1. Teorema Limit Pusat

- Teori

Diketahui rata-rata dari contoh acak yang berasal dari sebaran apapun memiliki sebaran normal jika ukuran contohnya sangat besar. Jika contoh acak diambil dari populasi dengan mean $μ$ dan ragam $σ_2$ , maka semakin besar ukuran contoh, sebaran dari $\bar{x} $ akan semakin mendekati sebaran normal dengan mean $μ$ dan ragam $σ_2/n$ .

- Algoritma Pengerjaan

Tentukan ukuran contoh ( $n$ )
Tentukan sebaran data
Ulang $k$ kali Ambil $n$ contoh acak dari sebaran data yang sudah ditentukan Hitung rataannya lalu simpan
Periksa sebaran dari $k$ rataan

- Pengaplikasian di Sofware R

a). Hampiran Normal Terhadap Geometrik

par(mfrow=c(3,1))
library(probs)

## Warning: package 'probs' was built under R version 4.5.2

## 
## Attaching package: 'probs'

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, union

set.seed(040)
populasi    = rgeom(20, 0.1)

n1          = 2
contoh_geo1 = urnsamples(populasi, size = 2, replace = F, ordered = F)
mean_geo1   = matrix(apply(contoh_geo1, 1, mean))

n2          = 5
contoh_geo2 = urnsamples(populasi, size = 5, replace = F, ordered = F)
mean_geo2   = matrix(apply(contoh_geo2, 1, mean))

n3          = 10
contoh_geo3 = urnsamples(populasi, size = 10, replace = F, ordered = F)
mean_geo3   = matrix(apply(contoh_geo3, 1, mean))
hist(mean_geo1,main = paste("Hampiran Normal Terhadap Geometrik (n = 2)"),xlab = "xbar")
hist(mean_geo2,main = paste("Hampiran Normal Terhadap Geometrik (n = 5)"),xlab = "xbar")
hist(mean_geo3,main = paste("Hampiran Normal Terhadap Geometrik (n = 10)"),xlab = "xbar")

b). Hampiran Normal Terhadap Eksponensial

set.seed(040)
populasi    = rexp(20)

n1          = 2
contoh_exp1 = urnsamples(populasi, size = 2, replace = F, ordered = F)
mean_exp1   = matrix(apply(contoh_exp1, 1, mean))

n2          = 5
contoh_exp2 = urnsamples(populasi, size = 5, replace = F, ordered = F)
mean_exp2   = matrix(apply(contoh_exp2, 1, mean))

n3          = 10
contoh_exp3 = urnsamples(populasi, size = 10, replace = F, ordered = F)
mean_exp3   = matrix(apply(contoh_exp3, 1, mean))

hist(mean_exp1,main = paste("Hampiran Normal Terhadap Eksponensial (n = 2)"),xlab = "xbar")

hist(mean_exp2,main = paste("Hampiran Normal Terhadap Eksponensial (n = 5)"),xlab = "xbar")

hist(mean_exp3,main = paste("Hampiran Normal Terhadap Eksponensial (n = 10)"),xlab = "xbar")

c). Hampiran Normal Terhadap Seragam

set.seed(040)
populasi     = runif(20)

n1           = 2
contoh_unif1 = urnsamples(populasi, size = 2, replace = F, ordered = F)
mean_unif1   = matrix(apply(contoh_unif1, 1, mean))

n2           = 5
contoh_unif2 = urnsamples(populasi, size = 5, replace = F, ordered = F)
mean_unif2   = matrix(apply(contoh_unif2, 1, mean))

n3           = 10
contoh_unif3 = urnsamples(populasi, size = 10, replace = F, ordered = F)
mean_unif3   = matrix(apply(contoh_unif3, 1, mean))

hist(mean_unif1,main = paste("Hampiran Normal Terhadap Seragam (n = 2)"),xlab = "xbar")

hist(mean_unif2,main = paste("Hampiran Normal Terhadap Seragam (n = 5)"),xlab = "xbar")

hist(mean_unif3,main = paste("Hampiran Normal Terhadap Seragam (n = 10)"),xlab = "xbar")

d). Kesimpulan

Dilihat dari contoh sebaran geometrik, eksponensial, maupun uniform akan mendekati sebaran normal jika nilai ukuran contohnya ( $n$ ) semakin besar. Hal ini ditunjukkan dari histogram yang mana ketika $n$ semakin besar akan semakin cenderung membentuk kurva normal.

