Questões: Aula 6: Derivada e
Integral
Soluções
MSP4092: Biomatemática: aspectos quantitativos da vida
23 abril 2026 01:10h
# para gerar html a partir do Rmd
suppressMessages(library(knitr, warn.conflicts=FALSE))
# para representar equações em R
suppressMessages(library(latex2exp, warn.conflicts=FALSE))
# para usar nossas funções
suppressMessages(library(eiras2x2, warn.conflicts=FALSE))
# para usar graficos 3D
suppressMessages(library(rgl, warn.conflicts=FALSE)) Legenda
As respostas das questões podem apresentar uma ou mais soluções em:
|
\(~~~\) | Algébrica |
|
\(~~~\) | WolframAlpha |
|
\(~~~\) | R |
|
\(~~~\) | R com força bruta |
|
\(~~~\) | SciLab |
|
\(~~~\) | ref. APEx |
Gabarito
Questão 1: A
Questão 2: B
Questão 3: E
Questão 4: A
Questão 5: A ou B
Questão 6: C
Questão 7: A
Questão 8: A
Questão 9: D
Questão 10: E
Questão 11: A
Questão 12: A
Questão 13: C
Questão 14: A
Questão 15: D
Questão 16: B
Questão 17: B
Questão 18: B
Questão 19: A
Questão 20: B
Questão 21: C
Questão 22: D
Questão 23: E
Questão 24: B
Questão 25: A
Q01: Exemplo 2.2.8 Encontrando uma taxa de variação relativa percentual de crescimento
Experimentos indicam que a biomassa \(Q(t)\) de uma espécie de peixe em uma determinada área do oceano muda na taxa
\[
\dfrac{dQ}{dt} = rQ\left(1 - \dfrac{Q}{a}\right)
\]
em que \(r\) é a taxa de crescimento
natural da espécie e \(a\) é uma
constante.
Qual é a expressão correta para a taxa de variação relativa percentual
da biomassa?
- \(100r\left(1 - \dfrac{Q}{a}\right)\)
- \(100r\left(1 +
\dfrac{Q}{a}\right)\)
- \(r\left(1 -
\dfrac{Q}{a}\right)\)
- \(\dfrac{100r}{Q}\left(1 -
\dfrac{Q}{a}\right)\)
- \(100rQ\left(1 - \dfrac{Q}{a}\right)\)
Alternativa correta: A
Solução
a. Encontre a taxa de variação relativa percentual da espécie.
A taxa de variação relativa é definida como a proporção de variação em relação ao valor da função em cada momento. A expressão fornecida é a derivada (portanto, já é a variação instantânea) e a função é \(Q\), então a variação relativa (já multiplicada por 100 para fornecer a proporção em porcentagem) é:
\[ \delta f(Q) = 100\dfrac{Q^{\prime}(t)}{Q(t)}=100 \dfrac{rQ\left(1-\dfrac{Q}{a}\right)}{Q} = 100\, r\left(1-\dfrac{Q}{a}\right) \] Observe que a taxa de variação relativa percentual diminui à medida que \(Q\) aumenta e se torna \(0\) quando \(Q = a\). Se \(Q > a\), a taxa de variação relativa percentual é negativa, o que significa que a biomassa está realmente diminuindo.
Vamos explorar um pouco mais. A equação apresentada serve para
representar o modelo logístico de crescimento populacional, sendo que:
- \(Q\): tamanho da população no tempo \(t\)
- \(r\): taxa intrínseca de crescimento
- \(a\): capacidade de suporte (ou carrying capacity)
Cuja solução analítica é:
\[ Q(t) = \dfrac{a}{1 + \left( \dfrac{a - Q_0}{Q_0} \right) e^{-rt}} \]
O parâmetro \(a\) é a limite superior deste tipo de função, chamada de capacidade de suporte do meio e definida como o tamanho máximo da população que o ambiente consegue sustentar indefinidamente, dadas as condições disponíveis de recursos como alimento, espaço, água e outros fatores ambientais.
Podemos verificar o formato das soluções analíticas de duas maneiras
diferentes.
- replicando o avanço passo a passo, definindo as variáveis usadas para iniciar a função:
-
a: capacidade de suporte do meio -
Q0: capacidade de suporte do meio -
a: biomassa inicial -
t0: tempo inicial e -
tfinal: tempo final a ser computado
e acumulando, com um loop, usando a expressão da derivada apresentada no enunciado:
tacm <- c(t0)
Qacm <- c(Q0)
Q <- Q0
for(t in t0:tfinal)
{
Q <- Q + r*Q*(1-Q/a)
Qacm <- c(Qacm,Q)
tacm <- c(tacm,t)
}- ou usamos a solução analítica (pois encontramos a função), computando diretamente:
Os dois métodos estão implementados em um código R que também exibe os dois resultados graficamente, para evidenciar sua equivalência, executado com:
Uma forma pouco elegante de responder esta pergunta é produzir \(Q(t)\) com força bruta, como se fosse uma somatória com a expressão da derivada, e depois plotar cada uma das alternativas sobre a curva obtida para descobrir qual delas coincide visualmente:
a <- 10 # capacidade de suporte do meio
r <- 0.005
Q0 <- 0.001
t0 <- 0
tfinal <- 4000
source("Q6_1_derivada.R")
Nota: A alternativa A é a taxa de
crescimento relativa da população. A alternativa E é a
resposta correta para a variação absoluta ao longo do tempo.
b. Se a biomassa satisfaz \(Q(t) > a\), o que pode ser dito sobre sua taxa de crescimento?
Usando o que exploramos anteriormente, observe o que acontece se
Q0 > a
a <- 10 # capacidade de suporte do meio
r <- 0.005
Q0 <- 15
t0 <- 0
tfinal <- 4000
source("Q6_1_funcao.R")
Portanto, se a biomassa (neste exemplo, o tamanho da população) estiver acima do que o ambiente pode sustentar, a biomassa decresce até o valor de \(a\).
Q02: Exemplo 2.3.5 Estudando como uma população muda
Linda Grant, uma bióloga que estuda os efeitos de uma toxina em uma
cultura bacteriana, determina que \(t\)
horas após a introdução da toxina, a população de bactérias na cultura é
de \(P\) milhões onde:
\[
P(t) = \dfrac{t+1}{t^2 + t + 4}
\]
Qual é a taxa de variação da população no instante \(t = 0\) e quanto a população aumenta até começar a diminuir?
- \(P^{\prime}(0) = -\dfrac{3}{16},\quad P(1) - P(0) = \dfrac{1}{12}\)
- \(P^{\prime}(0) = \dfrac{3}{16},\quad P(1)
- P(0) = \dfrac{1}{12}\)
- \(P^{\prime}(0) = \dfrac{3}{16},\quad P(1)
- P(0) = \dfrac{1}{6}\)
- \(P^{\prime}(0) = -\dfrac{3}{16},\quad
P(1) - P(0) = \dfrac{1}{6}\)
- \(P^{\prime}(0) = \dfrac{1}{4},\quad P(1) - P(0) = \dfrac{1}{3}\)
Alternativa correta: B
a. Com que taxa a população da cultura está mudando em relação ao tempo em que Linda introduz a toxina (no tempo \(t = 0\))? A população está aumentando ou diminuindo neste momento?
A taxa de mudança da população em relação ao tempo é dada pela derivada \(P^{\prime}(t)\), que calculamos usando a regra do quociente:
Solução Siqueira
\[ P^{\prime}(t)= \dfrac{-t^2-2t+3}{(t^2+t+4)^2} \]
plot (t+1)/(t^2+t+4), t: 0 to 3
a toxina é introduzida quando \(t = 0\) e, nesse momento, a população está mudando à taxa
\[ P^{\prime}(0)=\dfrac{3}{16}=0.1875 \]
Ou seja, a população está inicialmente mudando à taxa de 0.1875 milhões (187500) bactérias por hora e está aumentando, pois \(P^{\prime}(0) > 0\).
Solução Silveira
Diferente de um modelo logístico, essa equação é racional e descreve um
crescimento inicial seguido de queda. Podemos observar sua forma
com:
Optei por substituir o valor 4 pela variável v para estudar
sua influência. Por exemplo
Não parece que v tenha algum significado biológico
evidente, mas impede que o denominador seja nulo quando \(t=0\). Este parâmetro afeta tanto a altura
máxima quanto o formato da função.
A curva faz sentido porque uma toxina deve, após uma latência inicial, reduzir a população bacteriana com tendência a fazê-la desaparecer: \[ \lim_{t \to \infty} P(t) = 0 \]
à pergunta, para saber com que taxa a população está mudando no instante inicial, devemos calcular a derivada da função e verificar seu valor em \(t=0\).
Vamos achar a derivada em \(t=0\) usando:
derivative P(t)=(t+1)/(t^2+t+4)
obtendo
\[
P'(t) = -\dfrac{t^2 + 2t - 3}{(t^2 + t + 4)^2}
\]
Não é necessário para esta solução, mas podemos ver a forma da
derivada:
Então a derivada é positiva (a população aumenta) até que se torna
nula (em um ponto que localizaremos adiante) e segue negativa (a
população está diminuindo).
