Con Mi Profe: Julio Hurtado Marquez; EMAIL_TAREAS:

1 📝 EJERCICIOS AVANZADOS - INTERÉS SIMPLE

1.1 Resolución completa con análisis de sensibilidad y puntos de equilibrio

✏️ Ejercicio 1: Comparación de créditos

Enunciado: Dos bancos ofrecen crédito para un carro de $45,000,000:

  • Banco A: Tasa 9% anual, plazo 4 años
  • Banco B: Tasa 11% anual, plazo 3 años

Preguntas: ¿Cuánto se paga en intereses en cada banco? ¿Cuál es la cuota mensual en cada uno? ¿Cuál banco es más conveniente? ¿Qué porcentaje del crédito representan los intereses en cada caso?

✅ Solución Ejercicio 1

Datos comunes: Capital (P) = $45,000,000

Banco A: Tasa 9% anual (r = 0.09), plazo 4 años (t = 4)

  • Intereses = P × r × t = 45,000,000 × 0.09 × 4 = $16,200,000
  • Monto total = P + I = 45,000,000 + 16,200,000 = $61,200,000
  • Cuota mensual = Monto total ÷ (4 años × 12 meses) = 61,200,000 ÷ 48 = $1,275,000
  • % intereses sobre crédito = (16,200,000 ÷ 45,000,000) × 100 = 36%

Banco B: Tasa 11% anual (r = 0.11), plazo 3 años (t = 3)

  • Intereses = 45,000,000 × 0.11 × 3 = $14,850,000
  • Monto total = 45,000,000 + 14,850,000 = $59,850,000
  • Cuota mensual = 59,850,000 ÷ 36 = $1,662,500
  • % intereses sobre crédito = (14,850,000 ÷ 45,000,000) × 100 = 33%

Respuestas:

  1. Intereses: Banco A = $16,200,000 | Banco B = $14,850,000
  2. Cuota mensual: Banco A = $1,275,000 | Banco B = $1,662,500
  3. Banco B es más conveniente porque paga menos intereses totales ($14.85M vs $16.2M), ahorrando $1,350,000. Aunque la cuota es más alta, el costo total es menor.
  4. Porcentaje de intereses: Banco A = 36% | Banco B = 33%

✏️ Ejercicio 2: Proyección de inversión

Enunciado: Una persona invierte $20,000,000 al 15% anual. Quiere saber:

  1. ¿Cuánto tendrá después de 2 años?
  2. ¿Cuántos años necesita para duplicar su inversión?
  3. Si la inflación es del 6%, ¿cuál es su ganancia REAL después de 3 años?
  4. ¿Qué tasa necesitaría para tener $50,000,000 en 5 años?

✅ Solución Ejercicio 2

Datos: Capital (P) = $20,000,000 | Tasa (r) = 15% = 0.15 anual

  1. Monto después de 2 años:
    Fórmula: M = P × (1 + r × t)
    M = 20,000,000 × (1 + 0.15 × 2) = 20,000,000 × (1 + 0.30) = 20,000,000 × 1.30
    M = $26,000,000
  2. Años para duplicar la inversión (M = $40,000,000):
    40,000,000 = 20,000,000 × (1 + 0.15 × t)
    2 = 1 + 0.15t
    1 = 0.15t
    t = 1 ÷ 0.15 = 6.666… años = 6 años y 8 meses
  3. Ganancia REAL después de 3 años (inflación 6% anual):
    Paso 1: Monto nominal = 20,000,000 × (1 + 0.15 × 3) = 20,000,000 × 1.45 = $29,000,000
    Paso 2: Efecto inflacionario: El poder adquisitivo inicial de $20M se reduce. Valor real del monto final:
    Valor real = 29,000,000 ÷ (1 + 0.06 × 3) = 29,000,000 ÷ 1.18 = $24,576,271
    Paso 3: Ganancia real = Valor real - Inversión inicial = 24,576,271 - 20,000,000 = $4,576,271
    (Nota: En la resolución anterior usé otro método, este es más preciso para interés simple)
  4. Tasa necesaria para $50,000,000 en 5 años:
    50,000,000 = 20,000,000 × (1 + r × 5)
    2.5 = 1 + 5r
    1.5 = 5r
    r = 1.5 ÷ 5 = 0.30 = 30% anual

✏️ Ejercicio 3: Ahorro para meta específica

Enunciado: Una pareja quiere ahorrar $80,000,000 para la educación universitaria de su hijo en 12 años. La tasa de interés es 8% anual.

  1. ¿Cuánto deben depositar hoy?
  2. ¿Cuánto ganarán en intereses?
  3. ¿Qué porcentaje de la meta final representan los intereses?
  4. Si empiezan en 4 años, ¿cuánto más deben depositar hoy?

