Bootstrap pada Regresi dan Missing Value
Fathir Rizwa
2026-04-25
Pendahuluan
Dalam analisis statistik, kita sering ingin mengetahui seberapa andal estimasi kita. Sayangnya, asumsi klasik (seperti normalitas residual atau homogenitas varians) tidak selalu terpenuhi.
Metode bootstrap hadir sebagai alternatif non-parametrik yang tidak bergantung pada distribusi data dan sangat berguna untuk mengestimasi ketidakpastian (standard error, confidence interval, dll).
Konsep Dasar Bootstrap
Bootstrap adalah teknik resampling, yaitu membuat banyak sampel baru dari sampel yang sudah ada (dengan pengambilan sampel ulang, dengan pengembalian).
Langkah-langkah:
Ambil sampel acak dari data awal, ukuran sama, dengan pengembalian
Hitung statistik yang diinginkan (misalnya koefisien regresi)
Ulangi langkah 1–2 sebanyak R kali (misalnya 1000 kali)
Gunakan distribusi hasil bootstrap untuk menghitung standar error atau confidence interval
Bootstrap dalam Regresi Bootstrap digunakan untuk:
- Mengestimasi distribusi sampling dari koefisien regresi
- Mendapatkan confidence interval tanpa asumsi normalitas residual
Bootstrap pada Data dengan Missing Value Ketika data memiliki missing values, bootstrap bisa digunakan untuk:
- Menghasilkan banyak imputed datasets
- Mengukur ketidakpastian hasil imputasi
Praktikum
Dataset Simulasi
# Jumlah observasi
n <- 100
# Generate variabel x dari distribusi normal (mean=10, sd=2)
x <- rnorm(n, mean = 10, sd = 2)
# Generate variabel y dengan pola hubungan linear terhadap x plus error
y <- 3 + 1.5 * x + rnorm(n, mean = 0, sd = 2)
# Gabungkan menjadi data frame
data <- data.frame(x, y)
# Introduksi missing value secara acak pada 10 observasi x
data[sample(1:n, 10), "x"] <- NA
# Lihat 6 baris pertama
head(data) ## x y
## 1 7.641905 18.10137
## 2 8.534367 15.46845
## 3 10.592995 24.55851
## 4 12.459398 19.46220
## 5 8.043774 12.31381
## 6 14.686636 28.23781Penjelasan:
set.seed(123) menjamin hasil random yang konsisten
rnorm() menghasilkan data dari distribusi normal
Hubungan antara y dan x sengaja dibuat linear (y = 3 + 1.5x + error)
sample() memilih 10 baris secara acak untuk dijadikan NA
Praktikum 1: Bootstrap untuk Regresi (tanpa missing)
clean_data <- na.omit(data)
boot_regression <- function(data, indices) {
d <- data[indices, ]
model <- lm(y ~ x, data = d)
return(coef(model))
}
library(boot)
boot_result <- boot(
data = clean_data,
statistic = boot_regression,
R = 1000
)
boot_result ##
## ORDINARY NONPARAMETRIC BOOTSTRAP
##
##
## Call:
## boot(data = clean_data, statistic = boot_regression, R = 1000)
##
##
## Bootstrap Statistics :
## original bias std. error
## t1* 3.889233 0.017613812 1.4363685
## t2* 1.424331 -0.002812148 0.1390157plot(boot_result)
# Hitung confidence interval 95% untuk koefisien x (index=2)
boot.ci(boot_result, type = "perc", index = 2) ## BOOTSTRAP CONFIDENCE INTERVAL CALCULATIONS
## Based on 1000 bootstrap replicates
##
## CALL :
## boot.ci(boot.out = boot_result, type = "perc", index = 2)
##
## Intervals :
## Level Percentile
## 95% ( 1.140, 1.688 )
## Calculations and Intervals on Original ScalePenjelasan:
na.omit() menghapus baris dengan missing values
Fungsi boot_regression:
indices menentukan sampel yang diambil
lm() melakukan regresi linear
coef() mengambil koefisien model
boot() menjalankan bootstrap dengan:
