# Función para calcular potencia de matrices
matriz_n <- function(M, n){
potencia <- diag(nrow(M)) # matriz identidad
for(i in 1:n){
potencia <- potencia %*% M
}
return(potencia)
}Taller 1: Modelado de Sistemas mediante Cadenas de Markov.
Modelos Estocasticos.
Profesor: Ader Luis Villar.
Introducción
En el presente taller se analizan dos problemas asociados al modelado de sistemas mediante cadenas de Markov, una herramienta clave en el estudio de procesos estocásticos. Estos modelos permiten representar sistemas dinámicos cuya evolución en el tiempo depende exclusivamente de su estado actual, lo que facilita su análisis y la predicción de su comportamiento futuro.
A lo largo del documento, se desarrollan ambos ejercicios con el propósito de aplicar los conceptos teóricos estudiados y fortalecer las habilidades de modelación, análisis e interpretación de sistemas probabilísticos.
Ejercicio 1.
Una empresa cuenta con una celda de manufactura compuesta por 4 máquinas que funcionan y fallan de manera independiente. Cada máquina puede estar en uno de los siguientes estados:
\[\{N: \text{no funciona}, \text{F: funciona}\}\]
Si al comienzo de un día una máquina funciona, al día siguiente continúa funcionando con una probabilidad de 0,8.
Por otro lado, si la máquina no funciona, se repara para el día siguiente con una probabilidad de 0,9.
Se supone que el lunes las 4 máquinas se encuentran funcionando.
Se pide: ¿Cuál es la probabilidad de que las cuatro máquinas estén funcionando el día viernes? A >largo plazo, ¿cuál es el número promedio de máquinas que funcionan en un día cualquiera?
Solucion Punto 1.
\(x_n\) la cantidad de máquinas que funcionan al comienzo del día \(n\).
Con estados:
\[S = \{0,1,2,3,4\}\]
Para construir la matriz de transición, se calculan las probabilidades de pasar de un estado \(i\) a un estado \(j\), considerando que las máquinas funcionan de manera independiente.
Caso: 0 máquinas funcionando.
En este caso, todas las máquinas están dañadas. La única forma de que ninguna funcione al día siguiente es que todas continúen dañadas.
\[ P_{00} = P\big( \text{M}_1 \text{ sigue dañada} \;\cap\; \text{M}_2 \text{ sigue dañada} \;\cap\; \text{M}_3 \text{ sigue dañada} \;\cap\; \text{M}_4 \text{ sigue dañada} \big) \]
\[\begin{align} P_{00} &= (0,1)(0,1)(0,1)(0,1) \\ &= 0,0001 \end{align}\]
Para que funcione una máquina, se consideran todas las combinaciones posibles donde una se repara y las demás no:
\(P_{01}\) combinaciones de una máquina reparada.
\[\begin{align} P_{01} &= (0,9)(0,1)(0,1)(0,1) \\ &\quad + (0,1)(0,9)(0,1)(0,1) \\ &\quad + (0,1)(0,1)(0,9)(0,1) \\ &\quad + (0,1)(0,1)(0,1)(0,9) = 0,0036 \end{align}\] \[\begin{align} P_{01} &= \binom{4}{1} (0,9) (0,1)^3 \\ & \quad 4 (0,9) (0,1)^3 = 0,0036 \end{align}\]
Para que funcionen dos máquina, se consideran todas las combinaciones posibles donde dos se reparan y las demás no:
\(P_{02}\) combinaciones de dos máquinas reparadas.
\[\begin{align} P_{02} &= (0,9)(0,9)(0,1)(0,1) + (0,9)(0,1)(0,9)(0,1) + (0,9)(0,1)(0,1)(0,9)\\ &\quad + (0,1)(0,9)(0,9)(0,1) + (0,1)(0,9)(0,1)(0,9) + (0,1)(0,1)(0,9)(0,9) \\ &= 0,0486 \end{align}\] \[\begin{align} P_{02} &= \binom{4}{2} (0,9)^2 (0,1)^2 \\ &= 6 (0,9)^2 (0,1)^2 \\ &= 0,0486 \end{align}\]
Para que funcionen tres máquina, se consideran todas las combinaciones posibles donde tres se reparan y una no:
\(P_{03}\) combinaciones de tres máquinas reparadas.
