library(tidyverse)

## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.5.2

## ── Attaching core tidyverse packages ──────────────────────── tidyverse 2.0.0 ──
## ✔ dplyr     1.1.4     ✔ readr     2.1.5
## ✔ forcats   1.0.1     ✔ stringr   1.5.2
## ✔ ggplot2   4.0.0     ✔ tibble    3.3.0
## ✔ lubridate 1.9.4     ✔ tidyr     1.3.1
## ✔ purrr     1.1.0     
## ── Conflicts ────────────────────────────────────────── tidyverse_conflicts() ──
## ✖ dplyr::filter() masks stats::filter()
## ✖ dplyr::lag()    masks stats::lag()
## ℹ Use the conflicted package (<http://conflicted.r-lib.org/>) to force all conflicts to become errors

library(sjmisc)       # Frekans ve betimsel istatistikler

## Warning: package 'sjmisc' was built under R version 4.5.3

## 
## Attaching package: 'sjmisc'
## 
## The following object is masked from 'package:purrr':
## 
##     is_empty
## 
## The following object is masked from 'package:tidyr':
## 
##     replace_na
## 
## The following object is masked from 'package:tibble':
## 
##     add_case

library(car)          # Alternatif model özetleri için (S fonksiyonu)

## Zorunlu paket yükleniyor: carData
## 
## Attaching package: 'car'
## 
## The following object is masked from 'package:dplyr':
## 
##     recode
## 
## The following object is masked from 'package:purrr':
## 
##     some

library(lme4)         # HLM / Mixed modelleri kurmak için

## Zorunlu paket yükleniyor: Matrix
## 
## Attaching package: 'Matrix'
## 
## The following objects are masked from 'package:tidyr':
## 
##     expand, pack, unpack

library(interactions) # Etkileşim (interaction) grafikleri için

## Warning: package 'interactions' was built under R version 4.5.2

library(broom)

## Warning: package 'broom' was built under R version 4.5.2

library(haven)

POPULAR Veri Yapısı ve Değişken Tanımları

Bu çalışma, 2000 öğrencinin (Düzey-1) 100 farklı sınıfa (Düzey-2) yerleşmiş olduğu hiyerarşik bir veri yapısına dayanmaktadır. Veri setindeki temel bileşenler şunlardır:

Bağımlı Değişken popular (Popülerlik Puanı): Her bir öğrencinin sınıf içindeki sosyometrik popülerlik düzeyini temsil eder. Bu değişken, hiyerarşik modelin en alt basamağındaki temel çıktıdır.
Düzey-1 Yordayıcı extrav (Dışa Dönüklük): Öğrenci düzeyindeki bir özelliktir. Analizlerde genellikle bu değişkenin merkezileştirilmiş hali olan cextrav kullanılır. Temel amaç, öğrencinin kişisel dışa dönüklük seviyesinin popülerliğini nasıl etkilediğini görmektir.
Düzey-2 Yordayıcı texp (Öğretmen Deneyimi): Sınıf düzeyindeki değişkendir. Her bir sınıfın öğretmeninin kaç yıllık tecrübeye sahip olduğunu gösterir. Bu değişken, sadece doğrudan popülerliği etkilemekle kalmaz, aynı zamanda dışa dönüklük ile popülerlik arasındaki ilişkinin gücünü de değiştirebilir.
Kümeleme Değişkeni class (Sınıf): Verinin hiyerarşik yapısını belirleyen grup değişkenidir. HLM analizinde, aynı sınıftaki öğrencilerin birbirlerine farklı sınıflardaki öğrencilerden daha çok benzediği varsayılır.

Level-1 (Öğrenci): “Dışa dönük öğrenciler daha mı popüler?”

Level-2 (Sınıf/Öğretmen): “Öğretmen tecrübesi sınıf genelindeki popülerlik ortalamasını değiştiriyor mu?”

Cross-level Interaction: “Tecrübeli bir öğretmenin sınıfında olmak, içe dönük bir öğrencinin popülerlik dezavantajını hafifletiyor mu?”

library(haven)
popular2 <- read_sav("popular2.sav")

Merkezleme veri hazırlığı

Bu analizde, bireysel düzeydeki değişkenlerin grup etkisinden arındırılması amacıyla Grup Ortalamasında Merkezleme yöntem kullanılmıştır. Bu işlem, öğrencinin puanının bağlı bulunduğu sınıfın ortalamasından ne kadar saptığını göstererek, değişkenin bireysel etkisini ortaya koymamıza olanak sağlar.