- Contoh Persebaran Normal

set.seed(040)
populasi     = rnorm(20,7,sqrt(14))

n1           = 3
contoh_norm1 = urnsamples(populasi, size = 3, replace = F, ordered = F)
head(contoh_norm1)

##         X1       X2        X3
## 1 8.787536 8.856546  3.783730
## 2 8.787536 8.856546  3.897942
## 3 8.787536 8.856546  5.796784
## 4 8.787536 8.856546  2.121738
## 5 8.787536 8.856546  1.681284
## 6 8.787536 8.856546 13.528874

mean_norm1   = matrix(apply(contoh_norm1, 1, mean))
mean_xbar1   = mean(mean_norm1)
var_xbar1    = var(mean_norm1)

n2           = 4
contoh_norm2 = urnsamples(populasi, size = 4, replace = F, ordered = F)
mean_norm2   = matrix(apply(contoh_norm2, 1, mean))
mean_xbar2   = mean(mean_norm2)
var_xbar2    = var(mean_norm2)

n3           = 15
contoh_norm3 = urnsamples(populasi, size = 15, replace = F, ordered = F)
mean_norm3   = matrix(apply(contoh_norm3, 1, mean))
mean_xbar3   = mean(mean_norm3)
var_xbar3    = var(mean_norm3)

hist(mean_norm1,main = paste("(n = 3)"),xlab = "xbar")

hist(mean_norm2,main = paste("(n = 4)"),xlab = "xbar")

hist(mean_norm3,main = paste("(n = 15)"),xlab = "xbar")

hasil        = data.frame("."=c("mean","varian"),"Populasi"=c(7,14),"n=3"=c(mean_xbar1,var_xbar1),"n=4"=c(mean_xbar2,var_xbar2),"n=15"=c(mean_xbar3,var_xbar3))
hasil

##        . Populasi      n.3      n.4      n.15
## 1   mean        7 6.695452 6.695452 6.6954520
## 2 varian       14 3.839076 2.708118 0.2256444

Kesimpulan:

Berdasarkan output di atas, contoh acak yang diambil dari populasi dengan mean = $μ$ dan ragam = $σ_2$, maka semakin besar ukuran contoh, mean dari $\bar{x}$ akan semakin mendekati $μ$ dan ragamnya semakin mendekati $σ_2/n$.
Dilihat dari histogramnya pun, semakin besar ukuran contoh, kurva mendekati sebaran normal.

2. Ketakbiasan Penduga Parameter

- Teori

$\bar{x}$ adalah penduga tak bias bagi $μ$, jika $E(\bar{x}) = μ$

$s^2$ adalah penduga tak bias bagi $σ_2$, jika $E(s^2) = σ_2$

Maka dalam hal ini kita akan membuktikan apakah benar nilai harapan penduga parameter sama dengan nilai parameternya

- Algoritma Pengerjaan

Tentukan sebaran yang akan digunakan
Ulangi sebanyak k kali Bangkitkan n buah data dari sebaran yang sudah ditentukan Hitung nilai x¯dan s2
Hitung rata-rata dari x¯ dan s2, kemudian bandingan dengan μ dan σ2.

- Pengaplikasian di Sofware R

a). Penerapan ketakbiasan penduga (mean)

#1. Sebaran Normal 
library(probs)
set.seed(040)
n              = 10
populasi1      = rnorm(20)
mean_pop1      = mean(populasi1)
sampel_normal1 = urnsamples(populasi1, size = 10, replace = F, ordered = F)
mean_normal1   = matrix(apply(sampel_normal1, 1, mean))
median_normal1 = matrix(apply(sampel_normal1, 1, median))
harapan_mean_norm1     = mean(mean_normal1)
harapan_median_norm1   = mean(median_normal1)
 
