Lista 3: Matemática Comercial
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MSP4111: Matemática Financeira Aplicada à Medicina

Bastão de Asclépio & Símbolo do Dinheiro

suppressMessages(library(FinCal, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(knitr, warn.conflicts=FALSE))

• Gabarito: Lista 3

1. APEx 15500: D
2. APEx 15501: A
3. APEx 15502: D
4. APEx 15503: D
5. APEx 15504: A
6. APEx 15505: D
7. APEx 15506: C
8. APEx 15844: C
9. APEx 15846: B
10. APEx 15847: C
11. APEx 16438: D
12. APEx 15858: B
13. APEx 16439: C
14. APEx 16440: D
15. APEx 15853: B
16. APEx 15854: B
17. APEx 16441: A
18. APEx 15857: B
19. APEx 15873: C
20. APEx 15872: C
21. APEx 15869: D
22. APEx 15868: B
23. APEx 16442: F
24. APEx 15866: A

1 APEx 15500: Parcelamento de terreno

• Hazzan & Pompeo, 2004, p. 77

Carlos pretende vender o seu terreno pelo preço de R$ 600.000,00 à vista. Entretanto, em face das dificuldades de venda à vista, está disposto a fazer o seguinte plano de pagamento: (i) entrada de R$ 120.000,00; (ii) R$ 250.000,00 no fim de seis meses; (iii) duas parcelas, sendo a segunda 50% superior à primeira, vencíveis em 1 ano e 15 meses, respectivamente. A taxa de juro do mercado é de 6% a.m. (juro composto).

O valor da última parcela (que vence em 15 meses) será de:

A. R$ 270.522,00
B. R$ 308.795,00
C. R$ 350.835,00
D. R$ 405.783,00

Explicações e comentários:

Alternativa correta: D.

Adota-se hoje como data focal e \(i = 0.06\) a.m. O preço à vista (600000) deve ser igual ao valor presente do plano de pagamento.

Seja \(X\) a parcela que vence em 12 meses. A parcela que vence em 15 meses é \(1.5X\).

Logo, a equação de equivalência é

\[ 600000 = 120000 + \frac{250000}{1.06^6} + \frac{X}{1.06^{12}} + \frac{1.5X}{1.06^{15}} \]

Isolando \(X\),

\[ X\left(\frac{1}{1.06^{12}}+\frac{1.5}{1.06^{15}}\right) = 600000 - 120000 - \frac{250000}{1.06^6} \]

Assim,

\[ X = \frac{ 600000 - 120000 - \dfrac{250000}{1.06^6} }{ \dfrac{1}{1.06^{12}}+\dfrac{1.5}{1.06^{15}} } \]

Calculando, obtém-se

\[ X \approx 270522 \]

Logo, a última parcela (em 15 meses) é

\[ 1.5X \approx 405783 \]

Portanto, o valor da última parcela é aproximadamente R$ 405.783,00.

2 APEx 15501: Adiamento da segunda parcela

• Hazzan & Pompeo, 2004, p. 78

A loja Bonçom vende um conjunto de som em duas parcelas: R$ 20.000,00 de entrada e R$ 40.000,00 após 5 meses. O cliente propõe adiar a segunda parcela por mais 3 meses. Considerando que a taxa de juro mensal cobrada é de 5% e o regime de capitalização composta.

O cliente deverá pagar a mais na entrada a quantia de:

A. R$ 4.267,00
B. R$ 4.553,00
C. R$ 4.674,00
D. R$ 6.305,00
E. R$ 8.047,00

Explicações e comentários:

Alternativa correta: A.

Adota-se a data de hoje como data focal e \(i = 0.05\) a.m.

Plano original: \[ P_1 = 20000 + \frac{40000}{1.05^5} \]

Plano proposto: adiar a segunda parcela de 5 para 8 meses e pagar um adicional \(X\) na entrada: \[ P_2 = (20000 + X) + \frac{40000}{1.05^8} \]

Equivalência: \[ 20000 + \frac{40000}{1.05^5} = 20000 + X + \frac{40000}{1.05^8} \]

Cancelando os 20000 e isolando \(X\): \[ X = 40000\left(\frac{1}{1.05^5} - \frac{1}{1.05^8}\right) \]

Calculando: \[ X \approx 4267.47 \]

Logo, o cliente deverá pagar a mais na entrada aproximadamente R$ 4.267,00.

3 APEx 15502: Três títulos

• Hazzan & Pompeo, 2004, p. 78

Uma empresa deve pagar três títulos: R$ 15.000,00 exigível em 1 ano; R$ 30.000,00 exigível em 2 anos; e R$ 25.000,00 exigível em 3 anos. A empresa pretende substituir esses três títulos por um único de R$ 45.676,21. O regime é de juro composto e a taxa mensal é 5%.

O prazo em meses do novo título é:

A. 12
B. 13
C. 14
D. 15
E. 16

Explicações e comentários:

Alternativa correta: D.

Adota-se a data de hoje como data focal e \(i = 0.05\) a.m. Calcula-se o valor presente dos três títulos originais e iguala-se ao valor presente do novo título.

Os prazos são 12, 24 e 36 meses. Logo, o valor presente das obrigações originais é

\[ P = \frac{15000}{1.05^{12}} + \frac{30000}{1.05^{24}} + \frac{25000}{1.05^{36}} \]

O novo título, de valor nominal 45676.21, vence em \(n\) meses, então seu valor presente é

\[ P = \dfrac{45676.21}{1.05^{n}} \]

Igualando:

\[ \dfrac{15000}{1.05^{12}} + \dfrac{30000}{1.05^{24}} + \dfrac{25000}{1.05^{36}} = \dfrac{45676.21}{1.05^{n}} \]

Isolando \(n\):

\[ 1.05^{n} = \dfrac{45676.21}{ \dfrac{15000}{1.05^{12}} + \dfrac{30000}{1.05^{24}} + \dfrac{25000}{1.05^{36}} } \]

Aplicando logaritmo:

\[ n = \frac{ \log\left( \dfrac{45676.21}{ \dfrac{15000}{1.05^{12}} + \dfrac{30000}{1.05^{24}} + \dfrac{25000}{1.05^{36}} } \right) }{ \log(1.05) } \]

Numericamente, obtém-se

\[ n \approx 15 \text{ meses} \]

4 APEx 15503: Carro à vista

• Hazzan & Pompeo, 2004, p. 106

O preço à vista de um carro é de R$ 250.000,00, mas pode ser vendido a prazo em 24 prestações mensais iguais, imediatas e postecipadas de R$ 14.494,18, com 20% de entrada.

Nessas condições, a taxa mensal de juro que estaria sendo cobrada pela venda do carro é:

A. 2%
B. 3%
C. 4%
D. 5%
E. 6%
F. Impossível determinar

Explicações e comentários:

Alternativa correta: D.

Entrada:

\[ E = 0.20\times 250000 = 50000 \]

Valor financiado (valor presente das prestações):

\[ P = 250000 - 50000 = 200000 \]

Com prestações postecipadas, o valor presente é

\[ P = PMT \times \frac{1-(1+i)^{-24}}{i} \]

com \(PMT = 14494.18\). Logo, \(i\) satisfaz

\[ 200000 = 14494.18 \times \frac{1-(1+i)^{-24}}{i} \]

A solução numérica fornece

\[ i \approx 0.05 \]

isto é, aproximadamente \(5\%\) a.m.

PV <- 250000 * (1 - 0.20)   # valor financiado
PMT <- 14494.18
n  <- 24
# FinCal::discount.rate
i_fin <- FinCal::discount.rate(pv = -PV,   
                               fv = 0,
                               pmt = PMT,
                               n = n)
print(i_fin)

[1] 0.05000041

# uniroot
f <- function(i) PMT * (1 - (1 + i)^(-n)) / i - PV
i_root <- uniroot(f, interval = c(0.001, 0.2))$root
print(i_root)

[1] 0.05001626

5 APEx 15504: Compra de computador

• Hazzan & Pompeo, 2004, p. 107

Uma empresa deseja adquirir um microcomputador, cujo preço à vista é de R$ 500,00. Todavia, a venda do equipamento pode ser financiada de três formas:

1. R$ 100,00 de entrada e 24 prestações mensais de R$ 29,00 ii. 20 prestações mensais de R$ 40,00 imediatas e sem entrada
   
2. Um único pagamento de R$ 640,00, no prazo de cinco meses

A taxa de juro mensal do mercado é 5%.