\[\begin{align} P_{03} &= (0,9)(0,9)(0,9)(0,1) \\ &\quad + (0,9)(0,9)(0,1)(0,9) \\ &\quad + (0,9)(0,1)(0,9)(0,9) \\ &\quad + (0,1)(0,9)(0,9)(0,9) \\ &= 0,2916 \end{align}\] \[\begin{align} P_{03} &= \binom{4}{3} (0,9)^3 (0,1) \\ &= 4 (0,9)^3 (0,1) \\ &= 0,2916 \end{align}\]
Para que funcionen todas las máquina, se consideran todas las combinaciones posibles donde todas se reparan:
\(P_{04}\) combinaciones de todas las máquinas reparadas.
\[\begin{align} P_{04} &= (0,9)(0,9)(0,9)(0,9) \\ &= 0,6561 \end{align}\] \[\begin{align} P_{04} &= \binom{4}{4} (0,9)^4 (0,1)^0 \\ &= 1 (0,9)^4 \\ &= 0,6561 \end{align}\]
Con los resultados obtenidos, se construye la primera fila de la matriz de transición, correspondiente al estado inicial de 0 máquinas funcionando. Es importante notar que la suma de las probabilidades de esta fila es igual a 1:
\[0,0001 + 0,0036 + 0,0486 + 0,2916 + 0,6561 = 1\]
Lo anterior confirma que la distribución de probabilidades está correctamente definida, ya que se consideran todos los posibles estados futuros del sistema. Por tanto, la primera fila de la matriz de transición es válida y consistente con las propiedades de una cadena de Markov.
\[ P = \begin{bmatrix} 0,0001 & 0,0036 & 0,0486 & 0,2916 & 0,6561 \\ - & - & - & - & - \\ - & - & - & - & - \\ - & - & - & - & - \\ - & - & - & - & - \\ \end{bmatrix} \]
Caso: 1 máquinas funcionando.
Para este caso, inicialmente se tiene una máquina funcionando y tres en estado de falla. A partir de esta condición, se analizan todas las posibles configuraciones al día siguiente, teniendo en cuenta las probabilidades de transición de cada máquina de manera independiente.
Para que ninguna máquina funcione al día siguiente, es necesario que la máquina que estaba operativa falle y que las tres máquinas dañadas permanezcan en ese estado. Esto se expresa como:
\[\begin{align} P_{10} &= (0,2)(0,1)(0,1)(0,1) \\ &= 0,0002 \end{align}\]
Para que se mantenga exactamente una máquina funcionando, se consideran dos situaciones: que la máquina inicial continúe operando y las demás sigan dañadas, o que esta falle pero una de las dañadas sea reparada. Esto implica analizar todas las combinaciones posibles donde solo una máquina esté operativa:
\[\begin{align} P_{11} &= (0,8)(0,1)(0,1)(0,1) + (0,2)(0,9)(0,1)(0,1) \\ &\quad + (0,2)(0,1)(0,9)(0,1) + (0,2)(0,1)(0,1)(0,9) \\ &= 0,0062 \end{align}\]
Para que haya dos máquinas funcionando, se consideran los casos donde la máquina inicial sigue operando y una adicional se repara, así como los casos donde la inicial falla y dos de las máquinas dañadas se reparan:
\[\begin{align} P_{12} &= (0,8)(0,9)(0,1)(0,1) + (0,8)(0,1)(0,9)(0,1) \\ &\quad + (0,8)(0,1)(0,1)(0,9) + (0,2)(0,9)(0,9)(0,1) \\ &\quad + (0,2)(0,9)(0,1)(0,9) + (0,2)(0,1)(0,9)(0,9) \\ &= 0,0702 \end{align}\]
Para que funcionen tres máquinas, se consideran las combinaciones donde la máquina inicial continúa operando junto con dos máquinas reparadas, o donde esta falla y tres máquinas son reparadas:
\[\begin{align} P_{13} &= (0,8)(0,9)(0,9)(0,1) + (0,8)(0,9)(0,1)(0,9) \\ &\quad + (0,8)(0,1)(0,9)(0,9) + (0,2)(0,9)(0,9)(0,9) \\ &= 0,3402 \end{align}\]
Finalmente, para que las cuatro máquinas funcionen, se requiere que la máquina inicial continúe operativa y que todas las máquinas dañadas sean reparadas:
\[\begin{align} P_{14} &= (0,8)(0,9)(0,9)(0,9) \\ &= 0,5832 \end{align}\]
Con los resultados obtenidos, se construye la segunda fila de la matriz de transición, correspondiente al estado inicial de una máquina funcionando. Se verifica que la suma de las probabilidades es igual a 1:
\[0,0002+0,0062+0,0702+0,3402+0,5832=1\]
Esto indica que se han considerado todas las posibles configuraciones futuras del sistema, por lo que la distribución de probabilidades es válida. En consecuencia, la segunda fila de la matriz de transición es consistente con las propiedades de una cadena de Markov.
