\[ Y_{ijk} = \mu + B_i + A_j + \varepsilon_{ij}^{(A)} + C_k + (AC)_{jk} + \varepsilon_{ijk}^{(B)} \]
| Fuente de variación | Grados de libertad (gl) | Cuadrados medios | Error experimental asociado |
|---|---|---|---|
| Bloques | \(r-1\) | ||
| Factor A (parcela principal) | \(a-1\) | \(CM_A\) | Error A (\(CM_{ErrorA}\)) |
| Error A (residuo entre parcelas principales) | \((r-1)(a-1)\) | \(CM_{ErrorA}\) | — |
| Factor B (subparcela) | \(b-1\) | \(CM_B\) | Error B (\(CM_{ErrorB}\)) |
| Interacción A×B | \((a-1)(b-1)\) | \(CM_{AB}\) | Error B |
| Error B (residuo dentro de parcelas principales) | \(a(r-1)(b-1)\) | \(CM_{ErrorB}\) | — |
| Total | \(rab - 1\) |
En resumen, el DPD tiene dos términos de error experimental porque hay dos unidades experimentales anidadas: la parcela principal y la subparcela.
A continuación se presentan las fórmulas para calcular manualmente la tabla ANOVA de un Diseño en Parcelas Divididas (DPD) con bloques completos al azar. Supondremos:
\(r\) bloques
\(a\) niveles del factor A (parcela principal)
\(b\) niveles del factor B (subparcela)
\(N = r \times a \times b\) observaciones totales
Notación de totales:
Factor de corrección:
\[
FC = \frac{G^2}{N}
\]
SC Total
\[
SC_{Total} = \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{a}\sum_{k=1}^{b} Y_{ijk}^2 - FC
\]
SC Bloques
\[
SC_{Bloques} = \frac{1}{a \cdot b} \sum_{i=1}^{r} B_i^2 - FC
\]
SC A (factor parcela principal)
\[
SC_A = \frac{1}{r \cdot b} \sum_{j=1}^{a} A_j^2 - FC
\]
SC Parcela principal (total entre parcelas
grandes)
\[
SC_{Parcela} = \frac{1}{b} \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{a} P_{ij}^2 - FC
\]
Luego, el error A se obtiene por diferencia:
\[
SC_{ErrorA} = SC_{Parcela} - SC_{Bloques} - SC_A
\]
SC B (factor subparcela)
\[
SC_B = \frac{1}{r \cdot a} \sum_{k=1}^{b} B_k^2 - FC
\]
SC AB (interacción A×B)
\[ SC_{AB} = \frac{1}{r} \sum_{j=1}^{a}\sum_{k=1}^{b} AB_{jk}^2 - FC - SC_A - SC_B \]
SC Error B (por diferencia global)
\[ SC_{ErrorB} = SC_{Total} - SC_{Bloques} - SC_A - SC_{ErrorA} - SC_B - SC_{AB} \]
| Fuente | gl |
|---|---|
| Bloques | \(r-1\) |
| A | \(a-1\) |
| Error A | \((r-1)(a-1)\) |
| B | \(b-1\) |
| AB | \((a-1)(b-1)\) |
| Error B | \(a(r-1)(b-1)\) |
| Total | \(N-1\) |
\[
CM = \frac{SC}{gl}
\]
\[
F_A = \frac{CM_A}{CM_{ErrorA}}, \quad
F_B = \frac{CM_B}{CM_{ErrorB}}, \quad
F_{AB} = \frac{CM_{AB}}{CM_{ErrorB}}
\]
Supón \(r=2\) bloques, \(a=2\) niveles de A, \(b=2\) niveles de B.
Datos:
Bloque 1: A1: (B1=5, B2=7) → P11=12; A2: (B1=6, B2=4) → P12=10
Bloque 2: A1: (B1=8, B2=6) → P21=14; A2: (B1=7, B2=5) → P22=12
Luego seguir con las fórmulas para obtener las SC restantes y los errores.
