1 - 0{,}15 = \mathbf{0{,}85}$$`
]

Há 85% de chance de o frontend sobreviver mesmo com S2 fora do ar.

.alerta[
Mas atenção: essa probabilidade **cai a cada minuto** que o sistema permanece instável. A equipe deve agir rapidamente para isolar a falha antes que ela se propague para S3.
]

---
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# Bloco 5
## Lei da Probabilidade Total

---

## Uma Nova Dimensão: Por Que S1 Falhou?

O alerta foi confirmado: **S1 está offline.**  
Até agora analisamos *o quê* poderia falhar. Agora a questão é *por quê*:

.alerta[
### O Gerente de TI liga:
*"Precisamos saber: foi uma falha técnica normal ou um ataque cibernético? Isso muda completamente o protocolo de resposta!"*
]

A equipe levanta duas hipóteses **mutuamente exclusivas e exaustivas**:

- **Causa `$A$`:** Ataque cibernético &nbsp;—&nbsp; `$P(A) = 0{,}01$`
- **Causa `$T$`:** Falha técnica comum &nbsp;—&nbsp; `$P(T) = 0{,}99$`

Com dados históricos das probabilidades de falha **dado cada causa**:
`$$P(F_1 \mid A) = 0{,}60 \qquad P(F_1 \mid T) = 0{,}04$$`

---

## Conceito: Lei da Probabilidade Total

.conceito[
Se `$\{B_1, \ldots, B_n\}$` formam uma **partição** de `$\Omega$` (mutuamente exclusivos e exaustivos), então para qualquer evento `$A$`:

`$$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A \mid B_i) \cdot P(B_i)$$`

**Ideia:** calcular a probabilidade de `$A$` **pesando cada causa possível** pela sua frequência.
]

No nosso caso: `$A$` (ataque) e `$T$` (falha técnica) formam a partição — `$P(A) + P(T) = 1$`.

---

## Pergunta 8

.pergunta[
### Probabilidade total de falha de S1

Usando a Lei da Probabilidade Total:

`$$P(F_1) = P(F_1 \mid A) \cdot P(A) \;+\; P(F_1 \mid T) \cdot P(T)$$`

Com os dados: `$P(A) = 0{,}01$`, `$P(T) = 0{,}99$`,  
`$P(F_1 \mid A) = 0{,}60$`, `$P(F_1 \mid T) = 0{,}04$`.

1. Calcule `$P(F_1)$`.
2. Qual das duas causas **domina** o valor final? Por quê?
3. O resultado é compatível com o dado histórico `$P(F_1) = 0{,}05$`?
]

.pausa[⏸ Calculem e discutam — 5 minutos]

---

## Resposta 8

.solucao[
`$$P(F_1) = 0{,}60 \times 0{,}01 \;+\; 0{,}04 \times 0{,}99 = 0{,}006 + 0{,}0396 = 0.0456$$`
]

.pull-left[
| Causa | Contribuição |
|-------|:------------:|
| Ataque (`$A$`) | `$0{,}006$` |
| Falha técnica (`$T$`) | `$0{,}0396$` |
| **Total** | **0.0456** |
]

.pull-right[
A **falha técnica domina** — porque mesmo que `$P(F_1 \mid A) = 0{,}60$` seja alto, ataques são raros (`$P(A) = 0{,}01$`).

O resultado `$\approx 0{,}05$` é coerente com o dado histórico. ✓
]

---
class: inverse, center, middle

# Bloco 6
## Teorema de Bayes

---

## A Pergunta Mais Importante da Noite

.alerta[
### Dado que S1 realmente falhou — qual a probabilidade de ter sido um ataque?

`$$P(A \mid F_1) = ?$$`
]

Até agora: sabíamos a **causa** e calculávamos a probabilidade do **efeito**.  
`$$P(F_1 \mid A) = 0{,}60$$`

Agora: observamos o **efeito** e queremos inferir a **causa**.  
`$$P(A \mid F_1) = \;?$$`

Essa **inversão** é exatamente o que o Teorema de Bayes resolve.

