Apostila: Gráficos de Controle, Curva CO e Comprimento Médio da Sequência
Autor
Prof. Dr. Dennison Carvalho - Baseado em Montgomery (2017)
Data de Publicação
23 de abril de 2026
Como usar esta apostila:
Cada seção apresenta a teoria com demonstração passo a passo, seguida de um exemplo numérico resolvido em R base. As caixas de destaque (> ...) contêm as fórmulas e os resultados principais.
Este material foi produzido em Quarto Markdown, com apoio de ferramentas de inteligência artificial na organização e síntese do conteúdo, tendo sido integralmente revisado e validado pelo autor.
1 Fundamentos: lógica dos gráficos de controle
Um gráfico de controle de Shewhart exibe uma estatística amostral \(w\) ao longo do tempo. Sua estrutura é sempre a mesma:
onde \(L\) é o múltiplo de sigma — na prática industrial, \(L = 3\) (limites três-sigma).
Por que três sigma?
Se o processo estiver sob controle e a característica seguir uma distribuição normal, a probabilidade de um ponto cair fora dos limites três-sigma é apenas \(\alpha = 0{,}0027\) (aproximadamente 27 em 10.000 amostras). Esse valor gera poucos alarmes falsos, sem deixar de detectar desvios razoáveis.
Os dois tipos de erro:
Erro
O que acontece
Nome popular
Tipo I (\(\alpha\))
Sinal de fora de controle com processo normal
Alarme falso
Tipo II (\(\beta\))
Sem sinal com processo alterado
Falha de detecção
Ao afastar os limites, reduzimos \(\alpha\) e aumentamos \(\beta\); ao aproximá-los, o efeito é o inverso. Os limites três-sigma são um equilíbrio consagrado pela prática.
2 Gráfico \(\bar{X}\) e \(R\) — Média e Amplitude
2.1 Teoria e derivação das fórmulas
O gráfico \(\bar{X}\)-\(R\) é o mais utilizado para monitorar processos com amostras de tamanho pequeno (\(2 \le n \le 10\)). Ele é composto de dois gráficos complementares:
Gráfico \(\bar{X}\): monitora a localização (média do processo).
Gráfico \(R\): monitora a variabilidade (amplitude = máximo − mínimo da amostra).
2.1.1 Estimando \(\sigma\) pela amplitude
Coleta-se \(m\) amostras de tamanho \(n\). Seja \(R_i = x_{i,\max} - x_{i,\min}\) a amplitude da \(i\)-ésima amostra, e \(\bar{R} = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m R_i\) a amplitude média.
Sabe-se que a amplitude relativa \(W = R/\sigma\) tem distribuição conhecida com:
Reproduzimos o Exemplo 6.1 de Montgomery (2017, p. 194): processo de cozimento (hard-bake) em semicondutores. Largura de fluxo do fotorresiste, \(m = 25\) amostras, \(n = 5\).
# Dados do Exemplo 6.1 de Montgomery (2017) - 25 amostras de tamanho 5dados <-matrix(c(1.3235,1.4128,1.6744,1.4573,1.6914,1.4314,1.3592,1.6075,1.4666,1.6109,1.4284,1.4871,1.4932,1.4324,1.5674,1.5028,1.6352,1.3841,1.2831,1.5507,1.5604,1.2735,1.5265,1.4363,1.6441,1.6363,1.3210,1.4462,1.5337,1.7583,1.4371,1.6987,1.3531,1.4452,1.4792,1.4800,1.3573,1.4428,1.4428,1.4843,1.4385,1.5341,1.6413,1.3499,1.5497,1.6075,1.7723,1.3697,1.4393,1.5401,1.4826,1.4004,1.5979,1.5658,1.3947,1.5054,1.3824,1.5199,1.4654,1.4625,1.4785,1.5937,1.4969,1.5033,1.5018,1.5147,1.6668,1.4843,1.5878,1.5319,1.5400,1.4723,1.5252,1.5836,1.4685,1.4935,1.5632,1.4381,1.5507,1.5634,1.5172,1.5040,1.5399,1.4820,1.5236,1.4446,1.5102,1.5777,1.4919,1.5045,1.4762,1.5770,1.5963,1.4695,1.5789,1.4799,1.5717,1.6073,1.3799,1.5695,1.5559,1.5302,1.6725,1.5054,1.3763,1.3678,1.5867,1.5542,1.4534,1.4983,1.5447,1.4027,1.5199,1.5778,1.4738,1.4219,1.5607,1.4905,1.5116,1.4969,1.4547,1.4923,1.5408,1.4729,1.5327), nrow =25, byrow =TRUE)# Médias e amplitudes de cada amostraxbar <-apply(dados, 1, mean)R <-apply(dados, 1, function(x) max(x) -min(x))cat("Amplitude média (R-barra):", round(mean(R), 5), "\n")
Amplitude média (R-barra): 0.21697