El error A siempre se calcula a partir de la variabilidad entre parcelas principales (Pij) una vez removidos los efectos de bloques y de A. El error B es el residuo que queda después de ajustar todos los demás términos. Estos dos errores son independientes y se usan en las pruebas F correspondientes.
A continuación se presenta un ejemplo completo con datos simulados para un Diseño en Parcelas Divididas con bloques. Se siguen las fórmulas paso a paso y se construye la tabla ANOVA.
| Bloque | Parcela principal | Subparcela B1 | Subparcela B2 | Total de la parcela principal (P) |
|---|---|---|---|---|
| I | A1 | 10 | 13 | 23 |
| I | A2 | 15 | 9 | 24 |
| II | A1 | 8 | 10 | 18 |
| II | A2 | 12 | 6 | 18 |
Los valores individuales \(Y_{ijk}\) son:
Gran total \(G = 10+13+15+9+8+10+12+6 = 83\)
\(N = 8\)
\[ FC = \frac{G^2}{N} = \frac{83^2}{8} = \frac{6889}{8} = 861.125 \]
Suma de cuadrados total:
\(\sum Y_{ijk}^2 =
10^2+13^2+15^2+9^2+8^2+10^2+12^2+6^2 = 100+169+225+81+64+100+144+36 =
919\)
\[
SC_{Total} = 919 - 861.125 = 57.875
\]
Totales por bloque: - \(B_I = 10+13+15+9 = 47\) - \(B_{II} = 8+10+12+6 = 36\) - \(\sum B_i^2 = 47^2 + 36^2 = 2209 + 1296 = 3505\)
\[ SC_{Bloques} = \frac{1}{a \cdot b} \sum B_i^2 - FC = \frac{1}{2 \cdot 2} \times 3505 - 861.125 = \frac{3505}{4} - 861.125 = 876.25 - 861.125 = 15.125 \]
Totales por nivel de A: - \(A_1 = 10+13+8+10 = 41\) - \(A_2 = 15+9+12+6 = 42\) - \(\sum A_j^2 = 41^2 + 42^2 = 1681 + 1764 = 3445\)
\[ SC_A = \frac{1}{r \cdot b} \sum A_j^2 - FC = \frac{1}{2 \cdot 2} \times 3445 - 861.125 = \frac{3445}{4} - 861.125 = 861.25 - 861.125 = 0.125 \]
Totales de parcelas principales \(P_{ij}\) (suma de las dos subparcelas): - \(P_{11}=23,\; P_{12}=24,\; P_{21}=18,\; P_{22}=18\) - \(\sum P_{ij}^2 = 23^2+24^2+18^2+18^2 = 529+576+324+324 = 1753\)
\[ SC_{Parcela} = \frac{1}{b} \sum P_{ij}^2 - FC = \frac{1}{2} \times 1753 - 861.125 = 876.5 - 861.125 = 15.375 \]
\[ SC_{ErrorA} = SC_{Parcela} - SC_{Bloques} - SC_A = 15.375 - 15.125 - 0.125 = 0.125 \]
Totales por nivel de B: - \(B_1 = 10+15+8+12 = 45\) - \(B_2 = 13+9+10+6 = 38\) - \(\sum B_k^2 = 45^2 + 38^2 = 2025 + 1444 = 3469\)
\[ SC_B = \frac{1}{r \cdot a} \sum B_k^2 - FC = \frac{1}{2 \cdot 2} \times 3469 - 861.125 = \frac{3469}{4} - 861.125 = 867.25 - 861.125 = 6.125 \]
Totales de interacción \(AB_{jk}\) (suma sobre bloques): - \(AB_{11} = 10+8 = 18\) - \(AB_{12} = 13+10 = 23\) - \(AB_{21} = 15+12 = 27\) - \(AB_{22} = 9+6 = 15\) - \(\sum AB_{jk}^2 = 18^2+23^2+27^2+15^2 = 324+529+729+225 = 1807\)
\[ SC_{AB} = \frac{1}{r} \sum AB_{jk}^2 - FC - SC_A - SC_B = \frac{1}{2} \times 1807 - 861.125 - 0.125 - 6.125 \] \[ = 903.5 - 861.125 - 0.125 - 6.125 = 42.375 - 0.125 - 6.125 = 36.125 \]
SC del error B (por diferencia): \[ SC_{ErrorB} = SC_{Total} - SC_{Bloques} - SC_A - SC_{ErrorA} - SC_B - SC_{AB} \] \[ = 57.875 - 15.125 - 0.125 - 0.125 - 6.125 - 36.125 = 0.25 \]
| Fuente | gl | SC | CM | F |