A melhor forma de pagamento para a empresa, utilizando o método do valor atual é:

A. O preço à vista
B. A forma indicada no item i
C. A forma indicada no item ii
D. A forma indicada no item iii

Explicações e comentários:

Alternativa correta: A.

A data focal é hoje e a taxa é \(i = 0.05\) a.m. Compara-se o valor presente (VP) de cada alternativa. A melhor é a de menor VP.

Preço à vista:

\[ P_0 = 500 \]

Item i: entrada hoje e 24 prestações postecipadas de 29:

\[ P_1 = 100 + 29\frac{1-(1+0.05)^{-24}}{0.05} \]

Numericamente,

\[ P_1 \approx 500.16 \]

Item ii: 20 prestações imediatas de 40, sem entrada. Uma anuidade antecipada vale \(1+i\) vezes a anuidade postecipada, ou, equivalentemente,

\[ P_2 = 40\frac{1-(1+0.05)^{-20}}{0.05} \]

Numericamente,

\[ P_2 \approx 498.49 \]

Item iii: pagamento único em 5 meses:

\[ P_3 = \frac{640}{(1+0.05)^5} \]

Numericamente,

\[ P_3 \approx 501.46 \]

Comparando:

\[ P_2 \approx 498.49 < P_0 = 500 < P_1 \approx 500.16 < P_3 \approx 501.46 \]

Logo, a melhor forma de pagamento é pagar 20 prestações mensais de R$ 40,00 imediatas e sem entrada.

6 APEx 15505: Equivalência de pagamentos

• Nascimento (Sebá), 2008, p. 59

Uma empresa tem uma dívida composta pelos pagamentos: R$ 200.000,00 de hoje a 2 meses, R$ 600.000,00 de hoje a 5 meses e R$ 900.000,00 de hoje a 7 meses. Deseja-se trocar estas obrigações por dois pagamentos iguais, vencíveis o primeiro ao fim do sexto mês e o segundo no oitavo mês. A taxa de juro é 7% a.m.

Calcular o valor destes pagamentos, admitindo-se a data de hoje como data de comparação.

A. 909.800
B. 920.843
C. 922.437
D. 931.592
E. Impossível determinar

Explicações e comentários:

Alternativa correta: D.

Tomando a data de hoje como data focal e taxa \(i = 0.07\) a.m., igualamos os valores presentes.

Valor presente das três obrigações originais:

\[ P_{\text{orig}}= \frac{200000}{1.07^2} + \frac{600000}{1.07^5} + \frac{900000}{1.07^7} \]

Valor presente dos dois pagamentos iguais \(X\), vencíveis nos meses 6 e 8:

\[ P_{\text{novo}}= \frac{X}{1.07^6} + \frac{X}{1.07^8} \]

Equivalência:

\[ \frac{200000}{1.07^2} + \frac{600000}{1.07^5} + \frac{900000}{1.07^7} = \frac{X}{1.07^6} + \frac{X}{1.07^8} \]

Isolando \(X\),

\[ X= \dfrac{ \dfrac{200000}{1.07^2} + \dfrac{600000}{1.07^5} + \dfrac{900000}{1.07^7} }{ \dfrac{1}{1.07^6}+\dfrac{1}{1.07^8} } \]

Calculando,

\[ X = 931592 \]

Logo, cada um dos dois pagamentos iguais deve ser R$ 931.592,00.

7 APEx 15506: Número de prestações

• Nascimento (Sebá), 2008, p. 141

Suponha que você seja dono de uma loja e só vende seus produtos à vista. Você decide vender um produto a prazo, cujo preço à vista é 200 u.m., em prestações iguais e mensais de R$ 52,76 u.m., com a primeira paga um mês após a compra, e deseja cobrar uma taxa de juro de 10% a.m.

Em quantas prestações o produto deve ser vendido para que seja indiferente vendê-lo à vista ou a prazo?

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
E. 7

Explicações e comentários:

Alternativa correta: C.

A condição de indiferença é que o valor presente das prestações seja igual ao preço à vista. Como as prestações são postecipadas e iguais, utiliza-se o valor presente de uma anuidade no regime de capitalização composta:

\[ 200 = 52.76 \times \frac{1 - (1 + 0.10)^{-n}}{0.10} \]

Isolando \(n\):

\[ \frac{200 \times 0.10}{52.76} = 1 - (1.1)^{-n} \]

\[ (1.1)^{-n} = 1 - \frac{20}{52.76} \]

\[ (1.1)^{-n} \approx 0.621 \]

\[ n = \frac{\log(0.621)}{\log(1/1.1)} \approx 5 \]

Portanto, o produto deve ser vendido em 5 prestações mensais para que o vendedor seja indiferente entre vender à vista ou a prazo.

8 APEx 15844: Desconto comercial

• Jr & Lima, 2011, p. 772-3

Um comerciante poderá escolher uma das opções abaixo para descontar, hoje, um título que vence daqui a 45 dias.

I. Banco A: a uma taxa de 2% a.m., segundo uma operação de desconto comercial simples, recebendo no ato o valor de R$ 28.178,50.

2. Banco B: a uma taxa de 2,5% a.m., segundo uma operação de desconto racional simples.

Utilizando a convenção de ano comercial, caso opte por descontar o título no Banco B, o comerciante receberá no ato do desconto o valor de:

A. R$ 27.200,00
B. R$ 27.800,00
C. R$ 28.000,00
D. R$ 28.160,00
E. R$ 28.401,60

Explicações e comentários:

Alternativa correta: C.

Banco A utiliza desconto comercial simples. Seja \(N\) o valor nominal do título. O valor atual é dado por

\[ A = N(1 - i n) \]

com \(i = 0.02\) a.m. e \(n = 45/30 = 1.5\) meses. Logo,

\[ 28178.50 = N(1 - 0.02 \times 1.5) = 0.97N \]

\[ N = \frac{28178.50}{0.97} = 29050.00 \]

Banco B utiliza desconto racional simples. O valor atual é dado por

\[ A = \frac{N}{1 + i n} \]

com \(i = 0.025\) a.m. e \(n = 1.5\) meses. Substituindo,

\[ A = \frac{29050.00}{1 + 0.025 \times 1.5} = \frac{29050.00}{1.0375} \approx 28000.00 \]

Assim, ao descontar o título no Banco B, o comerciante receberá aproximadamente R$ 28.000,00.

9 APEx 15846: SAC

• Jr. & Lima, 2011, p. 829

No SAC, o pagamento da dívida é tal que:

A. As prestações sucessivas são constantes.
B. As prestações sucessivas são declinantes.
C. Os juros sucessivos são crescentes.
D. As amortizações sucessivas são declinantes.

Explicações e comentários:

Alternativa correta: B.

No Sistema de Amortização Constante (SAC), a amortização é constante ao longo do tempo. Os juros de cada período são calculados sobre o saldo devedor, que diminui após cada pagamento. Como os juros diminuem ao longo do tempo e a amortização permanece constante, o valor total das prestações (amortização + juros) é decrescente.

10 APEx 15847: SAF

• Jr. & Lima, 2011, p. 829

No SAF, é correto afirmar que:

A. As prestações são decrescentes ao longo do tempo.
B. As amortizações são constantes e os juros são crescentes.
C. As prestações são constantes e a parcela de juros decresce com o tempo.
D. A amortização cresce no início e depois se mantém constante. E. O valor dos juros pagos em cada parcela é sempre o mesmo.

Explicações e comentários:

Alternativa correta: C.

No Sistema de Amortização Francês (SAF), também conhecido como sistema Price, as prestações são constantes ao longo do tempo. Os juros de cada parcela são calculados sobre o saldo devedor, que diminui a cada pagamento. Assim, a parcela de juros decresce com o tempo e, consequentemente, a parcela de amortização aumenta.

