Con Mi Profe: Julio Hurtado Marquez; EMAIL_TAREAS:

1 📊 APLICACIONES DE PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA LA VARIANZA POBLACIONAL

📐 INTRODUCCIÓN

Las pruebas de hipótesis para la varianza poblacional (σ²) se basan en la distribución χ² (chi-cuadrado). El estadístico de prueba es: 

χ² = (n - 1) S² / σ₀²

donde S² es la varianza muestral, σ₀² es la varianza bajo H₀, y los grados de libertad son gl = n - 1. Este estadístico sigue una distribución χ² con n-1 grados de libertad, bajo el supuesto de normalidad de la población.

1.1 📊 CASO I: PRUEBA DE COLA SUPERIOR (H₁: σ² > σ₀²) - “Exceso de variabilidad”

🏭 ÁREA DE INGENIERÍAS: Control de precisión de máquinas

Contexto: Una máquina debe producir piezas con una varianza en las dimensiones no superior a 0.04 mm². Se toma una muestra de 25 piezas y se obtiene una varianza muestral de 0.06 mm². Pruebe si la varianza es mayor que la especificada con α = 0.05.

📐 Solución

Paso 1: Hipótesis 
H₀: σ² = 0.04   vs   H₁: σ² > 0.04
Paso 2: Datos 
n = 25,  S² = 0.06,  σ₀² = 0.04,  gl = 24
Paso 3: Estadístico de prueba 
χ² = (24 × 0.06) / 0.04 = 1.44 / 0.04 = 36.0
Paso 4: Región de rechazo (α=0.05, gl=24, χ²_{0.05,24} = 36.415)

χ² = 36.0 < 36.415 → No rechazamos H₀

Conclusión: No hay suficiente evidencia para afirmar que la varianza excede el límite especificado.

📊 Código en R 

# Prueba de varianza (cola superior)
n <- 25
var_muestral <- 0.06
var0 <- 0.04
alpha <- 0.05
gl <- n - 1

# Estadístico chi-cuadrado
chi2_calc <- (n - 1) * var_muestral / var0
chi2_crit <- qchisq(1 - alpha, df = gl)
p_valor <- 1 - pchisq(chi2_calc, df = gl)

cat("Estadístico χ² =", round(chi2_calc, 4), "\n")
cat("Valor crítico =", round(chi2_crit, 4), "\n")
cat("p-valor =", round(p_valor, 4), "\n")

# Visualización
library(ggplot2)
x <- seq(0, 55, length.out = 500)
df_plot <- data.frame(x = x, y = dchisq(x, df = gl))
ggplot(df_plot, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(color = "blue", linewidth = 1) +
  geom_area(data = subset(df_plot, x > chi2_crit), aes(x = x, y = y), fill = "red", alpha = 0.5) +
  geom_vline(xintercept = chi2_calc, color = "darkgreen", linewidth = 1.2, linetype = "dashed") +
  geom_vline(xintercept = chi2_crit, color = "red", linewidth = 1, linetype = "dotted") +
  labs(title = "Prueba χ² para varianza (cola superior) - Ingeniería", 
       x = "χ²", y = "Densidad") +
  theme_minimal()
Prueba χ² cola superior (gl=24, α=0.05) 36.415 36.0

💰 ÁREA DE CIENCIAS ECONÓMICAS: Volatilidad de inversiones

Contexto: Un fondo de inversión afirma que la volatilidad (varianza) de sus rendimientos es no mayor a 0.0025. Una muestra de 20 meses muestra una varianza de 0.004. Pruebe si la varianza es mayor con α = 0.05. 

n=20, S²=0.004, σ₀²=0.0025, gl=19
χ² = (19×0.004)/0.0025 = 0.076/0.0025 = 30.4
χ²_crítico (α=0.05, gl=19) = 30.144

30.4 > 30.144 → Rechazamos H₀ (la volatilidad es mayor)

📊 Código en Python 

import numpy as np
from scipy.stats import chi2

n, var_muestral, var0 = 20, 0.004, 0.0025
gl = n - 1
chi2_calc = (n - 1) * var_muestral / var0
chi2_crit = chi2.ppf(0.95, gl)
p_valor = 1 - chi2.cdf(chi2_calc, gl)

print(f"χ² = {chi2_calc:.4f}, χ²_crítico = {chi2_crit:.4f}, p-valor = {p_valor:.4f}")

🧠 ÁREA DE CIENCIAS DEL COMPORTAMIENTO Y LA SALUD: Variabilidad en niveles de estrés

Contexto: Se cree que un programa de mindfulness reduce la variabilidad en los niveles de estrés. La varianza histórica es 25. Una muestra de 16 participantes después del programa tiene varianza 18. α = 0.05 (Nota: para probar reducción, usamos cola inferior). Replanteo: H₁: σ² < 25.

1.2 📊 CASO II: PRUEBA DE COLA INFERIOR (H₁: σ² < σ₀²) - “Reducción de variabilidad”

🏭 ÁREA DE INGENIERÍAS: Mejora en la calidad

Contexto: Después de una mejora en el proceso, se espera que la variabilidad sea menor (σ² < 0.04). Se toman 25 piezas y se obtiene S² = 0.03. α = 0.05. 

χ² = (24 × 0.03)/0.04 = 0.72/0.04 = 18.0
χ²_crítico (α=0.05, cola inferior, gl=24) = 13.848

18.0 > 13.848 → No rechazamos H₀ (no hay evidencia de reducción)

💰 ÁREA DE CIENCIAS ECONÓMICAS: Estabilidad de ingresos

Contexto: Un programa busca reducir la variabilidad en los ingresos de trabajadores. La varianza histórica es 2500. Una muestra de 16 trabajadores da S² = 1600. α = 0.05. 

χ² = (15 × 1600)/2500 = 24000/2500 = 9.6
χ²_crítico (α=0.05, cola inferior, gl=15) = 7.261

9.6 > 7.261 → No rechazamos H₀

🧠 ÁREA DE CIENCIAS DEL COMPORTAMIENTO: Reducción en variabilidad de ansiedad

Contexto: Una terapia busca homogeneizar los niveles de ansiedad (reducir varianza). Varianza histórica = 36. Muestra de 12 pacientes post-terapia: S² = 20. α = 0.05. 

χ² = (11 × 20)/36 = 220/36 = 6.111
χ²_crítico (α=0.05, cola inferior, gl=11) = 4.575

6.111 > 4.575 → No rechazamos H₀

1.3 📊 CASO III: PRUEBA DE DOS COLAS (H₁: σ² ≠ σ₀²) - “Diferencia en variabilidad”

🏭 ÁREA DE INGENIERÍAS: Comparación con estándar de calidad

Contexto: Se quiere verificar si la varianza en las dimensiones de las piezas es diferente del estándar σ₀² = 0.04. Muestra de 25 piezas: S² = 0.05. α = 0.05. 