\[ P = \begin{bmatrix} 0,0001 & 0,0036 & 0,0486 & 0,2916 & 0,6561 \\ 0,0002 & 0,0062 & 0,0702 & 0,3402 & 0,5832 \\ - & - & - & - & - \\ - & - & - & - & - \\ - & - & - & - & - \\ \end{bmatrix} \]
Caso: 2 máquinas funcionando.
En este caso, inicialmente se tienen dos máquinas funcionando y dos en estado de falla. A partir de esta configuración, se analizan las posibles transiciones considerando el comportamiento independiente de cada máquina.
Para que ninguna máquina funcione al día siguiente, es necesario que las dos máquinas que estaban operativas fallen y que las dos máquinas dañadas permanezcan en ese estado:
\[\begin{align} P_{20} &= (0,2)(0,2)(0,1)(0,1) \\ &= 0,0004 \end{align}\]
Para que funcione exactamente una máquina, se consideran dos situaciones: que una de las máquinas operativas continúe funcionando mientras la otra falla y las dañadas no se reparan, o que ambas fallen pero una de las dañadas sea reparada. Esto implica todas las combinaciones posibles donde solo una máquina esté operativa:
\[\begin{align} P_{21} &= (0,8)(0,2)(0,1)(0,1) + (0,2)(0,8)(0,1)(0,1) \\ &\quad + (0,2)(0,2)(0,9)(0,1) + (0,2)(0,2)(0,1)(0,9) \\ &= 0,0104 \end{align}\]
También puede expresarse de forma combinatoria como:
\[\begin{align} P_{21} &= \binom{2}{1}(0,8)(0,2)(0,1)^2 + \binom{2}{1}(0,2)^2(0,9)(0,1) \\ &= 0,0104 \end{align}\]
Para que se mantengan dos máquinas funcionando, se consideran los casos donde ambas máquinas operativas continúan funcionando y las demás siguen dañadas, así como las combinaciones donde una falla y una dañada se repara, o donde ambas fallan pero ambas dañadas se reparan:
\[\begin{align} P_{22} &= (0,8)(0,8)(0,1)(0,1) + (0,8)(0,2)(0,9)(0,1) \\ &\quad + (0,8)(0,2)(0,1)(0,9) + (0,2)(0,8)(0,9)(0,1) \\ &\quad + (0,2)(0,8)(0,1)(0,9) + (0,2)(0,2)(0,9)(0,9) \\ &= 0,0972 \end{align}\]
Para que funcionen tres máquinas, se consideran las combinaciones donde las dos máquinas iniciales continúan operando y una adicional se repara, así como los casos donde una falla pero las dos dañadas se reparan:
\[\begin{align} P_{23} &= (0,8)(0,8)(0,9)(0,1) + (0,8)(0,8)(0,1)(0,9) \\ &\quad + (0,8)(0,2)(0,9)(0,9) + (0,2)(0,8)(0,9)(0,9) \\ &\quad + (0,2)(0,2)(0,9)(0,9) \\ &= 0,3744 \end{align}\]
También puede expresarse en forma combinatoria como:
\[\begin{align} P_{23} &= \binom{2}{2}(0,8)^2(0,9)(0,1) + \binom{2}{1}(0,8)(0,2)(0,9)^2 + \binom{2}{0}(0,2)^2(0,9)^3 \\ &= 0,3744 \end{align}\]
Finalmente, para que las cuatro máquinas funcionen, se requiere que las dos máquinas iniciales continúen operativas y que ambas máquinas dañadas sean reparadas:
\[\begin{align} P_{24} &= (0,8)(0,8)(0,9)(0,9) \\ &= (0,8)^2 (0,9)^2 \\ &= 0,5176 \end{align}\]
Con los resultados obtenidos, se construye la tercera fila de la matriz de transición, correspondiente al estado inicial de 2 máquinas funcionando. Se verifica que la suma de las probabilidades es igual a 1:
\[0,0004+0,0104+0,0972+0,3744+0,5176=1\]
Esto confirma que se han considerado todos los posibles estados futuros del sistema, por lo que la distribución de probabilidades es válida. En consecuencia, la tercera fila de la matriz de transición es consistente con las propiedades de una cadena de Markov.