11 APEx 16438: SAF: automóvel

• Hazzan & Pompeo, 2004, p. 151

Um automóvel, vendido à vista por R$ 15.860,00, pode ser financiado em 24 parcelas iguais e mensais, a juro composto de 4% a.m., vencendo a primeira prestação no ato da compra.

Com base nessas informações, assinale a alternativa correta.

A. O sistema de amortização que está sendo utilizado para esse financiamento é o SAC.
B. O saldo devedor, após ser paga a décima segunda prestação, corresponde à metade do valor efetivamente financiado.
C. Menos de 50% do valor da segunda prestação corresponde a juro do financiamento.
D. Após pagar a penúltima prestação, o saldo devedor é inferior a R$ 970,00.

Explicações e comentários:

Alternativa correta: D.

Como as prestações são iguais e mensais, com juros compostos, trata-se do SAF (Price). Como a primeira prestação vence no ato, é uma anuidade antecipada. Logo,

\[ PV = PMT \times \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\times(1+i) \]

Com \(PV=15860\), \(i=0.04\) e \(n=24\),

\[ PMT = \frac{15860}{\dfrac{1-1.04^{-24}}{0.04}\times 1.04} = 1000 \]

Pela tabela de amortização (prestação 1000), na segunda prestação o juro é 594, isto é, maior que 50% da prestação, então C é falsa. Após a 12ª prestação (contando a primeira no ato), o saldo é 9387, que não é metade de 15860 (=7930), então B é falsa. Após a penúltima prestação, o saldo é 962, que é inferior a 970, então D é falsa.

# Função para o valor presente da anuidade antecipada
valor_presente_anuidade <- function(n, i) {
  (1 - (1 + i)^(-n)) / i
}

# Função para o valor futuro da anuidade antecipada
valor_futuro_anuidade <- function(n, i) {
  ((1 + i)^n - 1) / i
}

# Dados do problema
P <- 15860  # Valor presente
i <- 0.04   # Taxa de juros mensal
n <- 24     # Número de parcelas

# Cálculo da prestação antecipada (T)
T <- P / (valor_presente_anuidade(n - 1, i) + 1)

# Cálculo da primeira amortização (A0)
A0 <- P / (valor_futuro_anuidade(n + 1, i) - 1)

# Inicialização da tabela
planilha <- data.frame(
  Epoca = 0:(n - 1),
  Prestacao = NA,
  Amortizacao = NA,
  Juro = NA,
  Saldo_Devedor = NA
)

# Primeira parcela (época 0)
planilha$Prestacao[1] <- T
planilha$Amortizacao[1] <- A0
planilha$Juro[1] <- T - A0
planilha$Saldo_Devedor[1] <- P - T

# Cálculo das parcelas seguintes
for (k in 2:n) {
  # Atualização da amortização pela fórmula: A_k = (1+i) * A_{k-1}
  Ak <- (1 + i) * planilha$Amortizacao[k - 1]
  # Cálculo do juro: J_k = T - A_k
  Jk <- T - Ak
  # Atualização do saldo devedor: D_k = D_{k-1} - A_k
  Dk <- planilha$Saldo_Devedor[k - 1] - Ak
  
  # Armazenar na tabela
  planilha$Prestacao[k] <- T
  planilha$Amortizacao[k] <- Ak
  planilha$Juro[k] <- Jk
  planilha$Saldo_Devedor[k] <- max(Dk, 0)  # Evitar valores negativos
}

# Ajuste final para saldo zero na última parcela
planilha$Saldo_Devedor[n] <- 0

# Exibindo a planilha
print(planilha, digits = 2)

   Epoca Prestacao Amortizacao Juro Saldo_Devedor
1      0      1000         390  610         14860
2      1      1000         406  594         14454
3      2      1000         422  578         14032
4      3      1000         439  561         13593
5      4      1000         456  544         13137
6      5      1000         475  525         12662
7      6      1000         494  506         12168
8      7      1000         513  487         11655
9      8      1000         534  466         11121
10     9      1000         555  445         10565
11    10      1000         578  423          9988
12    11      1000         601  400          9387
13    12      1000         625  375          8762
14    13      1000         650  350          8113
15    14      1000         676  325          7437
16    15      1000         703  297          6734
17    16      1000         731  269          6003
18    17      1000         760  240          5243
19    18      1000         790  210          4453
20    19      1000         822  178          3631
21    20      1000         855  145          2776
22    21      1000         889  111          1886
23    22      1000         925   75           962
24    23      1000         962   38             0

12 APEx 15858: Renda postecipada diferida I

• Faria, 2007, p. 165

Um médico obteve um empréstimo obrigando-se a pagá-lo em 25 prestações postecipadas mensais de R$ 20.000,00 cada, com taxa de juro de 5% a.m.

Qual é o valor extraordinário que o médico deverá fazer, juntamente com a sexta parcela, se desejar abreviar em 1 ano o prazo de pagamento do empréstimo?

A. R$ 105.978,96
B. R$ 125.978,96
C. R$ 145.978,96
D. R$ 152.978,96
E. Impossível calcular

Explicações e comentários:

Alternativa correta: B.

• Solução 1

Dados: \(T = 20000\), \(i = 5\%\) a.m., \(n=25\) prestações postecipadas.

Após pagar a 6ª prestação, restam \(25-6=19\) prestações no plano original.

Abreviar o prazo em 1 ano significa reduzir 12 prestações: novo total \(25-12=13\) prestações. Como já foram pagas 6, restam \(13-6=7\) prestações.

Saldo devedor logo após a 6ª prestação no plano original:

\[ SD_6 = T\,a_{19\rceil i} \qquad a_{\overline{n}\rceil i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \]

Saldo devedor desejado logo após a 6ª prestação no plano abreviado:

\[ SD_6^{\text{novo}} = T\,a_{7\rceil i} \]

O pagamento extraordinário \(E\), feito juntamente com a 6ª prestação, deve igualar os saldos:

\[ \begin{align} SD_6 - E &= SD_6^{\text{novo}} \\ E &= SD_6 - SD_6^{\text{novo}}\\ E &= T\left(a_{19\rceil i}-a_{7\rceil i}\right) \end{align} \]

Substituindo \(T=20000\) e \(i = 5\%\) a.m.:

\[ \begin{align} E &= 20000\left(a_{19\rceil 0.05}-a_{7\rceil 0.05}\right)\\ E &= 20000\left(\frac{1-1.05^{-19}}{0.05}-\frac{1-1.05^{-7}}{0.05}\right) \end{align} \]

Numericamente:

\[ a_{19\rceil 0.05}= 12.08532 \qquad a_{7\rceil 0.05}= 5.786373 \]

\[ \begin{align} E &= 20000(12.08532-5.786373)\\ E &=125978.96 \end{align} \]

13 APEx 16439: Renda postecipada diferida II

• Faria, 2007, p. 165-6

Um contrato obriga o pagamento de R$ 50.000,00 no fim de cada semestre durante 10 anos, acrescidos de pagamentos anuais de R$ 200.000,00 nos últimos 5 anos. Qual é o valor atual do contrato à taxa de 69% a.a.?

A. R$ 165.789,70
B. R$ 19.500,00
C. R$ 185.290,00
D. R$ 146.289,70
E. Impossível calcular

Explicações e comentários:

Alternativa correta: C.