# popular2 verisinde sınıf düzeyinde merkezleme
popular2 <- popular2 %>% 
  group_by(class) %>%                       
  mutate(mean_extrav = mean(extrav, na.rm = TRUE)) %>% 
  ungroup() %>% 
  mutate(cextrav = extrav - mean_extrav) %>% 
  relocate(cextrav, .after = extrav)

# sex (cinsiyet) değişkeni için frekans tablosu

popular2 %>% 
  select(sex) %>% 
  sjmisc::frq()

## pupil sex (sex) <numeric> 
## # total N=2000 valid N=2000 mean=0.51 sd=0.50
## 
## Value | Label |    N | Raw % | Valid % | Cum. %
## -----------------------------------------------
##     0 |   boy |  989 | 49.45 |   49.45 |  49.45
##     1 |  girl | 1011 | 50.55 |   50.55 | 100.00
##  <NA> |  <NA> |    0 |  0.00 |    <NA> |   <NA>

popular2 verisi için betimsel istatistiklerin hesaplanması

library(sjmisc)

# popular2 verisi için betimsel istatistiklerin hesaplanması
popular2 %>%
  select(extrav, cextrav, popular) %>% 
  descr(show = c("n", "NA.prc", "mean", "sd", "range"))

## 
## ## Basic descriptive statistics
## 
##      var    n NA.prc mean   sd            range
##   extrav 2000      0 5.22 1.26         9 (1-10)
##  cextrav 2000      0 0.00 1.06 7.48 (-4.1-3.38)
##  popular 2000      0 5.08 1.38      9.5 (0-9.5)

Sınıf düzeyi (Düzey 2) için veri setini oluşturma

# meanses (Okul/Sınıf ortalaması olan SES) değişkenini oluşturma
library(dplyr)

popular2 <- popular2 %>%
  group_by(class) %>%
  mutate(meanses = mean(extrav, na.rm = TRUE)) %>% 
  ungroup()

popular2.S <- 
  popular2 %>% 
  group_by(class) %>% 
  summarise(
    n = n(),                           
   
    texp = unique(texp),               
    # Sınıf bazlı ortalamalar (Düzey-2 değişkenleri)
    meanses = unique(meanses),        
    mean_pop = mean(popular, na.rm = TRUE),
    .groups = "drop"
  )


head(popular2.S)

## # A tibble: 6 × 5
##   class     n  texp meanses mean_pop
##   <dbl> <int> <dbl>   <dbl>    <dbl>
## 1     1    20    24    4.85     5.08
## 2     2    20    14    4.85     4.11
## 3     3    18    13    5.22     4.69
## 4     4    23    20    4.78     5.43
## 5     5    21     5    5.86     5.29
## 6     6    20     8    5        4.34

Sınıf düzeyi (Düzey 2) değişkenleri için betimsel istatistikler

popular2.S %>%
  select(n, texp, meanses, mean_pop) %>% 
  sjmisc::descr(show = c("n", "NA.prc", "mean", "sd", "range"))

## 
## ## Basic descriptive statistics
## 
##       var   n NA.prc  mean   sd            range
##         n 100      0 20.00 2.05       10 (16-26)
##      texp 100      0 14.30 6.61        23 (2-25)
##   meanses 100      0  5.21 0.69 4.26 (4.29-8.55)
##  mean_pop 100      0  5.08 0.87  4.73 (2.6-7.33)

MODEL 1: Tek Yönlü ANOVA: Rastgele Etkiler Modeli (Boş Model)

Model ile cevaplamak istediğimiz soru:

Sınıflar ortalama popülerlik puanlarında ne kadar farklılık gösterir? Popülerlik puanındaki toplam varyansın ne kadarının sınıflardan kaynaklandığını belirlemek istiyoruz.

library(lme4)

# 1. Boş Modelin Kurulması 
model_bos <- lmer(popular ~ 1 + (1 | class), data = popular2)

# 2. Sonuçların İncelenmesi
summary(model_bos)

## Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
## Formula: popular ~ 1 + (1 | class)
##    Data: popular2
## 
## REML criterion at convergence: 6330.5
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -3.5655 -0.6975  0.0020  0.6758  3.3175 
## 
## Random effects:
##  Groups   Name        Variance Std.Dev.
##  class    (Intercept) 0.7021   0.8379  
##  Residual             1.2218   1.1053  
## Number of obs: 2000, groups:  class, 100
## 
## Fixed effects:
##             Estimate Std. Error t value
## (Intercept)  5.07786    0.08739    58.1

MODEL 1: Tek Yönlü ANOVA (Rastgele Etkiler Modeli) Sonuçları

Genel Ortalama: 5.078 (Tüm sınıflardaki tüm öğrencilerin popülerlik puanlarının genel ortalaması 5.08’dir.)

Sınıflar Arası Varyans: 0.702 (Popülerlik puanlarının sınıftan sınıfa ne kadar değiştiğini gösteren varyans değeridir.)

(Hata/Öğrenciler Arası Varyans): 1.222( Aynı sınıf içindeki öğrenciler arasındaki popülerlik farklarından kaynaklanan varyanstır.)

Sınıf İçi Korelasyon Katsayısı (ICC) 0.365 Popülerlik puanındaki toplam varyansın yaklaşık %36.5’i sınıflar arası farklılıklardan kaynaklanmaktadır. Geri kalan %63.5’lik varyans ise öğrenci düzeyindeki bireysel farklardan kaynaklanır.