χ² = (24 × 0.05)/0.04 = 1.2/0.04 = 30.0
χ²_críticos (α/2=0.025, gl=24): χ²_{0.025}=39.364, χ²_{0.975}=12.401

12.401 < 30.0 < 39.364 → No rechazamos H₀

📊 Código en R 

# Prueba de varianza dos colas
var_muestral <- 0.05
var0 <- 0.04
n <- 25
gl <- n - 1
chi2_calc <- (n - 1) * var_muestral / var0
chi2_inf <- qchisq(0.025, gl)
chi2_sup <- qchisq(0.975, gl)

cat("χ² =", round(chi2_calc, 4), "\n")
cat("Intervalo de aceptación: [", round(chi2_inf, 4), ", ", round(chi2_sup, 4), "]\n")

if (chi2_calc > chi2_sup || chi2_calc < chi2_inf) {
  cat("Rechazamos H₀: la varianza es diferente")
} else {
  cat("No rechazamos H₀")
}

# Visualización dos colas
x <- seq(0, 55, length.out = 500)
df_plot <- data.frame(x = x, y = dchisq(x, df = gl))
ggplot(df_plot, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(color = "blue", linewidth = 1) +
  geom_area(data = subset(df_plot, x < chi2_inf), aes(x = x, y = y), fill = "red", alpha = 0.5) +
  geom_area(data = subset(df_plot, x > chi2_sup), aes(x = x, y = y), fill = "red", alpha = 0.5) +
  geom_vline(xintercept = chi2_calc, color = "darkgreen", linewidth = 1.2, linetype = "dashed") +
  geom_vline(xintercept = chi2_inf, color = "red", linewidth = 1, linetype = "dotted") +
  geom_vline(xintercept = chi2_sup, color = "red", linewidth = 1, linetype = "dotted") +
  labs(title = "Prueba χ² dos colas para varianza", x = "χ²", y = "Densidad") +
  theme_minimal()
Prueba χ² dos colas (gl=24, α=0.05)

💰 ÁREA DE CIENCIAS ECONÓMICAS: Variabilidad en ventas

Contexto: Se quiere verificar si la varianza en las ventas mensuales es diferente del valor histórico de 400. Muestra de 15 meses: S² = 625. α = 0.05. 

χ² = (14×625)/400 = 8750/400 = 21.875
χ²_{0.025,14}=26.119, χ²_{0.975,14}=5.629 → 5.629 < 21.875 < 26.119 → No rechazar H₀

🧠 ÁREA DE CIENCIAS DEL COMPORTAMIENTO: Homogeneidad de respuestas

Contexto: Se quiere saber si la varianza en las respuestas a un test psicológico es diferente del valor estándar σ₀² = 100. Muestra de 20 personas: S² = 144. α = 0.05. 

χ² = (19×144)/100 = 2736/100 = 27.36
χ²_{0.025,19}=32.852, χ²_{0.975,19}=8.907 → No rechazar H₀

1.4 📊 RESUMEN DE PRUEBAS PARA VARIANZA

📋 Tabla resumen

Tipo de prueba Hipótesis Estadístico χ² Región de rechazo
Cola superior H₀: σ² ≤ σ₀², H₁: σ² > σ₀² (n-1)S²/σ₀² χ² > χ²_{α, n-1}
Cola inferior H₀: σ² ≥ σ₀², H₁: σ² < σ₀² (n-1)S²/σ₀² χ² < χ²_{1-α, n-1}
Dos colas H₀: σ² = σ₀², H₁: σ² ≠ σ₀² (n-1)S²/σ₀² χ² < χ²_{1-α/2} o χ² > χ²_{α/2}

1.5 📊 VALORES CRÍTICOS COMUNES DE χ²

📋 Tabla de valores χ²

gl χ²_{0.975} χ²_{0.95} χ²_{0.05} χ²_{0.025}
10 3.247 3.940 18.307 20.483
15 6.262 7.261 24.996 27.488
20 9.591 10.851 31.410 34.170
24 12.401 13.848 36.415 39.364
30 16.791 18.493 43.773 46.979

1.6 💡 CONCLUSIONES CLAVE

✅ Puntos importantes

  • La prueba χ² para varianza es muy sensible al supuesto de normalidad de la población
  • Para muestras pequeñas, la prueba puede ser poco robusta ante desviaciones de la normalidad
  • En ingeniería, se usa para control de calidad y precisión de procesos
  • En ciencias económicas, se aplica para estudiar volatilidad y riesgo financiero
  • En ciencias de la salud y comportamiento, se utiliza para evaluar homogeneidad y consistencia en mediciones
  • En R, la prueba de varianza unilateral puede realizarse con var.test() para comparar dos varianzas, pero para una varianza se usa cálculo manual con qchisq() y pchisq()

2 📊 APLICACIONES DE PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA EL COCIENTE DE VARIANZAS POBLACIONALES

📐 INTRODUCCIÓN

Las pruebas de hipótesis para el cociente de varianzas (σ₁²/σ₂²) se basan en la distribución F de Fisher-Snedecor. El estadístico de prueba es: 

F = S₁² / S₂²

donde S₁² y S₂² son las varianzas muestrales de dos poblaciones independientes. Los grados de libertad son gl₁ = n₁ - 1 (numerador) y gl₂ = n₂ - 1 (denominador).

Suposiciones: Ambas poblaciones siguen una distribución normal (aproximadamente). Esta prueba es sensible a desviaciones de la normalidad.

2.1 📊 CASO I: PRUEBA DE COLA SUPERIOR (H₁: σ₁² / σ₂² > 1) - “La varianza del grupo 1 es mayor”

🏭 ÁREA DE INGENIERÍAS: Comparación de precisión de dos máquinas

Contexto: Se quiere determinar si la máquina A tiene mayor variabilidad en las dimensiones de las piezas que la máquina B. Se toman muestras: Máquina A: n₁=16, S₁²=0.08; Máquina B: n₂=20, S₂²=0.05. Pruebe con α = 0.05.

📐 Solución

Paso 1: Hipótesis 
H₀: σ₁²/σ₂² = 1   vs   H₁: σ₁²/σ₂² > 1
Paso 2: Datos 
n₁=16, S₁²=0.08; n₂=20, S₂²=0.05; gl₁=15, gl₂=19
Paso 3: Estadístico de prueba 
F = S₁² / S₂² = 0.08 / 0.05 = 1.6
Paso 4: Región de rechazo (α=0.05, gl₁=15, gl₂=19) 
F_{0.05,15,19} = 2.23

F = 1.6 < 2.23 → No rechazamos H₀

Conclusión: No hay suficiente evidencia para afirmar que la máquina A tiene mayor variabilidad que la máquina B.

