Optimalizácia zisku pomocou derivácie

1 Úvod

Cieľom práce je vyriešiť problém z aplikovanej matematiky - nájsť optimálnu úroveň produkcie, pri ktorej firma dosahuje maximálny zisk. Takéto optimalizačné úlohy sú bežné v mikroekonómii a manažérskom rozhodovaní.

2 Teória

Derivácie sa používajú na hľadanie extrémov funkcií – podľa Fermatovej vety o stacionárnych bodoch platí, že ak má funkcia v bode lokálny extrém a je v ňom diferencovateľná, jej derivácia je v tomto bode nulová (Wikimedia Foundation 2026).

Uvažujme funkciu zisku firmy:

\[ f(x) = -x^2 + 4x \tag{1}\]

kde \(x\) je množstvo produkcie (v tis. ks) a \(f(x)\) je zisk (v tis. €).

Derivácia tejto funkcie je:

\[ f'(x) = -2x + 4 \tag{2}\]

Maximum alebo minimum funkcie nastáva v bode, kde platí:

\[ f'(x) = 0 \tag{3}\]

3 Výpočet

Dosadíme deriváciu (Rovnica 2) do podmienky (Rovnica 3):

\[ -2x + 4 = 0 \]

Z toho dostaneme optimálne množstvo produkcie:

\[ x = 2 \tag{4}\]

4 Graf

x <- seq(-1, 5, 0.1)
y <- -x^2 + 4*x
plot(x, y, type = "l", xlab = "Produkcia (tis. ks)", ylab = "Zisk (tis. €)")
points(2, 4, col = "red", pch = 19)

Obrázok 1: Graf funkcie zisku a jej maxima

Na grafe Obr. 1 vidíme, že maximum zisku sa nachádza pri produkcii \(x = 2\) tis. ks.

5 Výsledky a diskusia

Výsledkom výpočtu (Rovnica 4) je, že firma dosahuje maximálny zisk pri produkcii \(x = 2\) tis. ks. Hodnota zisku v tomto bode je:

\[ f(2) = 4 \]

teda 4 000 €. Tento výsledok zodpovedá aj grafickému znázorneniu Obr. 1.

6 Záver

Pomocou derivácie sme vyriešili problém optimalizácie zisku firmy (Rovnica 1). Výsledky ukazujú, že derivácia je efektívny nástroj na riešenie optimalizačných úloh v aplikovanej matematike.

7 Literatúra

Wikimedia Foundation. 2026. “Interior extremum theorem”. Wikipedia, The Free Encyclopedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Interior_extremum_theorem.