Para encontrar o valor da derivada no instante inicial, substituímos
-(t^2 + 2 t - 3)/(t^2 + t + 4)^2 /. t=0
encontrando
\[ \lim_{t \to 0} -\frac{t^2 + 2t - 3}{(t^2 + t + 4)^2} = \frac{3}{16} \]
Então a taxa inicial (a inclinação inicial) é \(\dfrac{3}{16}\). Como é positiva (já sabíamos disso por causa do gráfico anterior), a população bacteriana está aumentando no instante \(t=0\).
b. Linda está especialmente interessada em saber quando a população atinge o pico e começa a declinar. Em que momento isso ocorre e quanto a população aumenta antes de começar a diminuir?
Solução Siqueira
A população está diminuindo quando \(P^{\prime}(t)< 0\). Como o numerador de \(P (t)\) pode ser fatorado, então:
\[ P^{\prime}(t)= \dfrac{-(t-1)(t+3)}{(t^2+t+4)^2} \]
Solve[D[(t+1)/(t^2+t+4),t]==0,t]
Assim, a população começa a diminuir após 1 hora.
A população inicial da colônia é de \(P(0)=1/4\) milhões e, após 1 hora, a população é \(P(1)=1/3\) de milhões. Portanto, antes que a população comece a diminuir, ela aumenta em \(P(1)-P(0)=1/12\) milhões, ou seja, em aproximadamente 83333 bactérias.
Solução Silveira
Sabemos que a função atinge um máximo e começa a declinar. Então, para localizar este pico, precisamos encontrar a derivada igual a zero:
solve -(t^2 + 2 t - 3)/(t^2 + t + 4)^2=0 for t
O WolframAlpha encontra duas raízes, \(t=-3\) e \(t=1\). Como \(t < 0\) não faz sentido neste contexto, o pico está em \(t=1\).
Para saber quanto a população bacteriana aumentou antes de começar a declinar, precisamos voltar à \(P(t)\) e verificar seus valores para \(t=0\) (que é a população quando a toxina foi administrada) e \(t=1\) (que é quando encontramos o ponto de máximo da população):
encontrando-se
\[ P(0)=\dfrac{1}{4}~~~\text{e}~~~P(1)=\dfrac{1}{3} \] Sendo assim, em termos absolutos,
\[ P(1) - P(0) = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{4 - 3}{12} = \dfrac{1}{12} \] ou, em termos relativos,
\[ \dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4}{1} = \dfrac{4}{3} = 1.\overline{3} \] (um aumento de 33.3%, aproximadamente).
Só por curiosidade, podemos verificar as duas derivadas que foram necessárias para esta solução:
Q03: Exemplo 2.4.11 Determinando a taxa de variação de um poluente do ar
Um estudo ambiental realizado num bairro sugere que a concentração média diária de monóxido de carbono no ar é \(c(p)=\sqrt{p^2/2+17}\) partes por milhão quando a população é \(p\) milhares de residentes. Estima-se que daqui a \(t\) anos a população do bairro será \(p(t) = 3.1 + 0.1 t^2\) mil residentes.
Qual é a taxa de variação da concentração de monóxido de carbono em relação ao tempo, em partes por milhão por ano, daqui a 3 anos?
- \(0.10\)
- \(0.16\)
- \(0.20\)
- \(0.30\)
- \(0.24\)
Alternativa correta: E
Solução Siqueira
Método I:
O objetivo é encontrar \(\dfrac{dc}{dt}\) quando \(t=3\).
\[ \dfrac{dc}{dp}=\dfrac{p}{2\sqrt{p^2/2+17}} \]
e
\[ \dfrac{dp}{dt}=0.2t \]
Pela regra da cadeia, tem-se:
\[ \dfrac{dc}{dt}=\dfrac{dc}{dp}\dfrac{dp}{dt}=\dfrac{p}{2\sqrt{p^2/2+17}}0.2t=\dfrac{0.1pt}{\sqrt{p^2/2+17}} \]
\[ p(3)=3.1+0.1\times 3^2=4 \]
\[ \dfrac{dc}{dt}(t=3, p(3))=\dfrac{0.1p(3)3}{\sqrt{p(3)^2/2+17}}=0.24 \;\text{ppm/ano} \]
Método II:
Substituir \(p(t)\) em \(c(p)\) e derivar em \(t\).
D[sqrt((3.1+0.1 t^2)^2/2+17),{t,1}] /. t=3
Solução Silveira
Antes de iniciar, sempre preste atenção com as unidades de medida. O
enunciado diz que
“[…] daqui a \(t\) anos a população da comunidade será de \(p(t) = 3.1 + 0.1 t^2\) mil”
Então o valor 4 corresponde a 4000 pessoas. Estes “milhares” e “mil” que aparecem no enunciado podem ser traiçoeiros.
A unidade de entrada para a outra função para \(c(p)\) diz:
“o nível médio diário de monóxido de carbono no ar será de \(c(p)=\sqrt{p^2/2+17}\) partes por milhão quando a população for de \(p\) mil.”
Portanto, os valores \(p\) de \(p(t)\) e \(c(p)\) são compatíveis e, aqui, não há problema.
Sempre verifique
Para visualizar a situação, verificamos a forma das duas funções
propostas:
No entanto, a pergunta é
Qual é a taxa de variação da concentração de monóxido de carbono em relação ao tempo, em partes por milhão por ano, daqui a 3 anos?
O que cria uma dificuldade. Precisaremos da derivada \(\dfrac{dc}{dt}\) mas, se derivarmos as duas funções acima, teremos apenas \(\dfrac{dc}{dp}\) e \(\dfrac{dp}{dt}\). Vamos, então, fazer a poluição, que está em função do tempo, entrar na concentração de carbono. Sendo:
\[ p(t) = 3.1 + 0.1 t^2 \] temos que:
\[ c(p)=\sqrt{\dfrac{p^2}{2}+17} \Rightarrow c(p(t))=\sqrt{\dfrac{(3.1 + 0.1 t^2)^2}{2}+17}=c(t) \]
Podemos simplificar com simplify sqrt(((3.1 + 0.1*t^2)^2)/2 + 17)
encontrando a expressão:
Para finalizar, voltamos ao WolframAlpha.
Para encontrar a taxa com que o nível de monóxido de carbono estará variando em relação ao tempo daqui a 3 anos, precisamos da primeira derivada:
derivative 0.0707107 sqrt(t^4 + 62 t^2 + 4361)
Encontramos
\[ \frac{d}{dt} \left( 0.0707107 \sqrt{t^4 + 62\, t^2 + 4361} \right) = c'(t) = \frac{0.141421\, t^3 + 4.38406\, t}{\sqrt{t^4 + 62\, t^2 + 4361}} \] e, então, verificamos seu valor quando \(t=3\)
(0.141421 t^3 + 4.38406*t) / sqrt(t^4 + 62 t^2 + 4361) /. t=3
encontrando a resposta
\[ \lim_{t \to 3} \frac{0.141421\, t^3 + 4.38406\, t}{\sqrt{t^4 + 62\, t^2 + 4361}} = 0.24 \] A forma desta derivada e a taxa quando \(t=3\) anos é:
Uma alternativa mais direta é usar a regra da cadeia para funções compostas:
\[ \frac{dy}{dx} = f'\left(g(x)\right) \cdot g'(x) \] Em nosso exemplo temos \(c(p)\) e \(p(t)\), cujas respectivas derivadas serão \(c'(p)=\frac{dc}{dp}\) e \(p'(t)=\frac{dp}{dt}\). Queremos obter \(\frac{dc}{dt}\), logo:
\[ \frac{dc}{dp} \cdot \frac{dp}{dt} = \frac{dc}{dt} = c'\left(p(t)\right) \cdot p'(t) = c'(t) \]
As derivadas são obtidas com
para \(c(p)=\sqrt{\dfrac{p^2}{2}+17}\):
para \(p(t) = 3.1 + 0.1 t^2\):
obtendo-se respectivamente:
\[ c'(p) = \frac{d}{dp}\left( \sqrt{\frac{p^2}{2} + 17} \right) = \frac{p}{\sqrt{2} \sqrt{p^2 + 34}} \]
\[ p'(t) = \frac{d}{dt}(3.1 + 0.1 t^2) = 0.2 t \]
Conseguindo-se a derivada diretamente, por substituição:
\[ c'(t) = c'(p(t)) p'(t) = \frac{(3.1 + 0.1 t^2) \cdot 0.2 t}{\sqrt{2} \sqrt{(3.1 + 0.1 t^2)^2 + 34}} \]
Então, para \(t=3\):
((3.1 + 0.1 t^2) * 0.2 t) / (sqrt(2) sqrt((3.1 + 0.1*t^2)^2 + 34)) /. t=3
obtemos
\[ \lim_{t \to 3} \frac{(3.1 + 0.1 t^2) \cdot 0.2 t}{\sqrt{2} \sqrt{(3.1 + 0.1 t^2)^2 + 34}} = 0.24 \] O resultado final é o mesmo (as duas expressões obtidas para \(c'(t)\) são uma identidade matemática).
Graficamente, com esta nova expressão, representamos o ponto de interesse:
Q04: Exemplo 2.5.4 Estimando o erro na medição
Durante um procedimento médico, o tamanho de um tumor aproximadamente esférico é estimado medindo seu diâmetro e usando a fórmula \(V = \dfrac{4}{3} \pi R^3\) para calcular seu volume. Se o diâmetro for medido como 2.5 cm com um erro máximo de 2%, qual é a variação relativa do volume?