# cat("Média gera (X-dupla-barra):", round(mean(xbar), 5), "\n")
# Estimativa do desvio-padrãosigma_hat <- Rbar / d2cat("\nEstimativa de sigma:", round(sigma_hat, 4), "\n")
Estimativa de sigma: 0.0933
par(mfrow =c(2, 1), mar =c(4, 4, 3, 2))# --- Gráfico R ---plot(R, type ="b", pch =19, col ="steelblue",ylim =range(c(0, R, LSC_R *1.1)),main ="Gráfico R — Amplitude amostral",xlab ="Amostra", ylab ="Amplitude R",las =1, cex =0.8)abline(h = LC_R, lty =1, col ="darkgreen", lwd =2)abline(h = LSC_R, lty =2, col ="red", lwd =2)abline(h = LIC_R, lty =2, col ="red", lwd =2)legend("topright", legend =c("LC", "LSC/LIC"),lty =c(1,2), col =c("darkgreen","red"), lwd =2, cex =0.8)# --- Gráfico X-barra ---plot(xbar, type ="b", pch =19, col ="steelblue",ylim =range(c(LIC_X *0.99, xbar, LSC_X *1.01)),main =expression(paste("Gráfico ", bar(X), " — Média amostral")),xlab ="Amostra", ylab =expression(bar(X)),las =1, cex =0.8)abline(h = LC_X, lty =1, col ="darkgreen", lwd =2)abline(h = LSC_X, lty =2, col ="red", lwd =2)abline(h = LIC_X, lty =2, col ="red", lwd =2)legend("topright", legend =c("LC", "LSC/LIC"),lty =c(1,2), col =c("darkgreen","red"), lwd =2, cex =0.8)
par(mfrow =c(1,1))
Interpretação: Nenhuma das 25 amplitudes ou médias amostrais excede os limites de controle. O processo está sob controle estatístico na Fase I.
3 Gráfico \(\bar{X}\) e \(S\) — Média e Desvio-Padrão
3.1 Por que usar \(S\) em vez de \(R\)?
Para amostras grandes (\(n > 10\)), a amplitude \(R\) perde eficiência como estimador de \(\sigma\) porque ignora as observações internas. O desvio-padrão amostral\(s\) usa toda a informação da amostra.
3.2 Derivação
O desvio-padrão amostral \(s\) é um estimador levemente viesado de \(\sigma\):
# Comparação das estimativas de sigmacat("\nEstimativa sigma via R:", round(Rbar/d2, 5))
Estimativa sigma via R: 0.09328
cat("\nEstimativa sigma via S:", round(Sbar/c4, 5), "\n")
Estimativa sigma via S: 0.09217
par(mfrow =c(2, 1), mar =c(4, 4, 3, 2))plot(S, type ="b", pch =19, col ="darkorange",ylim =range(c(0, S, LSC_S *1.1)),main ="Gráfico S — Desvio-padrão amostral",xlab ="Amostra", ylab ="s", las =1, cex =0.8)abline(h = LC_S, lty =1, col ="darkgreen", lwd =2)abline(h = LSC_S, lty =2, col ="red", lwd =2)abline(h = LIC_S, lty =2, col ="red", lwd =2)legend("topright", legend =c("LC", "LSC/LIC"),lty =c(1,2), col =c("darkgreen","red"), lwd =2, cex =0.8)plot(xbar, type ="b", pch =19, col ="darkorange",ylim =range(c(LIC_Xs *0.99, xbar, LSC_Xs *1.01)),main =expression(paste("Gráfico ", bar(X), " com limites via ", bar(S))),xlab ="Amostra", ylab =expression(bar(X)), las =1, cex =0.8)abline(h = Xbar2, lty =1, col ="darkgreen", lwd =2)abline(h = LSC_Xs, lty =2, col ="red", lwd =2)abline(h = LIC_Xs, lty =2, col ="red", lwd =2)legend("topright", legend =c("LC", "LSC/LIC"),lty =c(1,2), col =c("darkgreen","red"), lwd =2, cex =0.8)
par(mfrow =c(1,1))
4 Gráfico para Medidas Individuais (\(X\) e \(MR\))
4.1 Quando usar
Quando só é possível obter uma observação por período (processos lentos, análises químicas, dados contábeis mensais, etc.), não é possível calcular uma média ou amplitude de subgrupo. Usa-se o gráfico de observações individuais (\(X\)) acompanhado do gráfico de amplitude móvel (\(MR\)).