ICC değerinin 0.05’ten büyük olması, verinin hiyerarşik yapısının güçlü olduğunu ve Çok Düzeyli Analiz (HLM/MLM) yapmanın gerekli olduğunu kanıtlar.

\[ICC = \frac{\tau_{00}}{\tau_{00} + \sigma^2} = \frac{0.702}{0.702 + 1.222} = \frac{0.702}{1.924} \approx 0.365\]

library(sjPlot)

## Warning: package 'sjPlot' was built under R version 4.5.3

## 
## Attaching package: 'sjPlot'

## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     set_theme

tab_model(model_bos)

	popularity sociometric score
Predictors	Estimates	CI	p
(Intercept)	5.08	4.91 – 5.25	<0.001
Random Effects
σ²	1.22
τ₀₀ _class	0.70
ICC	0.36
N _class	100
Observations	2000
Marginal R² / Conditional R²	0.000 / 0.365

tidy(model_bos)

## # A tibble: 3 × 6
##   effect   group    term            estimate std.error statistic
##   <chr>    <chr>    <chr>              <dbl>     <dbl>     <dbl>
## 1 fixed    <NA>     (Intercept)        5.08     0.0874      58.1
## 2 ran_pars class    sd__(Intercept)    0.838   NA           NA  
## 3 ran_pars Residual sd__Observation    1.11    NA           NA

Model çıktıları incelendiğinde, sınıflar arası standart sapmanın ($sd = 0.838$) ve öğrenci düzeyindeki standart sapmanın ($sd = 1.105$) olduğu görülmektedir. Bu değerlerin kareleri alınarak hesaplanan ICC değeri 0.36 olarak bulunmuştur. Bu durum, popülerlik puanındaki değişkenliğin %36’sının sınıflar arasındaki farklardan kaynaklandığını göstermektedir.

# 1. Modelden varyans bileşenlerini çekelim 
var_comp <- as.data.frame(VarCorr(model_bos))
tau_00 <- var_comp$vcov[var_comp$grp == "class"]      # Sınıflar arası varyans
sigma_sq <- var_comp$vcov[var_comp$grp == "Residual"] # Sınıf içi hata varyansı

# 2. Her bir sınıfın örneklem büyüklüğünü (nj) bulalım
n_j <- popular2 %>% 
  count(class) %>% 
  pull(n)

# 3. Her sınıf için kesişim güvenirliğini (lambda) hesaplayalım
reliability_j <- tau_00 / (tau_00 + (sigma_sq / n_j))

# 4. Ortalama güvenirlik değerini (Reliability Estimate) bulalım
mean_reliability <- mean(reliability_j)

print(paste("Kesisim Guvenirligi (Reliability Estimate):", round(mean_reliability, 3)))

## [1] "Kesisim Guvenirligi (Reliability Estimate): 0.919"

Bu değer, sınıf düzeyindeki popülerlik ortalamalarının ne kadar kararlı ve güvenilir olduğunu gösterir. Literatürde 0.70 ve üzeri değerler “iyi”, 0.90 ve üzeri ise “mükemmel” kabul edilir. Bulduğumuz 0.919 değeri;Sınıf ortalamalarının birbirinden ayırt edilmesinde hata payının çok düşük olduğunu,Sınıflar arası varyansın ($\tau_{00}$), ölçüm hatasına kıyasla çok baskın olduğunu ve Her bir sınıfın örneklem büyüklüğünün (yaklaşık $n=20$), grup ortalamalarını kararlı bir şekilde tahmin etmek için yeterli olduğunu göstermektedir.

# 1. Basit regresyon 
model_lm <- lm(popular ~ 1, data = popular2)

# 2.  karşılaştırma
anova(model_bos, model_lm)

## refitting model(s) with ML (instead of REML)

## Data: popular2
## Models:
## model_lm: popular ~ 1
## model_bos: popular ~ 1 + (1 | class)
##           npar    AIC    BIC  logLik -2*log(L)  Chisq Df Pr(>Chisq)    
## model_lm     2 6974.4 6985.6 -3485.2    6970.4                         
## model_bos    3 6333.5 6350.3 -3163.7    6327.5 642.92  1  < 2.2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Standart regresyon modeli ile rastgele kesişimli çok düzeyli model (model_bos) karşılaştırıldığında, model uyumundaki iyileşme istatistiksel olarak yüksek düzeyde anlamlı bulunmuştur ($p < .001$).model_bosun daha düşük AIC ve BIC değerlerine sahip olması, verinin hiyerarşik yapısını modele dahil etmenin modelin açıklayıcı gücünü anlamlı derecede artırdığını göstermektedir. Bu sonuç, popülerlik puanlarının sınıflar arasında sistematik olarak farklılaştığını doğrular ve Çok Düzeyli Analiz yönteminin kullanılmasının zorunlu olduğunu bilimsel olarak kanıtlar.

MODEL 2: Bağımlı Değişken Olarak Ortalamalarla Regresyon

Sınıflar arasındaki bu popülerlik farkının ne kadarı, sınıfların öğretmen deneyimi düzeyinden kaynaklanıyor?

Model Formülasyonu Düzey-1 Modeli: $popular_{ij} = \beta_{0j} + r_{ij}$ Düzey-2 Modeli: ${0j} = {00} + {01}(texp_j) + u{0j}

Katsayıların Anlamı:

$\gamma_{00}$ (Intercept): Öğretmen deneyimi 0 olan bir sınıfın beklenen popülerlik puanı.