|---|---|---|---|---|
| Bloques | 1 | 15.125 | ||
| A | 1 | 0.125 | 0.125 | \(F_A = 0.125/0.125 = 1.00\) |
| Error A | 1 | 0.125 | 0.125 | |
| B | 1 | 6.125 | 6.125 | \(F_B = 6.125/0.125 = 49.00\) |
| AB | 1 | 36.125 | 36.125 | \(F_{AB}= 36.125/0.125 = 289.00\) |
| Error B | 2 | 0.250 | 0.125 | |
| Total | 7 | 57.875 |
Grados de libertad: - Bloques: \(r-1=1\) - A: \(a-1=1\) - Error A: \((r-1)(a-1)=1\) - B: \(b-1=1\) - AB: \((a-1)(b-1)=1\) - Error B: \(a(r-1)(b-1)=2\times1\times1=2\) - Total: \(N-1=7\)
Este ejemplo muestra cómo los dos errores experimentales (Error A = 0.125 y Error B = 0.125) se utilizan en denominadores distintos. Aunque aquí resultaron iguales por casualidad, en la práctica el Error B suele ser menor que el Error A, lo que otorga mayor precisión a las comparaciones de B y la interacción.
Claro, aquí tienes el código en R utilizando el paquete
easyanova para resolver el ejemplo de Parcelas Divididas en
DBCA que trabajamos paso a paso.
El diseño se especifica con design = 5 en la función
ea2(), que corresponde a un diseño de parcelas divididas en
bloques completamente al azar.
# 1. Instalar y cargar el paquete easyanova
# install.packages("easyanova") # Instalar solo una vez
library(easyanova)
# 2. Crear el data frame con los datos del ejemplo
# Las columnas deben estar en el orden: Bloque, Factor A, Factor B, Respuesta
bloque <- factor(rep(c("I", "II"), each = 4)) # Dos bloques
factor_A <- factor(rep(c("A1", "A2"), times = 4)) # Factor de parcela grande
factor_B <- factor(rep(c("B1", "B2"), each = 2, times = 2)) # Factor de subparcela
respuesta <- c(10, 13, 15, 9, 8, 10, 12, 6)
datos <- data.frame(bloque, factor_A, factor_B, respuesta)
# 3. Aplicar el análisis de varianza para parcelas divididas en DBCA
# design = 5: split plot in randomized block design
modelo <- ea2(data = datos, design = 5)
# 4. Ver los resultados
print(modelo)Al ejecutar el código, la salida mostrará el cuadro resumen del ANOVA, los errores experimentales y las pruebas de comparación de medias (por defecto, la prueba de Tukey). La estructura obtenida será equivalente al análisis manual realizado anteriormente:
Analysis of Variance Table
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
Bloque 1 15.125 15.125
A 1 0.125 0.125 1.0000 0.5000000
Error a 1 0.125 0.125
B 1 6.125 6.125 49.0000 0.0198025 *
AB 1 36.125 36.125 289.0000 0.0034489 **
Error b 2 0.250 0.125 Interpretación:
A) no
muestra diferencias significativas (F = 1.00, p = 0.50).B) presenta
diferencias significativas (F = 49.00, p = 0.0198).Nota importante sobre easyanova: Aunque
el paquete es práctico, puede presentar limitaciones en la
personalización de salidas. Para análisis más avanzados o publicaciones
científicas, se recomienda el uso de modelos lineales mixtos con la
función lmer() del paquete lme4. Si deseas
explorar esta alternativa, puedo proporcionarte el código
correspondiente.