4.2 Derivação
A variabilidade é estimada pela amplitude móvel de abrangência 2 entre observações consecutivas:
semanas <-1:mpar(mfrow =c(2,1), mar =c(4, 4, 3, 2))# --- Gráfico X (individuais) ---plot(semanas, custo, type ="b", pch =19, col ="purple",ylim =c(LIC_X2 -2, LSC_X2 +2),main ="Gráfico X — Observações Individuais",xlab ="Semana", ylab ="Custo (R$1.000)", las =1, cex =0.8)abline(h = Xbar, lty =1, col ="darkgreen", lwd =2)abline(h = LSC_X2, lty =2, col ="red", lwd =2)abline(h = LIC_X2, lty =2, col ="red", lwd =2)# Destacar pontos fora de controlefora_X <-which(custo > LSC_X2 | custo < LIC_X2)if (length(fora_X) >0)points(fora_X, custo[fora_X], col ="red", pch =17, cex =1.5)# --- Gráfico MR ---plot(semanas, MR, type ="b", pch =19, col ="purple",ylim =c(0, max(MR, LSC_MR2, na.rm =TRUE) *1.1),main ="Gráfico MR — Amplitude Móvel",xlab ="Semana", ylab ="MR", las =1, cex =0.8)abline(h = MRbar, lty =1, col ="darkgreen", lwd =2)abline(h = LSC_MR2, lty =2, col ="red", lwd =2)abline(h = LIC_MR2, lty =2, col ="red", lwd =2)
par(mfrow =c(1,1))
5 Gráfico \(p\) — Fração Não Conforme
5.1 Fundamento estatístico
Quando se classifica cada item como conforme ou não conforme (atributo binário), o número de não conformes \(D\) em uma amostra de tamanho \(n\) segue distribuição Binomial\((n, p)\), onde \(p\) é a verdadeira fração não conforme do processo.
Propriedades:
\[E(D) = np, \qquad \text{Var}(D) = np(1-p)\]
A fração amostral não conforme é \(\hat{p}_i = D_i/n\), com:
# Amostras fora de controlefora_p <-which(phat > LSC_p | phat < LIC_p)cat("Amostras fora de controle:", fora_p, "\n")
Amostras fora de controle: 15 23
plot(1:m_p, phat, type ="b", pch =19, col ="steelblue",ylim =c(0, max(phat, LSC_p) *1.15),main ="Gráfico p — Fração Não Conforme",xlab ="Amostra", ylab =expression(hat(p)), las =1, cex =0.8)abline(h = pbar, lty =1, col ="darkgreen", lwd =2)abline(h = LSC_p, lty =2, col ="red", lwd =2)abline(h = LIC_p, lty =2, col ="red", lwd =2)if (length(fora_p) >0)points(fora_p, phat[fora_p], col ="red", pch =17, cex =1.8)legend("topright",legend =c("Fração amostral", "LC (p-barra)", "LSC/LIC", "Fora de controle"),pch =c(19, NA, NA, 17), lty =c(1, 1, 2, NA),col =c("steelblue","darkgreen","red","red"), cex =0.8)
6 Gráfico \(np\) — Número de Não Conformes
6.1 Relação com o gráfico \(p\)
O gráfico \(np\) é simplesmente uma reparametrização do gráfico \(p\): em vez de plotar a fração\(\hat{p}_i = D_i/n\), plota-se diretamente o número\(D_i\). É preferido por muitos operadores por lidar com números inteiros.