$\gamma_{01}$ (texp Katsayısı): Öğretmenin deneyimindeki 1 birimlik (yıllık) artış, sınıfın popülerlik ortalamasını ne kadar artırıyor?

# Model 2: Grup düzeyinde yordayıcı (texp) eklenmiş model
model_2 <- lmer(popular ~ texp + (1 | class), data = popular2)

# Sonuçları görelim
summary(model_2)

## Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
## Formula: popular ~ texp + (1 | class)
##    Data: popular2
## 
## REML criterion at convergence: 6313.3
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -3.5326 -0.6963 -0.0005  0.6896  3.3455 
## 
## Random effects:
##  Groups   Name        Variance Std.Dev.
##  class    (Intercept) 0.5427   0.7367  
##  Residual             1.2218   1.1053  
## Number of obs: 2000, groups:  class, 100
## 
## Fixed effects:
##             Estimate Std. Error t value
## (Intercept)  4.19668    0.18609  22.552
## texp         0.06164    0.01183   5.212
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##      (Intr)
## texp -0.909

Araştırma sorusu: Sınıflar arasındaki popülerlik farkının ne kadarı, sınıfların öğretmen deneyimi (texp) düzeyinden kaynaklanıyor?

Matematiksel Formülasyon:Düzey-1: $popular_{ij} = \beta_{0j} + r_{ij}$Düzey-2: ${0j} = 4.197 + 0.061(texp_j) + u{0j}

$Parametre Yorumları:$_{00}$ (Intercept) = 4.197: Bu değer, öğretmen deneyimi 0 yıl olan bir sınıfın beklenen ortalama popülerlik puanıdır.

$\gamma_{01}$ (texp katsayısı) = 0.061: Öğretmen deneyimi 1 yıl arttığında, o sınıfın popülerlik puanı ortalama 0.061 puan artmaktadır. $t$ değeri (5.212) 1.96’dan büyük olduğu için bu etki istatistiksel olarak anlamlıdır.

Varyans Bileşenlerinin İncelenmesi ve Açıklanan Varyans ($R_2^2$)

Model 2 sonuçlarına göre varyans değerlerimiz şu şekildedir: $V(u_{0j}) = \tau_{00} = 0.5427$ (Sınıflar arası kalan varyans)

$V(r_{ij}) = \sigma^2 = 1.2218$ (Öğrenci düzeyindeki varyans - Model 1 ile aynı kalması beklenir)

Varyanstaki Değişim:Boş modelde (Model 1) sınıflar arası varyansımız 0.7021 idi. Öğretmen deneyimi modele eklendiğinde bu değer 0.5427’ye düşmüştür.

Açıklanan Varyans Oranı ($R_2^2$):\[R_2^2 = \frac{0.7021 - 0.5427}{0.7021} = \frac{0.1594}{0.7021} \approx 0.227\]Yorum: Sınıfların ortalama popülerlik puanlarındaki sınıf düzeyinde gözlenen değişkenliğin (varyansın) yaklaşık %22.7’si öğretmenlerin deneyim süresi (texp) ile açıklanabilmektedir.

Olası Değerler Aralığı (Plausible Values Range)Öğretmen deneyiminin ortalama bir değerde olduğu varsayıldığında, sınıf popülerlik ortalamaları için %95 olası değerler aralığı:\[4.197 \pm 1.96 \times \sqrt{0.5427} \implies 4.197 \pm 1.444 \implies (2.75, 5.64)\]

library(sjPlot)
tab_model(model_2)

	popularity sociometric score
Predictors	Estimates	CI	p
(Intercept)	4.20	3.83 – 4.56	<0.001
teacher experience in years	0.06	0.04 – 0.08	<0.001
Random Effects
σ²	1.22
τ₀₀ _class	0.54
ICC	0.31
N _class	100
Observations	2000
Marginal R² / Conditional R²	0.085 / 0.366

tidy(model_2)

## # A tibble: 4 × 6
##   effect   group    term            estimate std.error statistic
##   <chr>    <chr>    <chr>              <dbl>     <dbl>     <dbl>
## 1 fixed    <NA>     (Intercept)       4.20      0.186      22.6 
## 2 fixed    <NA>     texp              0.0616    0.0118      5.21
## 3 ran_pars class    sd__(Intercept)   0.737    NA          NA   
## 4 ran_pars Residual sd__Observation   1.11     NA          NA

Sabit Etkiler (Fixed Effects)

$\gamma_{00}$ (Intercept) = 4.197: Öğretmen deneyimi 0 olan bir sınıftaki ortalama popülerlik beklentisidir.

$\gamma_{01}$ (texp) = 0.062: Bu bizim asıl yordayıcımız. Öğretmenin kıdemindeki her 1 birimlik (yıllık) artış, sınıfın genel popülerliğini yaklaşık 0.06 birim artırmaktadır.

İstatistiksel Anlamlılık: statistic (t-değeri) 5.21 olarak görülüyor. Bu değer 1.96’dan büyük olduğu için öğretmen deneyiminin etkisi anlamlıdır diyebiliriz.