\[ P = \begin{bmatrix} 0,0001 & 0,0036 & 0,0486 & 0,2916 & 0,6561 \\ 0,0002 & 0,0062 & 0,0702 & 0,3402 & 0,5832 \\ 0,0004 & 0,0104 & 0,0972 & 0,3744 & 0,5176 \\ - & - & - & - & - \\ - & - & - & - & - \end{bmatrix} \]
Caso: 3 máquinas funcionando.
En este caso, inicialmente se tienen tres máquinas funcionando y una en estado de falla. A partir de esta configuración, se analizan todas las posibles transiciones al día siguiente, considerando el comportamiento independiente de cada máquina.
Para que ninguna máquina funcione al día siguiente, es necesario que las tres máquinas operativas fallen y que la máquina dañada no sea reparada:
\[\begin{align} P_{30} &= (0,2)(0,2)(0,2)(0,1) \\ &= 0,0008 \end{align}\]
También puede expresarse como:
\[\begin{align} P_{30} &= (0,2)^3(0,1) \\ &= 0,0008 \end{align}\]
Para que funcione exactamente una máquina, se consideran los casos donde una de las máquinas operativas continúa funcionando y las demás fallan, así como el caso donde todas fallan pero la máquina dañada se repara:
\[\begin{align} P_{31} &= (0,8)(0,2)(0,2)(0,1) + (0,2)(0,8)(0,2)(0,1) \\ &\quad + (0,2)(0,2)(0,8)(0,1) + (0,2)(0,2)(0,2)(0,9) \\ &= 0,0184 \end{align}\]
También puede expresarse en forma combinatoria como:
\[\begin{align} P_{31} &= \binom{3}{1}(0,8)(0,2)^2(0,1) + (0,2)^3(0,9)\\ &= 0,0184 \end{align}\]
Para que haya dos máquinas funcionando, se consideran los casos donde dos de las máquinas iniciales continúan operando y una falla, junto con las combinaciones donde la máquina dañada se repara:
\[\begin{align} P_{32} &= (0,8)(0,8)(0,2)(0,1) + (0,8)(0,2)(0,8)(0,1) \\ &\quad + (0,2)(0,8)(0,8)(0,1) + (0,8)(0,2)(0,2)(0,9) \\ &\quad + (0,2)(0,8)(0,2)(0,9) + (0,2)(0,2)(0,8)(0,9) \\ &= 0,1296 \end{align}\]
También puede expresarse como:
\[\begin{align} P_{32} &= \binom{3}{2}(0,8)^2(0,2)(0,1) + \binom{3}{1}(0,8)(0,2)^2(0,9) \\ &= 0,1296 \end{align}\]
Para que se mantengan tres máquinas funcionando, se consideran los casos donde las tres máquinas iniciales continúan operando, así como las combinaciones donde una falla pero la máquina dañada se repara:
\[\begin{align} P_{33} &= (0,8)(0,8)(0,8)(0,1) \\ &\quad + (0,8)(0,8)(0,2)(0,9) + (0,8)(0,2)(0,8)(0,9) \\ &\quad + (0,2)(0,8)(0,8)(0,9) \\ &= 0,4032 \end{align}\]
También puede expresarse como:
\[\begin{align} P_{33} &= (0,8)^3(0,1) \\ &\quad + \binom{3}{2}(0,8)^2(0,2)(0,9) \\ &= 0,4032 \end{align}\]
Finalmente, para que las cuatro máquinas funcionen, se requiere que las tres máquinas iniciales continúen operativas y que la máquina dañada sea reparada:
\[\begin{align} P_{34} &= (0,8)(0,8)(0,8)(0,9) \\ &= (0,8)^3(0,9) \\ &= 0,4480 \end{align}\]
Con los resultados obtenidos, se construye la cuarta fila de la matriz de transición, correspondiente al estado inicial de 3 máquinas funcionando. Se verifica que la suma de las probabilidades es igual a 1:
\[0,0008+0,0184+0,1296+0,4032+0,4480=1\]
Esto confirma que se han considerado todos los posibles estados futuros del sistema, por lo que la distribución de probabilidades es válida. En consecuencia, esta fila de la matriz de transición cumple con las propiedades de una cadena de Markov.
