Kvantilová regresia
Iris Vitárius
March 2026
# install.packages("quantreg") # uncomment if needed
library(quantreg)
library(ggplot2)
library(dplyr)library(dplyr)
udaje_nove <- read.csv2("udaje/company_data.csv",header=TRUE,sep=",",dec=".")
model <- lm(Profit ~ Price + Order.Qty + Unit.Cost, data = udaje_nove)
summary(model)##
## Call:
## lm(formula = Profit ~ Price + Order.Qty + Unit.Cost, data = udaje_nove)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -17243 -365 -100 -23 42237
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -28.49945 20.64798 -1.38 0.168
## Price 11.62553 0.06444 180.40 <2e-16 ***
## Order.Qty 9.48104 0.33894 27.97 <2e-16 ***
## Unit.Cost -11.82672 0.13620 -86.83 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 1799 on 14996 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.7179, Adjusted R-squared: 0.7178
## F-statistic: 1.272e+04 on 3 and 14996 DF, p-value: < 2.2e-16Scatterplot údajov
ggplot(udaje_nove, aes(x = Price , y = Profit)) +
geom_point(alpha = 0.6) +
labs(
title = "Údaje pre kvantilovú regresiu",
x = "Vysvetľujúca premenná Price",
y = "Vysvetľovaná premenná Profit"
) +
theme_minimal()
6. Odhad OLS a kvantilovej regresie
We first estimate the standard OLS model, and then quantile regressions for:
- \(\tau = 0.10\)
- \(\tau = 0.50\)
- \(\tau = 0.90\)
m_ols <- lm(Profit ~ Price + Order.Qty + Unit.Cost, data = udaje_nove)
m_q25 <- rq(Profit ~ Price + Order.Qty + Unit.Cost, tau = 0.25, data = udaje_nove)
m_q50 <- rq(Profit ~ Price + Order.Qty + Unit.Cost, tau = 0.50, data = udaje_nove)
m_q75 <- rq(Profit ~ Price + Order.Qty + Unit.Cost, tau = 0.75, data = udaje_nove)výsledky OLS
summary(m_ols)##
## Call:
## lm(formula = Profit ~ Price + Order.Qty + Unit.Cost, data = udaje_nove)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -17243 -365 -100 -23 42237
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -28.49945 20.64798 -1.38 0.168
## Price 11.62553 0.06444 180.40 <2e-16 ***
## Order.Qty 9.48104 0.33894 27.97 <2e-16 ***
## Unit.Cost -11.82672 0.13620 -86.83 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 1799 on 14996 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.7179, Adjusted R-squared: 0.7178
## F-statistic: 1.272e+04 on 3 and 14996 DF, p-value: < 2.2e-16výsledky kvantilovej regresie
summary(m_q25)##
## Call: rq(formula = Profit ~ Price + Order.Qty + Unit.Cost, tau = 0.25,
## data = udaje_nove)
##
## tau: [1] 0.25
##
## Coefficients:
## Value Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -48.87458 3.94586 -12.38630 0.00000
## Price 9.01631 0.02172 415.09917 0.00000
## Order.Qty 3.35760 0.32722 10.26104 0.00000
## Unit.Cost -9.08556 0.03790 -239.73701 0.00000summary(m_q50)##
## Call: rq(formula = Profit ~ Price + Order.Qty + Unit.Cost, tau = 0.5,
## data = udaje_nove)
##
## tau: [1] 0.5
##
## Coefficients:
## Value Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -96.25708 18.26705 -5.26944 0.00000
## Price 10.00000 0.00630 1588.13054 0.00000
## Order.Qty 9.62571 1.31475 7.32132 0.00000
## Unit.Cost -10.00000 0.01238 -807.62608 0.00000summary(m_q75)##
## Call: rq(formula = Profit ~ Price + Order.Qty + Unit.Cost, tau = 0.75,
## data = udaje_nove)
##
## tau: [1] 0.75
##
## Coefficients:
## Value Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -312.19967 46.36092 -6.73411 0.00000
## Price 11.95699 0.02614 457.34544 0.00000
## Order.Qty 30.98420 4.80315 6.45081 0.00000
## Unit.Cost -12.13854 0.03676 -330.22797 0.000007. Porovnanie odhadnutých koeficientov
coef_table <- rbind(
OLS = coef(m_ols),
Q25 = coef(m_q25),
Q50 = coef(m_q50),
Q75 = coef(m_q75)
)
coef_table## (Intercept) Price Order.Qty Unit.Cost
## OLS -28.49945 11.625531 9.481036 -11.826720
## Q25 -48.87458 9.016313 3.357595 -9.085561
## Q50 -96.25708 10.000000 9.625708 -10.000000
## Q75 -312.19967 11.956993 30.984198 -12.138542Interpretácia
Z tabuľky porovnania koeficientov vyplýva, že vplyv vysvetľujúcich premenných na zisk je heterogénny, teda nie je rovnomerný naprieč celým rozdelením firiem:
Premenná Price
Koeficient pri cene sa pohybuje od 9.02 až po 11.96. Keďže je sklon v Q75 výrazne vyšší ako v Q25, znamená to, že rast ceny má silnejší pozitívny vplyv na zisk u firiem, ktoré už dosahujú vyššie zisky, než u firiem v dolnej časti rozdelenia.