Sınıflar Arası Varyans ($\tau_{00}$): $0.7366^2 \approx \mathbf{0.543}$

Sınıf İçi (Hata) Varyansı ($\sigma^2$): $1.1053^2 \approx \mathbf{1.222}$

Boş Model Varyansı (Model 1): 0.702

Yeni Varyans (Model 2): 0.543

Açıklanan Varyans Oranı:\[(0.702 - 0.543) / 0.702 = \mathbf{0.226}\]

“Öğretmen deneyimi değişkeni, sınıflar arası popülerlik farklarının yaklaşık %22.6’sını açıklamaktadır.”

var_comp_02 <- as.data.frame(VarCorr(model_2))
tau_00_mod02 <- var_comp_02$vcov[var_comp_02$grp == "class"]      # Sınıflar arası kalan varyans
sigma_sq_mod02 <- var_comp_02$vcov[var_comp_02$grp == "Residual"] # Sınıf içi hata varyansı


n_j <- popular2 %>% 
  count(class) %>% 
  pull(n)


reliability_02 <- tau_00_mod02 / (tau_00_mod02 + (sigma_sq_mod02 / n_j))

#  Ortalama güvenirlik
mean_reliability_02 <- mean(reliability_02)

print(paste("Model 2 Kesisim Guvenirligi (Reliability Estimate):", round(mean_reliability_02, 3)))

## [1] "Model 2 Kesisim Guvenirligi (Reliability Estimate): 0.898"

Model 2 Kesişim Güvenirliği Analizi Düzey-2 yordayıcısı (Öğretmen Deneyimi - texp) modele dahil edildikten sonra hesaplanan Kesişim Güvenirliği değeri 0.898 olarak bulunmuştur.

Boş modeldeki (Model 1) güvenirlik değeri 0.919 iken, modele yordayıcı eklenmesiyle bu değerin 0.898’e düşmesi beklenen bir durumdur. Bunun sebebi, öğretmen deneyiminin sınıflar arası varyansın bir kısmını açıklamış olmasıdır.
Bulunan 0.898 değeri, literatürdeki “0.70” eşiğinin çok üzerindedir. Bu durum, modeldeki öğretmen deneyimi kontrol edildikten sonra bile sınıflar arasındaki popülerlik ortalaması farklarının son derece güvenilir bir şekilde tahmin edildiğini kanıtlar.
Sonuç olarak, sınıf ortalamalarındaki bu “açıklanamayan” farklar hala oldukça belirgindir ve başka değişkenlerle (mesela okul tipi, sınıf büyüklüğü vb.) açıklanmaya müsaittir.

MODEL 3: Rastgele Katsayılar Modeli (Random-Coefficient Model)

Sanki veride bulunan 100 sınıf için ayrı ayrı bir regresyon denklemi varmış gibi, her sınıfın kendi kesişim (ortalama popülerlik) ve kendi eğim (dışa dönüklük-popülerlik ilişkisi) değerlerine sahip olduğu bir model kurmak istiyoruz.

Model Formülasyonu

Düzey-1 Modeli:$popular_{ij} = \beta_{0j} + \beta_{1j}(cextrav_{ij}) + r_{ij}$$\beta_{1j}$: $j$ sınıfında dışa dönüklük ile popülerlik arasındaki ilişkinin gücü (eğim).

Düzey-2 Modeli:Kesişim Denklemi: $\beta_{0j} = \gamma_{00} + u_{0j}$$\gamma_{00}$:

Tüm sınıfların genel popülerlik ortalaması.$u_{0j}$: Sınıf ortalamasının genelden sapması.

Eğim Denklemi: $\beta_{1j} = \gamma_{10} + u_{1j}$$\gamma_{10}$:

Tüm sınıflardaki ortalama dışa dönüklük-popülerlik ilişkisi (Genel eğim).$u_{1j}$: Bu sınıfın eğiminin, genel eğimden ne kadar saptığı.

# Model 3: Hem kesişim hem eğimin rastgele olduğu model
model_3 <- lmer(popular ~ cextrav + (cextrav | class), data = popular2)

# Sonuçları inceleyelim
summary(model_3)

## Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
## Formula: popular ~ cextrav + (cextrav | class)
##    Data: popular2
## 
## REML criterion at convergence: 5778
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -3.0866 -0.7351  0.0089  0.6835  3.1729 
## 
## Random effects:
##  Groups   Name        Variance Std.Dev. Corr 
##  class    (Intercept) 0.71910  0.8480        
##           cextrav     0.03118  0.1766   -0.64
##  Residual             0.89291  0.9449        
## Number of obs: 2000, groups:  class, 100
## 
## Fixed effects:
##             Estimate Std. Error t value
## (Intercept)  5.07809    0.08742   58.09
## cextrav      0.49955    0.02693   18.55
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##         (Intr)
## cextrav -0.407

# Derli toplu tablo için:
# library(broom.mixed)
# tidy(model_3)

Bu modelde, hem sınıfların popülerlik ortalamalarının (kesişim) hem de dışa dönüklüğün (cextrav) popülerlik üzerindeki etkisinin (eğim) sınıftan sınıfa değişmesine izin verilmiştir.

Sabit Etkiler (Genel Eğilim):

Genel Ortalama ($\gamma_{00}$): 5.078. Ortalama Eğim ($\gamma_{10}$): 0.499. Tüm veri setinde, dışa dönüklükteki 1 birimlik artış popülerliği yaklaşık 0.50 puan artırmaktadır ($t = 18.55, p < .05$).