Exige tamanho amostral constante (se \(n\) varia, use o gráfico \(p\)).
6.2 Parâmetros
Como \(E(D) = np\) e \(\sigma_D = \sqrt{np(1-p)}\):
fora_np <-which(D > LSC_np | D < LIC_np)plot(1:m_p, D, type ="b", pch =19, col ="darkcyan",ylim =c(0, max(D, LSC_np) *1.15),main ="Gráfico np — Número de Não Conformes",xlab ="Amostra", ylab ="Número de não conformes (D)", las =1, cex =0.8)abline(h = n_p * pbar, lty =1, col ="darkgreen", lwd =2)abline(h = LSC_np, lty =2, col ="red", lwd =2)abline(h = LIC_np, lty =2, col ="red", lwd =2)if (length(fora_np) >0)points(fora_np, D[fora_np], col ="red", pch =17, cex =1.8)
7 Gráfico \(c\) — Número de Não Conformidades
7.1 Distinção fundamental
Conceito
Definição
Gráfico
Não conforme
Unidade com pelo menos 1 defeito
\(p\), \(np\)
Não conformidade
Defeito individual (uma unidade pode ter vários)
\(c\), \(u\)
7.2 Fundamento: distribuição de Poisson
Quando o número de oportunidades para defeito é muito grande mas a probabilidade de cada um ser muito pequena, o número de não conformidades \(c\) segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \(c_0 > 0\):
fora_c <-which(ci > LSC_c | ci < LIC_c)cat("Amostras fora de controle:", fora_c, "\n")
Amostras fora de controle: 6 20
plot(1:m_c, ci, type ="b", pch =19, col ="coral",ylim =c(0, max(ci, LSC_c) *1.15),main ="Gráfico c — Número de Não Conformidades",xlab ="Amostra", ylab ="Número de não conformidades (c)", las =1, cex =0.8)abline(h = cbar, lty =1, col ="darkgreen", lwd =2)abline(h = LSC_c, lty =2, col ="red", lwd =2)abline(h = LIC_c, lty =2, col ="red", lwd =2)if (length(fora_c) >0)points(fora_c, ci[fora_c], col ="red", pch =17, cex =1.8)text(fora_c, ci[fora_c]+3, labels = fora_c, col ="red", cex =0.9)
8 Gráfico \(u\) — Não Conformidades por Unidade
8.1 Motivação
O gráfico \(c\) exige unidades de inspeção de tamanho constante. Quando isso não é possível (número de peças inspecionadas varia de amostra para amostra), usa-se o gráfico \(u\), que trabalha com a taxa de não conformidades por unidade.
8.2 Parâmetros
Seja \(n_i\) o número de unidades na \(i\)-ésima amostra e \(x_i\) o total de não conformidades. Define-se:
\[u_i = \frac{x_i}{n_i}\]
A estimativa do nível médio é \(\bar{u} = \frac{\sum x_i}{\sum n_i}\).
Como \(u_i\) é uma média de variáveis de Poisson, \(\sigma_{u_i} = \sqrt{\bar{u}/n_i}\), e os limites variam com \(n_i\):
fora_u <-which(u_i > LSC_u | u_i < LIC_u)cat("Amostras fora de controle:", fora_u, "\n")
Amostras fora de controle: 6
plot(1:m_u, u_i, type ="b", pch =19, col ="darkviolet",ylim =c(0, max(u_i, LSC_u) *1.15),main ="Gráfico u — Não Conformidades por Unidade",xlab ="Amostra", ylab =expression(u[i]), las =1, cex =0.8)abline(h = ubar, lty =1, col ="darkgreen", lwd =2)# Limites variáveis: plotar como linhas escalonadaslines(1:m_u, LSC_u, lty =2, col ="red", lwd =1.5, type ="s")lines(1:m_u, LIC_u, lty =2, col ="red", lwd =1.5, type ="s")if (length(fora_u) >0)points(fora_u, u_i[fora_u], col ="red", pch =17, cex =1.8)legend("topright",legend =c("u_i", expression(bar(u)), "LSC/LIC (variáveis)"),pch =c(19, NA, NA), lty =c(1,1,2),col =c("darkviolet","darkgreen","red"), cex =0.8)
9 Função e Curva Característica de Operação (CO)
9.1 O que é a curva CO?
A curva característica de operação exibe a probabilidade \(\beta\) de não detectar uma mudança no processo (Erro Tipo II) como função da magnitude do desvio.