#2. Sebaran Eksponensial
library(probs)
set.seed(123)
n              = 10
populasi2      = rexp(20)
mean_pop2      = mean(populasi2)
sampel_exp1    = urnsamples(populasi2, size = 10, replace = F, ordered = F)
mean_exp1      = matrix(apply(sampel_exp1, 1, mean))
median_exp1 = matrix(apply(sampel_exp1, 1, median))
harapan_mean_exp1     = mean(mean_exp1)
harapan_median_exp1   = mean(median_exp1)
 
#3. Uniform
library(probs)
set.seed(123)
n              = 10
populasi3      = runif(20)
mean_pop3      = mean(populasi3)
sampel_unif1   = urnsamples(populasi3, size = 10, replace = F, ordered = F)
mean_unif1     = matrix(apply(sampel_unif1, 1, mean))
median_unif1   = matrix(apply(sampel_unif1, 1, median))
harapan_mean_unif1     = mean(mean_unif1)
harapan_median_unif1   = mean(median_unif1)

hasil = data.frame("Hasil"=c("mean_populasi","harapan_mean_contoh","harapan_median_contoh"),"Sebaran Normal"=c(mean_pop1,harapan_mean_norm1,harapan_median_norm1),"Sebaran Eksponensial"=c(mean_pop2,harapan_mean_exp1,harapan_median_exp1),"Sebaran Seragam"=c(mean_pop3,harapan_mean_unif1,harapan_median_unif1))

hasil

##                   Hasil Sebaran.Normal Sebaran.Eksponensial Sebaran.Seragam
## 1         mean_populasi    -0.08139387            0.8111726       0.5508084
## 2   harapan_mean_contoh    -0.08139387            0.8111726       0.5508084
## 3 harapan_median_contoh    -0.09181188            0.4931612       0.5504018

Kesimpulan

Berdasarkan output di atas, dengan populasi terhingga maupun tak hingga serta tiga sebaran yang berbeda, nilai harapan median contoh tetap berbeda dengan $μ$ dan nilai harapan rataan contoh ($\bar{x}$) mendekati sama (pada populasi tak hingga) bahkan sama persis dengan nilai parameter rataan populasi $μ$ (pada populasi terhingga) sehingga penduga tak bias bagi $μ$ adalah (

$\bar{x}$)
Pada populasi terhingga, percontohan bersifat unik artinya tidak ada percontohan yang berulang sehingga dapat dipastikan kombinasi contoh hanya muncul satu kali sehingga nilai parameter dan nilai harapan penduga parameter yang tak bias sama persis.
Pada populasi tak hingga, percontohan yang terambil secara acak merupakan sebagian dari keseluruhan kemungkinan percontohan yang ada sehingga nilai parameter dan nilai harapan penduga parameter yang tak bias tidak sama persis, namun sangat mendekati.

b). Penerapan ketakbiasan penduga (Ragam)

#Sebaran Normal
set.seed(040)
n        = 10
populasi = rnorm(20) 
sigma2   = var(populasi)*(20-1)/20

sampel      = urnsamples(populasi, size = 10, replace = F, ordered = F)

## Pembagi (n-1)
s2.n1       = matrix(apply(sampel, 1, var))
E.s2.n1     = mean(s2.n1)

## Pembagi (n)
s2.n        = s2.n1*(10-1)/10
E.s2.n      = mean(s2.n)

#Sebaran Eksponensial
set.seed(888)
n           = 10
populasi2   = rexp(20) 
sigma2.exp  = var(populasi2)*(20-1)/20

library(probs)
sampel_exp     = urnsamples(populasi2, size = 10, replace = F, ordered = F)

## Pembagi (n-1)
s2.n1.exp   = matrix(apply(sampel_exp, 1, var))
E.s2.n1.exp = mean(s2.n1.exp)

## Pembagi (n)
s2.n.exp    = s2.n1.exp*(10-1)/10
E.s2.n.exp  = mean(s2.n.exp)


hasil = data.frame( "."  = c("ragam populasi","nilai harapan ragam contoh (n-1)","nilai harapan ragam contoh (n)"), 
                    "Sebaran Normal" = c(sigma2, E.s2.n1, E.s2.n),"Sebaran Eksponensial" = c(sigma2.exp, E.s2.n1.exp, E.s2.n.exp))
hasil

