Cátedra de Biometría y Técnica Experimental
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Trabajo Práctico N° 6: Estimación de parametros
Motivación
En el ámbito de las ciencias agrarias y biológicas, la toma de decisiones se basa frecuentemente en información obtenida a partir de muestras, ya que en la mayoría de los casos resulta imposible relevar la totalidad de la población. En este contexto, la estadística inferencial se convierte en una herramienta fundamental, permitiendo estimar parámetros poblacionales y cuantificar el grado de incertidumbre asociado a dichas estimaciones.
El presente trabajo práctico surge con el propósito de aplicar técnicas de estimación de parámetros, tales como la construcción de intervalos de confianza y el uso de estimadores puntuales, a partir de datos reales o simulados. Esto permite no solo afianzar los conceptos teóricos, sino también desarrollar habilidades en el análisis e interpretación de resultados, fundamentales para la investigación y la gestión en sistemas productivos.
Asimismo, el uso del software R permite procesar datos de manera eficiente, reproducir análisis estadísticos y promover buenas prácticas en el manejo de la información. De esta manera, el trabajo práctico integra teoría y aplicación, fortaleciendo la capacidad de análisis ante situaciones reales.
Intervalos de confianza situaciones:
Caso 1. Intervalo de confianza para la media poblacional con varianza conocida
\[ P \left( \bar{x} - Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, ≤μ<; \bar{x} + Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)=1-α \]
Donde:
𝜇: media poblacional.
𝑥¯: media muestral.
𝑍(α/2): es el valor crítico de la distribución Normal Estándar.
σ: es la desviación estándar poblacional.
𝑛: es el tamaño de la muestra.
Caso 2. Intervalo de confianza para la media poblacional con varianza desconocida
\[ P\left( \bar{x} - t_{\alpha/2,\,n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}, ≤μ<; \bar{x} + t_{\alpha/2,\,n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)=1-α \]
Donde:
𝜇: media poblacional.
𝑥¯: media muestral
𝑡(α/2): valor crítico de la distribución 𝑡.
𝑆: desviación estándar muestral.
𝑛: tamaño de la muestra.
Caso 3. Intervalo de confianza para la varianza poblacional
\[ P\left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{(\alpha/2,\,n-1)}}, ≤μ<; \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{(1-\alpha/2,\,n-1)}} \right)=1-α \]
Donde:
𝜒2: valor crítico de la distribución Chi-Cuadrado.
σ
2: varianza poblacional.𝑆2: varianza muestral
𝑛: tamaño de la muestra.
Tamaño de muestra necesario para estimar la media con un error máximo permitido
\[ n = \left( \frac{Z_{1-\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2 \]
Donde:
𝑛: es el tamaño de la muestra requerido.
𝑍(1−𝛼2): es el valor crítico z correspondiente al nivel de confianza 1−𝛼2.
𝜎: es la desviación estándar poblacional.
E: es el Error maximo permitido.
Tamaño de muestra necesario para estimar la media con una Amplitud dada
\[ n = \left( \frac{2 \cdot Z_{1-\alpha/2} \cdot \sigma}{a} \right)^2 \] Donde:
𝑛: es el tamaño de la muestra requerido.
𝑍(1−𝛼2): es el valor crítico z correspondiente al nivel de confianza 1−𝛼2.
𝜎: es la desviación estándar poblacional.
𝑎: es la amplitud (o rango) de tu muestra.
Actividades
Ejercicio 1. Considerar la variable rendimiento de soja, cuya distribución es normal con media μ y desviación estándar σ. Para estimar el rendimiento promedio de soja bajo el efecto de un inoculante, se toma una muestra de tamaño 40 y se obtiene un promedio de 38 qq/ha. Se sabe por experiencias anteriores que la varianza poblacional es 16 (qq/ha).
Construir los intervalos de confianza del 95% y 99% para μ.
¿Cómo cambia el intervalo anterior del 95% si el tamaño de la muestra fuese 100 y se obtiene el mismo promedio?
¿Cómo se modifica el intervalo del 95% calculado en a) si la desviación estándar fuese de 7 qq/ha?
Ejercicio 2. Se quiere diseñar el tamaño de una muestra para estimar μ en una población normal con desviación estándar igual a 13.
Responder:
¿Cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra para asegurar una amplitud de 9 unidades para el intervalo de confianza al 90%?
¿Qué sucede si la confianza cambia al 99%?