\[ P = \begin{bmatrix} 0,0001 & 0,0036 & 0,0486 & 0,2916 & 0,6561 \\ 0,0002 & 0,0062 & 0,0702 & 0,3402 & 0,5832 \\ 0,0004 & 0,0104 & 0,0972 & 0,3744 & 0,5176 \\ 0,0008 & 0,0184 & 0,1296 & 0,4032 & 0,4480 \\ - & - & - & - & - \end{bmatrix} \]
Caso: 4 máquinas funcionando.
En este caso, inicialmente las cuatro máquinas se encuentran funcionando. A partir de esta condición, se analizan todas las posibles transiciones considerando que cada máquina puede seguir operando o fallar de manera independiente.
Para que ninguna máquina funcione al día siguiente, es necesario que las cuatro máquinas fallen:
\[\begin{align} P_{40} &= (0,2)(0,2)(0,2)(0,2) \\ &= (0,2)^4 \\ &= 0,0016 \end{align}\]
Para que funcione exactamente una máquina, se consideran todas las combinaciones en las cuales una máquina continúa operando y las otras tres fallan:
\[\begin{align} P_{41} &= (0,8)(0,2)(0,2)(0,2) + (0,2)(0,8)(0,2)(0,2) \\ &\quad + (0,2)(0,2)(0,8)(0,2) + (0,2)(0,2)(0,2)(0,8) \\ &= 0,0256 \end{align}\]
También puede expresarse en forma combinatoria como:
\[\begin{align} P_{41} &= \binom{4}{1}(0,8)(0,2)^3 \\ &= 4 (0,8)(0,2)^3 \\ &= 0,0256 \end{align}\]
Para que haya dos máquinas funcionando, se consideran todas las combinaciones donde dos máquinas continúan operando y dos fallan:
\[\begin{align} P_{42} &= (0,8)(0,8)(0,2)(0,2) + (0,8)(0,2)(0,8)(0,2) \\ &\quad + (0,8)(0,2)(0,2)(0,8) + (0,2)(0,8)(0,8)(0,2) \\ &\quad + (0,2)(0,8)(0,2)(0,8) + (0,2)(0,2)(0,8)(0,8) \\ &= 0,1536 \end{align}\]
También puede expresarse como:
\[\begin{align} P_{42} &= \binom{4}{2}(0,8)^2(0,2)^2 \\ &= 6 (0,8)^2(0,2)^2 \\ &= 0,1536 \end{align}\]
Para que funcionen tres máquinas, se consideran las combinaciones donde tres continúan operando y una falla:
\[\begin{align} P_{43} &= (0,8)(0,8)(0,8)(0,2) + (0,8)(0,8)(0,2)(0,8) \\ &\quad + (0,8)(0,2)(0,8)(0,8) + (0,2)(0,8)(0,8)(0,8) \\ &= 0,4096 \end{align}\]
También puede expresarse como:
\[\begin{align} P_{43} &= \binom{4}{3}(0,8)^3(0,2) \\ &= 4 (0,8)^3(0,2) \\ &= 0,4096 \end{align}\]
Finalmente, para que las cuatro máquinas continúen funcionando, es necesario que todas sigan operando:
\[\begin{align} P_{44} &= (0,8)(0,8)(0,8)(0,8) \\ &= (0,8)^4 \\ &= 0,4096 \end{align}\]
Con los resultados obtenidos, se construye la quinta fila de la matriz de transición, correspondiente al estado inicial de 4 máquinas funcionando. Se verifica que la suma de las probabilidades es igual a 1:
\[0,0016+0,0256+0,1536+0,4096+0,4096=1\]
Esto confirma que se han considerado todas las posibles transiciones del sistema, cumpliendo con la propiedad fundamental de que la suma de probabilidades por fila es igual a 1. Por tanto, la matriz de transición está correctamente construida y es válida para modelar el comportamiento del sistema como una cadena de Markov.