##                                  . Sebaran.Normal Sebaran.Eksponensial
## 1                   ragam populasi      0.9186360             1.750903
## 2 nilai harapan ragam contoh (n-1)      0.9669852             1.843056
## 3   nilai harapan ragam contoh (n)      0.8702867             1.658750

Kesimpulan

Berdasarkan output di atas, dengan skenario populasi terhingga dan dua sebaran yang berbeda, nilai harapan ragam contoh dengan penyebut $n−1$ harusnya lebih mendekati nilai parameter daripada nilai harapan ragam contoh dengan penyebut $n$. Hal ini menunjukkan bahwa penduga tak bias bagi ragam populasi ( $σ_2$ ) adalah $s^2$ dengan penyebut adalah $n−1$, meskipun masih terdapat celah perbedaan (tidak 100% tak berbias).
Pada populasi terhingga, percontohan bersifat unik artinya tidak ada percontohan yang berulang sehingga dapat dipastikan kombinasi contoh hanya muncul satu kali. Jika pada penduga mean nilai parameter dan statistik penduga tak bias sama persis, pada penduga ragam ini hal tersebut tidak berlaku karena perhitungan ragam populasi perlu dikali dengan faktor koreksi $(n−1)/n$ sedangkan perhitungan ragam contoh (dengan penyebut $n−1$) tidak perlu mengalikan dengan faktor koreksi.
Pada populasi tak hingga, percontohan yang terambil secara acak merupakan sebagian dari keseluruhan kemungkinan percontohan yang ada. Namun, dalam hal ini nilai parameter ragam dan nilai harapan penduga tak biasnya tidak sama persis, hanya mendekati.

3. Selang Kepercayaan

- Teori

Selang Kepercayaan 95% bagi $θ$ : Kita percaya 95% bahwa selang a sampai b memuat nilai parameter $θ$ yang sebenarnya.
Sebagai conotoh Jika kita melakukan 100 kali percobaan acak dan setiap percobaan acak dibuat selang kepercayaannya, maka dari 100 Selang Kepercayaan yang terbentuk, ada 95 Selang Kepercayaan yang mencakup parameter sedangkan sisanya sebanyak 5 Selang Kepercayaan tidak mencakup parameter.

- Algoritma Pengerjaan

Tentukan sebaran yang akan digunakan
Ulangi sebanyak $k$ kali Bangkitkan $n$ buah data dari sebaran yang sudah ditentukan
Hitung nilai $\bar{x}$ dan $s^2$
Hitung $σ_2/\bar{x}$ dan buat selang kepercayaan ( $1−α$ ) %
Hitung proporsi banyaknya selang kepercayaan yang memuat $μ$, bandingkan dengan ( $1−α$ )

- Pengaplikasian di Sofware R

n1     = 10
k      = 100 
alpha  = 0.05
mu     = 50
std    = 10
set.seed(040)
sampel.norm1 = matrix(rnorm(n1*k,mu,std),k)
xbar.norm1   = apply(sampel.norm1,1,mean)
s.norm1      = apply(sampel.norm1,1,sd)
SE.norm1     = s.norm1/sqrt(n1)
z.norm1      = qnorm(1-alpha/2)
SK.norm1     = (xbar.norm1-z.norm1*SE.norm1 < mu & mu < xbar.norm1+z.norm1*SE.norm1)
x.norm1      = sum(SK.norm1)/k 

n2     = 30
k      = 100 
alpha  = 0.05
mu     = 50
std    = 10
set.seed(040)
sampel.norm2 = matrix(rnorm(n2*k,mu,std),k)
xbar.norm2   = apply(sampel.norm2,1,mean)
s.norm2      = apply(sampel.norm2,1,sd)
SE.norm2     = s.norm2/sqrt(n2)
z.norm2      = qnorm(1-alpha/2)
SK.norm2     = (xbar.norm2-z.norm2*SE.norm2 < mu & mu < xbar.norm2+z.norm2*SE.norm2)
x.norm2      = sum(SK.norm2)/k 