---

## Conceito: Teorema de Bayes

.conceito[
`$$\boxed{P(B_i \mid A) = \frac{P(A \mid B_i) \cdot P(B_i)}{P(A)}}$$`

onde `$P(A)$` é calculado pela Lei da Probabilidade Total.

| Termo | Nome | Significado |
|-------|------|-------------|
| `$P(B_i)$` | **Priori** | Crença sobre a causa *antes* de observar `$A$` |
| `$P(A \mid B_i)$` | **Verossimilhança** | O quanto `$B_i$` "explica" a observação `$A$` |
| `$P(B_i \mid A)$` | **Posteriori** | Crença sobre a causa *após* observar `$A$` |
]

---

## Pergunta 9

.pergunta[
### Teorema de Bayes — causa da falha

S1 falhou. O gerente quer saber: **foi um ataque cibernético?**

Usando o Teorema de Bayes:

`$$P(A \mid F_1) = \frac{P(F_1 \mid A) \cdot P(A)}{P(F_1)}$$`

Com: `$P(F_1 \mid A) = 0{,}60$`, `$P(A) = 0{,}01$`, `$P(F_1) \approx 0.0456$`.

1. Calcule `$P(A \mid F_1)$`.
2. O resultado te surpreende?
3. O que você responderia ao gerente?
]

.pausa[⏸ Calculem e discutam — 5 minutos]

---

## Resposta 9

.solucao[
`$$P(A \mid F_1) = \frac{0{,}60 \times 0{,}01}{0.0456} = \frac{0{,}006}{0.0456} \approx 0.1316$$`
]

.center[**Mesmo com S1 fora do ar, a probabilidade de ataque é de apenas ~13.2%.**]

| Causa | Probabilidade a posteriori |
|-------|:--------------------------:|
| Ataque cibernético (`$A$`) | 0.1316 &nbsp; (~13.2%) |
| Falha técnica (`$T$`) | 0.8684 &nbsp; (~86.8%) |

A falha técnica continua sendo, de longe, a causa mais provável.  
**Não acione o protocolo de ataque ainda.**

---

## Por Que Esse Resultado?

O **prior** domina quando é extremo — `$P(A) = 0{,}01$` significa que ataques são raros.

.conceito[
**Intuição numérica:** imagine 10.000 dias de operação.

- Em `$\approx 100$` dias há ataque → `$60\%$` resultam em falha de S1 → **60 falhas por ataque**
- Nos outros `$9.900$` dias (sem ataque) → `$4\%$` de falha → **396 falhas técnicas**
- Total de falhas: `$\approx 456$`

Fração causada por ataque: `$\dfrac{60}{456} \approx 0.132$`

É exatamente o Teorema de Bayes em ação.
]

A alta verossimilhança `$P(F_1 \mid A) = 0{,}60$` **não compensa** o prior muito baixo `$P(A) = 0{,}01$`.

---

## Discussão Final

**Como a análise probabilística muda a forma de agir em Engenharia de Software?**

1. **Modelagem de confiabilidade:** Ignorar dependências entre componentes leva a estimativas de risco otimistas demais — e decisões equivocadas de arquitetura.

2. **Protocolo de resposta a incidentes:** Antes de escalar para "ataque cibernético", calcule a probabilidade a posteriori. O prior importa — e muito.

3. **Design resiliente:** Com `$P(B^c) \approx 84.8\%$`, a arquitetura atual tem risco real de falha total. Vale adicionar redundância?

4. **Custo esperado:** Com R\$ 12.000/hora de inatividade e `$P(F_1) \approx 0{,}05$` por mês, qual o custo esperado anual? Vale a pena um servidor reserva?

---

## O Que Aprendemos

| Conceito | Aplicação no problema |
|----------|-----------------------|
| Exp. Aleatório & `$\Omega$` | Os 8 estados possíveis do sistema de 3 servidores |
| Eventos | Situações críticas: `$A$`, `$B$`, `$C$`, `$D$` — e seus complementos |
| Prob. Clássica | Baseline — e por que a equiprobabilidade não basta |
| Independência | Falhas em cascata são mais prováveis do que parecem |
| Prob. Condicional & Regra do Produto | 2.5× mais risco quando levamos a dependência em conta |
| Lei da Prob. Total | Decompor `$P(F_1)$` pelas causas possíveis |
| Teorema de Bayes | Dado `$F_1$`, inferir a causa — e entender o papel do prior |

---
class: center, middle, inverse

# Próximo Desafio

Um **quarto servidor S4** (serviço de autenticação) é adicionado ao sistema.  
`$P(F_4) = 0{,}06$`, com `$P(F_4 \mid F_1) = 0{,}35$` e `$P(F_4 \mid F_2) = 0{,}25$`.

Como isso muda nossa análise de risco?  
**Pensem para a próxima aula.**

---
class: center, middle

## Obrigado!

Prof. Hidelbrando Ferreira Rodrigues  
Universidade Federal do Amazonas — UFAM