Rastgele Etkiler (Sınıflar Arası Farklılık):

Kesişim Varyansı ($\tau_{00}$): 0.719. Sınıf ortalamaları arasında anlamlı farklar devam etmektedir. Eğim Varyansı ($\tau_{11}$): 0.031. Dışa dönüklüğün popülerliği etkileme gücü sınıftan sınıfa farklılık göstermektedir.

%95 Olası Değerler Aralığı (Plausible Values):Sınıf Ortalamaları için: $5.078 \pm 1.96 \times \sqrt{0.719} \implies \mathbf{(3.41, 6.74)}$ Dışa Dönüklük Eğimi için: $0.499 \pm 1.96 \times \sqrt{0.031} \implies \mathbf{(0.15, 0.84)}$

Dışa dönüklük her sınıfta popülerliği pozitif yönde etkilemektedir. Ancak bu etki bazı sınıflarda 0.15 gibi düşük bir düzeydeyken, bazı sınıflarda 0.84 gibi çok daha güçlü bir seviyeye çıkmaktadır. Ayrıca kesişim ve eğim arasındaki negatif korelasyon (-0.64), popülerlik ortalaması yüksek olan sınıflarda dışa dönüklüğün etkisinin biraz daha zayıf olma eğiliminde olduğunu göstermektedir.

MODEL 4: Çapraz Düzey Etkileşim Modeli (Cross-Level Interaction)

Bu modelde hem sınıfların popülerlik ortalamalarını hem de sınıflardaki dışa dönüklük etkisini (eğim), sınıfın bir özelliği olan öğretmen deneyimi (texp) ile açıklamaya çalışıyoruz.

# Model 4: Çapraz Düzey Etkileşim Modeli
model_4 <- lmer(popular ~ cextrav + texp + 
                cextrav:texp +      # Çapraz Düzey Etkileşimi
                (cextrav | class),  # Rastgele Kesişim ve Rastgele Eğim
              data = popular2)

## boundary (singular) fit: see help('isSingular')

# Sonuçlar
summary(model_4)

## Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
## Formula: popular ~ cextrav + texp + cextrav:texp + (cextrav | class)
##    Data: popular2
## 
## REML criterion at convergence: 5725.2
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -3.2209 -0.7390  0.0156  0.6830  3.2117 
## 
## Random effects:
##  Groups   Name        Variance  Std.Dev. Corr 
##  class    (Intercept) 0.5593837 0.74792       
##           cextrav     0.0005458 0.02336  -1.00
##  Residual             0.8899843 0.94339       
## Number of obs: 2000, groups:  class, 100
## 
## Fixed effects:
##              Estimate Std. Error t value
## (Intercept)   4.19636    0.18609  22.551
## cextrav       0.88763    0.04720  18.804
## texp          0.06166    0.01183   5.214
## cextrav:texp -0.02725    0.00299  -9.112
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##             (Intr) cextrv texp  
## cextrav     -0.114              
## texp        -0.909  0.104       
## cextrav:txp  0.104 -0.905 -0.114
## optimizer (nloptwrap) convergence code: 0 (OK)
## boundary (singular) fit: see help('isSingular')

library(broom.mixed)

## Warning: package 'broom.mixed' was built under R version 4.5.2

tidy(model_4)

## # A tibble: 8 × 6
##   effect   group    term                     estimate std.error statistic
##   <chr>    <chr>    <chr>                       <dbl>     <dbl>     <dbl>
## 1 fixed    <NA>     (Intercept)                4.20     0.186       22.6 
## 2 fixed    <NA>     cextrav                    0.888    0.0472      18.8 
## 3 fixed    <NA>     texp                       0.0617   0.0118       5.21
## 4 fixed    <NA>     cextrav:texp              -0.0272   0.00299     -9.11
## 5 ran_pars class    sd__(Intercept)            0.748   NA           NA   
## 6 ran_pars class    cor__(Intercept).cextrav  -1       NA           NA   
## 7 ran_pars class    sd__cextrav                0.0234  NA           NA   
## 8 ran_pars Residual sd__Observation            0.943   NA           NA

MODEL 4: Kesişim ve Eğimlerin Bağımlı Değişken Olduğu Model

Bu modelde, sınıflar arası dışa dönüklük-popülerlik ilişkisinin neden değiştiği, “Öğretmen Deneyimi” ile açıklanmaya çalışılmıştır.

Sabit Etkiler ve Etkileşim :Genel Kesişim ($\gamma_{00}$): 4.196

Dışa Dönüklük Etkisi ($\gamma_{10}$): 0.887 (Pozitif ve anlamlı)

Öğretmen Deneyimi Etkisi ($\gamma_{01}$): 0.061 (Pozitif ve anlamlı)

Çapraz Düzey Etkileşimi (cextrav:texp) ($\gamma_{11}$): -0.027 ($t = -9.112$, $p < .05$).

