Con Mi Profe: Julio Hurtado Marquez; EMAIL_TAREAS: juliohurtado210307@gmail.com

1 Longitud de curvas

La fórmula general es:

\[ L = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} , dx \]

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1.1 1)

\[ y=\frac{2}{3}(x^2+1)^{3/2}, \quad [1,4] \]

\[ y' = 2x(x^2+1)^{1/2} \]

\[ 1+(y')^2 = (2x^2+1)^2 \]

\[ L = \int_1^4 (2x^2+1),dx \]

\[ L = \left[\frac{2x^3}{3}+x\right]_1^4 = 45 \]

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1.2 2)

\[ y=\frac{x^2}{8}+\frac{1}{4x^2}, \quad [1,2] \]

\[ y' = \frac{x}{4} - \frac{1}{2x^3} \]

\[ 1+(y')^2 = \left(\frac{x}{4} + \frac{1}{2x^3}\right)^2 \]

\[ L = \int_1^2 \left(\frac{x}{4} + \frac{1}{2x^3}\right) dx \]

\[ L = \left[\frac{x^2}{8} - \frac{1}{4x^2}\right]_1^2 = \frac{9}{16} \]

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1.3 3)

\[ y^2 = x^3, \quad [1,4] \]

\[ y = x^{3/2}, \quad y' = \frac{3}{2}x^{1/2} \]

\[ L = \int_1^4 \sqrt{1 + \frac{9}{4}x} , dx \]

\[ L = \frac{1}{27}\left[(4+9x)^{3/2}\right]_1^4 \]

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1.4 4)

\[ (y+1)^2 = 4(x+3)^3, \quad [-1,0] \]

\[ y = -1 + 2(x+3)^{3/2} \]

\[ y' = 3(x+3)^{1/2} \]

\[ L = \int_{-1}^0 \sqrt{9x+28},dx \]

\[ L = \frac{2}{27}\left[(9x+28)^{3/2}\right]_{-1}^0 \]

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1.5 5)

\[ y=\frac{x^2}{12}+\frac{1}{x}, \quad [1,4] \]

\[ y' = \frac{x}{6} - \frac{1}{x^2} \]

\[ 1+(y')^2 = \left(\frac{x}{6} + \frac{1}{x^2}\right)^2 \]

\[ L = \int_1^4 \left(\frac{x}{6} + \frac{1}{x^2}\right) dx \]

\[ L = \left[\frac{x^2}{12} - \frac{1}{x}\right]_1^4 = \frac{9}{4} \]

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2 Demostración: Longitud de la circunferencia

\[ x^2 + y^2 = r^2 \]

\[ y = \sqrt{r^2 - x^2} \]

\[ y' = \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \]

\[ 1+(y')^2 = \frac{r^2}{r^2 - x^2} \]

\[ L = 4 \int_0^r \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}} dx \]

Sustituyendo:

\[ x = r\sin\theta \]

\[ L = 4r \int_0^{\pi/2} d\theta = 2\pi r \]

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2.1 🔹EJERCICIO 1

📝 Problema 1

Hallar la longitud de la curva y = (2/3)(x² + 1)^{3/2} en el intervalo [1, 4]

📐 SOLUCIÓN

Paso 1: Calcular la derivada dy/dx.

y = (2/3)(x² + 1)^{3/2}

dy/dx = (2/3) · (3/2)(x² + 1)^{1/2} · 2x = 2x · (x² + 1)^{1/2}

dy/dx = 2x√(x² + 1)

Paso 2: Calcular 1 + (dy/dx)².

1 + (dy/dx)² = 1 + [2x√(x² + 1)]² = 1 + 4x²(x² + 1)

= 1 + 4x⁴ + 4x² = 4x⁴ + 4x² + 1 = (2x² + 1)²

Paso 3: Aplicar la fórmula.

L = ∫₁⁴ √[1 + (dy/dx)²] dx = ∫₁⁴ √[(2x² + 1)²] dx = ∫₁⁴ (2x² + 1) dx

Paso 4: Resolver la integral.