Ela responde à pergunta: Se o processo muda de \(\mu_0\) para \(\mu_1\), qual é a chance de o gráfico não sinalizar na próxima amostra?
9.2 Derivação para o gráfico \(\bar{X}\)
Quando o processo está em controle, \(\bar{X} \sim N(\mu_0, \sigma^2/n)\) e os limites três-sigma são:
Interpretação:\(1 - \beta\) é a potência do gráfico — a probabilidade de detectar o desvio na primeira amostra após a mudança.
9.3 Curva CO para o gráfico \(\bar{X}\) em R
# Função que calcula beta para o gráfico X-barrabeta_xbar <-function(delta, n, L =3) {pnorm(L - delta *sqrt(n)) -pnorm(- L - delta *sqrt(n))}delta_seq <-seq(0, 4, by =0.1)# Curva CO para diferentes tamanhos de amostrans <-c(1, 2, 4, 5, 8, 10)cores <-c("gray50","steelblue","darkorange","darkgreen","purple","red")plot(NA, xlim =c(0, 4), ylim =c(0, 1),main =expression(paste("Curva CO — Gráfico ", bar(X), " (Limites 3σ)")),xlab =expression(paste("Desvio ",delta," (em unidades de σ)")),ylab =expression(beta ~"(probabilidade de não detectar)"),las =1)for (i inseq_along(ns)){ beta_vals <-beta_xbar(delta_seq, ns[i])lines(delta_seq, beta_vals, col = cores[i], lwd =2)}abline(h =0.5, lty =3, col ="gray")legend("topright",legend =paste("n =", ns),col = cores, lwd =2, cex =0.85)
Como ler o gráfico:
Para \(\delta = 0\) (processo em controle): \(\beta \approx 1\) — o gráfico quase nunca dará falso alarme.
Para \(\delta = 1\) (desvio de \(1\sigma\)) com \(n = 5\): \(\beta \approx 0{,}75\) — há 75% de chance de não detectar. O gráfico é pouco eficiente para desvios pequenos.
Amostras maiores \(\Rightarrow\) curva mais íngreme \(\Rightarrow\) maior potência para qualquer desvio.
Para o gráfico \(p\), \(\beta\) é a probabilidade de o número de não conformes \(D\) estar entre LIC e LSC quando \(p\) muda de \(\bar{p}\) para \(p_1\):
# Parâmetros do exemplo (n=50, p-barra estimado)n_co <-50pbar_co <-0.10# valor sob controleLSC_co <- pbar_co +3*sqrt(pbar_co * (1- pbar_co) / n_co)LIC_co <-max(0, pbar_co -3*sqrt(pbar_co * (1- pbar_co) / n_co))# Limites em número de defeitosd_lsc <-floor(n_co * LSC_co)d_lic <-ceiling(n_co * LIC_co)beta_p <-function(p1, n, lic, lsc) {pbinom(lsc, n, p1) -pbinom(lic -1, n, p1)}p1_seq <-seq(0.01, 0.40, by =0.005)beta_vals <-sapply(p1_seq, beta_p, n = n_co, lic = d_lic, lsc = d_lsc)plot(p1_seq, beta_vals, type ="l", lwd =2, col ="steelblue",main =paste0("Curva CO — Gráfico p\n(n=", n_co, ", p\u0305=", pbar_co, ")"),xlab ="Fração não conforme real expression(p[1])",ylab =expression(beta ~"(prob. de não detectar)"),ylim =c(0,1), las =1)abline(v = pbar_co, lty =2, col ="darkgreen")abline(h =0.50, lty =3, col ="gray")text(pbar_co +0.01, 0.95, expression(bar(p)), col ="darkgreen")
10 Comprimento Médio da Sequência (CMS)
10.1 Conceito e definição
O Comprimento Médio da Sequência (CMS, ou Average Run Length — ARL em inglês) é o número médio de amostras até que o gráfico emita um sinal.