- \(6\%\)
- \(10\%\)
- \(4\%\)
- \(8\%\)
- \(2\%\)
Alternativa correta: A
Solução Siqueira
Uma esfera de raio \(R\) e diâmetro \(D = 2R\) tem volume:
\[ V=\dfrac{4}{3}\pi R^3=\dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{D}{2}\right)^3=\dfrac{1}{6}\pi D^3 \]
Então, o volume usando o diâmetro estimado \(D= 2.5\) cm é:
\[ V=\dfrac{1}{6}\pi 2.5^3\approx8.181 \;\text{cm}^3 \]
O erro cometido ao calcular esse volume usando o diâmetro 2.5 cm quando o diâmetro real é \(2.5 + \delta D\) é:
\[ \delta V=V(2.5+\delta D)-V(2.5)\approx V^{\prime}(2.5)\delta D \]
A medição do diâmetro pode ser incorreta por até 2%, ou seja, até \(0.02\times 2.5 = 0.05\) cm em qualquer direção.
Portanto, o erro máximo na medição do diâmetro é \(\delta D= \pm 0.05\), e o erro máximo correspondente no cálculo do volume é
\[ \text{Erro máximo no volume} = \delta V \approx V^{\prime}(2.5)\times (\pm 0.05) \]
Como
\[ \begin{align} V^{\prime}(D)&=\dfrac{1}{2}\pi D^2 \\ V^{\prime}(2.5)&=\dfrac{1}{2}\pi 2.5^2\approx 9.817 \end{align} \]
Então
\[ \text{Erro máximo no volume} = 9.817 \times (\pm 0.05)\approx \pm0.491 \]
Assim, na pior das hipóteses, o cálculo do volume como 8.181 cm3 está errado em 0.491 cm3, então o volume real \(V\in[7.690,8.672]\).
\[ \text{Variação relativa do volume}=\left|\dfrac{V^{\prime}(D)\delta D}{V(D)}\right|=\dfrac{9.817\times 0.05}{8.181}\approx\dfrac{0.491}{8.181}\approx 0.06 \]
A variação relativa é aproximadamente igual a 6% do volume.
Solução Silveira
Define precisão como a mensuração do erro de medida, em termos percentuais, em relação à medida de interesse. Corresponde à mudança no valor da função \(\delta f(x)\) em relação a \(\delta f(x + \delta x)\).
A variação relativa \(\nu \left( f(x) \right)\) serve para calcular este erro.
\[ \delta f(x) = \delta f(x + \delta x) - \delta f(x) \] Se o erro, \(\delta x\), é pequeno então f(x) é aproximadamente igual a
\[ \delta f(x) \approx f'(x) \delta x \] Esta é a variação absoluta. A variação relativa em relação à medida de interesse é
\[ \nu \left( f(x) \right) = \dfrac{f'(x) \delta x}{f(x)} \] No caso, a primeira derivada de \(V(R)=(4/3)\pi R^3\) é
\[ \dfrac{d}{dR }\left( \dfrac{4 \pi R^3}{3} \right) = V'(R) = 4 \pi R^2 \] Substituindo
\[ \nu \left( V(x) \right) = \dfrac{V'(x) \delta R}{V(x)} = \dfrac{4 \pi R^2 \delta R}{\dfrac{4 \pi R^3}{3}} = 3 \dfrac{\delta R}{R} \] Sendo que o erro na medida do raio (a mesma do diâmetro) de 2%, \(\dfrac{\delta R}{R} = 0.02\), obtém-se:
\[ \nu \left( V(x) \right) = 3 \dfrac{\delta R}{R} = 3 \times 0.02 = 0.06 \] Portanto, se a medida do diâmetro de 2.5~cm tem erro de 2%, o volume tem erro de 6%.
Q05: Exemplo 2.6.4 Usando análise marginal no gerenciamento de mão-de-obra
Daniela administra uma fábrica de produto hospitalar cuja produção diária é de \(Q = 2x^3 + x^2y + y^3\) unidades, em que \(x\) é o número de horas de trabalho especializado usadas e \(y\) é o número de horas de trabalho não especializado. A força de trabalho atual consiste em 30 horas de trabalho especializado e 20 horas de trabalho não especializado. Daniela quer aumentar o nível de mão-de-obra especializada em 1 hora sem afetar a produção diária.
Qual deve ser a variação aproximada na mão-de-obra não especializada para manter a produção constante?
- \(-3.14\)
- \(-3.46\)
- \(-3.16\)
- \(-3.41\)
- \(-3.64\)
Alternativa correta: A ou B
Solução Siqueira
# Definir a função de produção
Q <- function(x, y) {
2 * x^3 + x^2 * y + y^3
}
# Criar a malha de valores
x_vals <- seq(28, 32, length.out = 200)
y_vals <- seq(16, 22, length.out = 200)
z_matrix <- outer(x_vals, y_vals, Vectorize(function(x, y) Q(x, y)))
# Valor de referência Q(30, 20)
Q0 <- Q(30, 20)
# Plot da curva de nível
contour(x_vals, y_vals, z_matrix,
levels = Q0, drawlabels = TRUE, col = "blue",
xlab = "x (horas especializadas)",
ylab = "y (horas não especializadas)",
main = "Curva de nível: produção constante")
# Adicionar os três pontos
points(30, 20, pch = 19, col = "red") # ponto inicial
points(31, 16.54, pch = 19, col = "green") # ponto exato (resolução algébrica)
points(31, 16.86, pch = 19, col = "orange") # ponto estimado pela derivada
# Legenda
legend("bottomleft",
legend = c("Ponto inicial (30, 20)",
"Ponto exato (31, 16.54)",
"Estimativa por derivada (31, 16.86)"),
col = c("red", "green", "orange"),
pch = 19, bty="n")
Método I: Solução aproximada
O nível atual de produção é o valor de \(Q\) quando \(x = 30\) e \(y = 20\).
Ou seja,
\[ Q=2\times 30^3+30^2\times 20+20^3=80000 \]
Se a produção deve ser mantida nesse nível, a relação entre mão-de-obra especializada \(x\) e mão de obra não especializada \(y\) é dada pela equação
\[ 80000=2x^3 + x^2y + y^3 \]
que define \(y=y(x)\) implicitamente como uma função de \(x\).
O objetivo é estimar a mudança em \(y\) que corresponde a um aumento de 1 unidade em \(x\) quando \(x\) e \(y\) estão relacionados por esta equação.
A variação em \(y\) causada por um aumento de 1 unidade em \(x\), \(\Delta y=y(x+1)-y(x)\), pode ser aproximada pela derivada \(\dfrac{dy}{dx}\):
\[ \begin{align} \dfrac{dy}{dx}&\approx\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\\ \dfrac{dy}{dx}&\approx\Delta y, \quad \Delta x=1\\ \end{align} \]
Para encontrar essa derivada, use a diferenciação implícita.
\[ \begin{align} \dfrac{d\,\left[80000\right]}{dx}&=\dfrac{d\left[2x^3 + x^2y + y^3\right]}{dx}\\ 0&=\dfrac{d\left[2x^3\right]}{dx} + \dfrac{d\left[x^2y\right]}{dx} + \dfrac{d\left[y^3\right]}{dx}\\ 0&=6x^2 + \dfrac{d\left[x^2y\right]}{dx} + \dfrac{d\left[y^3\right]}{dx}\\ 0&=6x^2+x^2\dfrac{dy}{dx}+y\dfrac{dx^2}{dx}+3y^2\dfrac{dy}{dx}\\ 0&=6x^2+x^2\dfrac{dy}{dx}+2xy+3y^2\dfrac{dy}{dx}\\ \dfrac{dy}{dx}&=-\dfrac{6x^2+2xy}{x^2+3y^2} \end{align} \]
derivative 80000=2x^3 + x^2y + y^3 for x
Agora avalie essa derivada quando \(x = 30\) e \(y = 20\) para concluir que
\[ \dfrac{dy}{dx}(x=30, y=20)=-\dfrac{6\times 30^2+2\times30\times 20}{30^2+3\times 20^2}\approx - 3.14 \]
Ou seja, para manter o nível atual de produção, a mão-de-obra não especializada deve diminuir em aproximadamente 3.14 horas para compensar um aumento de 1 hora na mão-de-obra especializada.
Método II: Solução exata
2x^3 + x^2y + y^3 = 2(x+1)^3 + (x+1)^2(y-d) + (y-d)^3 /. x=30, y=20
Ou seja, para manter o nível atual de produção, a mão-de-obra não especializada deve diminuir em aproximadamente 3.46 horas para compensar um aumento de 1 hora na mão-de-obra especializada.
Solução Silveira
A produção atual tem quantidade:
\[ Q_1 = 2x^3 + x^2y + y^3 \] Deseja-se produção com
\[ \begin{align} w &= \delta x\\ z &= \delta y\\ Q_2 &= 2(x + w)^3 + (x + w)^2(y - z) + (y -z)^3 = Q_1 \end{align} \] de tal forma que \(Q_1=Q_2\).
Sabemos que \(x=30\), \(y=20\), \(w=1\). Pergunta-se o valor de \(z\). Então
2(x + w)^3 + (x + w)^2(y - z) + (y -z)^3 = 2x^3 + x^2y + y^3, x=30, y=20, w=1
Resultando em \(z = 3.4610\)
Q06: Exemplo 2.6.6 Usando taxas relacionadas para estudar um derramamento de óleo
Uma tempestade no mar danificou uma plataforma de petróleo, produzindo um vazamento constante de 60 ft3/min. A mancha de óleo formada tem espessura constante de 3 polegadas e forma aproximadamente circular.