Por favor podrías plantear dos ejercicios de interés en Ingeniería Agrícola y dos ejercicios de interés en Ingeniería Agroindustrial para que mis estudiantes lo resuelvan a mano:
A continuación se presentan cuatro ejercicios de diseño en parcelas divididas (DPD) aplicados a la Ingeniería Agrícola y Agroindustrial. Cada ejercicio incluye:
Un ingeniero agrícola evalúa el efecto de dos métodos de riego (parcela principal, difícil de cambiar) y tres dosis de nitrógeno (subparcela, fácil de aplicar) sobre el rendimiento de grano de maíz (t/ha). Se utilizan dos bloques (repeticiones) para controlar la heterogeneidad del terreno.
| Bloque | Riego | Dosis N | Rendimiento |
|---|---|---|---|
| I | Goteo (A1) | 100 (B1) | 5.2 |
| I | Goteo (A1) | 150 (B2) | 6.8 |
| I | Goteo (A1) | 200 (B3) | 7.1 |
| I | Aspersión (A2) | 100 (B1) | 4.5 |
| I | Aspersión (A2) | 150 (B2) | 5.9 |
| I | Aspersión (A2) | 200 (B3) | 6.0 |
| II | Goteo (A1) | 100 (B1) | 5.5 |
| II | Goteo (A1) | 150 (B2) | 7.0 |
| II | Goteo (A1) | 200 (B3) | 7.3 |
| II | Aspersión (A2) | 100 (B1) | 4.8 |
| II | Aspersión (A2) | 150 (B2) | 6.2 |
| II | Aspersión (A2) | 200 (B3) | 6.3 |
Notación: - \(r = 2\) bloques, \(a = 2\) niveles de A, \(b = 3\) niveles de B. - \(Y_{ijk}\): rendimiento en bloque i, riego j, dosis k. - Totales: \(G =\) sumar todos los datos.
\[ G = 5.2+6.8+7.1+4.5+5.9+6.0+5.5+7.0+7.3+4.8+6.2+6.3 = 72.6 \] \[ N = 12,\quad FC = \frac{G^2}{N} = \frac{72.6^2}{12} = \frac{5270.76}{12} = 439.23 \]
\[ \sum Y_{ijk}^2 = 5.2^2+6.8^2+7.1^2+4.5^2+5.9^2+6.0^2+5.5^2+7.0^2+7.3^2+4.8^2+6.2^2+6.3^2 \] Calculando: \(27.04+46.24+50.41+20.25+34.81+36+30.25+49+53.29+23.04+38.44+39.69 = 448.46\) \[ SC_{Total} = 448.46 - 439.23 = 9.23 \]
Totales por bloque:
- Bloque I: sumar los 6 valores del bloque I = \(5.2+6.8+7.1+4.5+5.9+6.0 = 35.5\)
- Bloque II: \(5.5+7.0+7.3+4.8+6.2+6.3 =
37.1\)
\[
\sum B_i^2 = 35.5^2 + 37.1^2 = 1260.25 + 1376.41 = 2636.66
\] \[
SC_{Bloques} = \frac{1}{a \cdot b} \sum B_i^2 - FC = \frac{1}{2 \cdot 3}
\times 2636.66 - 439.23 = \frac{2636.66}{6} - 439.23 = 439.4433 - 439.23
= 0.2133
\]
Totales por nivel de A:
- A1 (goteo): sumar todas las observaciones con riego por goteo: \(5.2+6.8+7.1+5.5+7.0+7.3 = 38.9\)
- A2 (aspersión): \(4.5+5.9+6.0+4.8+6.2+6.3 =
33.7\)
\[
\sum A_j^2 = 38.9^2 + 33.7^2 = 1513.21 + 1135.69 = 2648.90
\] \[
SC_A = \frac{1}{r \cdot b} \sum A_j^2 - FC = \frac{1}{2 \cdot 3} \times
2648.90 - 439.23 = \frac{2648.90}{6} - 439.23 = 441.4833 - 439.23 =
2.2533
\]
Cada parcela principal es la suma de las tres subparcelas (dosis) dentro de cada bloque y riego.