• Solução 1

Taxa efetiva anual: \(i_a=0.69\). A taxa efetiva semestral equivalente é

\[ i_s=(1+i_a)^{1/2}-1=(1.69)^{1/2}-1=0.3 \]

1. Pagamentos semestrais de R$ 50.000,00 por 10 anos \(\Rightarrow n=20\) semestres. Valor presente (anuidade postecipada):

\[ P_1 = 50000\;\frac{1-(1+i_s)^{-20}}{i_s} = 50000\;\frac{1-(1.30)^{-20}}{0.30} \approx 165789.70 \]

2. Pagamentos anuais de R$ 200.000,00 nos últimos 5 anos (anos 6 a 10). Primeiro calcula-se o valor presente desses 5 pagamentos na data \(t=5\) (anuidade postecipada de 5 termos), e depois desconta-se 5 anos até \(t=0\):

\[ P_{5} = 200000\;\frac{1-(1+i_a)^{-5}}{i_a} =200000\;\frac{1-(1.69)^{-5}}{0.69} \]

\[ P_2 = \frac{PV_{5}}{(1+i_a)^5} = \frac{200000\;\dfrac{1-(1.69)^{-5}}{0.69}}{1.69^5} \approx 19500.40 \]

Valor atual do contrato:

\[ P = P_1 + P_2 \approx 165789.70 + 19500.40 = 185290.10 \approx 185290.00 \]

• Solução 2:

\[ A_T = A_I + A_D \]

Renda semestral postecipada:

\[ A_I = T_I \, a_{n_I \rceil i_I} \]

em que

\[ T_I = 50\,000, \qquad n_I = 20 \text{ semestres}, \qquad i_I = 1{,}69^{0{,}5} - 1 = 30\% \text{ a.s.} \]

Logo,

\[ A_I = 50\,000 \times a_{20 \rceil 30} \]

\[ A_I = 50\,000 \times 3{,}315794 \]

\[ A_I = 165\,789{,}70 \]

Renda anual postecipada diferida:

\[ A_D = T_D \left( a_{m+n_D \rceil i_D} - a_{m \rceil i_D} \right) \]

em que

\[ T_D = 200\,000, \qquad n_D = 5 \text{ anos}, \qquad i_D = 69\% \text{ a.a.}, \qquad m = 5 \text{ anos} \]

Assim,

\[ A_D = 200\,000 \left( a_{10 \rceil 69} - a_{5 \rceil 69} \right) \]

\[ A_D = 200\,000 \left( 1{,}441650 - 1{,}344148 \right) \]

\[ A_D = 19\,500{,}40 \]

Valor atual total do contrato:

\[ A_T = A_I + A_D \]

\[ A_T = 165\,789{,}70 + 19\,500{,}40 \]

\[ A_T = 185\,290{,}10 \] # APEx 16440: Renda postecipada I

• Faria, 2007, p. 154

Uma dívida de R$ 1.000.000,00 deve ser paga em prestações mensais postecipadas de R$ 200.000,00 cada. A taxa de juro composto é 7% a.m.

O número de prestações NÃO é:

A. \(n = 6\), com pagamento de R$ 46.692,07 na época 0.
B. \(n = 6\), com pagamento de R$ 70.072,21 na época 6.
C. \(n = 6\), com pagamento de R$ 74.977,25 na época 7.
D. \(n = 7\)

Explicações e comentários:

Alternativa correta: alternativa D.

Dados: \(P = 1\,000\,000\), \(T = 200\,000\), \(i = 7\%\) a.m.

Para uma renda postecipada, o valor presente é dado por

\[ P = T \, a_{n\rceil i} \qquad a_{n\rceil i} = \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i} \]

Substituindo os valores:

\[ 1\,000\,000 = 200\,000 \frac{1 - 1.07^{-n}}{0.07} \]

Dividindo ambos os lados por \(200\,000\):

\[ 5 = \frac{1 - 1.07^{-n}}{0.07} \]

Logo,

\[ \begin{align} 0.35 &= 1 - 1.07^{-n} \\ 1.07^{-n} &= 0.65 \end{align} \]

Assim,

\[ n = -\frac{\ln(0.65)}{\ln(1.07)} = 6.37 \]

Portanto, o número de prestações não é inteiro, sendo necessário um ajuste quando se adota \(n = 6\).

Verificação das alternativas:

Para \(n = 6\):

\[ a_{6\rceil 7} = \frac{1 - 1.07^{-6}}{0.07} = 4.766539 \]

\[ P_6 = 200\,000 \times 4.766539 \approx 953\,307.93 \]

Diferença em relação à dívida:

\[ \Delta_0 = 1\,000\,000 - 953\,307.93 = 46\,692.07 \]

que corresponde ao pagamento adicional na época 0 (alternativa A).

Levando esse valor para a época 6:

\[ \Delta_6 = 46\,692.07 \times 1.07^6 = 70\,072.21 \]

confirmando a alternativa B.

Levando esse valor para a época 7:

\[ \Delta_7 = 46\,692.07 \times 1.07^7 = 74\,977.25 \]

confirmando a alternativa C.

Para \(n = 7\):

\[ a_{7\rceil 7} = \frac{1 - 1.07^{-7}}{0.07} = 5.202373 \]

\[ P_7 = 200\,000 \times 5.202373 = 1\,040\,474.60 \]

valor superior a R$ 1.000.000,00, não sendo equivalente sem ajuste.

14 APEx 15853: Renda postecipada II

• Faria, 2007, p. 155-6

Uma pessoa obteve um empréstimo de R$ 1.000.000,00 para pagar em 10 prestações bimestrais postecipadas, sendo a taxa de juro composto de 9% a.b. Depois de pagar a quarta prestação, a fim de abreviar o prazo do empréstimo, propôs à instituição credora pagar a oitava juntamente com a quinta, a nona juntamente com a sexta e a décima juntamente com a sétima.

O valor da prestação bimestral antecipada é:

A. R$ 155.820,09
B. R$ 120.321,62
C. R$ 109.000,90
D. R$ 111.111,11
E. R$ 101.101,01

Explicações e comentários:

Alternativa correta: B.

Dados: \(P=1\,000\,000\), \(i=9\%\) a.b., \(n=10\) prestações bimestrais postecipadas.

Como o empréstimo é amortizado por uma renda postecipada uniforme, vale

\[ P = T\,a_{n\rceil i} \qquad a_{n\rceil i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \]

Logo,

\[ T=\frac{P}{a_{10\rceil 9}} =\frac{1\,000\,000}{\dfrac{1-(1.09)^{-10}}{0.09}} \]

Calculando o fator:

\[ \begin{align} 1.09^{10}= 2.367364 \\ 1.09^{-10}= 0.4224108 \end{align} \]

\[ a_{10\rceil 9} =\frac{1-0.4224108}{0.09} = 6.417658 \]

Assim,

\[ T=\frac{1\,000\,000}{6.417658}\approx 155\,820.09 \] A antecipação ocorre sempre de 3 bimestres (por exemplo, a 8ª prestação passa da época 8 para a época 5). Assim, o valor equivalente da prestação antecipada é obtido descontando-se a prestação original por 3 períodos:

\[ T^{\prime}=\frac{T}{1.09^3} \]

Substituindo o valor de \(T\):

\[ T^{\prime}=\frac{155\,820.09}{1.09^3} =\frac{155\,820.09}{1.295029} \approx 120\,321.62 \]

O valor da prestação bimestral antecipada é R$ 120.321,62.

15 APEx 15854: Renda Postecipada III

• Faria, 2007, p. 156

Um médico tomou um empréstimo e ficou de quitá-lo em 10 prestações postecipadas de R$ 10.000,00 cada, com taxa de juro composto de 5% a.b. Depois de haver pago a sexta prestação, o médico fez maus negócios e ficou impossibilitado de saldar as prestações restantes. O empréstimo foi feito há dois anos e oito meses.

Quanto o médico deveria pagar hoje para ficar em dia com o credor?

A. R$ 43.101,25
B. R$ 57.755,67
C. R$ 10.000,00
D. R$ 50.428,46
E. Impossível determinar

Explicações e comentários:

Alternativa correta: B.

Dados: \(T=10000\), \(i=5\) a.b., \(n=10\) prestações bimestrais postecipadas.

Como o empréstimo foi feito há \(2\) anos e \(8\) meses, isso corresponde a \(32\) meses, isto é,

\[ t = \frac{32}{2} = 16 \text{ bimestres} \]

As prestações foram nas épocas \(1,2,\dots,10\). O médico pagou até a 6ª, logo ficaram em aberto as prestações das épocas \(7,8,9,10\).

