Anuitas jiwa adalah serangkaian pembayaran yang dilakukan selama tertanggung masih hidup. Berbeda dengan asuransi jiwa yang memberikan santunan saat kematian, anuitas memberikan manfaat berkala sebagai proteksi terhadap risiko hidup terlalu lama (outliving one’s resources). Dalam bentuk kontinu, pembayaran dianggap dilakukan setiap saat dengan laju tertentu per tahun.
Anuitas ini memberikan pembayaran sebesar 1 unit setiap tahun secara kontinu selama tertanggung yang saat ini berusia \(x\) tahun masih hidup.
Rumus:
\[\bar{a}_x = \int_{0}^{\infty} v^t \cdot {}_t p_x \, dt = \int_{0}^{\infty} e^{-\delta t} \cdot \frac{l_{x+t}}{l_x} \, dt\]
Contoh Soal:
Hitunglah nilai sekarang aktuaria (APV) dari anuitas jiwa seumur hidup kontinu untuk seseorang berusia 30 tahun dengan suku bunga kontinu \(\delta = 0.05\) dan asumsi hukum mortalitas Gompertz (\(B=0.00001, C=1.09\)).
ax.kontinu <- function(delta, age, B, C) {
int=function (t) { exp(-delta*t) *
(exp((-B/log (C)) * (C^(age+t)-1)))/
(exp((-B/log(C)) * (C^age-1))) }
ax.value <- integrate(int, 0, Inf) $value
ax.value }
ax.kontinu (delta=0.05, age=30, B=1e-5, C=1.09)## [1] 19.08623Penjelasan:
Output tersebut menunjukkan Nilai Sekarang Aktuaria dari anuitas seumur hidup. Artinya untuk mendapatkan pembayaran sebesar Rp1 setiap tahun seumur hidup secara kontinu, seseorang berusia 30 tahun perlu membayar premi tunggal sebesar Rp19,08623 di awal kontrak.
Anuitas ini memberikan pembayaran kontinu hanya selama jangka waktu \(n\) tahun, dengan syarat tertanggung masih hidup. Jika tertanggung meninggal sebelum \(n\) tahun, pembayaran dihentikan.
Rumus:
\[\bar{a}_{x:\overline{n}|} = \int_{0}^{n} e^{-\delta t} \cdot {}_t p_x \, dt\]
Contoh Soal:
Hitung APV anuitas berjangka 20 tahun untuk seseorang berusia 40 tahun dengan parameter yang sama.
axn.kontinu <- function (delta, age, B, C, n) {
int=function(t) {exp(-delta*t)*
(exp((-B/log(C)) * (C^ (age+ t)-1)))/
(exp((-B/log (C)) * (C^age-1))) }
axn.value <- integrate(int, 0, n) $value
axn.value }
axn.kontinu (delta=0.05, age=30, B=1e-5, C=1.09, n=20)## [1] 12.61674Penjelasan:
Nilai ini lebih kecil dari anuitas seumur hidup karena periode pembayaran dibatasi maksimal \(n\) tahun. Ini mencerminkan kewajiban perusahaan yang lebih rendah karena durasi kontrak yang terbatas.
Pembayaran anuitas ini baru akan dimulai setelah masa penundaan \(n\) tahun berakhir, asalkan tertanggung masih hidup pada saat itu, dan berlanjut seumur hidup.
Rumus:
\[{}_n|\bar{a}_x = \int_{n}^{\infty} e^{-\delta t} \cdot {}_t p_x \, dt = \bar{a}_x - \bar{a}_{x:\overline{n}|}\]
Contoh Soal: Hitung APV anuitas seumur hidup bagi seseorang berusia 20 tahun yang ditunda selama 5 tahun.
maxn.kontinu <- function (delta, age, B, C, n, m) {
int=function (t) { exp(-delta*t)*
(exp((-B/log(C)) * (C^ (age+t)-1)))/
(exp((-B/log(C)) * (C^age-1))) }
maxn.value <- integrate (int, m, m + n) $value
maxn.value }
maxn.kontinu (delta=0.05, age=30, B=1e-5, C=1.09, n=20, m=5)## [1] 9.807052Penjelasan:
Berdasarkan output ini menunjukkan premi yang jauh lebih murah dibandingkan anuitas yang dimulai segera. Hal ini karena adanya probabilitas bahwa tertanggung meninggal selama masa penundaan, serta efek nilai waktu uang (diskonto) selama \(n\) tahun tersebut.
Anuitas ini menjamin pembayaran selama \(n\) tahun pertama tanpa mempedulikan apakah tertanggung masih hidup atau sudah meninggal (pasti). Setelah \(n\) tahun berakhir, pembayaran berlanjut selama tertanggung masih hidup.
Rumus:
\[\bar{a}_{\overline{x:\overline{n}|}} = \bar{a}_{\overline{n}|} + {}_n|\bar{a}_x\] Di mana \(\bar{a}_{\overline{n}|} = \frac{1 - e^{-\delta n}}{\delta}\) adalah anuitas pasti kontinu.
Contoh Soal: Hitung APV anuitas kontinu dan pasti selama 10 tahun untuk usia 30 tahun.
axnp.kontinu <- function (delta, age, B, C, n) {
int=function(t) {
exp(-delta * t) * (exp((-B/log(C)) * (C^ (age+t)-1)))/ (exp((-B/log(C)) * (C^age-1)))
}
axnp1.value <- integrate (int, 0, n) $value
axnp2.value <- integrate (int, 0, Inf) $value
axnp.value <- axnp1.value + axnp2.value
axnp.value
}
axnp.kontinu(delta=0.05, age=30, B=1e-5, C=1.09, n=10)## [1] 26.94919Penjelasan:
Nilai ini akan selalu lebih besar daripada anuitas jiwa seumur hidup biasa. karena adanya jaminan pembayaran selama \(n\) tahun pertama meskipun tertanggung meninggal dunia. Ini memberikan proteksi tambahan bagi ahli waris selama periode “pasti” tersebut.