| Bloque | Riego | Suma de las 3 dosis (Pij) |
|---|---|---|
| I | A1 | 5.2+6.8+7.1 = 19.1 |
| I | A2 | 4.5+5.9+6.0 = 16.4 |
| II | A1 | 5.5+7.0+7.3 = 19.8 |
| II | A2 | 4.8+6.2+6.3 = 17.3 |
\[ \sum P_{ij}^2 = 19.1^2 + 16.4^2 + 19.8^2 + 17.3^2 = 364.81 + 268.96 + 392.04 + 299.29 = 1325.10 \] \[ SC_{Parcela} = \frac{1}{b} \sum P_{ij}^2 - FC = \frac{1}{3} \times 1325.10 - 439.23 = 441.70 - 439.23 = 2.47 \]
\[ SC_{ErrorA} = SC_{Parcela} - SC_{Bloques} - SC_A = 2.47 - 0.2133 - 2.2533 = 0.0034 \quad (\text{aproximadamente } 0.0034) \]
Totales por nivel de B:
- B1 (100): \(5.2+4.5+5.5+4.8 =
20.0\)
- B2 (150): \(6.8+5.9+7.0+6.2 =
25.9\)
- B3 (200): \(7.1+6.0+7.3+6.3 =
26.7\)
\[
\sum B_k^2 = 20^2 + 25.9^2 + 26.7^2 = 400 + 670.81 + 712.89 = 1783.70
\] \[
SC_B = \frac{1}{r \cdot a} \sum B_k^2 - FC = \frac{1}{2 \cdot 2} \times
1783.70 - 439.23 = \frac{1783.70}{4} - 439.23 = 445.925 - 439.23 = 6.695
\]
Primero, totales de cada combinación A×B (sumando sobre bloques):
| Riego Dosis | B1 | B2 | B3 |
|---|---|---|---|
| A1 (goteo) | 5.2+5.5=10.7 | 6.8+7.0=13.8 | 7.1+7.3=14.4 |
| A2 (aspersión) | 4.5+4.8=9.3 | 5.9+6.2=12.1 | 6.0+6.3=12.3 |
\[ \sum AB_{jk}^2 = 10.7^2+13.8^2+14.4^2+9.3^2+12.1^2+12.3^2 \] = \(114.49 + 190.44 + 207.36 + 86.49 + 146.41 + 151.29 = 896.48\)
\[ SC_{AB} = \frac{1}{r} \sum AB_{jk}^2 - FC - SC_A - SC_B = \frac{896.48}{2} - 439.23 - 2.2533 - 6.695 \] = \(448.24 - 439.23 - 2.2533 - 6.695 = 448.24 - 448.1783 = 0.0617\)
\[
SC_{ErrorB} = SC_{Total} - SC_{Bloques} - SC_A - SC_{ErrorA} - SC_B -
SC_{AB}
\] = \(9.23 - 0.2133 - 2.2533 - 0.0034
- 6.695 - 0.0617\)
= \(9.23 - 9.2267 = 0.0033\)
| Fuente | gl | SC | CM | F |
|---|---|---|---|---|
| Bloques | 1 | 0.2133 | ||
| A | 1 | 2.2533 | 2.2533 | \(2.2533/0.0034 = 662.7\) |
| Error A | (2-1)(2-1)=1 | 0.0034 | 0.0034 | |
| B | 2 | 6.6950 | 3.3475 | \(3.3475/0.00055 = 6086\) |
| AB | 2 | 0.0617 | 0.03085 | \(0.03085/0.00055 = 56.1\) |
| Error B | a(r-1)(b-1)=2×(1)×2=4 | 0.0033 | 0.000825 | |
| Total | 11 | 9.23 |
Nota: El CM del Error A es 0.0034 con gl=1, y el CM del Error B es 0.0033/4 = 0.000825. Las F son enormes debido a la baja variabilidad residual (datos simulados muy precisos).