📊 Código en R 

# Prueba F para cociente de varianzas (cola superior)
var1 <- 0.08; n1 <- 16
var2 <- 0.05; n2 <- 20
alpha <- 0.05

# Estadístico F
F_calc <- var1 / var2
gl1 <- n1 - 1
gl2 <- n2 - 1
F_crit <- qf(1 - alpha, gl1, gl2)
p_valor <- 1 - pf(F_calc, gl1, gl2)

cat("Estadístico F =", round(F_calc, 4), "\n")
cat("Valor crítico F(0.95,", gl1, ",", gl2, ") =", round(F_crit, 4), "\n")
cat("p-valor =", round(p_valor, 4), "\n")

# Prueba formal en R (dos colas, pero podemos ajustar)
# Para simular datos, creamos muestras con estas varianzas
set.seed(123)
muestra1 <- rnorm(n1, mean = 0, sd = sqrt(var1))
muestra2 <- rnorm(n2, mean = 0, sd = sqrt(var2))
var.test(muestra1, muestra2, alternative = "greater")

# Visualización
library(ggplot2)
x <- seq(0, 4, length.out = 500)
df_plot <- data.frame(x = x, y = df(x, gl1, gl2))
ggplot(df_plot, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(color = "blue", linewidth = 1) +
  geom_area(data = subset(df_plot, x > F_crit), aes(x = x, y = y), fill = "red", alpha = 0.5) +
  geom_vline(xintercept = F_calc, color = "darkgreen", linewidth = 1.2, linetype = "dashed") +
  geom_vline(xintercept = F_crit, color = "red", linewidth = 1, linetype = "dotted") +
  labs(title = "Prueba F para cociente de varianzas (cola superior) - Ingeniería", 
       x = "F", y = "Densidad") +
  theme_minimal()
Prueba F cola superior (gl₁=15, gl₂=19, α=0.05) 2.23 1.6

💰 ÁREA DE CIENCIAS ECONÓMICAS: Volatilidad de dos fondos de inversión

Contexto: Se quiere determinar si el Fondo A tiene mayor volatilidad (riesgo) que el Fondo B. Fondo A: n₁=25 meses, S₁²=0.0036; Fondo B: n₂=30 meses, S₂²=0.0025. α = 0.05. 

F = 0.0036/0.0025 = 1.44
gl₁=24, gl₂=29
F_{0.05,24,29} = 1.89

1.44 < 1.89 → No rechazamos H₀

📊 Código en Python 

import numpy as np
from scipy.stats import f

var1, n1 = 0.0036, 25
var2, n2 = 0.0025, 30
gl1, gl2 = n1-1, n2-1

F_calc = var1 / var2
F_crit = f.ppf(0.95, gl1, gl2)
p_valor = 1 - f.cdf(F_calc, gl1, gl2)

print(f"F = {F_calc:.4f}, F_crítico = {F_crit:.4f}, p-valor = {p_valor:.4f}")

🧠 ÁREA DE CIENCIAS DEL COMPORTAMIENTO Y LA SALUD: Variabilidad en respuesta a tratamientos

Contexto: Se quiere saber si el Tratamiento A produce mayor variabilidad en los puntajes de ansiedad que el Tratamiento B. Tratamiento A: n₁=18, S₁²=64; Tratamiento B: n₂=22, S₂²=49. α = 0.05. 

F = 64/49 = 1.306; F_{0.05,17,21}=2.12 → No rechazar H₀

2.2 📊 CASO II: PRUEBA DE COLA INFERIOR (H₁: σ₁² / σ₂² < 1) - “La varianza del grupo 1 es menor”

🏭 ÁREA DE INGENIERÍAS: Nuevo proceso con menor variabilidad

Contexto: Se implementó un nuevo proceso que se espera tenga menor variabilidad que el proceso estándar. Proceso estándar: n₁=18, S₁²=0.12; Nuevo proceso: n₂=15, S₂²=0.06. Pruebe si la varianza del nuevo proceso es menor (σ₂²/σ₁² < 1) con α = 0.05. 

Para probar que σ_nuevo² < σ_estándar², definimos F = σ_estándar²/σ_nuevo²
F = 0.12/0.06 = 2.0, gl₁=17, gl₂=14
F_{0.95,17,14} = 2.40 (para cola superior, pero queremos cola inferior)

Usamos el inverso: 1/F = 0.5, F_{0.05,14,17}=0.433. Como 2.0 > 0.433, no rechazamos H₀ (no hay evidencia de menor varianza).

💰 ÁREA DE CIENCIAS ECONÓMICAS: Estabilidad de ingresos post-capacitación

Contexto: Se espera que después de un programa de capacitación, la variabilidad en los ingresos sea menor. Antes: n₁=20, S₁²=1600; Después: n₂=25, S₂²=900. α = 0.05. 

F = 900/1600 = 0.5625 (varianza después/antes)
Para probar que σ₂²/σ₁² < 1, usamos F < F_{1-α}
F_crítico = f.ppf(0.05, 24, 19) = 0.509

0.5625 > 0.509 → No rechazamos H₀

🧠 ÁREA DE CIENCIAS DEL COMPORTAMIENTO: Homogeneidad post-intervención

Contexto: Una intervención busca homogeneizar los puntajes (reducir varianza). Pre-intervención: n₁=18, S₁²=100; Post-intervención: n₂=15, S₂²=64. α = 0.05. 

F = 64/100 = 0.64, gl₁=14, gl₂=17
F_{0.05,14,17} = 0.444, 0.64 > 0.444 → No rechazar H₀

2.3 📊 CASO III: PRUEBA DE DOS COLAS (H₁: σ₁² / σ₂² ≠ 1) - “Las varianzas son diferentes”

🏭 ÁREA DE INGENIERÍAS: Comparación de dos proveedores

Contexto: Se quiere determinar si hay diferencia en la variabilidad de la resistencia de materiales de dos proveedores. Proveedor A: n₁=20, S₁²=0.09; Proveedor B: n₂=16, S₂²=0.04. α = 0.05. 

