Anuitas Jiwa Seumur Hidup adlah anuitas yang pembayarannya dilakukan selama tertanggung masih hidup.
# --- SOAL CONTOH 4.1.1 ---
# Menghitung Nilai Sekarang Aktuaria (NSA) anuitas seumur hidup kontinu
# Usia (age) = 30
# Force of interest (delta) = 0.05
# Parameter Gompertz: B = 10^-5, C = 1.09
ax.kontinu <- function(delta, age, B, C) {
# Fungsi integran berdasarkan rumus: exp(-delta * t) * tpx
# tpx untuk hukum Gompertz dihitung dari s(x+t)/s(x)
int <- function(t) {
exp(-delta * t) *
(exp((-B/log(C)) * (C^(age + t) - 1))) /
(exp((-B/log(C)) * (C^age - 1)))
}
ax.value <- integrate(int, 0, Inf)$value
return(ax.value)
}
# Menginputkan Parameter dari Soal
delta <- 0.05
age <- 30
B <- 1e-5
C <- 1.09
# Hitung Jawaban
jawaban <- ax.kontinu(delta, age, B, C)
# Tampilkan Hasil
print(jawaban)## [1] 19.08623Output tersebut menunjukkan bahwa dibutuhkan dana sebesar Rp19,08623 saat ini untuk menjamin pembayaran anuitas sebesar 1 unit per tahun secara terus-menerus selama seseorang berusia 30 tahun tetap hidup.
Dengan menggunakan asumsi kematian distribusi uniform untuk setiap usia kematian dan tabel mortalita (Lampiran 1) dengan suku bunga tahunan 6%, hitunglah:
\(\bar {a}_{20}\)
\(\bar {a}_{50}\)
hitung_anuitas_kontinu <- function(Ax, i) {
delta <- log(1 + i)
Ax_bar <- (i / delta) * Ax
ax_bar <- (1 - Ax_bar) / delta
return(list(delta = delta, Ax_bar = Ax_bar, ax_bar = ax_bar))
}
# Parameter input dari Contoh 4.1.2
i_input <- 0.06
Ax_20 <- 0.0652848 # Dari tabel mortalita Lampiran 1
Ax_50 <- 0.2490475 # Dari tabel mortalita Lampiran 1
# Perhitungan
hasil_20 <- hitung_anuitas_kontinu(Ax_20, i_input)
hasil_50 <- hitung_anuitas_kontinu(Ax_50, i_input)
# Menampilkan Hasil
cat("--- Hasil Perhitungan Usia 20 ---\n")## --- Hasil Perhitungan Usia 20 ---cat("Delta :", hasil_20$delta, "\n")## Delta : 0.05826891cat("Ax Bar :", hasil_20$Ax_bar, "\n")## Ax Bar : 0.06722432cat("Anuitas (a20) :", hasil_20$ax_bar, "\n\n")## Anuitas (a20) : 16.00812cat("--- Hasil Perhitungan Usia 50 ---\n")## --- Hasil Perhitungan Usia 50 ---cat("Delta :", hasil_50$delta, "\n")## Delta : 0.05826891cat("Ax Bar :", hasil_50$Ax_bar, "\n")## Ax Bar : 0.2564464cat("Anuitas (a50) :", hasil_50$ax_bar, "\n")## Anuitas (a50) : 12.76073Nilai anuitas jiwa kontinu seumur hidup sebesar 16,00812 untuk usia 20 dan 12,76073 untuk usia 50 menunjukkan estimasi nilai sekarang dari total pembayaran manfaat yang akan diberikan secara terus-menerus selama tertanggung masih hidup. Perbedaan nilai ini menggambarkan bahwa semakin muda usia tertanggung, semakin besar nilai cadangan yang harus disiapkan karena ekspektasi masa pembayaran manfaat yang lebih panjang.
Anuitas Jiwa Kontinu (\(\overline{a}_x\)) didefinisikan sebagai kontrak pembayaran manfaat yang dilakukan secara terus-menerus setiap saat selama tertanggung masih hidup. Anuitas Jiwa Pasti \(n\)-tahun (atau Annuity Certain and Life). Produk ini menjamin bahwa manfaat akan tetap dibayarkan selama jangka waktu \(n\) tahun tanpa mempedulikan status hidup tertanggung. Jika tertanggung hidup melampaui \(n\) tahun, maka pembayaran akan berlanjut sebagai anuitas jiwa biasa hingga tertanggung meninggal dunia.