✅ Solución Ejercicio 3

Datos: Meta (M) = $80,000,000 | Plazo (t) = 12 años | Tasa (r) = 8% = 0.08 anual

  1. Depósito hoy (P):
    Fórmula: M = P × (1 + r × t)
    80,000,000 = P × (1 + 0.08 × 12) = P × (1 + 0.96) = P × 1.96
    P = 80,000,000 ÷ 1.96 = $40,816,326.53
  2. Ganancia en intereses:
    Intereses = M - P = 80,000,000 - 40,816,326.53 = $39,183,673.47
  3. Porcentaje de la meta que representan los intereses:
    (39,183,673.47 ÷ 80,000,000) × 100 = 48.98%
  4. Si empiezan en 4 años (plazo real = 12 - 4 = 8 años):
    80,000,000 = P × (1 + 0.08 × 8) = P × (1 + 0.64) = P × 1.64
    P = 80,000,000 ÷ 1.64 = $48,780,487.80
    Diferencia: 48,780,487.80 - 40,816,326.53 = $7,964,161.27 más deben depositar hoy

2 📊 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y PUNTOS DE EQUILIBRIO

📈 Ejercicio 1: Sensibilidad y punto de equilibrio

🔍 ¿Qué pasa si la tasa sube 2% en cada banco?

  • Banco A (11% a 4 años): Intereses = 45M × 0.11 × 4 = $19,800,000 (↑ $3,600,000)
  • Banco B (13% a 3 años): Intereses = 45M × 0.13 × 3 = $17,550,000 (↑ $2,700,000)

⚖️ Punto de equilibrio de intereses totales:

45M × 0.09 × t_A = 45M × 0.11 × t_B → t_A / t_B = 1.2222

El plazo del Banco A debe ser 22.22% más largo que el de B para pagar los mismos intereses.

⚖️ Punto de equilibrio de tasas (plazo fijo 4 años vs 3 años):

45M × r_A × 4 = 45M × 0.11 × 3 → r_A = 8.25%

Si Banco A ofrece tasa menor al 8.25% a 4 años, conviene frente a B.

📋 Gráfico de intereses vs plazo (Banco A): 

Intereses ($M)
40 |                                                              ● (10a)
35 |                                                      ● (9a)
30 |                                              ● (8a)
25 |                                      ● (7a)
20 |                              ● (6a)
15 |                      ● (5a)
10 |              ● (4a)
 5 |      ● (3a)
 0 |● (2a)
   +----------------------------------------
    2a   3a   4a   5a   6a   7a   8a   9a   10a

📈 Ejercicio 2: Sensibilidad de la inversión

🔍 Variación de tasas de interés (±3%):

Tasa Monto a 2 años Años para duplicar Tasa real (inflación 6%)
12% $24,800,000 8.33 años 5.66%
15% (base) $26,000,000 6.67 años 8.49%
18% $27,200,000 5.56 años 11.32%

🔍 Sensibilidad a la inflación (ganancia real a 3 años con tasa 15%):

Inflación Monto nominal Valor real Ganancia real
4% $29,000,000 $25,892,857 $5,892,857
6% (base) $29,000,000 $24,576,271 $4,576,271
10% $29,000,000 $22,307,692 $2,307,692

📋 Gráfico: Tiempo para duplicar según tasa 

Años
10 | ● (10%)                                           
 8 | ●  ● (12%)                                       
 6 | ●  ●  ● (15%)                                    
 4 | ●  ●  ●  ● (18%)                                 
 2 | ●  ●  ●  ●  ● (20%)                              
 0 +-----------------------------
    10% 12% 15% 18% 20%

📈 Ejercicio 3: Sensibilidad del ahorro

🔍 Sensibilidad a la tasa de interés:

Tasa Factor (1+rt) Depósito hoy Diferencia vs base
6% 1.72 $46,511,628 +$5,695,301
8% (base) 1.96 $40,816,327 —
10% 2.20 $36,363,636 -$4,452,691

🔍 Sensibilidad al plazo (tasa 8%):

Plazo Factor Depósito hoy % intereses
8 años 1.64 $48,780,488 39.02%
10 años 1.80 $44,444,444 44.44%
12 años (base) 1.96 $40,816,327 48.98%
15 años 2.20 $36,363,636 54.55%

📋 Gráfico: Depósito inicial vs plazo 

Depósito ($M)
60 | ● (6a)                                   
55 |    ● (7a)                                
50 |       ● (8a)                             
45 |          ● (10a)                         
40 |             ● (12a)                      
35 |                ● (15a)                   
30 |                   ● (20a)                
   +--------------------------------
    6a   8a   10a  12a  15a  20a

3 🎯 RESUMEN DE RESPUESTAS FINALES

📋 Cuadro resumen

Ejercicio Pregunta Respuesta
1A Intereses Banco A $16,200,000
1A Cuota mensual Banco A $1,275,000
1A % intereses Banco A 36%
1B Intereses Banco B $14,850,000
1B Cuota mensual Banco B $1,662,500
1B % intereses Banco B 33%
1 Banco más conveniente Banco B (menor interés total)
2.1 Monto después de 2 años $26,000,000
2.2 Años para duplicar 6.67 años (6 años 8 meses)
2.3 Ganancia real (3 años, inflación 6%) $4,576,271
2.4 Tasa para $50M en 5 años 30% anual
3.1 Depósito hoy $40,816,327
3.2 Intereses ganados $39,183,673
3.3 % intereses vs meta 48.98%
3.4 Depósito extra si empiezan en 4 años +$7,964,161