Etkileşim terimi istatistiksel olarak anlamlıdır. Negatif yönlü olması, öğretmen deneyimi arttıkça dışa dönüklüğün popülerlik üzerindeki pozitif etkisinin zayıfladığını göstermektedir. Yani, daha deneyimsiz öğretmenlerin sınıflarında popüler olmak için dışa dönüklük çok daha kritik bir rol oynamaktadır.

Rastgele Etkiler (Varyans Analizi):

Eğim Varyansı ($\tau_{11}$): 0.0005 Model 3’te 0.031 olan eğim varyansı, Model 4’te öğretmen deneyiminin eklenmesiyle 0.0005’e düşmüştür.

Açıklanan Eğim Varyansı ($R_1^2$):\[R^2 = \frac{0.03118 - 0.00054}{0.03118} \approx \mathbf{0.98}\] Öğretmen deneyimi, sınıflar arasındaki dışa dönüklük-popülerlik ilişkisindeki (eğimlerdeki) değişkenliğin yaklaşık %98’ini tek başına açıklamaktadır.

Shrinkage (Daralma) Mantığı

Sıradan regresyon (OLS) yönteminde her okul, sadece kendi verisiyle değerlendirilir. Eğer bir okulda öğrenci sayısı çok azsa, o okulun ortalaması tesadüfi bir başarıdan (şans faktöründen) çok çabuk etkilenir. Shrinkage ise bu “küçük grup” hatasını engellemek için geliştirilmiş bir dengeleme mekanizmasıdır.

Bu yaklaşımı şu üç başlıkta özetleyebiliriz:

Merkeze Doğru Çekim

Elinizde verisi çok az olan küçük bir okul varsa, HLM bu okulun sonucuna “tam olarak güvenmez”. Bunun yerine, o okulun sonucunu genel ortalamaya (popülasyon merkezine) doğru biraz yaklaştırır.

Büyük okullar: Veri çok olduğu için sonuçları kendi yerinde kalır daha güvenilirdir.

Küçük okullar: Veri az olduğu için genel ortalamaya doğru “esnetilirler”. Böylece aşırı uçlarda çıkan hatalı tahminlerin önüne geçilir.

Değiştirilebilirlik Varsayımı

Bu kavram işin “güven” kısmıdır. “Eğer okulların temel özelliklerini kontrol altına aldıysak, geriye kalan farklılıklar tesadüfidir.” Yani okullar, bu temel özellikler dışında birbirlerinden çok farklı değillerdir ve aynı havuzun parçalarıdır. Bu benzerlik bize, küçük bir okulun eksik bilgisini diğer okullardan öğrendiğimiz genel bilgiyle tamamlama yetkisi verir.

Neden Daha Hassas?

Shrinkage sayesinde tek başına yanıltıcı olabilecek “aykırı” küçük okul verileri törpülenmiş olur. Bu da modelin daha kararlı, daha az hata payına sahip ve gerçeğe daha yakın tahminler üretmesini sağlar.

Shrinkage, küçük grupların sesini kısmadan ama onların “şans eseri” yarattığı gürültüyü azaltarak, tüm resmi daha net görmemizi sağlayan bir istatistiksel düzelticidir.

EB (Empirical Bayes) Tahminleri

EB tahminleri, Shrinkage mekanizmasını kullandığı için çok güçlüdür ancak “bedelsiz” değildir. Kullanırken şu iki temel riski göz önünde bulundurulmalıdır:

Model Bağımlılığı ve Yanlılık Riski: EB tahminleri, doğrudan Level-2 (okul düzeyi) modelinin kurgusuna yaslanır. Eğer ikinci düzey modelin hatalı kurulmuşsa , EB bu hatayı “doğruymuş gibi” kabul edip tahminlerini ona göre yapar. Bu durum, okul etkilerinin yanlı hesaplanmasına yol açar.

Varyans Daralması : Shrinkage süreci, aykırı veya uç değerdeki küçük birimleri merkeze doğru çektiği için, tahmin edilen okul etkileri arasındaki gerçek değişkenlik olduğundan daha az görünebilir. Bu durum, okullar arasındaki farkın “yapay bir şekilde” küçülmesine neden olur.

anova(model_4, model_3, test="Chisq")

## refitting model(s) with ML (instead of REML)

## Data: popular2
## Models:
## model_3: popular ~ cextrav + (cextrav | class)
## model_4: popular ~ cextrav + texp + cextrav:texp + (cextrav | class)
##         npar    AIC    BIC  logLik -2*log(L)  Chisq Df Pr(>Chisq)    
## model_3    6 5781.3 5814.9 -2884.7    5769.3                         
## model_4    8 5715.1 5759.9 -2849.5    5699.1 70.263  2  5.528e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

npar: Model 3’te 6 parametre varken, Model 4’te 8 parametre var. Bu, Model 4’e 2 yeni terim eklendiğini gösterir: texp (öğretmen deneyimi) ve cextrav:texp (etkileşim terimi).

AIC & BIC: Model 4’te her iki değerin de düştüğünü görüyoruz (5781 -> 5715). Bu, Model 4’ün veriyi daha iyi temsil ettiğinin ilk işaretidir.

Chisq (70.263): İki model arasındaki farkın büyüklüğünü temsil eder.Pr(>Chisq) ($5.528e-16$): Bu değer 0.05’ten çok küçüktür ($p < .001$). Yani eklenen değişkenler modelin açıklama gücünü anlamlı şekilde artırmıştır.