n3     = 100
k      = 100 
alpha  = 0.05
mu     = 50
std    = 10
set.seed(123)
sampel.norm3 = matrix(rnorm(n3*k,mu,std),k)
xbar.norm3   = apply(sampel.norm3,1,mean)
s.norm3      = apply(sampel.norm3,1,sd)
SE.norm3     = s.norm3/sqrt(n3)
z.norm3      = qnorm(1-alpha/2)
SK.norm3     = (xbar.norm3-z.norm3*SE.norm3 < mu & mu < xbar.norm3+z.norm3*SE.norm3)
x.norm3      = sum(SK.norm3)/k 
hasil = data.frame("n" =c(10,30,100),"Ketepatan SK Sebaran Normal"=c(x.norm1, x.norm2, x.norm3))
hasil

##     n Ketepatan.SK.Sebaran.Normal
## 1  10                        0.97
## 2  30                        0.96
## 3 100                        0.96

matplot(rbind (xbar.norm2-z.norm2*SE.norm2, xbar.norm2+z.norm2*SE.norm2), rbind(1:k,1:k), col=ifelse(SK.norm2,"blue","red"), type = "l", lty = 1,main='Selang Kepercayaan 95% (n=100)', xlab='SK', ylab='banyak ulangan')
abline(v=mu)

Kesimpulan

Gambar tersebut adalah hasil dari simulasi selang kepercayaan 95% untuk rata-rata populasi ($μ$=50) dengan ukuran sampel $n$=100
Simulasi dilakukan sebanyak $k$=100 kali, sehingga ada 100 selang kepercayaan yang dihasilkan.
Tujuan gambar tersebut adalah untuk memvisualisasikan seberapa sering selang kepercayaan berhasil menangkap nilai rata-rata populasi ( $μ$ )
Garis vertikal di $x$=50 mengartikan nilai rata-rata populasi ( $μ$ =50). Selang kepercayaan yang berhasil menangkap μ akan melintasi garis ini.
Garis Horizontal mengartikan bahwa setiap garis mewakili selang kepercayaan dari satu sampel.
Jika garis tersebut melintasi garis vertikal di $x$=50, artinya selang kepercayaan tersebut berhasil menangkap $μ$.
Semakin besar ukuran contoh ( $n$ ), maka proporsi Selang Kepercayaan yang memuat nilai parameter semakin mendekati kebenaran ( $1-\alpha$ )

- Contoh

library(car)

## Warning: package 'car' was built under R version 4.5.2

## Loading required package: carData

## Warning: package 'carData' was built under R version 4.5.2

data("Prestige")

# Menghitung rata-rata
m <- mean(Prestige$income)
m

## [1] 6797.902

# Menghitung standar error
p <- dim(Prestige)[1]
se <- sd(Prestige$income)/sqrt(p)
se

## [1] 420.4089

# Menghitung nilai kritis t
tval <- qt(0.975, df=p-1)

# Menghitung interval kepercayaan
cat(paste("KI: [", round(m-tval*se, 2),",",round(m+tval*se,2),"]"))

## KI: [ 5963.92 , 7631.88 ]

Kesimpulan

Dengan tingkat kepercayaan 95%, rata-rata pendapatan populasi berada dalam rentang 5963.92 hingga 7631.88.

Estimasi Distribusi dan Parameter Model

BAHAR ARIFIANTO

2026-04-27

1. Teorema Limit Pusat

- Teori

- Algoritma Pengerjaan

- Pengaplikasian di Sofware R

a). Hampiran Normal Terhadap Geometrik

b). Hampiran Normal Terhadap Eksponensial

c). Hampiran Normal Terhadap Seragam

d). Kesimpulan

- Contoh Persebaran Normal

Kesimpulan:

2. Ketakbiasan Penduga Parameter

- Teori

- Algoritma Pengerjaan

- Pengaplikasian di Sofware R

a). Penerapan ketakbiasan penduga (mean)

Kesimpulan

b). Penerapan ketakbiasan penduga (Ragam)

Kesimpulan

3. Selang Kepercayaan

- Teori

- Algoritma Pengerjaan

- Pengaplikasian di Sofware R

Kesimpulan

- Contoh

Kesimpulan