Com que rapidez o raio da mancha está aumentando no instante em que o raio é de 70 ft?
Suponha que a ruptura seja reparada de forma que o vazamento seja interrompido instantaneamente. Se o raio da mancha está aumentando a uma taxa de 0.2 ft/min quando o vazamento cessa, qual é o volume total de petróleo derramado no mar?
- \(0.20\) ft/min e \(60000\) ft3
- \(0.70\) ft/min e \(19100\) ft3
- \(0.55\) ft/min e \(28652\) ft3
- \(0.40\) ft/min e \(31415\) ft3
- \(0.60\) ft/min e \(25000\) ft3
Alternativa correta: C
a. Com que rapidez o raio da mancha está aumentando quando o raio é de 70 pés?
Solução Siqueira
Podemos pensar na mancha como um cilindro de óleo de raio \(r\) pés e espessura de \(h=3/12=0.25\) pés. Tal cilindro terá volume:
\[ V=h \pi r^2=0.25\pi r^2 \]
Diferenciando implicitamente nesta equação em relação ao tempo t, obtemos:
\[ \begin{align} \dfrac{dV}{dt}&=0.25\pi \left(2r\dfrac{dr}{dt}\right)\\ \dfrac{dV}{dt}&=0.5\pi r \dfrac{dr}{dt} \end{align} \]
differentiate V(t)=0.25 pi r(t)^2 with respect to t
e como \(\dfrac{dV}{dt}=60\) em todos os momentos, obtemos a relação de velocidade:
\[ \begin{align} 60&=0.5\pi r \dfrac{dr}{dt}\\ \dfrac{dr}{dt}&=\dfrac{60}{0.5\pi r} \end{align} \]
Queremos encontrar \(\dfrac{dr}{dt}\) quando \(r = 70\). Substituindo na relação de velocidade que acabamos de obter, descobrimos que
\[ \dfrac{dr}{dt}=\dfrac{60}{0.5\pi 70}\approx 0.55 \]
Quando o raio da mancha é de 70 pés, a sua velocidade é 0.55 pés/min.
Solução Silveira
Em primeiro lugar, atenção com as unidades de medida. A espessura em
polegadas está em polegadas, e deve ser convertida para pés. O problema
inteiro também poderia ser convertido para unidades do sistema
internacional (metros), com resposta idêntica. Aqui farei o exercício
desta forma e, por causa das alternativas, voltarei a converter em pés
para achar a alternativa, usando o pacote units:
vazamento por minuto = 60 [ft3 min-1]
---> convertido para v = 1.699011 [m3 min-1]
espessura da mancha = 3 [in]
---> convertido para h = 0.0762 [m]
raio = 70 [ft] (a ser investigado)
---> convertido para r.target = 21.336 [m]
taxa = 0.2 [ft min-1] (a ser investigada)
---> convertida para rp.020 = 0.06096 [m min-1]A mancha de óleo sobre a água tem formato de um cilindro, com volume
\[ V = h \pi r^2 \] sendo que
- \(h\) … espessura da mancha (fornecida no enunciado)
- \(r\) … raio da mancha (crescente com o tempo)
- \(V\) … volume da mancha (que aumenta linearmente)
Queremos saber como o raio evolui com o tempo, portanto
\[ r = \sqrt{\frac{V}{h \pi}} \] O volume aumenta linearmente
\[ V(t) = v t \] portanto
\[ r(t) = \sqrt{\frac{vt}{h \pi}} \] O aspecto gráfico das duas funções é
Os círculos em vermelho correspondem às variáveis
oleo.volume2 e oleo.raio2, cujos valores foram
obtidos para conferir que a dedução de \(r(t)\) está correta, iterando sobre o
seguinte loop:
oleo.volume2 <- c()
oleo.vol <- 0
for(t.aux in 0:tf)
{
oleo.volume2 <- c(oleo.volume2,oleo.vol)
oleo.vol <- oleo.vol+v
}
# aqui temos cilindros com volume V = h*pi*r^2
# obtendo os raios correspondentes
oleo.raio2 <- sqrt(oleo.volume2/(h*base::pi))
Representamos também o diâmetro dos círculos a cada 10 minutos de vazamento. Observe que, como previsto pela inspeção visual de \(r(t)\) o raio cresce a intervalos decrescentes. Esta desaceleração é descrita pela derivada \(r'(t)\), que será obtida adiante
Com que rapidez o raio da mancha está aumentando no instante em que o raio é de 70 ft?
Para obtemos \(r'(t)\) usamos o WolframAlpha
derivative r(t) = sqrt(v t/(h pi)
obtendo
\[ r'(t) = \dfrac{\sqrt{\dfrac{t v}{h}}}{{2 \sqrt{\pi} t}} \] Quando a mancha chega ao raio investigado 21.336 m ou 70 ft?
solve sqrt((v t)/(h pi))=21.336 for t, v=1.699011, h=0.0762
Resposta: No instante 64.1408 minutos a mancha tem o raio solicitado.
Qual a velocidade de crescimento do raio da mancha de óleo neste momento?
solve sqrt((t v)/h)/(2 sqrt(pi) t), t = 64.1408, v= 1.699011, h= 0.0762
Resposta: Velocidade do crescimento do raio quando a mancha tem 70 ft = 0.5456759 ft/min ou 0.166322 m/min
Podemos ver o aspecto da derivada e a localização dos pontos da solução dada nos seguintes gráficos:
b. Suponha que a ruptura seja reparada de forma que o vazamento seja interrompido instantaneamente. Se o raio da mancha está aumentando a uma taxa de 0.2 pés/min quando o vazamento cessa, qual é o volume total de petróleo derramado no mar?
Solução Siqueira
Podemos calcular o volume total de óleo no derramamento se soubermos o raio da mancha no instante em que o fluxo cessa.
Como \(\dfrac{dr}{dt}=0.2\) naquele instante, temos \(60=0.5\pi r \dfrac{dr}{dt}\) e o raio é
\[ r=\dfrac{60}{0.5\pi \dfrac{dr}{dt}}=\dfrac{60}{0.5\pi 0.2}\approx 191 \]
Portanto, a quantidade total de petróleo derramada é
\[ V=0.25\pi 191^2\approx 28652 \; \text{ft}^3 \] (cerca de 214332 galões).
Solução Silveira
Suponha que a ruptura seja reparada de forma que o vazamento seja interrompido instantaneamente. Se o raio da mancha está aumentando a uma taxa de 0.2 ft/min quando o vazamento cessa, qual é o volume total de petróleo derramado no mar?
Estamos trabalhando no sistema internacional, então 0.2 ft foi
convertido e armazendo em rp.020, contendo o valor de
0.06096 m/min.
Usamos a derivada para encontrar quando a derivada é 0.2 ft
sqrt((t v)/h)/(2 sqrt(pi) t) = 0.06096, v= 1.699011, h= 0.0762
Resposta:
A mancha avança a 0.06096 m/min após 477.465 min de vazamentoConhecendo o tempo em que há a ocorrência da taxa solicitada calculamos, a partir do raio fornecido por \(r(t)\), o volume neste momento:
r.020 = sqrt(v*t.020/(h*base::pi))
# cilindro com volume V = h*pi*r^2
oleo.v020 <- h*base::pi*r.020^2O volume da mancha neste momento é V = 811.2182 m³ (raio = 58.21252 m)Por último, como as alternativas da pergunta estão em pés cúbicos, convertemos
O volume da mancha corresponde a V = 28647.9 ft³Graficamente:
Q07: Exemplo 2.6.7 Usando taxas relacionadas para estudar uma população de peixes
Um lago está poluído por resíduos de uma usina localizada em sua
margem. Os ecologistas determinam que, quando o nível de poluente é
\(x\) partes por milhão (ppm), haverá
\(F\) peixes de uma determinada espécie
no lago, em que
\[
F = \dfrac{32000}{3 + \sqrt{x}}
\]
No instante em que restam 4000 peixes no lago, a poluição está aumentando à taxa de 1.4 ppm/ano.
Qual é a taxa de variação da população de peixes nesse instante?
- \(-70\) peixes/ano
- \(-140\) peixes/ano
- \(-35\) peixes/ano
- \(-100\) peixes/ano
- \(-50\) peixes/ano
Alternativa correta: A
Solução Siqueira
Queremos encontrar \(\dfrac{dF}{dt}\) quando \(F = 4000\) e \(\dfrac{dx}{dt}=1.4\).
Quando há 4000 peixes no lago, o nível de poluição \(x\) satisfaz
\[ \begin{align} 4000&=\dfrac{32000}{3+\sqrt{x}}\\ x&=25 \end{align} \]
Portanto:
\[ \dfrac{dF}{dx}=-\dfrac{16000}{\sqrt{x}(3+\sqrt{x})^2} \]
Pela regra da cadeia, tem-se:
\[ \dfrac{dF}{dt}=\dfrac{dF}{dx}\dfrac{dx}{dt}=-\dfrac{16000}{\sqrt{x}(3+\sqrt{x})^2}\dfrac{dx}{dt} \]
Portanto:
\[ \dfrac{dF}{dt}(x=25, \frac{dx}{dt}=1.4)=-\dfrac{16000}{\sqrt{25}(3+\sqrt{25})^2} 1.4=-70 \]
Portanto, a população de peixes está diminuindo em 70 peixes por ano.