Matriz de transición final
\[ P = \begin{bmatrix} 0,0001 & 0,0036 & 0,0486 & 0,2916 & 0,6561 \\ 0,0002 & 0,0062 & 0,0702 & 0,3402 & 0,5832 \\ 0,0004 & 0,0104 & 0,0972 & 0,3744 & 0,5176 \\ 0,0008 & 0,0184 & 0,1296 & 0,4032 & 0,4480 \\ 0,0016 & 0,0256 & 0,1536 & 0,4096 & 0,4096 \end{bmatrix} \]
Nota
La suma de los elementos de cada fila de la matriz de transición es aproximadamente igual a 1, lo cual valida la coherencia de los cálculos realizados y garantiza la consistencia del modelo probabilístico. De esta manera se construyó la matriz de transición del sistema, considerando todas las posibles combinaciones en el número de máquinas que pueden estar funcionando al día siguiente.
Solucion en R
Construimos la matriz de transición.
P <- matrix(c(
0.0001, 0.0036, 0.0486, 0.2916, 0.6561,
0.0002, 0.0062, 0.0702, 0.3402, 0.5832,
0.0004, 0.0104, 0.0972, 0.3744, 0.5176,
0.0008, 0.0184, 0.1296, 0.4032, 0.4480,
0.0016, 0.0256, 0.1536, 0.4096, 0.4096
), nrow = 5, byrow = TRUE)
#Imprimimos la matriz
P [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 0.0001 0.0036 0.0486 0.2916 0.6561
[2,] 0.0002 0.0062 0.0702 0.3402 0.5832
[3,] 0.0004 0.0104 0.0972 0.3744 0.5176
[4,] 0.0008 0.0184 0.1296 0.4032 0.4480
[5,] 0.0016 0.0256 0.1536 0.4096 0.4096Calculamos \(p^4\)
P4 <- matriz_n(P, 4)
#Imprimimos p^4
P4 [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 0.001089696 0.02027355 0.1346693 0.4008149 0.4431525
[2,] 0.001089176 0.02026730 0.1346457 0.4008002 0.4431976
[3,] 0.001088632 0.02026076 0.1346210 0.4007847 0.4432449
[4,] 0.001087983 0.02025295 0.1345915 0.4007662 0.4433014
[5,] 0.001087539 0.02024761 0.1345713 0.4007535 0.4433401Calcular \(a^{(4)}\)
\[a^{(4)} = a^{(0)} \cdot p^4\]
a0 <- matrix(c(0,0,0,0,1), nrow = 1)
#multiplicamos:
a4 <- a0 %*% P4
a4 [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 0.001087539 0.02024761 0.1345713 0.4007535 0.4433401
NotaRespuesta
La probabilidad de que las cuatro máquinas estén funcionando el día viernes, partiendo del lunes con todas operativas, es de 0.44334.
Calcular estado estable
n <- nrow(P)
# Matriz A = P - I
A <- P - diag(n)
# Reemplazamos última columna por unos
A[,n] <- rep(1, n)
# Vector b (columna)
b <- matrix(c(rep(0, n-1), 1), nrow = n)
# Resolver sistema
equilibrio <- solve(t(A), b)Promedio de máquinas funcionando
estados <- 0:4
s<- sum(estados * equilibrio)
#Imprimimos
s[1] 3.264953
NotaRespuesta
A largo plazo, el número promedio de máquinas que funcionan en un día cualquiera es aproximadamente 3.2649534 máquinas.
