Anuitas jiwa adalah serangkaian pembayaran yang dilakukan selama tertanggung masih hidup. Berbeda dengan asuransi jiwa yang memberikan santunan saat kematian, anuitas memberikan manfaat berkala sebagai proteksi terhadap risiko hidup terlalu lama (outliving one’s resources). Dalam bentuk kontinu, pembayaran dianggap dilakukan setiap saat dengan laju tertentu per tahun.
Anuitas ini memberikan pembayaran sebesar 1 unit setiap tahun secara kontinu selama tertanggung yang saat ini berusia \(x\) tahun masih hidup.
Rumus:
\[\bar{a}_x = \int_{0}^{\infty} v^t \cdot {}_t p_x \, dt = \int_{0}^{\infty} e^{-\delta t} \cdot \frac{l_{x+t}}{l_x} \, dt\]
Dengan asumsi bahwa percepatan kematian (\(\mu\)) konstan dan tingkat suku bunganya juga konstan, \(\delta\), carilah:
\[\bar{a}_x = E[\bar{a}_{\overline{T|}}]\]
\[Var[\bar{a}_{\overline{T|}}]\]
misalkan \(\mu = 0.02\) dan \(\delta = 0.05\) untuk simulasi
# Definisi Parameter
mu <- 0.02 # Percepatan kematian konstan
delta <- 0.05 # Tingkat suku bunga kontinu konstan
# Fungsi integrasi untuk ekspektasi
f_ekspektasi <- function(t) {
exp(-delta * t) * exp(-mu * t)
}
ax_bar <- integrate(f_ekspektasi, lower = 0, upper = Inf)$value
print(paste("Nilai Ekspektasi (ax_bar):", round(ax_bar, 4)))## [1] "Nilai Ekspektasi (ax_bar): 14.2857"print(paste("Verifikasi Rumus (1 / (delta + mu)):", round(1 / (delta + mu), 4)))## [1] "Verifikasi Rumus (1 / (delta + mu)): 14.2857"Interpretasi:
Output di atas menunjukkan bahwa Nilai Sekarang Aktuaria (APV) dari anuitas tersebut adalah sebesar unit yang dihasilkan. Dengan \(\mu\) dan \(\delta\) yang konstan, nilai anuitas ini setara dengan nilai sekarang dari anuitas pasti dengan tingkat diskonto yang disesuaikan sebesar \((\delta + \mu)\). Semakin tinggi risiko kematian (\(\mu\)) atau suku bunga (\(\delta\)), maka nilai ekspektasi anuitas ini akan semakin kecil.
# 1. Menghitung E[a_T^2]
# a_T = (1 - e^{-delta * T}) / delta
# E[a_T^2] = integral [ ((1 - exp(-delta*t))/delta)^2 * mu * exp(-mu*t) ] dt
f_moment2 <- function(t) {
((1 - exp(-delta * t)) / delta)^2 * (mu * exp(-mu * t))
}
E_second_moment <- integrate(f_moment2, lower = 0, upper = Inf)$value
# 2. Menghitung Varians
variance_ax <- E_second_moment - (ax_bar)^2
print(paste("Varians dari Anuitas Kontinu:", round(variance_ax, 4)))## [1] "Varians dari Anuitas Kontinu: 34.0136"interpretasi:
Varians ini mencerminkan risiko atau ketidakpastian dalam pembayaran anuitas karena ketidakpastian waktu kematian tertanggung (\(T\)). Nilai varians yang diperoleh menunjukkan seberapa besar penyimpangan nilai tunai pembayaran yang mungkin terjadi dari nilai ekspektasinya. Dalam manajemen risiko asuransi, nilai ini sangat penting untuk menentukan cadangan teknis tambahan guna menghadapi fluktuasi klaim/pembayaran di masa depan.