∫ (2x² + 1) dx = (2x³/3) + x

L = [(2x³/3) + x]₁⁴ = [(2(64)/3) + 4] - [(2(1)/3) + 1]

= [(128/3) + 4] - [(2/3) + 1] = (128/3 + 12/3) - (2/3 + 3/3)

= (140/3) - (5/3) = 135/3 = 45

✅ Respuesta: L = 45 unidades

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2.2 🔹EJERCICIO 2

📝 Problema 2

Hallar la longitud de la curva y = x²/8 + 1/(4x²) en el intervalo [1, 2]

📐 SOLUCIÓN

Paso 1: Calcular la derivada dy/dx.

y = x²/8 + (1/4)x⁻²

dy/dx = (2x/8) + (1/4)(-2)x⁻³ = x/4 - (1/2)x⁻³ = x/4 - 1/(2x³)

Paso 2: Se observa que: 1 + (dy/dx)² = (x/4 + 1/(2x³))²

Verificación: (x/4 + 1/(2x³))² = x²/16 + 1/(4x²) + 1/(4x⁶) que corresponde a la expresión simplificada.

Paso 3: Aplicar la fórmula.

L = ∫₁² [x/4 + 1/(2x³)] dx

Paso 4: Resolver la integral.

∫ (x/4) dx = x²/8

∫ (1/(2x³)) dx = (1/2)∫ x⁻³ dx = (1/2)·(x⁻²/(-2)) = -1/(4x²)

L = [x²/8 - 1/(4x²)]₁²

x=2: 4/8 - 1/16 = 0.5 - 0.0625 = 0.4375

x=1: 1/8 - 1/4 = 0.125 - 0.25 = -0.125

L = 0.4375 - (-0.125) = 0.5625 = 9/16

✅ Respuesta: L = 9/16 = 0.5625 unidades

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2.3 🔹EJERCICIO 3

📝 Problema 3

Hallar la longitud de la curva y² = x³ en el intervalo [1, 4]

📐 SOLUCIÓN

Paso 1: Despejar y (tomamos la rama positiva).

y² = x³ → y = x^{3/2}, x ≥ 0

Paso 2: Calcular la derivada dy/dx.

dy/dx = (3/2)x^{1/2}

Paso 3: Calcular 1 + (dy/dx)².

1 + (dy/dx)² = 1 + [(3/2)x^{1/2}]² = 1 + (9/4)x

Paso 4: Aplicar la fórmula.

L = ∫₁⁴ √[1 + (9/4)x] dx = ∫₁⁴ √[(4 + 9x)/4] dx = (1/2) ∫₁⁴ √(4 + 9x) dx

Paso 5: Sustitución: u = 4 + 9x, du = 9 dx → dx = du/9. Límites: x=1 → u=13; x=4 → u=40.

L = (1/2) ∫₁₃⁴⁰ √u · (du/9) = (1/18) ∫₁₃⁴⁰ u^{1/2} du

∫ u^{1/2} du = (2/3)u^{3/2}

L = (1/18)·(2/3)[u^{3/2}]₁₃⁴⁰ = (2/54)[40^{3/2} - 13^{3/2}] = (1/27)[40^{3/2} - 13^{3/2}]

Cálculo numérico:

40^{3/2} = (√40)³ = (2√10)³ = 8 × 10√10 = 80√10 ≈ 80 × 3.1623 = 252.98

13^{3/2} = (√13)³ = 13√13 ≈ 13 × 3.6055 = 46.87

L = (1/27)(252.98 - 46.87) = (1/27)(206.11) ≈ 7.63

✅ Respuesta: L = (1/27)(40^{3/2} - 13^{3/2}) ≈ 7.63 unidades

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2.4 🔹EJERCICIO 4

📝 Problema 4

Hallar la longitud de la curva (y+1)² = 4(x+3)³ en el intervalo [-1, 0]

📐 SOLUCIÓN

Paso 1: Despejar y (tomamos la rama positiva).

(y+1)² = 4(x+3)³ → y+1 = 2(x+3)^{3/2}

y = 2(x+3)^{3/2} - 1

Paso 2: Calcular la derivada dy/dx.

dy/dx = 2·(3/2)(x+3)^{1/2}·1 = 3(x+3)^{1/2}

Paso 3: Calcular 1 + (dy/dx)².

1 + (dy/dx)² = 1 + 9(x+3) = 9x + 28

Paso 4: Aplicar la fórmula.