Para “ficar em dia hoje” (época \(16\)), deve-se levar cada prestação vencida ao valor futuro na época \(16\):

\[ \begin{align} X &= 10000\left(1.05^{16-7}+1.05^{16-8}+1.05^{16-9}+1.05^{16-10}\right)\\ X &= 10000\left(1.05^{9}+1.05^{8}+1.05^{7}+1.05^{6}\right) \end{align} \]

Equivalente usando o fator de acumulação \(s_{n\rceil i}\):

\[ \begin{align} X &= 10000\,(1.05)^6\left(1+1.05+1.05^2+1.05^3\right)\\ X &= 10000\,(1.05)^6\,s_{4\rceil 5}\\ X &=10000\,(1.05)^6\,4.310125\\ X &=57759.80\\ \\ s_{n\rceil i}&=\frac{(1+i)^n-1}{i} \end{align} \]

Portanto, o médico deveria pagar hoje R$ 57.755,67.

16 APEx 16441: Renda postecipada IV

• Faria, 2007, p. 157-8

Um empréstimo é concedido para ser pago em prestações bimestrais postecipadas de R$ 100.000,00 à taxa de juro composto de 10% a.b. e em prestações quadrimestrais de R$ 500.000,00 à taxa de juro composto de 20% a.q., durante dois anos. O devedor deseja saldar a dívida por meio de pagamentos semestrais, à taxa de juro composto de 30% a.s.

Qual é o valor da prestação semestral?

A. R$ 1.082.116,26
B. R$ 2.344.124,26
C. R$ 82.116,26
D. R$ 344.124,26
E. Impossível calcular

Explicações e comentários:

Alternativa correta: A.

Há dois fluxos de pagamentos, ambos ao longo de 2 anos. Vamos trazer tudo para a época 0 (valor presente) e, depois, converter para uma renda semestral postecipada a 30% a.s. por 4 semestres.

Dados:

\(T_b = 100\,000\) (bimestral), \(i_b = 10\%\) a.b., \(n_b = 12\) bimestres.

\(T_q = 500\,000\) (quadrimestral), \(i_q = 20\%\) a.q., \(n_q = 6\) quadrimestres.

Renda semestral: \(T\) (postecipada), \(i_s = 30\%\) a.s., \(n_s = 4\) semestres.

Fator de valor presente (renda postecipada):

\[ a_{n\rceil i} = \frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \]

1. Valor presente do fluxo bimestral

\[ \begin{align} P_b &= 100\,000\,a_{12\rceil 10}\\ &=100\,000\frac{1-1.1^{-12}}{0.1}\\ P_b&=681\,369.18 \end{align} \]

2. Valor presente do fluxo quadrimestral

\[ \begin{align} P_q &= 500\,000\,a_{6\rceil 20}\\ &=500\,000\frac{1-1.2^{-6}}{0.2}\\ P_q&= 1\,662\,755.06 \end{align} \]

3. Valor presente total do contrato

\[ \begin{align} P &= P_b + P_q\\ &= 681\,369.18 + 1\,662\,755.06\\ P&= 2\,344\,124.24 \end{align} \]

4. Equivalência com pagamentos semestrais

\[ \begin{align} P &= T\,a_{4\rceil 30} \\ T&=\frac{P}{a_{4\rceil 30}}\\ &=\frac{2\,344\,124.24}{\dfrac{1-1.3^{-4}}{0.3}}\\ T&= 1\,082\,116.26 \end{align} \]

Logo, a prestação semestral é R$ 1.082.116,26.

17 APEx 15857: Renda postecipada V

• Faria, 2007, p. 158-9

Um apartamento em construção foi comprado pagando-se R$ 90.000,00 por mês, postecipadamente, com taxa de juro composto de 5% a.m., R$ 700.000,00 no fim de cada semestre, com taxa de juro composto de 34% a.s., e R$ 2.000.000,00 na entrega das chaves. A partir do décimo terceiro mês (inclusive), a construção sofreu um reajuste e a mensalidade passou a R$ 120.000,00. O apartamento deve ser todo pago durante a construção, que vai demorar dois anos e meio.

Qual é o custo real do apartamento?

A. R$ 15.695.586,00
B. R$ 15.659.586,00
C. R$ 15.659.568,00
D. R$ 15.569.586,00
E. Impossível calcular

Explicações e comentários:

Alternativa correta: B.

Horizonte: 2,5 anos = 30 meses = 5 semestres.
Data focal: entrega das chaves (mês 30).

Fator de acumulação (renda postecipada):

\[ s_{n\rceil i}=\frac{(1+i)^n-1}{i} \]

1. Pagamentos mensais a 5% a.m.

De \(m=1\) até \(m=12\): R$ 90.000,00 (12 prestações). O valor acumulado no mês 12 é

\[ F_{12}=90\,000\,s_{12\rceil 5} \]

Levando do mês 12 ao mês 30 (mais 18 meses):

\[ F_{1:12}=90\,000\,s_{12\rceil 0.05}\,1.05^{18} \]

De \(m=13\) até \(m=30\): R$ 120.000,00 (18 prestações). O valor acumulado diretamente no mês 30 é

\[ F_{13:30}=120\,000\,s_{18\rceil 5} \]

Logo, o valor acumulado total dos pagamentos mensais na data focal é

\[ F_m = 90\,000\,s_{12\rceil 5}\,1.05^{18}+120\,000\,s_{18\rceil 5} \]

2. Pagamentos semestrais a 34% a.s.

Há 5 pagamentos semestrais postecipados de R$ 700.000,00 (nos meses 6, 12, 18, 24 e 30). O valor acumulado no mês 30 é:

\[ F_s = 700\,000\,s_{5\rceil 34} \]

3. Pagamento na entrega das chaves

Pagamento único na data focal:

\[ F_c = 2\,000\,000 \]

4. Custo real (valor acumulado na entrega)

\[ F = F_m + F_s + F_c \]

Cálculo numérico:

\[ \begin{align} s_{12\rceil 5} &= \frac{1.05^{12}-1}{0.05}=15.917127\\ s_{18\rceil 5} &= \frac{1.05^{18}-1}{0.05}=28.132607\\ s_{5\rceil 34} &= \frac{1.34^{5}-1}{0.34}=9.765884 \end{align} \]

\[ \begin{align} F_m &= 90\,000(15.917127)(1.05)^{18}+120\,000(28.132607)\\ F_m &= 6\,823\,467.82\\\\ F_s &= 700\,000(9.765884)\\ F_s &= 6\,836\,118.35 \end{align} \]

\[ \begin{align} F &= 6\,823\,467.82 + 6\,836\,118.35 + 2\,000\,000\\ F &= 15\,659\,586.17 \end{align} \]

Portanto, o custo real do apartamento é R$ 15.659.586,00.

18 APEx 15856: Renda postecipada VI

• Faria, 2007, p. 158

Uma clínica médica foi comprada no início de sua construção, estimada em dois anos, pagando-se R$ 120.000,00 por mês, com taxa de juro composto de 5% a.m., e R$ 500.000,00 no fim de cada semestre, a 34% a.s. de juro composto. O comprador vendeu a clínica médica por R$ 12.000.000,00 à vista no dia em que acabou de pagá-la.

Qual foi o lucro obtido?

A. R$ 0,00
B. R$ 3.388.908,12
C. - R$ 3.388.908,12
D. R$ 8.611.091,88
E. - R$ 8.611.091,88
F. Impossível calcular

Explicações e comentários:

Alternativa correta: B.

Horizonte: 2 anos = 24 meses = 4 semestres.
Data focal: fim da construção (mês 24), quando ocorre a venda por R$ 12.000.000,00.