Se \(p\) é a probabilidade de um único ponto cair fora dos limites de controle, então o número de amostras até o primeiro sinal segue uma distribuição Geométrica com parâmetro \(p\):
\[\text{CMS} = \frac{1}{p}\]
10.1.1 Demonstração passo a passo
A distribuição geométrica conta o número de ensaios de Bernoulli independentes até o primeiro “sucesso” (sinal). Se \(p\) é constante:
Com limites três-sigma e processo em controle, \(p = \alpha = 0{,}0027\):
\[\text{CMS}_0 = \frac{1}{0{,}0027} \approx 370\]
Ou seja: mesmo com o processo sob controle, um falso alarme ocorrerá a cada 370 amostras em média.
10.1.3 CMS fora de controle (\(\text{CMS}_1\))
Se o processo sofre um deslocamento de \(\delta\) desvios-padrão, a probabilidade de detecção em uma amostra é \(1 - \beta\), portanto:
\[\text{CMS}_1 = \frac{1}{1 - \beta(\delta, n)}\]
10.2 Cálculo em R
# CMS para o gráfico X-barra com limites 3-sigmacms_xbar <-function(delta, n, L =3) { beta <-beta_xbar(delta, n, L) p <-1- beta # prob. de detectar1/ p}# Tabela: CMS para vários desvios e tamanhos de amostradeltas <-c(0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 3.0)ns_cms <-c(4, 5, 8, 10)cat("CMS para o gráfico X-barra (Limites 3-sigma)\n")
delta_range <-seq(0, 3, by =0.05)ns_plot <-c(4, 5, 8, 10)cores_cms <-c("steelblue","darkorange","darkgreen","red")plot(NA, xlim =c(0, 3), ylim =c(1, 400),log ="y", # escala log para melhor visualizaçãomain ="CMS — Comprimento Médio da Sequência\n(Gráfico X-barra, limites 3σ)",xlab =expression(paste("Desvio ", delta, " (em unidades de σ)")),ylab ="CMS (escala log)",las =1)for (i inseq_along(ns_plot)) { cms_vals <-sapply(delta_range, cms_xbar, n = ns_plot[i])lines(delta_range, cms_vals, col = cores_cms[i], lwd =2)}abline(h =370, lty =3, col ="gray50")text(2.5, 400, "CMS₀ ≈ 370", col ="gray40", cex =0.85)legend("topright",legend =paste("n =", ns_plot),col = cores_cms, lwd =2, cex =0.85)
10.3 Assimetria da distribuição geométrica
A distribuição geométrica é muito assimétrica à direita. Por isso, o CMS nem sempre é um valor “típico” da sequência observada. Alguns analistas preferem reportar os percentis.
# Percentis da distribuição geométrica para p = 0.0027 (processo em controle)p_controle <-0.0027cat("Distribuição do comprimento de sequência (processo sob controle, p=0.0027)\n\n")
Distribuição do comprimento de sequência (processo sob controle, p=0.0027)
Interpretação: Embora o CMS₀ seja 370, 50% das vezes um falso alarme ocorre em 256 amostras ou menos; e 10% das vezes ocorre em apenas 38 amostras. Isso reflete a grande dispersão da distribuição geométrica.
10.4 CMS para o gráfico \(p\)
# CMS para o gráfico p: n=50, p-barra=0.10cms_p_chart <-function(p1, n =50, p0 =0.10) { lsc <- p0 +3*sqrt(p0*(1-p0)/n) lic <-max(0, p0 -3*sqrt(p0*(1-p0)/n)) d_lsc <-floor(n * lsc) d_lic <-ceiling(n * lic) b <-pbinom(d_lsc, n, p1) -pbinom(d_lic -1, n, p1)1/ (1- b)}p1_vals <-c(0.10, 0.12, 0.15, 0.20, 0.25, 0.30)cat("CMS para o gráfico p (n=50, p0=0.10)\n")
Em uma indústria de parafusos, deseja-se monitorar o diâmetro dos parafusos produzidos. O diâmetro nominal é 10 mm, com tolerância de mais ou menos 0.2 mm. A cada hora, um inspetor coleta um subgrupo de 5 parafusos para verificar a estabilidade do processo. Aplique os gráficos de controle para amplitude, desvio e para média usando a amplitude e o desvio.
set.seed(123)# 12 subgrupos, 5 peças cadan <-5k <-12dados <-matrix(rnorm(k * n, mean =10, sd =0.1), ncol = n, byrow =TRUE)dados
Use os procedimentos para gráficos de controle para medidas individuais para os dados faithful do datasets.