data: dataset bersih
statistic: fungsi yang di-bootstrap
R: jumlah replikasi
boot.ci() menghitung interval kepercayaan percentile
Praktikum 2: Estimasi pada Missing Value dengan Bootstrap
Kita akan menggunakan mean imputation + bootstrap:
# Hitung mean x (abaikan NA)
mean_x <- mean(data$x, na.rm = TRUE)
# Buat variabel baru dengan imputasi mean
data$ximp <- ifelse(is.na(data$x), mean_x, data$x)
# Fit model setelah imputasi
model_imp <- lm(y ~ ximp, data = data)
summary(model_imp)##
## Call:
## lm(formula = y ~ ximp, data = data)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -5.7825 -1.5114 0.2108 1.6572 6.0096
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 3.9491 1.2861 3.071 0.00276 **
## ximp 1.4243 0.1266 11.253 < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 2.399 on 98 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.5637, Adjusted R-squared: 0.5593
## F-statistic: 126.6 on 1 and 98 DF, p-value: < 2.2e-16# Fungsi bootstrap setelah imputasi
boot_imp <- function(data, indices) {
d <- data[indices, ]
model <- lm(y ~ ximp, data = d)
return(coef(model))
}
# Jalankan bootstrap
boot_result_imp <- boot(data = data, statistic = boot_imp, R = 1000)
boot_result_imp##
## ORDINARY NONPARAMETRIC BOOTSTRAP
##
##
## Call:
## boot(data = data, statistic = boot_imp, R = 1000)
##
##
## Bootstrap Statistics :
## original bias std. error
## t1* 3.949113 0.060399462 1.423007
## t2* 1.424331 -0.005456842 0.136356plot(boot_result_imp)
boot.ci(boot_result_imp, type = "perc", index = 2) ## BOOTSTRAP CONFIDENCE INTERVAL CALCULATIONS
## Based on 1000 bootstrap replicates
##
## CALL :
## boot.ci(boot.out = boot_result_imp, type = "perc", index = 2)
##
## Intervals :
## Level Percentile
## 95% ( 1.153, 1.675 )
## Calculations and Intervals on Original ScalePenjelasan:
mean(na.rm=TRUE) menghitung mean tanpa NA
ifelse() mengganti NA dengan mean
Model setelah imputasi cenderung underestimate variance
Proses bootstrap sama seperti sebelumnya tetapi menggunakan data yang sudah diimputasi
Mean imputation bisa mengurangi variabilitas → bias underestimation.
Lebih canggih: gunakan Multiple Imputation + Bootstrap (dengan mice package).
Praktikum 3: Multiple Imputation + Bootstrap
library(mice)## Warning: package 'mice' was built under R version 4.5.3##
## Attaching package: 'mice'## The following object is masked from 'package:stats':
##
## filter## The following objects are masked from 'package:base':
##
## cbind, rbind# Lakukan multiple imputation (m=5) dengan Predictive Mean Matching
imp <- mice(
data[, c("x", "y")],
m = 5,
method = 'pmm',
seed = 123
)##
## iter imp variable
## 1 1 x
## 1 2 x
## 1 3 x
## 1 4 x
## 1 5 x
## 2 1 x
## 2 2 x
## 2 3 x
## 2 4 x
## 2 5 x
## 3 1 x
## 3 2 x
## 3 3 x
## 3 4 x
## 3 5 x
## 4 1 x
## 4 2 x
## 4 3 x
## 4 4 x
## 4 5 x
## 5 1 x
## 5 2 x
## 5 3 x
## 5 4 x
## 5 5 x# Gabungkan dataset imputasi dalam long format
imp_data <- complete(imp, "long")
# Fit model di setiap dataset imputasi dan gabungkan hasilnya
model_mi <- with(imp, lm(y ~ x))
summary(pool(model_mi)) ## term estimate std.error statistic df p.value
## 1 (Intercept) 4.068726 1.2357103 3.292621 89.24664 1.423458e-03
## 2 x 1.408675 0.1220483 11.541946 85.55499 3.951899e-19Gabungkan Hasil
# Pastikan semua package sudah terinstall
library(mice)
library(broom)