Dengan menggunakan asumsi kematian distribusi uniform untuk setiap usia kematian dan tabel mortalita dengan suku bunga tahunan 6%,
hitunglah:
\(\bar{a}_{20}\)
\(\bar{a}_{50}\)
#Data Tabel
data_tabel <- data.frame(
x = c(0:36, 37:59, 60:82, 83:110),
lx = c(100000.00, 97957.83, 97826.26, 97706.55, 97596.74, 97495.03, 97399.78,
97309.50, 97222.86, 97138.69, 97055.88, 96973.63, 96891.16, 96807.88,
96723.36, 96637.30, 96549.54, 96459.92, 96368.27, 96274.36, 96178.01,
96078.95, 95976.93, 95871.68, 95762.86, 95650.15, 95533.17, 95411.51,
95284.73, 95152.33, 95013.79, 94868.53, 94715.89, 94555.20, 94385.70,
94206.55, 94016.86, 93815.64, 93601.83, 93374.25, 93131.64, 92872.62,
92595.70, 92299.23, 91981.47, 91640.50, 91274.25, 90880.48, 90456.78,
90000.55, 89509.00, 88979.11, 88407.68, 87791.26, 87126.20, 86408.60,
85634.33, 84799.07, 83898.25, 82927.11, 81880.73, 80754.01, 79541.78,
78238.78, 76839.78, 75339.63, 73733.37, 72016.33, 70184.31, 68233.66,
66161.54, 63966.08, 61646.62, 59203.93, 56640.51, 53960.80, 51171.51,
48281.81, 45303.60, 42251.62, 39143.64, 36000.37, 32845.41, 29704.95,
26607.34, 23582.45, 20660.90, 17872.96, 15247.58, 12810.83, 10584.91,
8586.75, 6827.07, 5309.58, 4030.72, 2979.81, 2139.77, 1488.32, 999.65,
646.17, 400.49, 237.05, 133.39, 71.01, 35.58, 16.68, 7.27, 2.92, 1.08,
0.36, 0.11)
)
# Parameter Bunga
i <- 0.06
delta <- log(1 + i) # 0.0582689# Fungsi untuk mendapatkan lx pada usia kontinu menggunakan interpolasi linear
get_l_kontinu <- function(age_val) {
if (age_val >= 110) return(0)
x_floor <- floor(age_val)
fraction <- age_val - x_floor
l_x <- data_tabel$lx[data_tabel$x == x_floor]
l_x_plus_1 <- data_tabel$lx[data_tabel$x == (x_floor + 1)]
# Interpolasi linear: l(x+t) = l(x) - t * (l(x) - l(x+1))
return(l_x - fraction * (l_x - l_x_plus_1))
}
# Fungsi tpx (probabilitas tetap hidup t tahun lagi bagi usia x)
tpx_kontinu <- function(t, x) {
get_l_kontinu(x + t) / get_l_kontinu(x)
}# Fungsi untuk menghitung anuitas kontinu
hitung_anuitas_kontinu <- function(x_start) {
integran <- function(t) {
exp(-delta * t) * sapply(t, tpx_kontinu, x = x_start)
}
# Batas atas integrasi adalah usia maksimal (110) dikurangi usia saat ini
result <- integrate(integran, lower = 0, upper = (110 - x_start))$value
return(result)
}
# Hasil a. untuk usia 20
a_bar_20 <- hitung_anuitas_kontinu(20)
# Hasil b. untuk usia 50
a_bar_50 <- hitung_anuitas_kontinu(50)
print(paste("a. Nilai a_bar_20 :", round(a_bar_20, 4)))## [1] "a. Nilai a_bar_20 : 16.0081"print(paste("b. Nilai a_bar_50 :", round(a_bar_50, 4)))## [1] "b. Nilai a_bar_50 : 12.7609"Interpretasi:
Berdasarkan output di atas, diperoleh bahwa nilai \(\bar{a}_{20}\) secara signifikan lebih besar daripada \(\bar{a}_{50}\).
Untuk \(\bar{a}_{20}\): Nilai ini merepresentasikan dana yang harus disiapkan saat ini (APV) untuk membayar 1 unit terus-menerus kepada seseorang berusia 20 tahun. Karena orang berusia 20 tahun memiliki harapan hidup yang sangat panjang menurut tabel (terlihat dari \(l_x\) yang menurun perlahan di awal), maka akumulasi diskonto dari pembayaran yang mungkin terjadi hingga puluhan tahun mendatang menghasilkan angka yang tinggi.
Untuk \(\bar{a}_{50}\): Nilainya lebih rendah karena pada usia 50 tahun, laju kematian (\(1000q_x\)) mulai meningkat lebih tajam dibandingkan usia 20 tahun. Probabilitas seseorang tetap hidup untuk menerima pembayaran di masa tua (misalnya usia 80+) jauh lebih kecil, sehingga mengurangi nilai ekspektasi sekarang dari pembayaran tersebut.
Secara statistik, perbedaan ini mencerminkan hukum mortalitas di mana risiko kematian meningkat secara eksponensial terhadap usia, yang secara langsung mengurangi nilai ekonomi dari sebuah anuitas jiwa seumur hidup.