Use os procedimentos para gráficos de controle para medidas individuais para a variável Ozone dos dados airquality do datasets.
Dados sobre número de canetas defeituosas (que não emitem tinta) em amostras de tamanho 100. Construa um gráfico de controle para a proporção de itens não-conforme. O processo está sob controle? Se não, suponha que causas atribuíveis possam ser encontradas para todos os pontos fora de controle e determine os limites de controle revisados.
Em uma empresa são produzidas tampas de caneta de diferentes cores. Quando a quantidade de tampas de uma determinada cor, suficiente para atender à demanda, é produzida, passa-se então a produzir as tampas de ourta cor. Dessa forma, as amostras são estabelecidas de acordo com a cor dos itens produzidos, e o monitoramento da produção de tampas com um formato inadequado pode ser feito em um contexto em que são coletadas amostras de diferentes tamanhos.
Construa os gráficos \(p\) e \(p\) padronizado. O Processo parece estar sobre controle?
Faça as revisões necessárias nos limites de controle tentativos, de modo a produzir um conjunto de gráficos de controle para monitorar a produção futura.
Dados sobre o número de pares de sapatos defeituosos em amostras de tamanho de 200 pares analisados diariamente, para 25 dias úteis de certo mês.
dia =1:25d_i =c(9,11,14,9,16,11,10,12,5,10,9,11,7,9,22,11,8,11,9,13,9,7,9,8,12)tab.sapato =data.frame(Dia = dia, Defeitos = d_i)# colnames(tab.sapato) = c("Dia", "Número de defeitos")tab.sapato
Estabeleça um gráfico de controle para monitorar a produção futura (considere \(p\) = 0,20)
Ache o menos tamanho de amostra que dá um limite inferior de controle positivo.
Foram contados os defeitos de 20 placas de aparelhos celulares. Estabeleça um gráfico de controle do número de defeitos por placa produzida usando esses dados. O processo parece estat sobre controle estatístico? Se não, suponha que causas atribuíveis possam ser encontradas para todos os pontos fora de controle e calcule os limites de controle revisados
Uma fábrica têxtil deseja controlar o número de falhas nas camisetas que fabrica. A unidade de inspeção é definida como 50 camisetas e os dados para 30 amostras (cada uma de tamanho 50) estão na tabela abaixo
Estabeleça um gráfico de controle para o número de falhas por unidade de inspeção usando uma linha central c = 8 e examine o processo com relação ao controle estatístico.
Refaça o item (a) sem considerar a especificação. Qual a sua conclusão?
Reconsidere os dados do exercício 5 e construa um gráfico \(u\) para esse processo. Compare esse gráfico de controle com aquele construído anteriormente e discuta os resultados.
Considere novamente os dados do exercício 6. Visto que tais camisetas são comercializadas em amostras de tamanho 50 unidades e que são reunidas duas amostras dessas camisetas em uma caixa para realização de transporte, há interesse em verificar se as caixas transportadas apresentam um padrão de qualidade aceitável. Estabeleça um gráfico \(u\) para controlar esse processo.
Uma indústria farmacêutica monitora o peso médio de comprimidos produzidos em uma linha automática.
O peso nominal é de 500 mg e o controle é feito por meio de um gráfico de controle da média (\(\bar{x}\)).
Informações do processo:
média sob controle: (\(\mu_0\) = 500) mg
desvio-padrão do processo: (\(\sigma\) = 4) mg
tamanho da amostra: (\(n = 5\))
limites de controle de (\(3\sigma\))
O setor de qualidade deseja estudar o desempenho do gráfico para detectar mudanças na média do processo.
Calcular os limites de controle do gráfico ({x});
Calcular a Curva Característica de Operação (CCO);
Calcular o Comprimento Médio da Sequência (ARL);
Construir os gráficos da CCO e do ARL;
Interpretar os resultados.
REFERÊNCIA
MONTGOMERY, Douglas C. Introdução ao Controle Estatístico da Qualidade. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
Apostila elaborada com R Markdown / Quarto. Todos os exemplos numéricos são baseados diretamente nos dados e exemplos do livro-texto.