Öğrencilerin dışadönüklük düzeyleri ile popülerlikleri arasındaki ilişkinin, öğretmen deneyimi tarafından açıklanıp açıklanmadığını test etmek amacıyla Model 3 ve Model 4 karşılaştırılmıştır.

Olabilirlik Oran Testi (LRT) sonuçlarına göre; Model 4, Model 3’e kıyasla istatistiksel olarak anlamlı derecede daha iyi uyum sergilemiştir ($\chi^2(2) = 70.26, p < .001$). Ayrıca AIC (5715.1) ve BIC (5759.9) değerlerindeki düşüş de bu bulguyu desteklemektedir.

Bu sonuç, öğretmen deneyiminin, dışadönüklük ve popülerlik arasındaki ilişkinin okullar/sınıflar arasındaki değişkenliğini açıklayan anlamlı bir yordayıcı olduğunu kanıtlamaktadır.

Tabloda cextrav:texp değişkeninin eklenmesi şu anlama gelir:“Bir öğrencinin dışadönük olmasının ona popülerlik kazandırıp kazandırmayacağı, o sınıftaki öğretmenin kıdemine/deneyimine göre değişmektedir.”Eğer $p$ değeri anlamlı çıkmasaydı, “Öğretmen deneyimi bu farkı açıklamaya yetmiyor” diyecektik. Ama bu tabloda sonuç çok güçlü bir şekilde anlamlıdır.

# Gerekli kütüphane
library(interactions)

# popular2 verisine göre güncellenmiş grafik kodu
interact_plot(model_4, 
              pred = "cextrav", 
              modx = "texp", 
              data = popular2, 
              interval = TRUE, 
              plot.points = FALSE,
              x.label = "ogrenci Dısa donuklugu (cextrav)", 
              y.label = "Populerlik Puanı (popular)",
              main.title = "ogretmen Deneyiminin Dısadonukluk-Populerlik İliskisine Etkisi")

Grafikteki üç farklı çizgi, öğretmen deneyiminin popülerlik üzerindeki düzenleyici rolünü gösteriyor.

Genel olarak tüm çizgilerin yukarı yönlü olması, öğrencinin dışadönüklüğü arttıkça popülerlik puanının da arttığını gösterir. Ancak bu artışın hızı, öğretmenin deneyimine göre ciddi şekilde değişmektedir.

Öğretmen Deneyiminin Düzenleyici Rolü Çizgilerin eğimlerine (dikliklerine) odaklandığımızda etkileşimi şu şekilde okuyoruz:

Düşük Deneyimli Öğretmenler (-1 SD - Kesikli Açık Mavi Çizgi): Eğimin en dik olduğu çizgidir. Bu durum, tecrübesiz öğretmenlerin sınıflarında “dışadönüklüğün” popülerlik için çok daha belirleyici olduğunu gösterir. Yani bu sınıflarda sessiz öğrenciler çok düşük popülerliğe sahipken, dışadönükler hızla popüler olmaktadır.

Yüksek Deneyimli Öğretmenler (+1 SD - Koyu Düz Çizgi): Eğimin en yatay (basık) olduğu çizgidir. Bu çok kritik bir bulgu! Tecrübeli öğretmenlerin sınıflarında dışadönüklük ve popülerlik arasındaki ilişki daha zayıftır.

“Eşitleyici” Olarak Tecrübeli Öğretmenler Grafiğin sol tarafına (düşük dışadönüklük) baktığında, koyu mavi çizginin (tecrübeli öğretmenler) diğerlerinden çok daha yukarıda olduğunu göreceksin.

Tecrübeli öğretmenler, içedönük öğrencilerin bile sınıfta belirli bir popülerlik seviyesinde kalmasını sağlıyor. Tecrübesiz öğretmenlerin sınıflarında ise içedönük öğrenciler popülerlik açısından adeta “dip” yapıyor.

Yapılan analiz sonucunda, öğretmen deneyiminin dışadönüklük ve popülerlik arasındaki ilişkide anlamlı bir düzenleyici role sahip olduğu görülmüştür. Öğretmen deneyimi arttıkça, dışadönüklüğün popülerlik üzerindeki etkisi azalmaktadır (eğim yataylaşmaktadır). Bu durum, tecrübeli öğretmenlerin sınıf iklimini daha dengeli yöneterek, düşük dışadönüklüğe sahip öğrencilerin popülerlik dezavantajını minimize ettiğini göstermektedir.

ÖĞRENME GÜNLÜĞÜ

Amacım bu hafta öğrendiğim bilgileri pekiştirmek ve uygulama yaparak öğrenmekti. Sınıftaki veri yerine farklı bir veri ile çalışarak daha iyi öğrendiğimi düşünüyorum. Analizimi yaparken sınıftaki veri ve ders notları ile çaprazlama gidiyorum. 3 gündür bu analizi yapıyorum ama hala takıldığım kısımlar var. Onları not aldım tekrar üstünden geçeceğim. Teşekkürler hocam

Ders_8_ogrenme gunlugu

Duygu Gedik

2026-04-23