Seorang berusia 30 tahun mengikuti polis asuransi jiwa dengan mortalita mengikuti hukum gomperts (\(B = {10}^{-5}; C = 1,09\)), dan tingkat suku bunga kontinu \(\delta = 5\%\). Hitunglah:
anuitas jiwa kontinu seumur hidup;
anuitas jiwwa kontinu berjangka 20 tahun;
anuitas jiwa kontinu berjangka 20 tahunyang tertunda 5 tahun;
anuitas jiwa kontinu awal dan pasti 10 tahun
# a) anuitas jiwa kontinu seumur hidup
ax.kontinu <- function(delta, age, B, C){
int=function(t) {exp(-delta*t)*(exp((-B/log (C))*(C^(age+t)-1)))/(exp((-B/log (C))*(C^age-1)))}
ax.value <- integrate(int, 0, Inf) $value
ax.value
}
# b) anuitas jiwwa kontinu berjangka 20 tahun
axn.kontinu <- function(delta, age, B, C, n){
int=function(t) {exp(-delta*t)*(exp((-B/log (C))*(C^(age+t)-1)))/(exp((-B/log (C))*(C^age-1)))}
axn.value <- integrate(int, 0, n) $value
axn.value
}
# c) anuitas jiwa kontinu berjangka 20 tahunyang tertunda 5 tahun
maxn.kontinu <- function(delta, age, B, C, n, m){
int=function(t) {exp(-delta*t)*(exp((-B/log (C))*(C^(age+t)-1)))/(exp((-B/log (C))*(C^age-1)))}
maxn.value <- integrate(int, m, m + n) $value
maxn.value
}
# d) anuitas jiwa kontinu awal dan pasti 10 tahun
axnp.kontinu <- function(delta, age, B, C, n){
int=function(t) {exp(-delta*t)*(exp((-B/log (C))*(C^(age+t)-1)))/(exp((-B/log (C))*(C^age-1)))}
axnp1.value <- integrate(int, 0, n) $value
axnp2.value <- integrate(int, 0, n) $value
axnp.value <- axnp1.value + axnp2.value
axnp.value
}
cat("--- anuitas jiwa kontinu seumur hidup ---\n")## --- anuitas jiwa kontinu seumur hidup ---ax.kontinu (delta=0.05, age=30, B=1e-5, C=1.09)## [1] 19.08623cat("--- anuitas jiwwa kontinu berjangka 20 tahun ---\n")## --- anuitas jiwwa kontinu berjangka 20 tahun ---axn.kontinu (delta=0.05, age=30, B=1e-5, C=1.09, n=20)## [1] 12.61674cat("--- anuitas jiwa kontinu berjangka 20 tahunyang tertunda 5 tahun ---\n")## --- anuitas jiwa kontinu berjangka 20 tahunyang tertunda 5 tahun ---maxn.kontinu (delta=0.05, age=30, B=1e-5, C=1.09, n=20, m=5)## [1] 9.807052cat("--- anuitas jiwa kontinu awal dan pasti 10 tahun ---\n")## --- anuitas jiwa kontinu awal dan pasti 10 tahun ---axnp.kontinu (delta=0.05, age=30, B=1e-5, C=1.09, n=10)## [1] 15.72591Hasil ini menunjukkan nilai sekarang aktuaria dari pembayaran sebesar 1 unit yang diberikan secara terus-menerus selama tertanggung masih hidup. Karena integrasinya dilakukan dari \(0\) sampai tak hingga (\(\infty\)), nilai ini mencerminkan cadangan dana yang harus disiapkan perusahaan asuransi untuk menjamin pendapatan tertanggung hingga akhir hayatnya. Semakin tinggi usia saat masuk (age), biasanya nilai anuitas ini akan semakin mengecil karena peluang bertahan hidup yang lebih singkat.
Nilai sekarang dari manfaat yang dibayarkan secara kontinu hanya selama periode tertentu (\(n\) tahun), dengan syarat tertanggung masih hidup dalam masa tersebut. Nilai ini akan selalu lebih kecil daripada anuitas seumur hidup karena ada batasan waktu pembayaran. Jika tertanggung meninggal sebelum tahun ke-\(n\), pembayaran otomatis berhenti.
Nilai ini merepresentasikan kontrak di mana pembayaran baru akan dimulai setelah masa tunggu (\(m\) tahun) selesai, asalkan tertanggung masih hidup pada saat itu, dan berlanjut selama \(n\) tahun berikutnya. Ini sering digunakan dalam perencanaan pensiun, di mana seseorang menyetor dana sekarang untuk mendapatkan manfaat yang baru akan cair beberapa tahun kemudian.
Ini adalah instrumen yang paling protektif bagi nasabah. Hasil perhitungannya menunjukkan nilai sekarang dari manfaat yang dijamin akan dibayarkan selama \(n\) tahun pertama tanpa mempedulikan apakah tertanggung hidup atau mati (anuitas pasti), dan akan terus dilanjutkan setelah tahun ke-\(n\) selama tertanggung masih hidup (anuitas jiwa). Nilai ini biasanya lebih tinggi karena perusahaan asuransi menanggung risiko pembayaran tetap meskipun tertanggung meninggal dunia lebih awal.