Se debe obtener que tanto el riego (A), la dosis (B) y su
interacción son altamente significativos. El código en R usando
easyanova:
# Ejercicio 1 - Riego y Nitrógeno
library(easyanova)
# Datos
bloque <- factor(rep(c("I","II"), each=6))
riego <- factor(rep(c("A1","A2"), each=3, times=2))
dosis <- factor(rep(c("B1","B2","B3"), times=4))
rend <- c(5.2,6.8,7.1,4.5,5.9,6.0,5.5,7.0,7.3,4.8,6.2,6.3)
datos <- data.frame(bloque, riego, dosis, rend)
# Diseño parcelas divididas en bloques (design=5)
modelo <- ea2(data=datos, design=5)
print(modelo)El ANOVA producido debe coincidir (con pequeñas diferencias por redondeo) con el cálculo manual.
Se evalúa el efecto de dos sistemas de labranza (parcela principal, difícil de modificar) y tres herbicidas (subparcela) sobre el control de malezas (porcentaje de cobertura de malezas, menor es mejor). Se usan dos bloques.
| Bloque | Labranza | Herbicida | Cobertura (%) |
|---|---|---|---|
| Norte | Conv (A1) | Glif (B1) | 12 |
| Norte | Conv (A1) | 2,4-D (B2) | 18 |
| Norte | Conv (A1) | Atraz (B3) | 15 |
| Norte | SD (A2) | Glif (B1) | 8 |
| Norte | SD (A2) | 2,4-D (B2) | 14 |
| Norte | SD (A2) | Atraz (B3) | 10 |
| Sur | Conv (A1) | Glif (B1) | 14 |
| Sur | Conv (A1) | 2,4-D (B2) | 20 |
| Sur | Conv (A1) | Atraz (B3) | 16 |
| Sur | SD (A2) | Glif (B1) | 9 |
| Sur | SD (A2) | 2,4-D (B2) | 15 |
| Sur | SD (A2) | Atraz (B3) | 11 |
Se siguen las mismas fórmulas. Aquí se dan los totales principales para que el estudiante complete:
Tabla ANOVA (el estudiante debe calcular gl y CM):
| Fuente | gl | SC | CM | F |
|---|---|---|---|---|
| Bloques | 1 | 5.333 | ||
| A | 1 | 65.333 | 65.333 | \(65.333/0.334=195.6\) |
| Error A | 1 | 0.334 | 0.334 | |
| B | 2 | 73.5 | 36.75 | \(36.75/0.0555=662\) |
| AB | 2 | 0.167 | 0.0835 | \(0.0835/0.0555=1.50\) ns |
| Error B | 4 | 0.333 | 0.08325 | |
| Total | 11 | 145 |
library(easyanova)
bloque <- factor(rep(c("Norte","Sur"), each=6))
labranza <- factor(rep(c("Conv","SD"), each=3, times=2))
herbicida <- factor(rep(c("B1","B2","B3"), times=4))
cobertura <- c(12,18,15,8,14,10,14,20,16,9,15,11)
datos <- data.frame(bloque, labranza, herbicida, cobertura)
modelo <- ea2(data=datos, design=5)
print(modelo)Se estudia el efecto de dos temperaturas de secado (parcela principal, porque cambiar la temperatura del horno es costoso) y tres tiempos de secado (subparcela) sobre el contenido de humedad final (%) del café pergamino. Se usan dos repeticiones (bloques) representando dos lotes de café.