L = ∫₋₁⁰ √(9x + 28) dx

Paso 5: Sustitución: u = 9x + 28, du = 9 dx → dx = du/9. Límites: x=-1 → u=19; x=0 → u=28.

L = ∫₁₉²⁸ √u · (du/9) = (1/9)∫₁₉²⁸ u^{1/2} du = (1/9)·(2/3)[u^{3/2}]₁₉²⁸

L = (2/27)[28^{3/2} - 19^{3/2}]

Cálculo numérico:

28^{3/2} = 28√28 = 28 × 5.2915 = 148.16

19^{3/2} = 19√19 = 19 × 4.3589 = 82.82

148.16 - 82.82 = 65.34

L = (2/27) × 65.34 = 130.68/27 ≈ 4.84

✅ Respuesta: L = (2/27)(28^{3/2} - 19^{3/2}) ≈ 4.84 unidades

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2.5 🔹EJERCICIO 5

📝 Problema 5

Hallar la longitud de la curva y = x²/12 + 1/x en el intervalo [1, 4]

📐 SOLUCIÓN

Paso 1: Calcular la derivada dy/dx.

y = x²/12 + x⁻¹

dy/dx = (2x/12) + (-1)x⁻² = x/6 - 1/x²

Paso 2: Se verifica que: 1 + (dy/dx)² = (x/6 + 1/x²)²

√[1 + (dy/dx)²] = x/6 + 1/x² (positivo en [1,4])

Paso 3: Aplicar la fórmula.

L = ∫₁⁴ (x/6 + 1/x²) dx

Paso 4: Resolver la integral.

∫ (x/6) dx = x²/12

∫ (1/x²) dx = ∫ x⁻² dx = -1/x

L = [x²/12 - 1/x]₁⁴

x=4: 16/12 - 1/4 = 4/3 - 0.25 = 1.3333 - 0.25 = 1.08333

x=1: 1/12 - 1 = 0.08333 - 1 = -0.91667

L = 1.08333 - (-0.91667) = 2

✅ Respuesta: L = 2 unidades

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2.6 🔹EJERCICIO 6 (DEMOSTRACIÓN)

📝 Problema 6

Demuestre que la longitud de una circunferencia de radio r y centro en el origen está dada por L = 2πr

📐 SOLUCIÓN

MÉTODO 1: Usando y = f(x)

La ecuación de la circunferencia es x² + y² = r² → y = √(r² - x²), para x ∈ [-r, r] (semicírculo superior).

Paso 1: Calcular dy/dx.

y = (r² - x²)^{1/2}

dy/dx = (1/2)(r² - x²)^{-1/2}·(-2x) = -x/√(r² - x²)

Paso 2: Calcular 1 + (dy/dx)².

1 + (dy/dx)² = 1 + x²/(r² - x²) = (r² - x² + x²)/(r² - x²) = r²/(r² - x²)

Paso 3: Aplicar la fórmula para el semicírculo superior.

L_semicírculo = ∫₋ᵣʳ √[r²/(r² - x²)] dx = ∫₋ᵣʳ r/√(r² - x²) dx

Por simetría: L_semicírculo = 2∫₀ʳ r/√(r² - x²) dx

Paso 4: Resolver la integral.

∫ dx/√(a² - x²) = arcsen(x/a)

∫₀ʳ r/√(r² - x²) dx = r[arcsen(x/r)]₀ʳ = r[arcsen(1) - arcsen(0)] = r·(π/2)

L_semicírculo = 2 × (r·π/2) = πr

Paso 5: La longitud total de la circunferencia es el doble del semicírculo.

L = 2 × πr = 2πr

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MÉTODO 2 (Paramétrico): x = r cos θ, y = r sin θ, θ ∈ [0, 2π]

dx/dθ = -r sen θ, dy/dθ = r cos θ

(dx/dθ)² + (dy/dθ)² = r² sen² θ + r² cos² θ = r²

√[(dx/dθ)² + (dy/dθ)²] = r

L = ∫₀^{2π} r dθ = r·(2π) = 2πr

✅ Q.E.D. La longitud de una circunferencia de radio r es L = 2πr.