Fator de acumulação (renda postecipada):

\[ s_{n\rceil i}=\frac{(1+i)^n-1}{i} \]

1. Pagamentos mensais (R$ 120.000,00 a 5% a.m.)

São 24 prestações postecipadas. O valor acumulado no mês 24 é

\[ F_m = 120\,000\,s_{24\rceil 5} =120\,000\,\frac{1.05^{24}-1}{0.05} \]

2. Pagamentos semestrais (R$ 500.000,00 a 34% a.s.)

São 4 prestações semestrais postecipadas (nos meses 6, 12, 18 e 24). O valor acumulado no mês 24 é

\[ F_s = 500\,000\,s_{4\rceil 34} =500\,000\,\frac{1.34^{4}-1}{0.34} \]

3. Custo real na data focal e lucro

O custo real (valor acumulado total pago até o mês 24) é

\[ F = F_m + F_s \]

O lucro na venda à vista no mês \(24\) é

\[ L = 12\,000\,000 - F \]

Cálculo numérico:

\[ \begin{align} s_{24\rceil 5} &= \frac{1.05^{24}-1}{0.05}=44.50199887\\ F_m &= 120\,000(44.50199887)=5\,340\,239.86\\\\ s_{4\rceil 34} &= \frac{1.34^{4}-1}{0.34}=6.54170400\\ F_s &= 500\,000(6.54170400)=3\,270\,852.00\\\\ F &= 5\,340\,239.86+3\,270\,852.00=8\,611\,091.86\\\\ L &= 12\,000\,000-8\,611\,091.86=3\,388\,908.14 \end{align} \]

Portanto, o lucro foi R$ 3.388.908,12.

19 APEx 15873: SAF: Vencimento médio

• Carvalho, 1985, p. 326, Exercício 20

Em que época aproximadamente, em anos, pode ser paga a soma de cinco prestações capazes de pagar uma dívida, sendo \(10\%\) a.a. a taxa de juro composta?

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
F. Impossível calcular

Explicações e comentários:

Alternativa correta: C.

Considere cinco prestações iguais, pagas anualmente, capazes de liquidar uma dívida à taxa de juro composto de \(10\%\) a.a.

Sejam: - \(T\) o valor de cada prestação, - \(i = 10\%\) a.a., - \(n = 5\) prestações anuais postecipadas.

O valor presente da dívida é

\[ P = T \, a_{n\rceil i} \qquad a_{n\rceil i} = \frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \]

O vencimento médio \(\bar{t}\) é definido como a época única tal que o pagamento \(5T\), feito nessa época, seja financeiramente equivalente às cinco prestações:

\[ 5T \,(1+i)^{-\bar{t}} = T \, a_{5\rceil 10} \]

Dividindo ambos os lados por \(T\):

\[ 5\,(1.1)^{-\bar{t}} = a_{5\rceil 10} \]

Calculando o fator de valor presente:

\[ a_{5\rceil 10} = \frac{1-1.1^{-5}}{0.1} = 3.790787 \]

Logo,

\[ (1.1)^{-\bar{t}} = \frac{3.790787}{5} = 0.758157 \]

Tomando logaritmos:

\[ \bar{t} = -\dfrac{\ln(0.758157)}{\ln(1.1)} \approx 2.91 \text{ anos} \]

O vencimento médio de ocorre aproximadamente no 3º ano ou mais exatamente em 2 anos 10 meses e 28 dias.

20 APEx 15872: SAF: Capital necessário para constituir renda

• Carvalho, 1985, p. 325, Exercício 18

Que capital é necessário aplicar, no início de um ano, em um banco, à taxa de 6% a.a., sendo os juros capitalizados semestralmente, de modo que possa efetuar exatamente oito retiradas de R$ 1.000,00 cada uma, feitas no fim de cada ano a partir do primeiro?

A. R$ 5.000,00
B. R$ 5.075,70
C. R$ 6.164,20
D. R$ 6.000,00
E. Impossível calcular

Explicações e comentários:

Alternativa correta: C.

Dados: oito retiradas anuais postecipadas de \(T = 1000\), feitas no fim de cada ano (\(t=1,2,\dots,8\)).
Taxa nominal anual \(i_N = 6\%\) a.a. com capitalização semestral (\(k=2\)), logo a taxa periódica semestral proporcional é

\[ i_s = \frac{i_N}{2} = \frac{0.06}{2}=0.03 \]

Como as retiradas são anuais, usamos a taxa efetiva anual equivalente:

\[ i_a = (1+i_s)^2 - 1 = (1.03)^2 - 1 = 0.0609 \]

O capital inicial necessário (valor presente na época \(0\)) é o valor presente de uma renda postecipada de \(n=8\) pagamentos:

\[ P = T\,a_{8\rceil i_a} \qquad a_{n\rceil i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \]

Logo,

\[ P = 1000\,a_{8\rceil 6.09} = 1000\,\frac{1-1.0609^{-8}}{0.0609} \]

Cálculo numérico:

\[ P = 6164.20 \]

Portanto, o capital necessário é aproximadamente R$ 6.164,20.

21 APEx 15869: SAF: antecipação de prestação II

• Carvalho, 1985, p. 323, Exercício 15

Um funcionário público obteve numa instituição de crédito um empréstimo sob consignações de R$ 3.797,40, para ser pago em 48 prestações imediatas mensais de R$ 100,00, sendo 1% a.m. a taxa de juro composto. Imediatamente após o pagamento da décima segunda prestação, prontificou-se a pagar uma amortização extraordinária tal que o prazo do empréstimo fosse abreviado de 16 meses.

O valor da amortização extraordinária é:

A. R$ 2.160,20
B. R$ 1.602,20
C. R$ 1.260,20
D. R$ 1.206,20
E. Impossível calcular

Explicações e comentários:

Alternativa correta: D.

Dados: \(D=3797.40\), \(T=100\), \(i=1\%\) a.m., \(n=48\) prestações postecipadas mensais.

\[ D = T\,a_{n\rceil i} \qquad a_{n\rceil i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \]

Após o pagamento da 12ª prestação, restam \(48-12=36\) prestações no plano original.

Abreviar o prazo em 16 meses significa reduzir 16 prestações: novo total \(48-16=32\) prestações. Como já foram pagas 12, restam \(32-12=20\) prestações.

Como os pagamentos são antecipados, no instante imediatamente após a 12ª prestação (isto é, no início do mês 12), o saldo devedor é o valor presente, nessa data, das prestações restantes.

Saldo devedor no plano original (restam 36 prestações):

\[ SD_{12}=T\,a_{36\rceil i} \]

Saldo devedor desejado no plano abreviado (restam 20 prestações):

\[ SD_{12}^{\text{novo}}=T\,a_{20\rceil i} \]

A amortização extraordinária \(E\), paga imediatamente após a 12ª prestação, deve reduzir o saldo do plano original ao saldo do plano abreviado:

\[ \begin{align} SD_{12}-E &= SD_{12}^{\text{novo}} \\ E &= SD_{12}-SD_{12}^{\text{novo}} \\ E &= T\,\left(a_{36\rceil i}-a_{20\rceil i}\right) \end{align} \]

Substituindo \(T=100\) e \(i=0.01\):

\[ \begin{align} E &= 100\,\left(a_{36\rceil 1}-a_{20\rceil 1}\right)\\ E &=100\,\left(\frac{1-1.01^{-36}}{0.01}-\frac{1-1.01^{-20}}{0.01}\right) \end{align} \]

Cálculo numérico:

\[ a_{36\rceil 1}=30.10751 \qquad a_{20\rceil 1}=18.04553 \]

Logo,

\[ \begin{align} E &= 100\,(30.10751-18.04553) \\ E &= 1206.20 \end{align} \]

Portanto, a amortização extraordinária é R$ 1.206,20.

22 APEx 15868: SAF: antecipação de prestação I

• Carvalho, 1985, p. 322, Exercício 14

Um médico obteve um empréstimo de R$ 10.000,00 para pagar com 9 prestações imediatas anuais, sendo 10% a.a. a taxa de juro composto.
Desejando ausentar-se temporariamente do país, dispôs-se a pagar a quinta, a sexta e a sétima anuidades juntamente com a quarta.

A soma dos valores atuais, no fim do quarto período, da quinta, da sexta e da sétima prestações, é:

A. R$ 1.736,40
B. R$ 4.318,10
C. R$ 3.013,90
D. R$ 2.437,40
E. Impossível calcular

Explicações e comentários:

Alternativa correta: B.

Dados: \(D=10000\), \(i=10\%\) a.a., \(n=9\).