| Lote | Temp | Tiempo | Humedad |
|---|---|---|---|
| 1 | 40°C | 2h | 18.5 |
| 1 | 40°C | 4h | 14.2 |
| 1 | 40°C | 6h | 11.0 |
| 1 | 60°C | 2h | 15.3 |
| 1 | 60°C | 4h | 10.8 |
| 1 | 60°C | 6h | 8.2 |
| 2 | 40°C | 2h | 19.0 |
| 2 | 40°C | 4h | 14.5 |
| 2 | 40°C | 6h | 11.2 |
| 2 | 60°C | 2h | 15.8 |
| 2 | 60°C | 4h | 11.0 |
| 2 | 60°C | 6h | 8.5 |
\(G = 18.5+14.2+11.0+15.3+10.8+8.2+19.0+14.5+11.2+15.8+11.0+8.5 = 158.0\)
\(N=12\) → \(FC = 158^2/12 = 24964/12 = 2080.333\)
\(\sum Y^2 =
18.5^2+14.2^2+11^2+15.3^2+10.8^2+8.2^2+19^2+14.5^2+11.2^2+15.8^2+11^2+8.5^2\)
= \(342.25+201.64+121+234.09+116.64+67.24+361+210.25+125.44+249.64+121+72.25
= 2222.44\)
\(SC_T = 2222.44 - 2080.333 =
142.107\)
Totales bloque: Lote1 = \(18.5+14.2+11+15.3+10.8+8.2 = 78.0\); Lote2
= \(80.0\)
\(SC_{Bloq} = (78^2+80^2)/(2×3) - FC =
(6084+6400)/6 -2080.333 = 12484/6 -2080.333 = 2080.667 -2080.333 =
0.334\)
Totales A: Temp40 = \(18.5+14.2+11+19+14.5+11.2 = 88.4\); Temp60
= \(15.3+10.8+8.2+15.8+11+8.5 =
69.6\)
\(SC_A = (88.4^2+69.6^2)/(2×3) - FC =
(7814.56+4844.16)/6 -2080.333 = 12658.72/6 -2080.333 = 2109.787
-2080.333 = 29.454\)
Totales Pij:
Totales B: B1=18.5+15.3+19+15.8=68.6; B2=14.2+10.8+14.5+11=50.5;
B3=11+8.2+11.2+8.5=38.9
\(SC_B = (68.6^2+50.5^2+38.9^2)/(2×2) - FC =
(4705.96+2550.25+1513.21)/4 -2080.333 = 8769.42/4 -2080.333 = 2192.355
-2080.333 = 112.022\)
Totales AB (suma sobre bloques):
\(SC_{ErrorB} = SC_T - (SC_{Bloq}+SC_A+SC_{ErrorA}+SC_B+SC_{AB}) = 142.107 - (0.334+29.454+0+112.022+0.251) = 142.107 -141.061 = 1.046\)
Tabla ANOVA (gl: A=1, ErrorA=1, B=2, AB=2, ErrorB=4, Total=11). Los CM se calculan dividiendo SC/gl. Luego las F.
library(easyanova)
lote <- factor(rep(c("L1","L2"), each=6))
temp <- factor(rep(c("40C","60C"), each=3, times=2))
tiempo <- factor(rep(c("2h","4h","6h"), times=4))
humedad <- c(18.5,14.2,11.0,15.3,10.8,8.2,19.0,14.5,11.2,15.8,11.0,8.5)
datos <- data.frame(lote, temp, tiempo, humedad)
modelo <- ea2(data=datos, design=5)
print(modelo)Se evalúa el efecto de dos temperaturas de fermentación (parcela principal) y tres cepas de levadura (subparcela) sobre la concentración final de etanol (% v/v). Se utilizan dos bloques (tanques de fermentación independientes).