Ejercicio 2.
El desempeño de un equipo de fútbol depende de su estado de ánimo, es decir, de su moral.
Esta se puede clasificar en tres niveles:
\[\text{A: Alta},\text{M: Media}, \text{B: Baja}\]
Las probabilidades de ganar, empatar o perder frente a un adversario cualquiera, según la moral del equipo, son las siguientes:
| Moral | Ganar | Empatar | Perder |
|---|---|---|---|
| Alta | 0,6 | 0,3 | 0,1 |
| Media | 0,5 | 0,3 | 0,2 |
| Baja | 0,4 | 0,3 | 0,3 |
La moral del equipo también depende del resultado del último partido. Las probabilidades de cambio en la moral son:
| Resultado | Bajar una categoria | Quedar igual | Subir 1 categoria | Subir 2 categoria |
|---|---|---|---|---|
| Gano | 0,00 | 0,4 | 0,40 | 0,2 |
| Empato | 0,25 | 0,5 | 0,25 | 0,0 |
| Perdio | 0,50 | 0,5 | 0,00 | 0,0 |
Al comienzo del campeonato, la moral del equipo es Alta.
Se pide: ¿ Cual es la probabilidad de que el equipo mantenga la moral Alta los primeros 3 partidos?
Solucion Punto 2.
\(x_n\) nivel de moral del equipo despues del partido \(n\).
\[S = \{\text{A: Alt}, \text{M: Media}, \text{B:Baja}\}\]
La moral del equipo después de cada partido depende tanto de su estado actual como del resultado del encuentro (ganar, empatar o perder). En este caso, se analiza la transición cuando el equipo parte de una moral Alta.
Transiciones desde moral Alta (A).
Para construir la probabilidad de permanecer en estado Alta (A), se consideran todas las combinaciones posibles en las que, partiendo de una moral Alta, el resultado del partido no reduce la moral del equipo y permite mantenerse en el mismo nivel:
\(P_{AA} =\) Probabilidad de mantenerse en Alto.
\(P_{AA} = (0,6) (0,4+0,4+0,2) + (0,3)(0,5+0,25+0) + (0,1)(0,5+0+0) = 0,875\)
El resultado anterior representa la suma ponderada de todas las formas en las que el sistema puede permanecer en estado de moral Alta, considerando los diferentes resultados del partido.
\(P_{AM} =\) Probabilidad de pasar de Alta a Media.
Para la transición de Alta (A) a Media (M), se consideran únicamente los casos donde el cambio de resultado afecta negativamente la moral, pero no la lleva al nivel más bajo:
\(P_{AM} = (0,6)(0) + (0,3)(0,25) + (0,1)(0,5) = 0,125\)
\(P_{AB} =\) Probabilidad de pasar de Alta a Baja.
Finalmente, la probabilidad de pasar de Alta (A) a Baja (B) es nula, ya que no existen combinaciones en las que un solo partido provoque una caída directa desde Alta a Baja moral bajo el modelo planteado:
\(P_{AB} = (0,6)(0) + (0,3)(0) + (0,1)(0) = 0\)
Con los resultados anteriores, se construye la primera fila de la matriz de transición:
\[ P = \begin{bmatrix} 0,875 & 0,125 & 0 \\ - & - & - \\ - & - & - \end{bmatrix} \]
Se observa que la suma de las probabilidades de la primera fila es igual a 1, lo cual garantiza la coherencia del modelo:
\[0,875+0,125+0=1\]
Esto confirma que todas las posibles transiciones desde el estado de moral Alta han sido correctamente consideradas. Por lo tanto, la primera fila de la matriz de transición es válida y consistente dentro del modelo de cadena de Markov propuesto.
Transiciones desde moral Media (M).
Cuando el equipo se encuentra en un estado de moral Media, su evolución depende del resultado del partido (ganar, empatar o perder) y del efecto que este tiene sobre el cambio de categoría de la moral.
\(P_{MA} =\) Probabilidad de pasar de Media a Alta.