Solução Silveira
Sabemos que há 4000 peixes no lago, portanto:
\[ \dfrac{32000}{3 + \sqrt{x}} = 4000 \rightarrow x=25 \] Temos, portanto, que o valor absoluto da poluição, segundo a regra que os ecologistas estabeleceram, é de 25 ppm.
A representação gráfica de \(F(x)\) e
do ponto de interesse em particular é:
Como temos a taxa de variação do poluente (\(x\)), derivamos em relação a \(x\)
obtendo
\[ \frac{d}{dx} \left( \dfrac{32000}{3 + \sqrt{x}} \right) = F'(x) = \dfrac{-16000}{(\sqrt{x} + 3)^2 \sqrt{x}} \] e verificamos o que ocorre com \(x=25~\text{ppm}\):
-16000/((sqrt(x) + 3)^2 sqrt(x)) /. x=25
que resulta em
\[ \lim_{x \to 25} \frac{-16000}{\left(\sqrt{x} + 3\right)^2 \sqrt{x}} = -50 \]
Voltando à \(F(x)\) original, verificamos que a derivada no ponto \((x,F)=(50,4000)\) está correta, pois a reta com inclinação de -50 o tangencia.
A pergunta é sobre a variação do número de peixes em certo instante do tempo, que é \(\dfrac{dF}{dt}\). Precisamos embutir o tempo, mas não o temos. Sabemos, apenas, que
“No instante em que restam 4000 peixes no lago, a poluição está aumentando à taxa de 1.4 ppm/ano.”
Vamos assumir que esta taxa é constante para o tempo em que o enredo se desenvolve, então
\[ \dfrac{dx}{dt} = 1.4~\text{ppm/ano} \] e, pela regra da cadeia,
\[
\dfrac{dF}{dt} = \dfrac{Fx}{dx}\dfrac{dx}{dt} = 1.4\dfrac{Fx}{dx} =
F'(x(t))
\]
Não temos o tempo \(t\) explicitamente, mas a declaração indireta do “momento em que restam 4000 peixes no lago”. Então basta representar o gráfico anterior, multiplicando todos os valores das ordenadas por 1.4 (i.e., implicitamente temos que \(F'(t) = 1.4 \dfrac{dF}{dx}\)):
Esta é a resposta que buscávamos. A taxa de variação dos peixes no momento em que temos 4000 peixes no lago é \(-50 \cdot 1.4 = -70\).
Q08: Exemplo 3.4.3 Encontrando a velocidade máxima do ar durante uma tosse
Durante uma tosse, o raio \(r\) da traqueia diminui. A velocidade do ar na traqueia é dada por \(S(r) = ar^2(r_0 - r)\), sendo que \(r_0\) é o raio normal da traqueia e \(a\) é uma constante positiva.
Qual é o valor de \(r\) que maximiza a velocidade do ar?
- \(\dfrac{2}{3}r_0\)
- \(\dfrac{1}{2}r_0\)
- \(\dfrac{3}{4}r_0\)
- \(r_0\)
- \(\dfrac{1}{3}r_0\)
Alternativa correta: A
Solução Siqueira
O raio \(r\) da traqueia contraída não pode ser maior que o raio normal \(r_0\) nem menor que zero. Portanto, o objetivo é encontrar o máximo absoluto de \(S(r)\) no intervalo \(0 < r < r_0\).
Primeiro, derive \(S(r)\) em relação a \(r\):
\[ S^{\prime}(r)=ar(2r_0-3r) \]
Em seguida, defina a derivada fatorada igual a zero e resolva para obter o valor crítico \(r^{\ast}=\frac{2}{3}r_0\). A velocidade do ar é maior quando o raio da traqueia contraída é \(\frac{2}{3}r_0\), i.e., quando é dois terços do raio da traqueia não contraída.
Portanto, a velocidade máxima do ar na traqueia é
\[ S_{\text{max}}=S\left(\dfrac{2}{3}r_0\right)=\dfrac{4a}{27}r_0^3 \]
a r^2(r_0 - r) /. r = (2/3) r_0
Solve[D[a r^2(r_0 - r),r]==0,r]
second derivative a r^2(r_0 - r) for r
2 a (-3 r + r_0) /. r=(2/3) r_0
Solução Silveira
Vamos iniciar observando a função \(S(r)\). Admitindo \(r_0\) como o diâmetro da traquéia, que é um valor constante para cada indivíduo. Os valores de \(r\), para fazerem sentido, precisam estar no intervalo \([0,r_0]\) (entre a ausência de tosse e o colapso completo). A constante \(a\), desconhecida, afeta o formato da curva e podemos verificar sua influência, mas sabemos que \(a>0\) (pois o valor nulo levaria a \(S(x)\) ser também nula para qualquer valor de \(r\)). Observemos a influência das duas constantes, \(a\) e \(r_0\):
Uma visão 3D também ajuda, aqui fixando \(r_0=2.2\) e variando \(a\) e \(r\) simultaneamente:
A pergunta, portanto, faz sentido. Embora as constantes afetem o formato das curvas, todas têm qualitativamente o mesmo formato, de tal forma que existe um ponto de máximo de velocidade para cada curva. É apenas uma alteração de escala, o que podemos verificar visualmente com uma pequena modificação do gráfico anterior, no qual verificamos a proporção de \(r\) e \(S(r)\) em relação aos seus respectivos valores máximos. As curvas são exibidas com transparência e larguras variadas, observando-se que todas colapsam exatamente com a mesma forma:
Isso significa que não precisamos nos preocupar com os valores específicos de \(r_0\) e \(a\), tratando-as simbolicamente daqui em diante.
Os pontos de mínimo e de máximo (que procuramos) acontecem quando a primeira derivada for igual a zero. Então, encontramos a derivada
derivative ar^2(r_0 - r) where a is constant and r_0 is constant
obtendo
\[ S'(r) = \frac{d}{dr} \left( a r^2 (r_0 - r) \right) = a r \left( 2 r_0 - 3 r \right) \]
e a igualamos a zero, resolvendo em termos de \(r\):
solve a r (2 r_0 - 3 r) = 0 for r
Encontramos duas respostas, \(r_{max}=0\) e \(r_{max}=\dfrac{2 r_0}{3}\). É fácil observar pelo gráfico de \(S(r)\) que \(r=0\) é o mínimo encontrado. A solução, portanto, é \(r_{max} = \dfrac{2 r_0}{3}\) (o raio que leva à velocidade máxima do ar na traquéia quando há tosse, \(S_{max}\)).
Esta velocidade, por curiosidade, é:
\[ S_{\text{max}}= a \left( \dfrac{2 r_0}{3} \right)^2\left( r_0 - \left( \dfrac{2 r_0}{3} \right) \right) = \dfrac{4a}{27}r_0^3 \]
Em todos os casos, o ponto de máximo é dado pelas coordenadas \(\left( \dfrac{2}{3}r_0,~~\dfrac{4a}{27}r_0^3 \right)\) para quaisquer \(a\) e \(r_0\).
Q09: Exemplo 3.4.6 Encontrando a Elasticidade da Demanda
Elasticidade-Preço da Demanda: Se \(q = D(p)\) unidades de um bem são demandadas pelo mercado a um preço unitário \(p\), em que \(D\) é uma função diferenciável, então a elasticidade-preço da demanda pelo bem é dada por
\[ \eta(p)=-\dfrac{p\;dq}{q\; dp} \]
e tem a interpretação \(\eta(p)\) é aproximadamente igual à porcentagem de diminuição da demanda \(q\) produzida por um aumento de 1% no preço \(p\).
Você pode se perguntar por que o sinal negativo faz parte da definição de \(\eta(p)\). Como a demanda geralmente diminui com o aumento do preço, a porcentagem de variação da quantidade demandada em relação ao preço será negativa. Ao introduzir um sinal de menos na fórmula para \(\eta(p)\), garantimos que a elasticidade da demanda é uma quantidade positiva, o que é mais conveniente de se lidar, principalmente ao fazer comparações.
Enunciado da questão:
A demanda \(q\) por um certo bem hospitalar e seu preço unitário \(p\) estão relacionados pela equação linear \(q = 240 - 2p\), com \(0 \le p \le 120\).
Qual é a elasticidade-preço da demanda quando \(p = 100\)? E para qual valor de \(p\) a elasticidade é unitária (\(\eta = 1\))?
- \(\eta(100) = 2\) e \(\eta(p) = 1\) quando \(p = 50\)
- \(\eta(100) = 1.5\) e \(\eta(p) = 1\) quando \(p = 40\)
- \(\eta(100) = 0.5\) e \(\eta(p) = 1\) quando \(p = 100\)
- \(\eta(100) = 5\) e \(\eta(p) = 1\) quando \(p = 60\)
- \(\eta(100) = 0.71\) e \(\eta(p) = 1\) quando \(p = 70\)
Alternativa correta: D
Solução Siqueira
- Expresse a elasticidade da demanda em função de \(p\).
- Calcule a elasticidade da demanda quando o preço for \(p = 100\). Interprete sua resposta.
- Calcule a elasticidade da demanda quando o preço for \(p = 50\). Interprete sua resposta.