| Tanque | Temp | Cepa | Etanol |
|---|---|---|---|
| T1 | 25°C | X | 8.2 |
| T1 | 25°C | Y | 9.0 |
| T1 | 25°C | Z | 8.5 |
| T1 | 35°C | X | 10.5 |
| T1 | 35°C | Y | 11.2 |
| T1 | 35°C | Z | 10.8 |
| T2 | 25°C | X | 8.0 |
| T2 | 25°C | Y | 8.9 |
| T2 | 25°C | Z | 8.3 |
| T2 | 35°C | X | 10.2 |
| T2 | 35°C | Y | 11.0 |
| T2 | 35°C | Z | 10.6 |
\(G =
8.2+9.0+8.5+10.5+11.2+10.8+8.0+8.9+8.3+10.2+11.0+10.6 =
115.2\)
\(FC = 115.2^2/12 = 13271.04/12 =
1105.92\)
\(\sum Y^2 =
8.2^2+9^2+8.5^2+10.5^2+11.2^2+10.8^2+8^2+8.9^2+8.3^2+10.2^2+11^2+10.6^2\)
= \(67.24+81+72.25+110.25+125.44+116.64+64+79.21+68.89+104.04+121+112.36
= 1122.32\)
\(SC_T = 1122.32 - 1105.92 =
16.40\)
Bloques: T1 = \(8.2+9+8.5+10.5+11.2+10.8 = 58.2\); T2 =
\(57.0\)
\(SC_{Bloq} = (58.2^2+57^2)/(2×3) - FC =
(3387.24+3249)/6 -1105.92 = 6636.24/6 -1105.92 = 1106.04 -1105.92 =
0.12\)
A: Temp25 = \(8.2+9+8.5+8+8.9+8.3 =
50.9\); Temp35 = \(10.5+11.2+10.8+10.2+11+10.6 = 64.3\)
\(SC_A = (50.9^2+64.3^2)/(2×3) - FC =
(2590.81+4134.49)/6 -1105.92 = 6725.3/6 -1105.92 = 1120.883 -1105.92 =
14.963\)
Pij:
T1-25: 8.2+9+8.5=25.7; T1-35: 10.5+11.2+10.8=32.5; T2-25:
8+8.9+8.3=25.2; T2-35: 10.2+11+10.6=31.8
\(\sum P_{ij}^2 = 25.7^2+32.5^2+25.2^2+31.8^2
= 660.49+1056.25+635.04+1011.24 = 3363.02\)
\(SC_{Parcela} = 3363.02/3 -1105.92 = 1121.007
-1105.92 = 15.087\)
\(SC_{ErrorA} = 15.087 - 0.12 - 14.963 =
0.004\)
B: CepaX = 8.2+10.5+8+10.2=36.9; CepaY=9+11.2+8.9+11=40.1;
CepaZ=8.5+10.8+8.3+10.6=38.2
\(SC_B = (36.9^2+40.1^2+38.2^2)/(2×2) - FC =
(1361.61+1608.01+1459.24)/4 -1105.92 = 4428.86/4 -1105.92 = 1107.215
-1105.92 = 1.295\)
AB (suma sobre bloques):
\(SC_{ErrorB} = 16.40 - (0.12+14.963+0.004+1.295+0.012) = 16.40 - 16.394 = 0.006\)
Tabla ANOVA:
| Fuente | gl | SC | CM | F |
|---|---|---|---|---|
| Bloques | 1 | 0.12 | ||
| A | 1 | 14.963 | 14.963 | \(14.963/0.004=3741\) |
| Error A | 1 | 0.004 | 0.004 | |
| B | 2 | 1.295 | 0.6475 | \(0.6475/0.0015=432\) |
| AB | 2 | 0.012 | 0.006 | \(0.006/0.0015=4\) ns |
| Error B | 4 | 0.006 | 0.0015 | |
| Total | 11 | 16.40 |
library(easyanova)
tanque <- factor(rep(c("T1","T2"), each=6))
temp <- factor(rep(c("25C","35C"), each=3, times=2))
cepa <- factor(rep(c("X","Y","Z"), times=4))
etanol <- c(8.2,9.0,8.5,10.5,11.2,10.8,8.0,8.9,8.3,10.2,11.0,10.6)
datos <- data.frame(tanque, temp, cepa, etanol)
modelo <- ea2(data=datos, design=5)
print(modelo)Estos cuatro ejercicios cubren situaciones realistas y permiten practicar el cálculo manual completo del DPD, así como la verificación con R.