F = 0.09/0.04 = 2.25
gl₁=19, gl₂=15
F_{0.025,19,15} = 2.76, F_{0.975,19,15} = 1/F_{0.025,15,19} = 1/2.67 = 0.375

0.375 < 2.25 < 2.76 → No rechazamos H₀

📊 Código en R 

# Prueba F dos colas usando var.test con datos simulados
set.seed(456)
muestra1 <- rnorm(20, mean = 50, sd = sqrt(0.09))
muestra2 <- rnorm(16, mean = 50, sd = sqrt(0.04))

# Prueba de varianzas
prueba_F <- var.test(muestra1, muestra2, alternative = "two.sided")
print(prueba_F)

# Visualización dos colas
gl1 <- 19; gl2 <- 15
F_calc <- 0.09/0.04
F_inf <- qf(0.025, gl1, gl2)
F_sup <- qf(0.975, gl1, gl2)

x <- seq(0, 4, length.out = 500)
df_plot <- data.frame(x = x, y = df(x, gl1, gl2))
ggplot(df_plot, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(color = "blue", linewidth = 1) +
  geom_area(data = subset(df_plot, x < F_inf), aes(x = x, y = y), fill = "red", alpha = 0.5) +
  geom_area(data = subset(df_plot, x > F_sup), aes(x = x, y = y), fill = "red", alpha = 0.5) +
  geom_vline(xintercept = F_calc, color = "darkgreen", linewidth = 1.2, linetype = "dashed") +
  geom_vline(xintercept = F_inf, color = "red", linewidth = 1, linetype = "dotted") +
  geom_vline(xintercept = F_sup, color = "red", linewidth = 1, linetype = "dotted") +
  labs(title = "Prueba F dos colas para cociente de varianzas", 
       x = "F", y = "Densidad") +
  theme_minimal()
Prueba F dos colas (α=0.05)

💰 ÁREA DE CIENCIAS ECONÓMICAS: Riesgo de dos carteras

Contexto: Se quiere saber si la volatilidad (riesgo) de dos carteras de inversión es diferente. Cartera A: n₁=22, S₁²=0.01; Cartera B: n₂=18, S₂²=0.0064. α=0.05. 

F = 0.01/0.0064 = 1.5625; F_{0.025,21,17}=2.67; F_{0.975,21,17}=0.37 → No rechazar H₀

🧠 ÁREA DE CIENCIAS DEL COMPORTAMIENTO: Comparación de dos terapias

Contexto: Se quiere determinar si la variabilidad en la respuesta a dos terapias es diferente. Terapia A: n₁=15, S₁²=36; Terapia B: n₂=18, S₂²=25. α=0.05. 

F = 36/25 = 1.44; F_{0.025,14,17}=2.78; F_{0.975,14,17}=0.33 → No rechazar H₀

2.4 📊 RESUMEN DE PRUEBAS PARA COCIENTE DE VARIANZAS

📋 Tabla resumen

Tipo de prueba Hipótesis Estadístico F Región de rechazo
Cola superior H₀: σ₁²/σ₂² = 1, H₁: σ₁²/σ₂² > 1 S₁²/S₂² F > F_{α, gl₁, gl₂}
Cola inferior H₀: σ₁²/σ₂² = 1, H₁: σ₁²/σ₂² < 1 S₁²/S₂² F < F_{1-α, gl₁, gl₂}
Dos colas H₀: σ₁²/σ₂² = 1, H₁: σ₁²/σ₂² ≠ 1 S₁²/S₂² F < F_{1-α/2} o F > F_{α/2}

2.5 📊 VALORES CRÍTICOS COMUNES DE F

📋 Tabla de valores F_{0.05} (α=0.05, cola superior)

gl₂₁ 10 15 20 25 30
10 2.98 2.54 2.35 2.24 2.16
15 2.54 2.30 2.20 2.09 2.01
20 2.35 2.20 2.12 2.02 1.95
25 2.24 2.09 2.02 1.93 1.87
30 2.16 2.01 1.95 1.87 1.81

2.6 💡 CONCLUSIONES CLAVE

✅ Puntos importantes

  • La prueba F para cociente de varianzas es muy sensible al supuesto de normalidad de las poblaciones
  • Para la cola inferior, se puede usar la relación: F_{1-α, gl₁, gl₂} = 1/F_{α, gl₂, gl₁}
  • En ingeniería, se usa para comparar precisión y consistencia de procesos o máquinas
  • En ciencias económicas, se aplica para comparar riesgo (volatilidad) de inversiones
  • En ciencias de la salud y comportamiento, se utiliza antes de pruebas t para verificar igualdad de varianzas (supuesto)
  • En R, var.test() realiza la prueba F de dos colas automáticamente
  • En Python, se puede usar scipy.stats.f para los cálculos o scipy.stats.bartlett() o levene() para pruebas más robustas

3 📊 PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE

📐 INTRODUCCIÓN

Las pruebas de bondad de ajuste (Goodness-of-Fit) verifican si una muestra de datos proviene de una distribución teórica específica. Las principales pruebas incluyen:

  • Prueba Chi-cuadrado (χ²): Para datos discretos o agrupados en categorías
  • Prueba de Kolmogorov-Smirnov (K-S): Para distribuciones continuas
  • Prueba de Shapiro-Wilk: Específica para normalidad
  • Prueba de Anderson-Darling: Más sensible en las colas

Hipótesis general: 

H₀: Los datos siguen la distribución teórica especificada
H₁: Los datos NO siguen la distribución teórica especificada

3.1 📊 PARTE I: PRUEBA DE NORMALIDAD

📊 PRUEBA DE SHAPIRO-WILK PARA NORMALIDAD

La prueba de Shapiro-Wilk es la más potente para muestras pequeñas (n ≤ 2000). El estadístico W se aproxima a 1 si los datos son normales.

🏭 APLICACIÓN EN INGENIERÍAS: Control de calidad de piezas

Contexto: Un ingeniero quiere verificar si las dimensiones de 50 piezas fabricadas siguen una distribución normal para aplicar control estadístico de procesos. Datos simulados: media 10 mm, desviación 0.2 mm. α = 0.05.

📐 Solución

Hipótesis: 
H₀: Los datos siguen una distribución normal
H₁: Los datos NO siguen una distribución normal
n = 50, W = 0.987, p-valor = 0.892

p-valor = 0.892 > 0.05 → No rechazamos H₀ → Los datos son normales.

📊 Código en R 

# Generar datos normales
set.seed(123)
dimensiones <- rnorm(50, mean = 10, sd = 0.2)

# Prueba de Shapiro-Wilk
shapiro_test <- shapiro.test(dimensiones)
print(shapiro_test)

# Visualización: Q-Q plot
qqnorm(dimensiones, main = "Q-Q Plot para dimensiones de piezas")
qqline(dimensiones, col = "red", lwd = 2)

# Histograma con curva normal
library(ggplot2)
df <- data.frame(dimensiones = dimensiones)
ggplot(df, aes(x = dimensiones)) +
  geom_histogram(aes(y = ..density..), bins = 15, fill = "lightblue", color = "black") +
  stat_function(fun = dnorm, args = list(mean = mean(dimensiones), sd = sd(dimensiones)), 
                color = "red", linewidth = 1.2) +
  labs(title = "Histograma de dimensiones con curva normal",
       x = "Dimensión (mm)", y = "Densidad") +
  theme_minimal()
Q-Q Plot: Normalidad

📊 Código en Python 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import shapiro, probplot

np.random.seed(123)
dimensiones = np.random.normal(10, 0.2, 50)

# Prueba de Shapiro-Wilk
stat, p_valor = shapiro(dimensiones)
print(f"W = {stat:.4f}, p-valor = {p_valor:.4f}")

# Q-Q plot
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
probplot(dimensiones, dist="norm", plot=ax)
ax.set_title("Q-Q Plot para dimensiones de piezas")
plt.show()

💰 APLICACIÓN EN CIENCIAS ECONÓMICAS: Rendimientos financieros

Contexto: Un analista financiero quiere verificar si los rendimientos diarios de una acción siguen una distribución normal (supuesto común en finanzas). Datos de 100 días. α = 0.05. 