Premenná Order.Qty
Pri tejto premennej vidíme najväčšie rozdiely – v 25. percentile je koeficient 3.36, zatiaľ čo v 75. percentile až 30.98. To naznačuje, že objem objednávok je kritickým faktorom najmä pre najúspešnejšie firmy. Pre vysoko ziskové firmy je zvýšenie objemu objednávok spojené s oveľa prudším nárastom zisku, než je tomu u firiem s nízkym ziskom.
Premenná Unit.Cost
Vplyv nákladov sa javí ako relatívne stabilnejší (od okolo -9 až -12), čo naznačuje, že rast jednotkových nákladov znižuje zisk podobným spôsobom naprieč celým rozdelením firiem.
Záver
Keďže sa sklony koeficientov (najmä pri Price a Order.Qty) výrazne líšia v rámci kvantilov, môžeme konštatovať, že vplyv týchto premenných na zisk nie je v našom súbore dát rovnomerný.
8. Grafické porovnanie regresných priamok
ggplot(udaje_nove, aes(x = Price, y = Profit)) +
geom_point(alpha = 0.5) +
geom_abline(
intercept = coef(m_ols)[1],
slope = coef(m_ols)[2],
linewidth = 1
) +
geom_abline(
intercept = coef(m_q25)[1],
slope = coef(m_q25)[2],
linetype = "dashed",
color = "blue",
linewidth = 1
) +
geom_abline(
intercept = coef(m_q50)[1],
slope = coef(m_q50)[2],
linetype = "dotdash",
color = "green",
linewidth = 1
) +
geom_abline(
intercept = coef(m_q75)[1],
slope = coef(m_q75)[2],
linetype = "longdash",
color = "red",
linewidth = 1
) +
labs(
title = "Vyrovnané priamky OLS a kvanilových regresií",
subtitle = "čierna = OLS, Modrá, zelená, červená - Q25,Q50, Q75",
x = "Price",
y = "Profit"
) +
theme_minimal()
9. Odhadovanie viacerých kvantilov naraz
Veľmi často chceme odhadnúť celú sadu kvantilov. Napríklad od 10. do 90. percentilu.
taus <- seq(0.1, 0.9, by = 0.1)
m_many <- rq(Profit ~ Price + Order.Qty + Unit.Cost, tau = taus, data = udaje_nove)
summary(m_many)##
## Call: rq(formula = Profit ~ Price + Order.Qty + Unit.Cost, tau = taus,
## data = udaje_nove)
##
## tau: [1] 0.1
##
## Coefficients:
## Value Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -82.95016 7.88303 -10.52262 0.00000
## Price 7.56874 0.11958 63.29582 0.00000
## Order.Qty 1.61765 0.46935 3.44655 0.00057
## Unit.Cost -7.71536 0.15083 -51.15194 0.00000
##
## Call: rq(formula = Profit ~ Price + Order.Qty + Unit.Cost, tau = taus,
## data = udaje_nove)
##
## tau: [1] 0.2
##
## Coefficients:
## Value Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -54.02006 4.55407 -11.86192 0.00000
## Price 8.90016 0.02981 298.55259 0.00000
## Order.Qty 2.95223 0.30754 9.59959 0.00000
## Unit.Cost -9.01963 0.04684 -192.56527 0.00000
##
## Call: rq(formula = Profit ~ Price + Order.Qty + Unit.Cost, tau = taus,
## data = udaje_nove)
##
## tau: [1] 0.3
##
## Coefficients:
## Value Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -62.13462 4.45695 -13.94107 0.00000
## Price 10.01751 0.11196 89.47100 0.00000
## Order.Qty 4.08802 0.46564 8.77930 0.00000
## Unit.Cost -10.10877 0.12175 -83.02856 0.00000
##
## Call: rq(formula = Profit ~ Price + Order.Qty + Unit.Cost, tau = taus,
## data = udaje_nove)
##
## tau: [1] 0.4
##
## Coefficients:
## Value Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -71.58454 4.75967 -15.03982 0.00000
## Price 10.00000 0.00089 11220.87466 0.00000
## Order.Qty 7.15845 0.53632 13.34746 0.00000
## Unit.Cost -10.00000 0.00118 -8448.14170 0.00000
##
## Call: rq(formula = Profit ~ Price + Order.Qty + Unit.Cost, tau = taus,
## data = udaje_nove)
##
## tau: [1] 0.5
##
## Coefficients:
## Value Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -96.25708 18.26705 -5.26944 0.00000
## Price 10.00000 0.00630 1588.13054 0.00000
## Order.Qty 9.62571 1.31475 7.32132 0.00000
## Unit.Cost -10.00000 0.01238 -807.62608 0.00000
##
## Call: rq(formula = Profit ~ Price + Order.Qty + Unit.Cost, tau = taus,
## data = udaje_nove)
##
## tau: [1] 0.6
##
## Coefficients:
## Value Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -167.09716 14.54193 -11.49071 0.00000
## Price 11.55586 0.17588 65.70254 0.00000
## Order.Qty 15.01549 1.29401 11.60388 0.00000
## Unit.Cost -11.74741 0.20368 -57.67647 0.00000
##
## Call: rq(formula = Profit ~ Price + Order.Qty + Unit.Cost, tau = taus,
## data = udaje_nove)
##
## tau: [1] 0.7
##
## Coefficients:
## Value Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -249.60291 18.26566 -13.66515 0.00000
## Price 11.86628 0.02304 514.92345 0.00000
## Order.Qty 23.76105 1.97852 12.00950 0.00000
## Unit.Cost -12.04077 0.03030 -397.36042 0.00000
##
## Call: rq(formula = Profit ~ Price + Order.Qty + Unit.Cost, tau = taus,
## data = udaje_nove)
##
## tau: [1] 0.8
##
## Coefficients:
## Value Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -424.16471 61.22659 -6.92779 0.00000
## Price 12.19096 0.06425 189.73953 0.00000
## Order.Qty 45.46019 6.81236 6.67320 0.00000
## Unit.Cost -12.48296 0.07642 -163.33650 0.00000
##
## Call: rq(formula = Profit ~ Price + Order.Qty + Unit.Cost, tau = taus,
## data = udaje_nove)
##
## tau: [1] 0.9
##
## Coefficients:
## Value Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -548.60343 42.61068 -12.87479 0.00000
## Price 16.24586 0.34917 46.52702 0.00000
## Order.Qty 75.13727 4.08530 18.39209 0.00000
## Unit.Cost -17.25979 0.36002 -47.94093 0.00000Graf koeficientov sklonu naprieč kvantilmi
coef_many <- data.frame(
tau = taus,
intercept = coef(m_many)["(Intercept)", ],
slope = coef(m_many)["Price", ]
)ggplot(coef_many, aes(x = tau, y = slope)) +
geom_line(color = "darkblue", linewidth = 1) +
geom_point(size = 2, color = "darkblue") +
geom_hline(yintercept = coef(m_ols)["Price"], linetype = "dashed", color = "red") +
labs(
title = "Sklon koeficientu pre Price naprieč kvantilmi",
x = "Kvantil (tau)",
y = "Hodnota koeficientu Price"
) +
theme_minimal()
Z grafu vývoja koeficientu Price naprieč kvantilmi je zrejmé, že vplyv ceny na zisk nie je konštantný. S rastúcou ziskovosťou firmy (rastúci kvantil \(\tau\)) sa hodnota koeficientu Price zvyšuje, čo znamená, že firmy s vyšším ziskom sú citlivejšie na zmeny cien, než predpokladá priemerný OLS odhad.
14. Voliteľný empirický príklad so vstavaným súborom údajov
Ak chcete, môžete kvantilovú regresiu demonštrovať aj na reálnom
súbore údajov. Balík quantreg obsahuje súbor údajov
engel o výdavkoch a príjmoch na potraviny.
data(engel, package = "quantreg")
head(engel)## income foodexp
## 1 420.1577 255.8394
## 2 541.4117 310.9587
## 3 901.1575 485.6800
## 4 639.0802 402.9974
## 5 750.8756 495.5608
## 6 945.7989 633.7978m_engel_ols <- lm(foodexp ~ income, data = engel)
m_engel_q25 <- rq(foodexp ~ income, tau = 0.25, data = engel)
m_engel_q50 <- rq(foodexp ~ income, tau = 0.50, data = engel)
m_engel_q75 <- rq(foodexp ~ income, tau = 0.75, data = engel)
rbind(
OLS = coef(m_engel_ols),
Q25 = coef(m_engel_q25),
Q50 = coef(m_engel_q50),
Q75 = coef(m_engel_q75)
)## (Intercept) income
## OLS 147.47539 0.4851784
## Q25 95.48354 0.4741032
## Q50 81.48225 0.5601806
## Q75 62.39659 0.6440141Kvantilová regresia potvrdila, že vplyv príjmu na výdavky na potraviny nie je konštantný, keďže koeficient príjmu rastie od hodnoty 0,47 v 25. percentile až po 0,64 v 75. percentile. Tento rastúci trend ukazuje, že domácnosti s vyššími výdavkami reagujú na nárast príjmu citeľne citlivejšie než domácnosti v dolnej časti rozdelenia.