計量経済I：復習テスト4

注意

すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト 1～8 を順に重ねて左上でホチキス止めし，中間テスト実施日（6月9日の予定）に提出すること．

1. (X,Y) を確率ベクトルとする．以下の公式を示しなさい．

1. 線形変換の期待値（期待値の線形性）

\operatorname{E}(aX+bY)=a\operatorname{E}(X)+b\operatorname{E}(Y)

2. 線形変換の分散

\operatorname{var}(aX+bY)=a^2\operatorname{var}(X)+2ab\operatorname{cov}(X,Y)+b^2\operatorname{var}(Y)

3. 共分散の計算公式

\operatorname{cov}(X,Y)=\operatorname{E}(XY)-\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)

解答例

1. (X,Y) が離散なら \begin{align*} \operatorname{E}(aX+bY) & :=\sum_x\sum_y(ax+by)p_{X,Y}(x,y) \\ & =\sum_x\sum_y(axp_{X,Y}(x,y)+byp_{X,Y}(x,y)) \\ & =\sum_x\sum_yaxp_{X,Y}(x,y)+\sum_x\sum_ybyp_{X,Y}(x,y) \\ & =a\sum_x\sum_yxp_{X,Y}(x,y)+b\sum_x\sum_yyp_{X,Y}(x,y) \\ & =a\operatorname{E}(X)+b\operatorname{E}(Y) \end{align*} (X,Y) が連続なら \begin{align*} \operatorname{E}(aX+bY) & :=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} (ax+by)f_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ & =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} (axf_{X,Y}(x,y)+byf_{X,Y}(x,y))\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ & =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}axf_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y +\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}byf_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ & =a\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}xf_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y +b\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}yf_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ & =a\operatorname{E}(X)+b\operatorname{E}(Y) \end{align*} ※離散・連続のどちらか一方でよい．

2. 期待値の線形性より \begin{align*} \operatorname{var}(aX+bY) & :=\operatorname{E}\left((aX+bY-\operatorname{E}(aX+bY))^2\right) \\ & =\operatorname{E}\left([aX+bY-(a\operatorname{E}(X)+b\operatorname{E}(Y))]^2\right) \\ & =\operatorname{E}\left([a(X-\operatorname{E}(X))+b(Y-\operatorname{E}(Y))]^2\right) \\ & =\operatorname{E}\left(a^2(X-\operatorname{E}(X))^2+2ab(X-\operatorname{E}(X))(Y-\operatorname{E}(Y))+b^2(Y-\operatorname{E}(Y))^2\right) \\ & =a^2\operatorname{E}\left((X-\operatorname{E}(X))^2\right)+2ab\operatorname{E}((X-\operatorname{E}(X))(Y-\operatorname{E}(Y))) +b^2\operatorname{E}\left((Y-\operatorname{E}(Y))^2\right) \\ & =a^2\operatorname{var}(X)+2ab\operatorname{cov}(X,Y)+b^2\operatorname{var}(Y) \end{align*}

3. 期待値の線形性より \begin{align*} \operatorname{cov}(X,Y) & :=\operatorname{E}((X-\operatorname{E}(X))(Y-\operatorname{E}(Y))) \\ & =\operatorname{E}(XY-X\operatorname{E}(Y)-\operatorname{E}(X)Y+\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)) \\ & =\operatorname{E}(XY)-\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)-\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)+\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y) \\ & =\operatorname{E}(XY)-\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y) \end{align*} ※\mu_X:=\operatorname{E}(X), \mu_Y:=\operatorname{E}(Y) として計算すると分かりやすい．

2. (X,Y) を確率ベクトルとする．以下の命題を証明しなさい．

1. 繰り返し期待値の法則

\operatorname{E}(\operatorname{E}(X|Y))=\operatorname{E}(X)

\operatorname{E}(X|Y)=0 \Longrightarrow \operatorname{E}(XY)=0

\operatorname{E}(X|Y)=0 \Longrightarrow \operatorname{cov}(X,Y)=0

解答例

1. 条件付き期待値と条件付き分布の定義より，(X,Y) が離散なら \begin{align*} \operatorname{E}(\operatorname{E}(X|Y)) & :=\sum_y\left(\sum_xxp_{X|Y}(x|y)\right)p_Y(y) \\ & =\sum_y\sum_xx\frac{p_{X,Y}(x,y)}{p_Y(y)}p_Y(y) \\ & =\sum_x\sum_yxp_{X,Y}(x,y) \\ & =\operatorname{E}(X) \end{align*} (X,Y) が連続なら \begin{align*} \operatorname{E}(\operatorname{E}(X|Y)) & :=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}xf_{X|Y}(x|y)\mathrm{d}x\right)f_Y(y)\mathrm{d}y \\ & =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}x\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}\mathrm{d}xf_Y(y)\mathrm{d}y \\ & =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}xf_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ & =\operatorname{E}(X) \end{align*} ※離散・連続のどちらか一方でよい．

2. 繰り返し期待値の法則より \begin{align*} \operatorname{E}(XY) & =\operatorname{E}(\operatorname{E}(XY|Y)) \\ & =\operatorname{E}(\operatorname{E}(X|Y)Y) \\ & =0 \end{align*}

3. 共分散の計算公式より \operatorname{cov}(X,Y)=\operatorname{E}(XY)-\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y) 前問より第 1 項は 0．繰り返し期待値の法則より \begin{align*} \operatorname{E}(X) & =\operatorname{E}(\operatorname{E}(X|Y)) \\ & =0 \end{align*} したがって第 2 項も 0．

3. X と Y は独立とする．このとき以下の式が成り立つことを示しなさい．

\operatorname{E}(XY)=\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)

\operatorname{cov}(X,Y)=0

\operatorname{var}(X+Y)=\operatorname{var}(X)+\operatorname{var}(Y)

解答例

1. 独立性の定義より，(X,Y) が離散なら \begin{align*} \operatorname{E}(XY) & :=\sum_x\sum_yxyp_{X,Y}(x,y) \\ & =\sum_x\sum_yxyp_X(x)p_Y(y) \\ & =\sum_xxp_X(x)\sum_yyp_Y(y) \\ & =\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y) \end{align*} (X,Y) が連続なら \begin{align*} \operatorname{E}(XY) & :=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}xyf_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ & =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}xyf_X(x)f_Y(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ & =\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}xf_X(x)\mathrm{d}x\right)yf_Y(y)\mathrm{d}y \\ & =\int_{-\infty}^{\infty}xf_X(x)\mathrm{d}x\int_{-\infty}^{\infty}yf_Y(y)\mathrm{d}y \\ & =\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y) \end{align*} ※離散・連続のどちらか一方でよい．

2. 共分散の計算公式と前問の結果より \begin{align*} \operatorname{cov}(X,Y) & =\operatorname{E}(XY)-\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y) \\ & =\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)-\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y) \\ & =0 \end{align*}

3. 線形変換の分散の公式と前問の結果より \begin{align*} \operatorname{var}(X+Y) & =\operatorname{var}(X)+2\operatorname{cov}(X,Y)+\operatorname{var}(Y) \\ & =\operatorname{var}(X)+\operatorname{var}(Y) \end{align*}