Prueba de Shapiro-Wilk: W = 0.953, p-valor = 0.001

p-valor = 0.001 < 0.05 → Rechazamos H₀ → Los rendimientos NO son normales (colas pesadas).

🧠 APLICACIÓN EN CIENCIAS DEL COMPORTAMIENTO Y LA SALUD: Puntajes de ansiedad

Contexto: Un psicólogo quiere verificar si los puntajes de ansiedad de 30 pacientes siguen una distribución normal para aplicar pruebas paramétricas. α = 0.05. 

p-valor = 0.234 > 0.05 → No rechazamos H₀ → Los datos son normales.

3.2 📊 PARTE II: PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE PARA DISTRIBUCIÓN POISSON

📊 PRUEBA χ² PARA DISTRIBUCIÓN POISSON

La prueba Chi-cuadrado compara las frecuencias observadas con las frecuencias esperadas bajo una distribución Poisson. 

χ² = Σ (Oᵢ - Eᵢ)² / Eᵢ,  gl = k - 1 - p

donde p = número de parámetros estimados (1 para Poisson: λ).

🏭 APLICACIÓN EN INGENIERÍAS: Número de defectos por lote

Contexto: Se registra el número de defectos por lote en una línea de producción durante 100 lotes. ¿Sigue una distribución Poisson?

Datos (frecuencias observadas):

Defectos/Lote 0 1 2 3 4 5+
Observed 35 30 20 10 4 1 
λ estimado = (0×35 + 1×30 + 2×20 + 3×10 + 4×4 + 5×1)/100 = 1.25
χ² = 4.32, gl = 6-1-1=4, p-valor = 0.364 > 0.05 → No rechazamos H₀

📊 Código en R 

# Datos observados
obs <- c(35, 30, 20, 10, 4, 1)
n <- sum(obs)
k <- length(obs)
valores <- 0:4
ultimo <- 5

# Estimar lambda
lambda_est <- sum(valores * obs[1:5] + ultimo * obs[6]) / n

# Calcular frecuencias esperadas
esp <- dpois(0:4, lambda_est) * n
esp[6] <- n - sum(esp[1:5])

# Prueba chi-cuadrado
chi2 <- sum((obs - esp)^2 / esp)
gl <- k - 1 - 1
p_valor <- 1 - pchisq(chi2, gl)

cat("χ² =", round(chi2, 4), ", gl =", gl, ", p-valor =", round(p_valor, 4))

# Usando chisq.test (con correcciones)
chisq.test(obs, p = esp/n)
Distribución Poisson (λ=1.25) vs Observado

💰 APLICACIÓN EN CIENCIAS ECONÓMICAS: Llegadas de clientes

Contexto: Un centro comercial registra el número de clientes por minuto en horario valle. ¿Sigue una distribución Poisson? α = 0.05. 

Datos (100 minutos): λ estimado = 2.3, χ² = 5.67, gl=5, p-valor=0.34 → No rechazar H₀

🧠 APLICACIÓN EN CIENCIAS DEL COMPORTAMIENTO: Frecuencia de episodios

Contexto: Se registra el número de episodios de ansiedad por semana en 80 pacientes. ¿Sigue una distribución Poisson? α = 0.05. 

λ estimado = 1.8, χ² = 6.21, gl=5, p-valor=0.28 → No rechazar H₀

3.3 📊 PARTE III: PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE PARA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

📊 PRUEBA χ² PARA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Se comparan las frecuencias observadas de éxitos en n ensayos con las esperadas bajo una distribución Binomial(n, p). 

χ² = Σ (Oᵢ - Eᵢ)² / Eᵢ,  gl = k - 1 - p

donde p = número de parámetros estimados (2 para Binomial: n y p, pero n suele conocido).

🏭 APLICACIÓN EN INGENIERÍAS: Lanzamiento de moneda

Contexto: Se lanza una moneda 5 veces y se repite el experimento 100 veces. ¿El número de caras sigue una distribución Binomial(5, 0.5)? α = 0.05.

Datos (frecuencias observadas):

# Caras 0 1 2 3 4 5
Observed 2 14 35 32 15 2 
Frecuencias esperadas: dbinom(0:5, 5, 0.5) × 100 = [3.125, 15.625, 31.25, 31.25, 15.625, 3.125]
χ² = 0.96, gl = 6-1-0=5, p-valor = 0.966 > 0.05 → No rechazar H₀

📊 Código en R y Python 

# R
obs <- c(2, 14, 35, 32, 15, 2)
prob_teo <- dbinom(0:5, 5, 0.5)
chisq.test(obs, p = prob_teo)

# Python
from scipy.stats import chisquare, binom
obs = [2, 14, 35, 32, 15, 2]
prob = [binom.pmf(k, 5, 0.5) for k in range(6)]
chi2, p_valor = chisquare(obs, f_exp=np.array(prob)*100)

💰 APLICACIÓN EN CIENCIAS ECONÓMICAS: Éxito de ventas

Contexto: Se realiza un seguimiento de 10 llamadas de ventas por día durante 200 días. ¿El número de ventas sigue una Binomial(10, 0.3)? α = 0.05. 

χ² = 8.45, gl=9, p-valor=0.49 → No rechazar H₀

🧠 APLICACIÓN EN CIENCIAS DEL COMPORTAMIENTO: Respuestas en test

Contexto: Un test de 8 preguntas verdadero/falso es respondido por 150 estudiantes. ¿El número de aciertos sigue una Binomial(8, 0.5)? α = 0.05. 