No SAF (renda postecipada uniforme), a anuidade \(T\) satisfaz

\[ D=T\,a_{n\rceil i} \qquad a_{n\rceil i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \]

Logo,

\[ T=\frac{D}{a_{9\rceil 10}} \]

Numericamente, usando o fator de recuperação do capital,

\[ \frac{1}{a_{9\rceil 10}}=\frac{0.1}{1-1.1^{-9}}=0.17364054 \\ T=10000\times 0.17364054=1736.40 \]

Antecipação das anuidades 5, 6 e 7 junto com a 4:

No fim do 4º ano, substitui-se o conjunto \(\{T \text{ nas épocas } 5,6,7\}\) por um pagamento único equivalente na época 4. O valor presente (na época 4) dessas três anuidades é

\[ T_a=T\,a_{3\rceil 10} =T\frac{1-1.1^{-3}}{0.1} \]

Numericamente,

\[ a_{3\rceil 10}=\frac{1-1.1^{-3}}{0.1}=2.48685199 \\ T_a=1736.40\times 2.48685199=4318.10 \]

Plano de amortização (conforme o fluxo final: paga-se \(a\) nos anos 1,2,3,4,8,9 e paga-se \(T_a\) junto com a 4ª; nos anos 5,6,7 não há pagamento e os juros são capitalizados no saldo devedor).

# Dados
D <- 10000
i <- 0.10
n <- 9

# Anuidade do SAF (arredondada, como no texto-fonte)
T <- round(D * ( i / (1 - (1+i)^(-n)) ), 2)  # 1736.40

# Pagamento equivalente A (antecipação de 3 anuidades) na época 4
Ta <- round(T * ( (1 - (1+i)^(-3)) / i ), 2)  # 4318.10

# Plano de amortização inicial: 9 anuidades postecipadas de valor T
anos <- 0:9
saldo <- numeric(length(anos))
juros <- rep(NA_real_, length(anos))
amort <- rep(NA_real_, length(anos))
pagto <- rep(NA_real_, length(anos))

saldo[1] <- D
pagto[1] <- 0

for(t in 2:10){
  pagto[t] <- T
  juros[t] <- round(saldo[t-1]*i, 2)
  amort[t] <- round(pagto[t] - juros[t], 2)
  saldo[t] <- round(saldo[t-1] - amort[t], 2)
}

tabela_ini <- data.frame(
  Ano = anos,
  Anuidade = ifelse(anos == 0, "-", sprintf("%.2f", pagto)),
  Juro = ifelse(anos == 0, "-", sprintf("%.2f", juros)),
  `Quota de amortização` = ifelse(anos == 0, "-", sprintf("%.2f", amort)),
  `Saldo devedor` = sprintf("%.2f", saldo),
  check.names = FALSE
)


knitr::kable(tabela_ini, align = "r")

Ano	Anuidade	Juro	Quota de amortização	Saldo devedor
0	-	-	-	10000.00
1	1736.41	1000.00	736.41	9263.59
2	1736.41	926.36	810.05	8453.54
3	1736.41	845.35	891.06	7562.48
4	1736.41	756.25	980.16	6582.32
5	1736.41	658.23	1078.18	5504.14
6	1736.41	550.41	1186.00	4318.14
7	1736.41	431.81	1304.60	3013.54
8	1736.41	301.35	1435.06	1578.48
9	1736.41	157.85	1578.56	-0.08

anos <- 0:9
saldo <- numeric(length(anos))
juros <- rep(NA_real_, length(anos))
anuidade <- rep(0, length(anos))
outra_amort <- rep(0, length(anos))
total_amort <- rep(NA_real_, length(anos))

saldo[1] <- D

# pagamentos do plano final
# anos 1,2,3,4,8,9: paga T
# ano 4: paga também Ta como "outra anuidade"
for(t in 2:10){
  juros[t] <- round(saldo[t-1]*i, 2)
  
  if(t %in% c(2,3,4,5,9,10)){ # anos 1,2,3,4,8,9
    anuidade[t] <- T
  } else {
    anuidade[t] <- 0
  }
  
  if(t == 5){ # ano 4 (t=5 na indexação)
    outra_amort[t] <- Ta
  }
  
  if(anuidade[t] > 0){
    quota <- round(anuidade[t] - juros[t], 2)
    saldo[t] <- round(saldo[t-1] - quota - outra_amort[t], 2)
  } else {
    # sem pagamento: juros capitalizados
    saldo[t] <- round(saldo[t-1] + juros[t], 2)
  }
  
  total_amort[t] <- round(D - saldo[t], 2)
}

tabela_fin <- data.frame(
  Ano = anos,
  Anuidade = ifelse(anos == 0, "-",
                    ifelse(anuidade == 0, "-", sprintf("%.2f", anuidade))),
  Juro = ifelse(anos == 0, "-", sprintf("%.2f", juros)),
  `Outra Anuidade` = ifelse(anos == 0, "-",
                                  ifelse(outra_amort == 0, "-", sprintf("%.2f", outra_amort))),
  `Total amortizado` = ifelse(anos == 0, "-", sprintf("%.2f", total_amort)),
  `Saldo devedor` = sprintf("%.2f", saldo),
  check.names = FALSE
)

knitr::kable(tabela_fin, align = "r")

Ano	Anuidade	Juro	Outra Anuidade	Total amortizado	Saldo devedor
0	-	-	-	-	10000.00
1	1736.41	1000.00	-	736.41	9263.59
2	1736.41	926.36	-	1546.46	8453.54
3	1736.41	845.35	-	2437.52	7562.48
4	1736.41	756.25	4318.19	7735.87	2264.13
5	-	226.41	-	7509.46	2490.54
6	-	249.05	-	7260.41	2739.59
7	-	273.96	-	6986.45	3013.55
8	1736.41	301.36	-	8421.50	1578.50
9	1736.41	157.85	-	10000.06	-0.06

23 APEx 16442: SAF: Exercício 13

• Carvalho, 1985, p. 321, Exercício 13

Um médico obteve um empréstimo de R$ 100.000,00 para pagar com 10 prestações postecipadas anuais, sendo 9% a.a. a taxa de juro composto. Depois de pagar a quarta prestação, a fim de abreviar o prazo de empréstimo, propôs à instituição credora pagar a décima prestação juntamente com a quinta, a nona juntamente com a sexta e a oitava juntamente com a sétima.

É correto afirmar que:

A. O saldo devedor é menor do que R$ 50.000,00 após o pagamento da sexta prestação.

B. A prestação antecipada no sexto ano é R$ 12.032,20.

C. O saldo devedor é nulo após o pagamento da sétima prestação e da prestação antecipada.

D. O saldo devedor após os pagamentos da sexta prestação e da prestação antecipada no sexto ano é R$ 27.410,50.

E. A quota de amortização total após o pagamento da quinta prestação e da prestação antecipada no quinto ano é R$ 19.418,20.

F. Todas as outras alternativas são verdadeiras.

Explicações e comentários:

A alternativa correta: F.

Dados: \(D=100000\), \(i=9\%\) a.a., \(n=10\).

No SAF (renda postecipada uniforme), a anuidade \(T\) satisfaz

\[ D=T\,a_{n\rceil i} \qquad a_{n\rceil i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \]

Logo,

\[ T=\frac{D}{a_{10\rceil 9}} \]

Numericamente,

\[ a_{10\rceil 9}=\frac{1-1.09^{-10}}{0.09} \qquad\Longrightarrow\qquad T=\frac{100000}{a_{10\rceil 9}} \]

Depois de paga a 4ª prestação, restam as prestações \(T\) nas épocas \(5,6,7,8,9,10\).

A proposta antecipa \(T\) das épocas \(8,9,10\) para as épocas \(7,6,5\), respectivamente. Cada antecipação é feita por equivalência financeira à taxa \(i=9\%\) a.a.:

1. 10ª junto com a 5ª (antecipação de \(5\) anos):

\[ T_{10\to 5}=\frac{T}{1.09^{5}} \]

2. 9ª junto com a 6ª (antecipação de \(3\) anos):

\[ T_{9\to 6}=\frac{T}{1.09^{3}} \]

3. 8ª junto com a 7ª (antecipação de \(1\) ano):

\[ T_{8\to 7}=\frac{T}{1.09} \]

Assim, os pagamentos do plano final ficam:

épocas \(1,2,3,4\): paga-se \(T\);

época \(5\): paga-se \(T+T_{10\to 5}\);

época \(6\): paga-se \(T+T_{9\to 6}\);

época \(7\): paga-se \(T+T_{8\to 7}\);

épocas \(8,9,10\): pagamento nulo.