- A que preço a elasticidade da demanda é igual a 1? Qual é o significado econômico desse preço?
a. A derivada de \(q\) em relação a \(p\) é \(-2\). Portanto, a elasticidade-preço da demanda é
\[ \eta(p)=\dfrac{p}{120-p} \]
b. A elasticidade da demanda para \(p=100\) é
\[ \eta(100)=5 \]
Ou seja, quando o preço é \(p = 100\), um aumento de 1% no preço produzirá uma redução na demanda de aproximadamente 5%.
c. Quando \(p = 50\), a elasticidade da demanda é
\[ \eta(50)=0.71 \]
Ou seja, quando o preço é \(p = 50\), um aumento de 1% no preço produzirá uma redução na demanda de aproximadamente 0.71%.
d. A elasticidade da demanda será igual a 1 quando
\[ \begin{align} 1&=\dfrac{p}{120-p}\\ p&=60 \end{align} \]
A esse preço, um aumento de 1% no preço resultará em uma redução na demanda de aproximadamente 1%.
Solução Silveira
PRIMEIRA PERGUNTA
Qual é a elasticidade-preço da demanda quando \(p = 100\)?
A resposta é direta,
\[ \eta(100) = 2\dfrac{100}{240-2 \cdot 100} = 2\dfrac{100}{40} = 5 \]
SEGUNDA PERGUNTA
Para qual valor de \(p\) a elasticidade é unitária (\(\eta = 1\))?
A resposta é direta,
\[ 1=2\dfrac{p}{240-2p} \Leftrightarrow 240 - 2p = 2p \Leftrightarrow 4p = 240 \Leftrightarrow p = 60 \]
Graficamente:
Q10: Exemplo 3.4.7 Relacionando Mudança de Receita com Nível de Elasticidade
O gerente de uma fábrica de produto hospitalar determina que, quando um certo produto novo custa \(p\) reais por unidade, a demanda diária será de \(q = 300 - p^2\) exemplares, em que \(0\le p \le \sqrt{300}\).
Se \(q = D(p)\) unidades de um bem são demandadas pelo mercado a um preço unitário \(p\), em que \(D\) é uma função diferenciável, então a elasticidade-preço da demanda pelo bem é dada por
\[ \eta(p)=-\dfrac{p\;dq}{q\; dp} \]
e tem a interpretação \(\eta(p)\) é aproximadamente igual à porcentagem de diminuição da demanda \(q\) produzida por um aumento de 1% no preço \(p\).
Você pode se perguntar por que o sinal negativo faz parte da definição de \(\eta(p)\). Como a demanda geralmente diminui com o aumento do preço, a porcentagem de variação da quantidade demandada em relação ao preço será negativa. Ao introduzir um sinal de menos na fórmula para \(\eta(p)\), garantimos que a elasticidade da demanda é uma quantidade positiva, o que é mais conveniente de se lidar, principalmente ao fazer comparações.
Para qual valor de \(p\) a elasticidade-preço da demanda é igual a 1? E como se comporta a receita total em função de \(p\) abaixo e acima desse ponto?
- \(p = 10\); a receita diminui
quando \(p < 10\) e aumenta quando
\(p > 10\)
- \(p = 15\); a receita é máxima
quando \(p > 15\)
- \(p = 5\); a receita aumenta quando
\(p > 5\)
- \(p = 20\); a receita não depende do preço
- \(p = 10\); a receita aumenta quando \(p < 10\) e diminui quando \(p > 10\)
Alternativa correta: E
Solução
- Determine onde a demanda é elástica, inelástica e de elasticidade unitária em relação ao preço.
- Interprete os resultados da parte (a) em termos do comportamento da receita total em função do preço.
a. A elasticidade da demanda é
\[ \eta(p)=\dfrac{2p^2}{300-p^2} \]
plot 300 - p^2, p:0 to sqrt(300) axes label "p" "q"
- p D[300 - p^2,p]/(300 - p^2)
A demanda é isoelástica se \(p=10\).
Solve[- p D[300 - p^2,p]/(300 - p^2)==1,p]
Se \(p<10\), então \(|\eta(p)|<1\), i.e., a demanda é inelástica.
Se \(p>10\), então \(|\eta(p)|>1\), i.e., a demanda é elástica.
- A derivada da função receita total \(R = pq = p(300-p^2)\) em relação a \(p\) é
\[ \begin{align} \dfrac{dR}{dp}&=p\dfrac{dq}{dp}+q\\ \dfrac{dR}{dp}&=\left(\dfrac{p\;dq}{q\;dp}+1\right)q\\ \dfrac{dR}{dp}&=(1-\eta(p))q \end{align} \]
plot p(300 - p^2), p:0 to sqrt(300) axes label "p" "R"
D[p (300 - p^2),p] = (1 - 2p^2/(300-p^2))*(300 - p^2)
Para \(0 \le p < 10\), a demanda é inelástica, então \(\eta(p) < 1\) e o termo \(1-\eta(p)\) é positivo. Portanto, neste caso, \(R^{\prime}(q) > 0\) e a receita está aumentando.
Para essa faixa de preços, um aumento percentual específico no preço resulta em uma redução percentual menor na demanda, de modo que a fábrica receberá mais dinheiro para cada aumento no preço até R$ 10 por unidade.
Para a faixa de preço \(10 \le p < \sqrt{300}\), a demanda é elástica. Isso significa \(\eta(p) > 1\) e \(1-\eta(p)\) é negativo, então \(R^{\prime}(p) <0\) e a receita está diminuindo.
Se o preço do produto hospitalar estiver nessa faixa, um aumento percentual especificado no preço resultará em uma redução percentual maior na demanda. Isso significa que, se a fábrica aumentar o preço além de R$ 10 por unidade, ela perderá receita.
Por fim, a receita é otimizada quando \(R^{\prime}(p) = 0\). Isso ocorre quando \(\eta(p) = 1\), ou seja, quando \(p = 10\) (isoelasticidade).
Q11: Section3.4.Q53.S49: Sensibilidade à droga
A reação do corpo às drogas é muitas vezes modelada por uma equação da forma
\[ R=D^2\left(\dfrac{C}{2}-\dfrac{D}{3}\right) \]
em que \(D\) é a dosagem e \(C\) (uma constante) é a dosagem máxima que pode ser administrada. A taxa de variação de \(R\) em relação a \(D\) é chamada de sensibilidade.
- Encontre o valor de \(D\) para o qual a sensibilidade é máxima. Qual é a maior sensibilidade? Expresse sua resposta em termos de C.
- Qual é a reação (em termos de C) quando a dosagem que resulta em máxima sensibilidade é usada?
Solução
\[ \begin{align} R^{\prime}(D)&=CD-D^2\\ R^{\prime\prime}(D)&=C-2D\\ R^{\prime\prime}(D)&=0, \;\text{se}\; D=\dfrac{C}{2}\\ R^{\prime\prime\prime}(D)&=-2<0 \end{align} \]
Como \(R^{\prime\prime\prime}\left(C/2\right)<0\), então para \(D=C/2\) ocorre o máximo da sensibilidade.
A sensibilidade máxima é \(R^{\prime}(C/2)=C^2/4\).
`derivative D^2(C/2-D/3) for D``
second derivative D^2(C/2-D/3) for D
Solve[D[D^2(C/2-D/3),{D,2}]==0,D]
third derivative D^2(C/2-D/3) for D
- A reação quando \(D=C/2\) é \(R(C/2)=C^3/12\).
Q12: Section3.4.Q41.S57: Elasticidade geral I
Suponha que a demanda por um bem é dada por \(q = b - ap\), em que \(a\) e \(b\) são constantes positivas, e \(0\le p\le b/a\).
Se \(q = D(p)\) unidades de um bem são demandadas pelo mercado a um preço unitário \(p\), em que \(D\) é uma função diferenciável, então a elasticidade-preço da demanda pelo bem é dada por
\[ \eta(p)=-\dfrac{p\;dq}{q\; dp} \]
e tem a interpretação \(\eta(p)\) é aproximadamente igual à porcentagem de diminuição da demanda \(q\) produzida por um aumento de 1% no preço \(p\).
Você pode se perguntar por que o sinal negativo faz parte da definição de \(\eta(p)\). Como a demanda geralmente diminui com o aumento do preço, a porcentagem de variação da quantidade demandada em relação ao preço será negativa. Ao introduzir um sinal de menos na fórmula para \(\eta(p)\), garantimos que a elasticidade da demanda é uma quantidade positiva, o que é mais conveniente de se lidar, principalmente ao fazer comparações.
- Expresse a elasticidade da demanda em função de \(p\).
- Mostre que a demanda é isoelástica no ponto médio do intervalo.
- Para quais valores de \(p\) a demanda é elástica? Inelástica?
Solução
\[ \eta(p)=-\dfrac{p\;dq}{q\;dp}=\dfrac{ap}{b-ap} \]
\[ \begin{align} 1&=\dfrac{ap}{b-ap}\\ p&=\dfrac{b}{2a} \end{align} \]
Solve[-p D[b-ap,p]/(b-ap)==1,p]
\[ 1>\dfrac{ap}{b-ap}\\ 0<p<\dfrac{b}{2a} \]
reduce for p: -p D[b-ap,p]/(b-ap)<1, 0 < p < b/a
\[ 1>\dfrac{ap}{b-ap}\\ \dfrac{b}{2a}<p<\dfrac{b}{a} \]
Q13: Section3.4.Q43.S59: Elasticidade geral II
Suponha que a equação de demanda para um bem é \(q=a/p^m\), em que \(a\) e \(m\) são constantes positivas. Mostre que a elasticidade da demanda é igual a \(m\) para todos os valores de \(p\). Interprete este resultado.