χ² = 7.23, gl=7, p-valor=0.41 → No rechazar H₀

3.4 📊 RESUMEN DE PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE

📋 Tabla comparativa

Prueba Distribución Estadístico Grados de libertad Ventajas
Shapiro-Wilk Normal W n Potente para muestras pequeñas
Kolmogorov-Smirnov Cualquiera D n No paramétrica, sensible al centro
Anderson-Darling Cualquiera A² n Más sensible en colas
Chi-cuadrado Discreta/agrupada χ² k-1-p Fácil de calcular e interpretar

3.5 💡 CONCLUSIONES CLAVE

✅ Puntos importantes

  • Las pruebas de bondad de ajuste son fundamentales antes de aplicar pruebas paramétricas (t, ANOVA, etc.)
  • La prueba Chi-cuadrado requiere frecuencias esperadas ≥ 5 por categoría para ser válida
  • Para normalidad, Shapiro-Wilk es recomendado para muestras pequeñas; Kolmogorov-Smirnov para muestras grandes
  • En ingeniería, se usa para control de calidad y validación de supuestos
  • En ciencias económicas, se aplica para modelar llegadas de clientes (Poisson) y éxitos/fracasos (Binomial)
  • En ciencias de la salud y comportamiento, es esencial para validar distribuciones de puntajes y frecuencias de eventos

4 📊 PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE ADICIONALES

📐 PRUEBAS ADICIONALES DE BONDAD DE AJUSTE

A continuación se presentan tres pruebas adicionales de bondad de ajuste: Kolmogorov-Smirnov (K-S), Anderson-Darling (A-D) y Cramér-von Mises (C-vM).

4.1 📊 PARTE IV: PRUEBA DE KOLMOGOROV-SMIRNOV (K-S)

📊 PRUEBA DE KOLMOGOROV-SMIRNOV PARA NORMALIDAD

La prueba de Kolmogorov-Smirnov compara la función de distribución empírica con la teórica. El estadístico D es la máxima distancia entre ambas curvas. 

D = supx |Fn(x) - F(x)|

🏭 INGENIERÍAS: Resistencia de materiales

Contexto: Se prueban 45 especímenes de un nuevo material compuesto. ¿La resistencia sigue una distribución normal con μ=120 MPa y σ=10 MPa? α=0.05. 

D = 0.092, p-valor = 0.784 > 0.05 → No rechazamos H₀

📊 Código en R 

# Generar datos
set.seed(123)
resistencia <- rnorm(45, mean = 120, sd = 10)

# Prueba KS
ks_test <- ks.test(resistencia, "pnorm", mean = 120, sd = 10)
print(ks_test)

# Visualización: CDF empírica vs teórica
library(ggplot2)
df <- data.frame(resistencia = resistencia)
ggplot(df, aes(x = resistencia)) +
  stat_ecdf(color = "blue", linewidth = 1.2) +
  stat_function(fun = pnorm, args = list(mean = 120, sd = 10), 
                color = "red", linetype = "dashed", linewidth = 1.2) +
  labs(title = "CDF empírica vs teórica (Normal)",
       x = "Resistencia (MPa)", y = "Función de distribución") +
  theme_minimal()
CDF empírica vs Normal teórica D máxima

💰 CIENCIAS ECONÓMICAS: Distribución de ingresos

Contexto: Un economista quiere verificar si los ingresos mensuales de 200 trabajadores siguen una distribución normal. α = 0.05. 

D = 0.087, p-valor = 0.154 > 0.05 → No rechazamos H₀

🧠 CIENCIAS DEL COMPORTAMIENTO: Puntajes de depresión

Contexto: Se aplica un test de depresión a 60 pacientes. ¿Los puntajes siguen una distribución normal? α = 0.05. 

D = 0.112, p-valor = 0.063 > 0.05 → No rechazamos H₀ (normalidad aceptada)

4.2 📊 PARTE V: PRUEBA DE ANDERSON-DARLING

📊 PRUEBA DE ANDERSON-DARLING PARA NORMALIDAD

La prueba de Anderson-Darling da más peso a las colas de la distribución, siendo más sensible a desviaciones en los extremos. 

A² = -n - (1/n) Σ (2i-1)[ln(F(xᵢ)) + ln(1-F(xₙ₊₁₋ᵢ))]

🏭 INGENIERÍAS: Tolerancias de fabricación

Contexto: Se miden las tolerancias de 80 piezas fabricadas. ¿Siguen una distribución normal? α=0.05.

📊 Código en Python 

import numpy as np
from scipy.stats import anderson

np.random.seed(123)
tolerancias = np.random.normal(0.5, 0.02, 80)

# Prueba de Anderson-Darling
resultado = anderson(tolerancias, dist='norm')
print(resultado)

# Visualización
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
sns.histplot(tolerancias, kde=True, stat='density', color='blue', alpha=0.5)
x = np.linspace(0.4, 0.6, 100)
plt.plot(x, np.exp(-0.5*((x-0.5)/0.02)**2)/(0.02*np.sqrt(2*np.pi)), 
         color='red', linewidth=2, label='Distribución normal teórica')
plt.title('Histograma de tolerancias vs curva normal')
plt.xlabel('Tolerancia (mm)')
plt.ylabel('Densidad')
plt.legend()
plt.show()

💰 CIENCIAS ECONÓMICAS: Rendimiento de acciones

Contexto: Se analizan los rendimientos diarios de una acción durante 250 días. ¿Siguen una distribución normal? α=0.05 (Anderson-Darling es muy sensible a colas pesadas). 

A² = 5.23, valor crítico para α=0.05 = 0.752 → 5.23 > 0.752 → Rechazamos H₀ (colas pesadas)

4.3 📊 PARTE VI: PRUEBA DE CRAMÉR-VON MISES

📊 PRUEBA DE CRAMÉR-VON MISES

La prueba de Cramér-von Mises mide la integral del cuadrado de la diferencia entre la CDF empírica y la teórica. 

W² = n ∫ [Fn(x) - F(x)]² dF(x)

🏭 INGENIERÍAS: Uniformidad de distribución de partículas

Contexto: Se mide el tamaño de partículas en un proceso de filtración. ¿Siguen una distribución uniforme? α=0.05.

📊 Código en R (Cramér-von Mises) 

library(goftest)

# Datos simulados: distribución uniforme
set.seed(123)
particulas <- runif(100, 0, 1)

# Prueba de Cramér-von Mises para uniformidad
cvm_test <- cvm.test(particulas, "punif", min = 0, max = 1)
print(cvm_test)

# Visualización
hist(particulas, breaks = 20, col = "lightblue", 
     main = "Distribución de tamaños de partículas",
     xlab = "Tamaño (mm)", prob = TRUE)
abline(h = 1, col = "red", lwd = 2, lty = 2)

4.4 📊 RESUMEN DE PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE

📋 Tabla comparativa completa

Prueba Estadístico Ventajas Desventajas Mejor para
Shapiro-Wilk W Potente para muestras pequeñas Limitado a n≤2000 Normalidad general
Kolmogorov-Smirnov D No paramétrica, cualquier distribución Más potencia en centro que en colas Distribuciones continuas
Anderson-Darling A² Sensible a colas Requiere más recursos Detectar desviaciones en extremos
Cramér-von Mises W² Mejor que K-S en algunos casos Menos conocida Distribuciones continuas
Chi-cuadrado χ² Fácil, aplicable a discretas Requiere agrupación, pérdida de información Datos discretos/agrupados

4.5 📊 GUÍA DE SELECCIÓN DE PRUEBA

📋 ¿Cuál prueba usar?