# 1. Model Data Lengkap
model_clean <- lm(y ~ x, data = clean_data)
clean_summary <- tidy(model_clean, conf.int = TRUE)
# 2. Model Mean Imputation + Bootstrap
# Asumsi boot_result_imp sudah dibuat sebelumnya
boot_ci <- boot.ci(boot_result_imp, type = "perc", index = 2)
boot_summary <- tidy(model_imp, conf.int = TRUE)
# 3. Model MICE
model_mice <- with(imp, lm(y ~ x))
mice_summary <- summary(pool(model_mice), conf.int = TRUE)
# Membuat data frame yang lebih robust
results_table <- data.frame (
Metode = c("Data Lengkap","Mean Imputation + Bootstrap","MICE"),
Intercept = c(
clean_summary$estimate[1],
boot_summary$estimate[1],
mice_summary$estimate[1]
),
Slope = c(
clean_summary$estimate[2],
boot_summary$estimate[2],
mice_summary$estimate[2]
),
SE_Slope = c(
clean_summary$std.error[2],
boot_summary$std.error[2],
mice_summary$std.error[2]
),
CI_Slope = c(
sprintf("(%.3f, %.3f)", clean_summary$conf.low[2], clean_summary$conf.high[2]),
sprintf("(%.3f, %.3f)", boot_ci$percent[4], boot_ci$percent[5]),
sprintf("(%.3f, %.3f)", mice_summary$`2.5 %`[2], mice_summary$`97.5 %`[2])
),
stringsAsFactors = FALSE
)
# Tampilkan hasil
print(results_table)## Metode Intercept Slope SE_Slope CI_Slope
## 1 Data Lengkap 3.889233 1.424331 0.1237917 (1.178, 1.670)
## 2 Mean Imputation + Bootstrap 3.949113 1.424331 0.1265759 (1.153, 1.675)
## 3 MICE 4.068726 1.408675 0.1220483 (1.166, 1.651)library(ggplot2)## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.5.2# Data untuk plot
results <- data.frame(
Method = c("Data Lengkap", "Mean Imp + Bootstrap", "MICE"),
Slope = c(1.412127, 1.412127, 1.408248),
SE = c(0.1079083, 0.1191314, 0.1068028 ),
CI_lower = c(1.198, 1.188, 1.196),
CI_upper = c(1.627, 1.603, 1.621)
)
ggplot(results, aes(x = Method, y = Slope, color = Method)) +
geom_point(size = 3) +
geom_errorbar(aes(ymin = CI_lower, ymax = CI_upper), width = 0.2) +
labs(title = "Perbandingan Estimasi Slope dengan Berbagai Metode",
y = "Estimasi Slope (y ~ x)") +
theme_minimal()
Analisis Perbedaan Estimasi
Estimasi Slope (Koefisien x) Konsistensi Nilai:
Ketiga metode menghasilkan slope yang sangat mirip (~1.41)
Perbedaan <0.004 (hanya 0.3% variasi)
Indikasi bahwa pola missing tidak terlalu memengaruhi hubungan x-y Perbedaan Kecil:
MICE memberikan slope paling rendah (1.408)
Data lengkap dan mean imputation sama (1.412)
Estimasi Intercept Variasi Lebih Nyata:
- Rentang nilai: 3.581 (data lengkap) hingga 3.654 (mean imputation)
- Perbedaan ~0.073 (2% dari nilai intercept)
- Mean imputation menghasilkan intercept tertinggi, mungkin karena imputasi mean cenderung menarik intercept ke arah rata-rata dan sedikit bias karena pengisian nilai konstan
Standard Error (SE) Slope Konsistensi:
- SE data lengkap (0.108) vs MICE (0.107) sangat mirip
- Mean imputation memiliki SE lebih besar (0.119), mencerminkan ketidakpastian dari imputasi sederhana dan sesuai ekspektasi teori karena mean imputation meremehkan variabilitas
Confidence Interval (CI) Lebar CI:
Data lengkap: 0.429 (1.627-1.198)
Mean imputation: 0.415 (1.603-1.188)
MICE: 0.425 (1.621-1.196) Pola Unik: Mean imputation memiliki CI paling sempit (bertentangan dengan teori), kemungkinan penyebab:
Jumlah bootstrap tidak cukup (misal hanya 100 iterasi)
Missing values sedikit (<10%) sehingga dampak imputasi minimal
Data missing completely at random (MCAR)