Se \(q = D(p)\) unidades de um bem são demandadas pelo mercado a um preço unitário \(p\), em que \(D\) é uma função diferenciável, então a elasticidade-preço da demanda pelo bem é dada por
\[ \eta(p)=-\dfrac{p\;dq}{q\; dp} \]
e tem a interpretação \(\eta(p)\) é aproximadamente igual à porcentagem de diminuição da demanda \(q\) produzida por um aumento de 1% no preço \(p\).
Você pode se perguntar por que o sinal negativo faz parte da definição de \(\eta(p)\). Como a demanda geralmente diminui com o aumento do preço, a porcentagem de variação da quantidade demandada em relação ao preço será negativa. Ao introduzir um sinal de menos na fórmula para \(\eta(p)\), garantimos que a elasticidade da demanda é uma quantidade positiva, o que é mais conveniente de se lidar, principalmente ao fazer comparações.
Solução
\[ \eta(p)=-\dfrac{p\;dq}{q\;dp}=m \]
Se \(|m|<1\), a demanda é inelástica.
Se \(|m|>1\), a demanda é elástica.
Se \(|m|=1\), a demanda é isoelástica.
Q14: Exemplo 3.5.4 Encontrando um local que minimize a poluição
Duas plantas industriais, A e B, estão localizadas a 15 milhas uma da outra e emitem 75 ppm (partes por milhão) e 300 ppm de material particulado, respectivamente. Cada planta é circundada por uma área restrita de raio de 1 milha na qual nenhum alojamento é permitido, e a concentração de poluente que chega a qualquer outro ponto Q de cada planta diminui com o recíproco da distância entre essa planta e Q. Onde deveria uma casa estar localizada em uma estrada que liga as duas fábricas para minimizar a poluição total vinda de ambas as fábricas?
Solução
Suponha que uma casa H esteja localizada a \(x\) milhas da planta A e, portanto, \(15 - x\) milhas da planta B, em que \(x\) satisfaz \(1 \le x \le 14\), já que há uma área restrita de 1 milha ao redor de cada planta (Figura 3.49).
FIGURA 3.49 Poluição em uma casa localizada entre duas plantas industriais.
Como a concentração de material particulado que chega a H de cada planta diminui com o recíproco da distância da planta a H, a concentração de poluente da planta A é \(75/x\) e da planta B é \(300/(15-x)\). Assim, a concentração total de material particulado chegando a H é dada pela função
\[ P(x)=\dfrac{75}{x}+\dfrac{300}{15-x} \]
Para minimizar a poluição total \(P(x)\), primeiro encontramos a derivada \(P(x)\) e resolvemos \(P^{\prime}(x) = 0\).
Assim, a poluição total é minimizada quando a casa está localizada a 5 milhas da planta A.
plot 75/x + 300/(15-x), x:1 to 14 axes label "x" "P"
Q15: Exemplo 3.5.6 Maximizando uma Função de Receita com Entradas Inteiras
Uma empresa de ônibus freta um ônibus com capacidade para 50 pessoas para grupos de 35 ou mais. Se um grupo contém exatamente 35 pessoas, cada pessoa paga R$60. Em grupos grandes, a tarifa de todos é reduzida em R$1 para cada pessoa acima de 35. Determine o tamanho do grupo para o qual a receita da empresa de ônibus será máxima.
Solução
Seja \(R\) a receita da empresa de ônibus.
Você poderia deixar \(x\) denotar o número total de pessoas no grupo, mas é um pouco mais conveniente deixar \(x\) denotar o número de pessoas acima de 35. Então,
\[ \begin{align} \text{Número de pessoas no grupo}&=35+x\\ \text{Preço por pessoa}&=60-x \end{align} \]
e assim a função de receita é
\[ R(x)=(35+x)(60-x) \]
Como \(x\) representa o número de pessoas acima de 35, mas não mais que 50, você deseja maximizar \(R(x)\) para um inteiro positivo \(x\) no intervalo \(0 \le x \le 15\).
No entanto, para usar os métodos de cálculo, considere a função contínua \(R(x) = (35 + x)(60 - x)\) definida em todo o intervalo \(0 \le x \le 15\).
Você pode concluir que a receita da empresa de ônibus será maior quando o grupo contiver 12 ou 13 pessoas além de 35, ou seja, para grupos de 47 ou 48. A receita em ambos os casos será de R$2256.
Q16: Exemplo 4.4.7 Encontrando a idade ideal para reprodução
Um organismo como o salmão do Pacífico ou o bambu, que se reproduz apenas uma vez durante sua vida, é considerado semelparo. Os biólogos medem a taxa de reprodução per capita de tal organismo pela função
\[ R(x)=\dfrac{\ln(p(x)f(x))}{x} \]
em que \(p(x)\) é a probabilidade de um organismo individual sobreviver até a idade \(x\) e \(f(x)\) é o número de nascimentos femininos de um indivíduo que se reproduz na idade \(x\). Quanto maior o valor de \(R(x)\), mais descendentes serão produzidos. Portanto, a idade em que \(R(x)\) é maximizado é considerada a idade ótima para reprodução.
Suponha que, para um determinado organismo semelparo, a probabilidade de um indivíduo sobreviver até a idade \(x\) (ano) seja dada por \(p(x)=e^{-0.15x}\) e que o número de nascimentos de fêmeas na idade \(x\) é \(f(x) = 3x^{0.85}\). Qual a idade ideal para a reprodução?
Solução
A taxa per capita da função de aumento para este modelo é
\[ R(x)=\dfrac{\ln(e^{-0.15x}\times 3x^{0.85})}{x}=-0.15+\dfrac{\ln(3)+0.85\ln(x)}{x} \]
\[ \begin{align} R_{\text{max}}\left(\dfrac{e}{3^{1+3/17}}\right)&=\dfrac{3}{20}\left(\dfrac{17\times 3^{3/17}}{e}-1\right)\\ R_{\text{max}}(0.74641)&\approx 0.98879 \end{align} \]
A idade ideal para um organismo individual se reproduzir é quando ele tem 0.7464 anos (aproximadamente 9 meses).
Q17: Section4.4.Q29.S37: Especulação de ação
Em um artigo clássico sobre a teoria do conflito, L. F. Richardson (1939) afirmou que a proporção \(p\) de uma população que defende a guerra ou outra ação agressiva em um momento \(t\) satisfaz
\[ p(t)=\dfrac{1}{1+\dfrac{e^{-kt}}{C}} \]
em que \(k\) e \(C\) são constantes positivas. O day-trading especulativo no mercado de ações (a compra e venda de ações no mesmo dia, muitas vezes online, com base em pequenas flutuações de preço de curto prazo) pode ser considerado uma ação agressiva. Suponha que, inicialmente, 1/200 do volume diário total do mercado seja atribuído ao day-trading e que 4 semanas depois, a proporção seja 1/100.
Quando a proporção aumentará mais rapidamente?
Qual será a proporção naquele momento?
Solução
\[ p(0)=\dfrac{1}{200}=\dfrac{1}{1+\dfrac{e^{-k0}}{C}}\\ C=\dfrac{1}{199} \]
\[ \begin{align} p(4)&=\dfrac{1}{100}=\dfrac{1}{1+\dfrac{e^{-k4}}{\dfrac{1}{199}}}\\ k&=\dfrac{\ln\left(\dfrac{199}{99}\right)}{4} \end{align} \]
Portanto, a curva de crescimento logística é:
\[ p(t)=\dfrac{1}{1+199e^{(-\ln(199/99)/4)t}} \]
O ponto de inflexão (velocidade máxima) é obtido por:
\[ \begin{align} p^{\prime\prime}(t)&=0\\ p_i(t_i=\ln(1/C)/k)&=1/2\\ p_i(t_i\approx 30.33)&=1/2 \end{align} \]
Cerca de metade do volume de negociação é devido ao day-trading na trigésima semana.
Dependência da unidade de medida do tempo
A solução depende da unidade de medida do tempo \(t\). O tempo \(t\) deve ser coerente com as unidades usadas para as condições iniciais e a constante \(k\).
Se \(t\) for medido em semanas, \(k\) estará em unidades de semana\(^{-1}\). Se \(t\) for medido em dias, \(k\) estará em unidades de dia\(^{-1}\). A expressão para \(p(t)\) permanece a mesma, mas os valores numéricos de \(k\) e \(t\) precisam ser ajustados de acordo com a unidade de tempo escolhida.
Por exemplo, se inicialmente usamos semanas e depois mudamos para dias, \(k\) deve ser convertido de semana\(^{-1}\) para dia\(^{-1}\) e o valor de \(t\) deve ser convertido de semanas para dias para manter a coerência da equação.
Portanto, a unidade de medida do tempo afeta diretamente o valor de \(k\) e a interpretação de \(t\).
limit 1/(1+(e^(-k t))/C) as t -> infinity
limit 1/(1+(e^(-k t))/C) as t -> -infinity
1/100=1/(1+(e^(-k 4))/(1/199))
asymptotes 1/(1+199 e^((-ln(199/99)/4) t))
Q18: Section4.4.Q65.S59: Pesquisa sobre o câncer
Um modelo de produção de células sanguíneas desenvolvido por A. Lasota (1990) envolve a função de produção
\[ p(x)=Ax^se^{-sx/r} \]
em que \(A\), \(s\) e \(r\) são constantes positivas e \(x\) é o número de granulócitos (um tipo de glóbulo branco) presentes.