Situación Prueba recomendada
Muestra pequeña (n < 50), verificar normalidad Shapiro-Wilk Muestra grande (n > 2000), normalidad Kolmogorov-Smirnov o Anderson-Darling Importancia de las colas (riesgo extremo) Anderson-Darling Datos discretos (Poisson, Binomial) Chi-cuadrado Comparar con distribución teórica específica (no normal) Kolmogorov-Smirnov (parámetros conocidos)

4.6 💡 CONCLUSIONES CLAVE

✅ Puntos importantes

  • Las pruebas de bondad de ajuste son complementarias a los gráficos (QQ-plot, histograma)
  • La normalidad es un supuesto clave para pruebas paramétricas (t, ANOVA, regresión lineal)
  • Para muestras muy grandes (n>2000), pruebas como Shapiro-Wilk pueden detectar desviaciones irrelevantes prácticamente
  • La prueba Chi-cuadrado para bondad de ajuste requiere frecuencias esperadas ≥ 5 en al menos el 80% de las categorías
  • En ciencias económicas, la normalidad de los rendimientos financieros es frecuentemente rechazada (colas pesadas)
  • En ingeniería, la normalidad es más común debido al Teorema Central del Límite
  • En ciencias de la salud, muchas variables biológicas tienden a ser normales (peso, altura) pero no todas

5 📊 PRUEBAS DE INDEPENDENCIA Y HOMOGENEIDAD

📐 INTRODUCCIÓN

Las pruebas de independencia y homogeneidad se utilizan para analizar tablas de contingencia y determinar si existe asociación entre variables categóricas o si las distribuciones son similares entre poblaciones.

  • Prueba de independencia (χ²): Determina si dos variables categóricas son independientes en una misma población.
  • Prueba de homogeneidad (χ²): Determina si la distribución de una variable categórica es la misma en diferentes poblaciones. 
χ² = Σ (Oᵢⱼ - Eᵢⱼ)² / Eᵢⱼ ,  gl = (r-1)(c-1)

donde Eᵢⱼ = (Total fila i × Total columna j) / Total general

5.1 📊 PARTE I: PRUEBA DE INDEPENDENCIA CHI-CUADRADO

🏭 APLICACIÓN EN INGENIERÍAS: Defectos por turno de trabajo

Contexto: Un ingeniero de calidad quiere determinar si el número de defectos está asociado con el turno de trabajo (mañana, tarde, noche). Se registran los defectos en 300 productos. α = 0.05.

Tabla de contingencia (observados): 

<td style="border:1px solid #ddd; background:#FFE66D;"><strong>100</strong></td>
<td style="border:1px solid #ddd; background:#FFE66D;"><strong>200</strong></td>
<td style="border:1px solid #ddd; background:#FFE66D;"><strong>300</strong></td>
Turno  Defectos Defectuoso No defectuoso Total
Mañana 25 75 100
Tarde 35 65 100
Noche 40 60 100
Total
Paso 1: Hipótesis 
H₀: El turno y la calidad son independientes
H₁: El turno y la calidad están asociados
Paso 2: Frecuencias esperadas (bajo independencia) 
E₁₁ = (100×100)/300 = 33.33; E₁₂ = (100×200)/300 = 66.67
E₂₁ = 33.33; E₂₂ = 66.67; E₃₁ = 33.33; E₃₂ = 66.67
Paso 3: Estadístico χ² 
χ² = Σ (O-E)²/E = (25-33.33)²/33.33 + (75-66.67)²/66.67 + 
       (35-33.33)²/33.33 + (65-66.67)²/66.67 +
       (40-33.33)²/33.33 + (60-66.67)²/66.67
     = 2.08 + 1.04 + 0.08 + 0.04 + 1.33 + 0.67 = 5.24
Paso 4: Decisión (gl = (3-1)×(2-1) = 2, χ²₀.₀₅,₂ = 5.991)

χ² = 5.24 < 5.991 → No rechazamos H₀

Conclusión: No hay evidencia de asociación entre el turno de trabajo y la calidad del producto.

📊 Código en R 

# Tabla de contingencia
tabla <- matrix(c(25, 75, 35, 65, 40, 60), nrow = 3, byrow = TRUE)
rownames(tabla) <- c("Mañana", "Tarde", "Noche")
colnames(tabla) <- c("Defectuoso", "No defectuoso")
print(tabla)

# Prueba de independencia chi-cuadrado
prueba_chi <- chisq.test(tabla)
print(prueba_chi)

# Residuos estandarizados
prueba_chi$residuals

# Visualización con mosaic plot
library(ggplot2)
library(ggmosaic)
df <- as.data.frame(as.table(tabla))
names(df) <- c("Turno", "Calidad", "Freq")
ggplot(data = df) +
  geom_mosaic(aes(x = product(Turno, Calidad), fill = Calidad, weight = Freq)) +
  labs(title = "Mosaic plot: Turno vs Calidad", x = "Turno", y = "Proporción") +
  theme_minimal()
Distribución χ²(2) con χ²=5.24 5.991 5.24

📊 Código en Python 

import numpy as np
from scipy.stats import chi2_contingency

# Tabla de contingencia
tabla = np.array([[25, 75],
                  [35, 65],
                  [40, 60]])

# Prueba chi-cuadrado de independencia
chi2, p_valor, gl, esperados = chi2_contingency(tabla)

print(f"χ² = {chi2:.4f}")
print(f"p-valor = {p_valor:.4f}")
print(f"Grados de libertad = {gl}")
print(f"Frecuencias esperadas:\n{esperados}")

# Visualización con heatmap
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
plt.figure(figsize=(8, 5))
sns.heatmap(tabla, annot=True, fmt='d', cmap='Blues',
            xticklabels=['Defectuoso', 'No defectuoso'],
            yticklabels=['Mañana', 'Tarde', 'Noche'])
plt.title('Tabla de contingencia: Turno vs Calidad')
plt.show()

💰 CIENCIAS ECONÓMICAS: Preferencia de producto por nivel educativo

Contexto: Una empresa quiere saber si la preferencia por un producto está relacionada con el nivel educativo de los consumidores. α = 0.05.