La moral sube a Alta cuando el resultado del partido genera una mejora suficiente en la categoría. Esto ocurre principalmente cuando se gana el partido y el cambio de moral es positivo:
\(P_{MA} = (0,5)(0,4+0,4+0,2)+(0,3)(0,25+0,25+0)+(0,2)(0,5+0+0) =0,375\)
\(P_{MM} =\) Probabilidad de mantenerse en Media.
El equipo permanece en moral Media cuando los cambios del sistema no generan variación neta en la categoría o cuando los efectos se compensan:
\(P_{MM} =(0,5)(0,4+0,25+0)+(0,3)(0,25+0,5+0)+(0,2)(0,5+0+0)=0,45\)
\(P_{MB} =\)Probabilidad de pasar de Media a Baja.
La moral disminuye a Baja cuando el equipo pierde el partido y la combinación de cambios de categoría lleva a una reducción en el nivel de moral:
\(P_{MB} =(0,5)(0)+(0,3)(0,25+0,25+0)+(0,2)(0,5+0+0)=0,175\)
Se observa que las tres probabilidades representan todos los posibles estados futuros desde la moral media, cumpliendo con la propiedad fundamental:
\[0,375 + 0,45 + 0,175 = 1\]
Esto garantiza que la transición desde el estado medio está correctamente modelada dentro de una cadena de Markov.
\[ P = \begin{bmatrix} 0,875 & 0,125 & 0 \\ 0,375 & 0,45 & 0,175 \\ - & - & - \end{bmatrix} \]
Transiciones desde moral Baja (B).
Cuando el equipo se encuentra en estado de moral Baja, su evolución depende nuevamente del resultado del partido y de los cambios en la categoría de moral asociados a cada posible resultado.
\(P_{BA} =\) Probabilidad de pasar de Baja a Alta.
La moral mejora hasta el nivel alto cuando el equipo logra una recuperación significativa a partir del resultado del partido:
\(P_{BA} = (0,4)(0,2)+(0,3)(0,25)+(0,3)(0,1) = 0,08\)
\(P_{BM} =\) Probabilidad de pasar de Baja a Media.
La moral sube a nivel Medio cuando el equipo obtiene resultados que generan una mejora parcial en su estado emocional:
\(P_{BM} = (0,4)(0,5)+(0,3)(0,25)+(0,3)(0,1) = 0,235\)
\(P_{BB} =\) Probabilidad de mantenerse en Baja.
El equipo permanece en moral Baja cuando los resultados no son suficientes para generar una mejora significativa:
\(P_{BB} = (0,4)(0,3)+(0,3)(0,5)+(0,3)(0,9) =0,685\)
Con todas las probabilidades calculadas, se construye la matriz de transición del sistema:
MATRIZ FINAL
\[ P = \begin{bmatrix} 0,875 & 0,125 & 0 \\ 0,375 & 0,45 & 0,175 \\ 0,08 & 0,235 & 0,685 \end{bmatrix} \]
Solucion en R
Matriz de transición
P <- matrix(c(
0.875, 0.125, 0,
0.375, 0.45, 0.175,
0.08, 0.235, 0.685
), nrow = 3, byrow = TRUE)
P [,1] [,2] [,3]
[1,] 0.875 0.125 0.000
[2,] 0.375 0.450 0.175
[3,] 0.080 0.235 0.685Estado inicial
inicia con moral Alta:
a0 <- matrix(c(1,0,0), nrow = 1)prob_3_partidos <- (P[1,1])^3
prob_3_partidos[1] 0.6699219# Función matriz_n
P3 <- matriz_n(P, 3)
P3 [,1] [,2] [,3]
[1,] 0.7747969 0.1812344 0.04396875
[2,] 0.5718431 0.2412613 0.18689563
[3,] 0.3309093 0.2710741 0.39801663# Distribución después de 3 partidos
a3 <- a0 %*% P3
a3 [,1] [,2] [,3]
[1,] 0.7747969 0.1812344 0.04396875a3[1][1] 0.7747969prob_3_partidos <- (P[1,1])^3
#Imprimimos
prob_3_partidos[1] 0.6699219
NotaRespuesta
La probabilidad de que el equipo mantenga la moral Alta durante los primeros 3 partidos completos es de 0.6699.