Verificação das alternativas (usando o plano final e os valores da sua tabela):

1. Após o pagamento do 6º ano (incluindo a prestação antecipada do 9º ano no 6º), o saldo devedor é 27.410,49, que é menor que 50.000. Verdadeira.

2. A prestação antecipada no 6º ano é a “Outra Anuidade” do Ano 6: 12.032,17, que arredonda para 12.032,20. Verdadeira (diferença de arredondamento).

3. Após o pagamento do 7º ano e da prestação antecipada correspondente (8ª trazida para o 7º), o saldo devedor zera: saldo = 0,00 no Ano 7. Verdadeira.

4. Após os pagamentos do 6º ano (anuidade + antecipada), o saldo devedor é 27.410,49, que arredonda para 27.410,50. Verdadeira.

5. No plano final, o Total amortizado no Ano 5 é 49.518,66, e no Ano 4 é 30.100,38; logo a amortização total ocorrida no Ano 5 foi 49.518,66 − 30.100,38 = 19.418,28. Verdadeira.

Conclusão: A, B, C, D e E são verdadeiras; E é falsa; portanto F (“todas as outras alternativas são verdadeiras”) é verdadeira.

# Dados
D <- 100000
i <- 0.09
n <- 10

# Anuidade do SAF
T <- D * ( i / (1 - (1+i)^(-n)) )

# Antecipações (equivalência à taxa i)
T10_5 <- T / (1+i)^5
T9_6  <- T / (1+i)^3
T8_7  <- T / (1+i)

# Plano de amortização inicial (t=0..10)
anos <- 0:n
saldo <- numeric(length(anos))
juros <- rep(NA_real_, length(anos))
amort <- rep(NA_real_, length(anos))
pagto <- rep(NA_real_, length(anos))

saldo[1] <- D
pagto[1] <- 0

for(t in 2:(n+1)){
  pagto[t] <- T
  juros[t] <- saldo[t-1] * i
  amort[t] <- pagto[t] - juros[t]
  saldo[t] <- saldo[t-1] - amort[t]
}

tabela_ini <- data.frame(
  Ano = anos,
  Anuidade = ifelse(anos == 0, "-", sprintf("%.2f", pagto)),
  Juro = ifelse(anos == 0, "-", sprintf("%.2f", juros)),
  `Quota de amortização` = ifelse(anos == 0, "-", sprintf("%.2f", amort)),
  `Saldo devedor` = sprintf("%.2f", saldo),
  check.names = FALSE
)

knitr::kable(tabela_ini, align = "r")

Ano	Anuidade	Juro	Quota de amortização	Saldo devedor
0	-	-	-	100000.00
1	15582.01	9000.00	6582.01	93417.99
2	15582.01	8407.62	7174.39	86243.60
3	15582.01	7761.92	7820.08	78423.52
4	15582.01	7058.12	8523.89	69899.62
5	15582.01	6290.97	9291.04	60608.58
6	15582.01	5454.77	10127.24	50481.34
7	15582.01	4543.32	11038.69	39442.66
8	15582.01	3549.84	12032.17	27410.49
9	15582.01	2466.94	13115.07	14295.42
10	15582.01	1286.59	14295.42	0.00

# Plano de amortização final (t=0..10)
anos <- 0:n
saldo <- numeric(length(anos))
juros <- rep(NA_real_, length(anos))
anuidade <- rep(0, length(anos))
outra_anuidade <- rep(0, length(anos))
total_amort <- rep(NA_real_, length(anos))

saldo[1] <- D

for(t in 2:(n+1)){
  juros[t] <- saldo[t-1] * i
  
  # anuidade regular
  if(t %in% 2:5) anuidade[t] <- T        # anos 1..4
  if(t %in% 6:8) anuidade[t] <- T        # anos 5..7 (segue pagando T)
  if(t %in% 9:11) anuidade[t] <- 0       # anos 8..10
  
  # pagamentos antecipados (extras)
  if(t == 6) outra_anuidade[t] <- T10_5  # na época 5
  if(t == 7) outra_anuidade[t] <- T9_6   # na época 6
  if(t == 8) outra_anuidade[t] <- T8_7   # na época 7
  
  pag_total <- anuidade[t] + outra_anuidade[t]
  
  if(pag_total > 0){
    quota <- anuidade[t] - juros[t]
    saldo[t] <- saldo[t-1] - quota - outra_anuidade[t]
  } else {
    saldo[t] <- saldo[t-1] + juros[t]
  }
  
  total_amort[t] <- D - saldo[t]
}

tabela_fin <- data.frame(
  Ano = anos,
  Anuidade = ifelse(anos == 0, "-",
                    ifelse(anuidade == 0, "-", sprintf("%.2f", anuidade))),
  Juro = ifelse(anos == 0, "-", sprintf("%.2f", juros)),
  `Outra Anuidade` = ifelse(anos == 0, "-",
                            ifelse(outra_anuidade == 0, "-", sprintf("%.2f", outra_anuidade))),
  `Total amortizado` = ifelse(anos == 0, "-", sprintf("%.2f", total_amort)),
  `Saldo devedor` = sprintf("%.2f", saldo),
  check.names = FALSE
)

knitr::kable(tabela_fin, align = "r")

Ano	Anuidade	Juro	Outra Anuidade	Total amortizado	Saldo devedor
0	-	-	-	-	100000.00
1	15582.01	9000.00	-	6582.01	93417.99
2	15582.01	8407.62	-	13756.40	86243.60
3	15582.01	7761.92	-	21576.48	78423.52
4	15582.01	7058.12	-	30100.38	69899.62
5	15582.01	6290.97	10127.24	49518.66	50481.34
6	15582.01	4543.32	12032.17	72589.51	27410.49
7	15582.01	2466.94	14295.42	100000.00	0.00
8	-	0.00	-	100000.00	0.00
9	-	0.00	-	100000.00	0.00
10	-	0.00	-	100000.00	0.00

24 APEx 15866: Prestação constante

• De Faro & Lachtermacher, 2012, p. 197-9.

A taxa mensal de juro composto que promove a equivalência financeira entre a anuidade postecipada com 36 pagamentos mensais de R$ 150,00 e a anuidade postecipada com 6 pagamentos semestrais de R$ 1.200,00 é:

Obs.: usar \(i_{a.s.} = (1 + i_{a.m.})^6 - 1\).

A. 11,43%
B. 10,00%
C. 12,00%
D. 11,25%
E. Impossível calcular

Explicações e comentários:

Alternativa correta: A.

Seja \(i\) a taxa mensal (\(i=i_{a.m.}\)). A taxa efetiva semestral equivalente é

\[ j=i_{a.s.}=(1+i)^6-1 \]

Como ambas são rendas postecipadas, igualamos os valores presentes na época \(0\):

\[ 150\,a_{36\rceil i}=1200\,a_{6\rceil j} \qquad a_{n\rceil x}=\frac{1-(1+x)^{-n}}{x} \]

Logo, \(i\) resolve a equação (sem forma fechada):

\[ 150\,\frac{1-(1+i)^{-36}}{i} = 1200\,\frac{1-\left(1+(1+i)^6-1\right)^{-6}}{(1+i)^6-1} \]

Resolvendo numericamente, obtém-se

\[ i \approx 0.114338 \;\;\Rightarrow\;\; i \approx 11.43\% \text{ a.m.} \]

# Dados
T_m <- 150
n_m <- 36
T_s <- 1200
n_s <- 6

a <- function(n, x) (1 - (1 + x)^(-n)) / x

g <- function(i){
  j <- (1 + i)^6 - 1
  T_m * a(n_m, i) - T_s * a(n_s, j)
}

sol <- uniroot(g, interval = c(0.0001, 1))$root
print(sol)

[1] 0.1143311