Datos (200 encuestados): 

<td style="border:1px solid #ddd; background:#FFE66D;">60</td>
<td style="border:1px solid #ddd; background:#FFE66D;">90</td>
<td style="border:1px solid #ddd; background:#FFE66D;">50</td>
<td style="border:1px solid #ddd; background:#FFE66D;">200</td>
Educación  Producto A B C Total
Básica 20 30 10 60
Media 25 35 20 80
Superior 15 25 20 60
Total 
χ² = 6.82, p-valor = 0.146 > 0.05 → No rechazamos H₀ (independencia)

🧠 CIENCIAS DEL COMPORTAMIENTO Y LA SALUD: Tratamiento vs respuesta

Contexto: Se quiere determinar si la respuesta a un tratamiento (mejoría/sin mejoría) es independiente del tipo de terapia (cognitiva, conductual, farmacológica). α = 0.05.

Datos (150 pacientes): 

χ² = 6.45, gl = 2, p-valor = 0.040 < 0.05 → Rechazamos H₀ (existe asociación)

Conclusión: La respuesta al tratamiento depende del tipo de terapia.

5.2 📊 PARTE II: PRUEBA DE HOMOGENEIDAD CHI-CUADRADO

📊 PRUEBA DE HOMOGENEIDAD

A diferencia de la prueba de independencia (una población, dos variables), la prueba de homogeneidad compara la misma variable categórica en dos o más poblaciones. 

H₀: Las distribuciones son iguales en todas las poblaciones
H₁: Al menos una población tiene distribución diferente

🏭 INGENIERÍAS: Calidad en diferentes plantas

Contexto: Se quiere comparar la distribución de calidad (Excelente, Bueno, Deficiente) en tres plantas de producción diferentes. α = 0.05.

Datos (450 productos): 

<td style="border:1px solid #ddd; background:#FFE66D;">150</td>
<td style="border:1px solid #ddd; background:#FFE66D;">210</td>
<td style="border:1px solid #ddd; background:#FFE66D;">90</td>
<td style="border:1px solid #ddd; background:#FFE66D;">450</td>
Planta  Calidad Excelente Bueno Deficiente Total
Planta A 50 70 30 150
Planta B 60 80 10 150
Planta C 40 60 50 150
Total 
χ² = 28.57, gl = (3-1)×(3-1) = 4, p-valor = 9.4e-06 < 0.05

Decisión: Rechazamos H₀ → Las plantas tienen diferentes distribuciones de calidad.

📊 Código en R 

# Tabla de contingencia (plantas como filas)
tabla_hom <- matrix(c(50, 70, 30, 60, 80, 10, 40, 60, 50), 
                    nrow = 3, byrow = TRUE)
rownames(tabla_hom) <- c("Planta A", "Planta B", "Planta C")
colnames(tabla_hom) <- c("Excelente", "Bueno", "Deficiente")

# Prueba de homogeneidad (mismo cálculo que independencia)
prueba_hom <- chisq.test(tabla_hom)
print(prueba_hom)

# Gráfico de barras apiladas
library(ggplot2)
df_hom <- as.data.frame(as.table(tabla_hom))
names(df_hom) <- c("Planta", "Calidad", "Freq")

ggplot(df_hom, aes(x = Planta, y = Freq, fill = Calidad)) +
  geom_bar(stat = "identity", position = "fill") +
  labs(title = "Distribución de calidad por planta",
       y = "Proporción", x = "Planta") +
  theme_minimal() +
  scale_fill_manual(values = c("#4ECDC4", "#FFE66D", "#FF6B6B"))
Distribución de calidad por planta Planta A Planta B Planta C Excelente Bueno Deficiente

💰 CIENCIAS ECONÓMICAS: Distribución del voto por región

Contexto: Se quiere comparar la distribución de la intención de voto (Partido A, B, C) en tres regiones del país. α = 0.05. 

χ² = 12.45, p-valor = 0.014 < 0.05 → Rechazamos H₀ → La intención de voto difiere por región.

🧠 CIENCIAS DEL COMPORTAMIENTO: Nivel de estrés por ocupación

Contexto: Se quiere comparar la distribución del nivel de estrés (Bajo, Medio, Alto) en tres ocupaciones (Profesional, Técnico, Administrativo). α = 0.05. 

χ² = 8.92, gl=4, p-valor=0.063 > 0.05 → No rechazamos H₀ → Distribución de estrés similar entre ocupaciones.

5.3 📊 PARTE III: PRUEBA EXACTA DE FISHER

📊 PRUEBA EXACTA DE FISHER (TABLAS 2×2)

La prueba exacta de Fisher se utiliza cuando las frecuencias esperadas son pequeñas (E < 5) y la prueba χ² no es confiable. 

p = ( (a+b)!(c+d)!(a+c)!(b+d)! ) / ( a! b! c! d! n! )

🧠 CIENCIAS DE LA SALUD: Efecto de un fármaco

Contexto: Se prueba un nuevo fármaco en un estudio pequeño con 20 pacientes. α = 0.05.

Datos:

Mejoría Sin mejoría Total
Fármaco 8 2 10
Placebo 3 7 10
Total 11 9 20 
p-valor (Fisher) = 0.069 > 0.05 → No rechazamos H₀

Conclusión: No hay evidencia suficiente de asociación entre el fármaco y la mejoría.

📊 Código en R 

# Tabla 2x2
tabla_fisher <- matrix(c(8, 2, 3, 7), nrow = 2, byrow = TRUE)
rownames(tabla_fisher) <- c("Fármaco", "Placebo")
colnames(tabla_fisher) <- c("Mejoría", "Sin mejoría")

# Prueba exacta de Fisher
fisher.test(tabla_fisher)

5.4 📊 RESUMEN DE PRUEBAS DE INDEPENDENCIA Y HOMOGENEIDAD

📋 Tabla comparativa

Prueba Aplicación Hipótesis Estadístico Condiciones
Independencia (χ²) Dos variables categóricas, una población H₀: Independencia χ² = Σ(O-E)²/E E ≥ 5 en 80% celdas
Homogeneidad (χ²) Una variable, múltiples poblaciones H₀: Distribuciones iguales χ² = Σ(O-E)²/E E ≥ 5 en 80% celdas
Exacta de Fisher Tablas 2×2, muestras pequeñas H₀: Independencia p exacta Cualquier tamaño
McNemar Datos pareados (antes/después) H₀: Proporciones marginales iguales χ² = (b-c)²/(b+c) Muestras dependientes

5.5 💡 CONCLUSIONES CLAVE

✅ Puntos importantes

  • La prueba de independencia y la prueba de homogeneidad usan el mismo estadístico χ² pero difieren en el diseño muestral
  • Para tablas 2×2, la prueba exacta de Fisher es más precisa cuando alguna frecuencia esperada es < 5
  • La prueba de McNemar se usa para muestras pareadas (antes/después, casos/controles emparejados)
  • En c ciencias económicas, estas pruebas se usan para análisis de encuestas y segmentación de mercado
  • En ingeniería, se aplican para control de calidad y análisis de procesos
  • En ciencias de la salud, son fundamentales para ensayos clínicos y estudios epidemiológicos