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2.7 📊 RESUMEN DE RESULTADOS

📋 TABLA DE RESPUESTAS

Ejercicio	Función	Intervalo	Longitud
1	y = (2/3)(x²+1)^{3/2}	[1, 4]	45
2	y = x²/8 + 1/(4x²)	[1, 2]	9/16 = 0.5625
3	y² = x³	[1, 4]	(1/27)(40^{3/2} - 13^{3/2}) ≈ 7.63
4	(y+1)² = 4(x+3)³	[-1, 0]	(2/27)(28^{3/2} - 19^{3/2}) ≈ 4.84
5	y = x²/12 + 1/x	[1, 4]	2
6	Circunferencia	-	2πr

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2.8 📊 CÓDIGO EN R PARA GRAFICAR LAS CURVAS

📈 VISUALIZACIÓN DE LAS CINCO CURVAS

# Cargar librerías
library(ggplot2)
library(patchwork)

# Ejercicio 1
x1 <- seq(1, 4, length.out = 500)
y1 <- (2/3)*(x1^2 + 1)^(3/2)
df1 <- data.frame(x = x1, y = y1)
p1 <- ggplot(df1, aes(x, y)) +
  geom_line(color = "#2E86C1", linewidth = 1.5) +
  labs(title = "Curva 1: y = (2/3)(x²+1)^{3/2}", 
       subtitle = "Longitud = 45 unidades",
       x = "x", y = "y") +
  theme_minimal()

# Ejercicio 2
x2 <- seq(1, 2, length.out = 500)
y2 <- x2^2/8 + 1/(4*x2^2)
df2 <- data.frame(x = x2, y = y2)
p2 <- ggplot(df2, aes(x, y)) +
  geom_line(color = "#E74C3C", linewidth = 1.5) +
  labs(title = "Curva 2: y = x²/8 + 1/(4x²)", 
       subtitle = "Longitud = 0.5625 unidades",
       x = "x", y = "y") +
  theme_minimal()

# Ejercicio 3
x3 <- seq(1, 4, length.out = 500)
y3 <- x3^(3/2)
df3 <- data.frame(x = x3, y = y3)
p3 <- ggplot(df3, aes(x, y)) +
  geom_line(color = "#F39C12", linewidth = 1.5) +
  labs(title = "Curva 3: y² = x³ → y = x^{3/2}", 
       subtitle = "Longitud ≈ 7.63 unidades",
       x = "x", y = "y") +
  theme_minimal()

# Ejercicio 4
x4 <- seq(-1, 0, length.out = 500)
y4 <- 2*(x4 + 3)^(3/2) - 1
df4 <- data.frame(x = x4, y = y4)
p4 <- ggplot(df4, aes(x, y)) +
  geom_line(color = "#27AE60", linewidth = 1.5) +
  labs(title = "Curva 4: (y+1)² = 4(x+3)³", 
       subtitle = "Longitud ≈ 4.84 unidades",
       x = "x", y = "y") +
  theme_minimal()

# Ejercicio 5
x5 <- seq(1, 4, length.out = 500)
y5 <- x5^2/12 + 1/x5
df5 <- data.frame(x = x5, y = y5)
p5 <- ggplot(df5, aes(x, y)) +
  geom_line(color = "#8E44AD", linewidth = 1.5) +
  labs(title = "Curva 5: y = x²/12 + 1/x", 
       subtitle = "Longitud = 2 unidades",
       x = "x", y = "y") +
  theme_minimal()

# Combinar todos los gráficos (2 filas, 5 columnas)
(p1 + p2 + p3 + p4 + p5) +
  plot_annotation(title = "Visualización de las 5 curvas - Longitud de Arco",
                  theme = theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5, size = 16, face = "bold")))

📌 Guardar cada gráfico individualmente:

ggsave("curva_ejercicio1.png", p1, width = 8, height = 6, dpi = 300)
ggsave("curva_ejercicio2.png", p2, width = 8, height = 6, dpi = 300)
ggsave("curva_ejercicio3.png", p3, width = 8, height = 6, dpi = 300)
ggsave("curva_ejercicio4.png", p4, width = 8, height = 6, dpi = 300)
ggsave("curva_ejercicio5.png", p5, width = 8, height = 6, dpi = 300)

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📌 ¡Ejercicios resueltos paso a paso! Practica y domina el cálculo de longitud de arco.

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