Ejercicio 3. En un establecimiento agrícola, se realizó un control de calidad para evaluar la presencia de residuos de insecticida en frutos de tomate destinados al consumo fresco. Para ello, se seleccionó aleatoriamente una muestra de 30 lotes de producción y se determinó la concentración del residuo presente en cada uno. Las normas de inocuidad alimentaria establecen que, si la concentración de residuos es igual o superior a 0,50 ppm, el producto puede representar un riesgo para la salud humana. Los valores observados, expresados en partes por millón (ppm), son los siguientes:
| 0,44 | 0,77 | 0,28 | 0,41 | 0,74 | 0,74 | 0,34 | 0,22 | 0,33 | 0,34 |
| 0,42 | 0,17 | 0,22 | 0,23 | 0,35 | 0,48 | 0,42 | 0,59 | 0,21 | 0,48 |
| 0,67 | 0,66 | 0,34 | 0,37 | 0,34 | 0,52 | 0,32 | 0,33 | 0,27 | 0,32 |
Responder:
¿Cuál es la variable en estudio?
Clasifique la variable
Realice un gráfico de cajas y patillas e interprete.
Obtenga las medidas de resumen y concluya.
Elabore un intervalo de confianza para la media utilizando α = 0,10. Sacar conclusiones
Ejercicio 4. Se desea establecer el contenido vitamínico de un alimento balanceado para pollos. Se toma una muestra de 49 bolsas y se encuentra que el contenido promedio de vitaminas por cada 100 grs. es de 12 mg. y que la desviación estándar es de 2 mg. Encontrar el intervalo de confianza del 95% para el verdadero promedio del contenido de vitaminas.
Ejercicio 5. Para estimar el rendimiento promedio del trigo en un departamento del sur cordobés, se relevan los campos de distintos productores mediante un esquema de muestreo aleatorio simple. Se conoce por experiencias anteriores que σ es igual a 0.8 qq/ha y que el promedio histórico es 32 qq/ha.
Responder:
¿Qué número de campos se deben evaluar para estimar la media de rendimiento con una confianza del 95%, si la amplitud del intervalo no debe ser mayor que el 2.5% del promedio histórico?
Si la varianza de la distribución aumenta a σ =1.5, ¿aumenta o disminuye el tamaño muestral necesario para mantener la misma amplitud? Concluya.
Ejercicio 6. El espárrago es una planta perenne cuyo cultivo comercial puede tener una duración de 15 años y su implantación es costosa. Dada la extensión del sistema radicular, la profundidad del suelo es fundamental, considerándose indispensable contar con un promedio mínimo de 80 cm de sustrato permeable. Se realizan 14 determinaciones de la profundidad del sustrato permeable (en cm) en puntos tomados al azar en dos campos (A y B).
Los resultados fueron los siguientes:
| A | B |
|---|---|
| 72 | 78 |
| 78 | 82 |
| 86 | 68 |
| 78 | 68 |
| 90 | 74 |
| 104 | 81 |
| 76 | 85 |
| 70 | 73 |
| 83 | 75 |
| 75 | 89 |
| 90 | 100 |
| 81 | 91 |
| 85 | 82 |
| 72 | 75 |
Responder:
Construya los intervalos de confianza al 95% y determine si estos campos son aptos para el cultivo.
Ejercicio 7. Una empresa dedicada a la comercialización de semillas desea estimar la altura promedio de un sorgo forrajero que ha desarrollado. Para ello toma una muestra de 50 plantas y se calcula la media de la altura, la que resulta ser 130 cm. Se sabe por experiencias anteriores que la desviación estándar es 22 cm. Construir los intervalos de confianza para μ con una confianza del 95 % y 99 % respectivamente. Comparar ambos intervalos y concluir.
Ejercicio 8. Una empresa semillera desea comparar el rendimiento de dos híbridos de sorgo granífero cultivados bajo condiciones de riego suplementario. Para ello, se seleccionaron aleatoriamente parcelas sembradas con los híbridos “Nueva GR80” y “Overa”, registrándose el rendimiento de cada parcela en quintales por hectárea (qq/ha).
El objetivo es determinar si existen diferencias significativas en el rendimiento promedio entre ambos híbridos.
Los datos obtenidos fueron los siguientes:
Hibrido Nueva GR80:
110; 112; 135; 140; 128; 132; 123; 125; 140; 142; 151; 113; 142; 123; 118; 143; 138; 135; 140; 135; 112; 128; 152; 136; 152; 139; 142; 129; 150; 135; 119; 128; 123; 142; 138; 145; 136; 147; 141; 137.
Hibrido Overa:
115; 158; 139; 143; 151; 152; 148; 139; 153; 125; 136; 129; 146; 136; 140; 150; 140; 139; 128; 129; 125; 130; 140; 149; 150; 139; 142; 138; 129; 126; 137; 148; 146; 150; 158; 153; 119; 139; 154; 139; 151; 154; 139; 132.
A partir de los datos obtenidos, realice un análisis de estadística descriptiva para cada híbrido y construya un intervalo de confianza del 95% para el rendimiento promedio de cada uno. Finalmente, interprete los resultados y compare el comportamiento productivo de ambos materiales.