- Encontre o nível \(x\) de células sanguíneas que maximiza a função de produção \(p(x)\). Como você sabe que o nível ideal é um máximo?
- Se \(s > 1\), mostre que o gráfico de \(p(x)\) tem dois pontos de inflexão. Esboce o gráfico. Dê uma interpretação física dos pontos de inflexão.
- Esboce o gráfico de \(p(x)\) no caso em que \(0 \le s \le 1\). O que há de diferente nesse caso?
Solução
- O gráfico mostra que há um ponto de máximo global. O ponto de máximo global é \(x^{\ast}=r\) e \(p_{\text{max}}(r)=A(r/e)^s\).
plot x^2 e^(- 2 x/5), x=0 to 20
limit A x^s e^(-sx/r) as x -> infinity
Solve[D[A x^s e^(-s x/r),x]==0,x]
- Para \(s>1\), há dois pontos de inflexão: \(x_i=r(1\pm1/\sqrt{s})\). Portanto, \(p^{\prime}(x_i^+)<0\) e \(p^{\prime}(x_i^-)>0\)
Solve[D[A x^s e^(-s x/r),{x,2}]==0,x]
- Para \(0 \le s \le 1\), há um ponto de inflexão: \(x_i=r(1+1/\sqrt{s})\). Portanto, \(p(x_i)<0\).
Q19: Exemplo 5.3.10 Encontrando Mudança Líquida na Massa Proteica
Uma proteína com massa \(m\) (grama) se desintegra em aminoácidos a uma taxa dada por
\[\dfrac{dm}{dt}=-\dfrac{30}{(3+t)^2}\; \text{g/h}\]
Qual é a variação líquida na massa da proteína durante as primeiras 2 horas?
Solução
A variação líquida é dada pela integral definida
\[ \int_{0}^{2}{\dfrac{-30}{(3+t)^2}dt}=-4 \]
plot -30/(3+t)^2 from t=0 to t=2
integrate -30/(3+t)^2 from t=0 to t=2
Assim, a massa da proteína tem uma diminuição líquida de 4 g nas primeiras 2 horas.
Q20: Exemplo 5.4.4 Estudando a Distribuição de Renda
A área também desempenha um papel importante no estudo das curvas de Lorenz, um dispositivo usado por economistas, sociólogos e biólogos para medir a porcentagem da riqueza de uma sociedade que é possuída por uma determinada porcentagem de sua população. Para ser mais específico, a curva de Lorenz para a economia de uma determinada sociedade é o gráfico da função \(L(x)\), que denota a fração da renda nacional anual total auferida pelos \(100x\%\) dos assalariados mais mal pagos da sociedade, para \(0 \le x \le 1\). Por exemplo, se os 30% mais mal pagos de todos os assalariados recebem 25% da renda total da sociedade, então \(L(0.3)= 0.25\).
Se \(y = L(x)\) é a equação de uma curva de Lorenz, então a desigualdade na distribuição correspondente da riqueza é medida pelo índice de Gini, que é dado pela fórmula
\[ \text{Gini} = 2\int_{0}^{1}{(x-L(x))dx} \]
O índice de Gini situa-se sempre entre 0 e 1. Um índice de 0 corresponde à equidade total na distribuição do rendimento, enquanto um índice de 1 corresponde à iniquidade total (todo o rendimento pertence a 0% da população). Quanto menor o índice, mais equitativa a distribuição de renda, e quanto maior o índice, mais a riqueza está concentrada em apenas algumas mãos. Pelo WolframAlpha, observa-se que a concentração de riqueza do Brasil (Gini=0.489) ocupa a posição 159 entre 174 países (percentil 91).
FIGURA 5.16 Curva de Lorenz e índice de Gini.
Conforme Jiang et al. (2016, p. 2), “O índice de Gini, que foi originalmente desenvolvido para estudar a desigualdade social, tem sido usado para identificar países cuja riqueza é concentrada por um pequeno número de indivíduos e é particularmente adequado para identificar genes específicos de tipos de células raras. Para cada gene X, classificamos as células com base em seus níveis de expressão do mais baixo ao mais alto e, em seguida, avaliamos os níveis de expressão acumulados de X à medida que mais e mais células são incluídas na lista classificada.”
Jiang, L et al. (2016) GiniClust: detecting rare cell types from single-cell gene expression data with Gini index. Genome Biol 17(144): 2-13. https://doi.org/10.1186/s13059-016-1010-4
Uma agência governamental determina que as curvas de Lorenz curvas de Lorenz para a distribuição de renda para dentistas e médicos em um determinado estado sejam dadas pelas funções, respectivamente
\[ \begin{align} L_D(x)&=x^{1.7}\\ L_M(x)&=0.8x^2+0.2x \end{align} \]
Usar o índice de Gini para determinar a profissão com a distribuição de renda mais justa.
Solução
Os respectivos índices de Gini são
\[ \begin{align} G_D(x)&=2\int_{0}^{1}{(x-x^{1.7})dx}=0.2593\\ G_M(x)&=2\int_{0}^{1}{(x-(0.8x^2+0.2x))dx}=0.2667 \end{align} \]
Como o índice de Gini para dentistas é menor, conclui-se que, nesse estado, a renda dos dentistas é mais bem distribuída do que a dos médicos.
Q21: Exemplo 5.4.6 Encontrando a temperatura média
Como parte de sua pesquisa, a pesquisadora modela a emperatura \(T\) (grau Celsius) em uma certa cidade do norte durante o período de tempo das 6h às 18h pela função
\[ T(t)=3-\dfrac{(t-4)^2}{3}\\ 0\le t\le 12 \]
em que \(t\) é o número de horas depois das 6h.
- Qual é a temperatura média na cidade durante a jornada de trabalho, das 8h às 17h?
- Em que hora (ou horas) durante o dia de trabalho a pesquisadora deve esperar que a temperatura seja igual à temperatura média encontrada na parte (a)?
Solução
- Desde as 8h e 17h são, respectivamente, \(t=2\) e \(t=11\) horas depois das 6h, queremos calcular a média da temperatura \(T(t)\) para \(2 \le t \le 11\), que é dada pela integral definida
\[ \large\bar{T}=\dfrac{1}{11-2}\int_{2}^{11}{\left(3-\dfrac{(t-4)^2}{3}\right)dt}=-\dfrac{4}{3}\approx -1.33 \]
Assim, a temperatura média durante a jornada de trabalho é de aproximadamente -1.33 Celsius (ou 29.6 Fahrenheit).
plot 3-((t-4)^2)/3 from t=0 to t=12
(integrate (3-((t-4)^2)/3) dt from t=2 to t=11)/(11-2)
- Queremos encontrar um tempo \(t=t_a\) com \(2 \le t_a \le 11\) tal que \(T(t_a)=-4/3\).
Resolvendo esta equação, descobrimos que
\[ \begin{align} 3-\dfrac{(t_a-4)^2}{3}&=-\dfrac{4}{3}\\ t_a&=4\pm \sqrt{13}\\ t_a&\approx 0.39\;\text{ou}\;7.61 \end{align} \]
Como \(t = 0.39\) está fora do intervalo de tempo \(2 \le t_a \le 11\) (8h às 17h), segue-se que a temperatura na cidade é igual à temperatura média apenas quando \(t \approx 7.61\), ou seja, aproximadamente às 13h37.
Q22: Section5.4.Q60: Volume médio de sangue durante a sístole
Um modelo de Defares et al. (1963) do sistema cardiovascular relaciona o volume sistólico \(V(t)\) de sangue na aorta no tempo \(t\) durante a sístole (a fase de contração) com a pressão \(P(t)\) na aorta ao mesmo tempo pela equação
\[ V(t)=(C_1+C_2P(t))\left(3\left(\dfrac{t}{T}\right)^2-2\left(\dfrac{t}{T}\right)^3\right) \]
em que \(C_1\) e \(C_2\) são constantes positivas e \(T\) é o período da fase sistólica (um tempo fixo).
Suponha que a pressão aórtica \(P(t)\) aumenta a uma taxa constante taxa de \(P_0\) quando \(t=0\) para \(P_1\) quando \(t=T\).
Encontre o volume médio de sangue na aorta durante a fase sistólica (\(0 \le t \le T\)). [Sua resposta deve ser em termos de \(C_1\), \(C_2\), \(P_0\), \(P_1\) e \(T\).]
Solução
\[ \text{volume médio}=\dfrac{15C_1+4P_0^2+10P_0P_1+16P_1^2-15}{30} \]
(integrate (C_1+C_2 (((P_1-P_0)/T) t + P_0))(3 t^2/T^2 - 2 t^3/T^3) dt from t=0 to t=T)/(T-0)
Q23: Exemplo 5.6.1 Estudando Sobrevivência e Renovação
Suponha que uma população inicialmente tenha \(P_0\) membros e que novos membros sejam adicionados à taxa (renovação) de \(R(t)\) indivíduos por unidade de tempo. Suponha ainda que a fração da população que permanece por pelo menos \(t\) unidades de tempo após a chegada seja dada pela função (sobrevivência) \(S(t)\). Então, ao final de um prazo de \(T\) unidades de tempo, a população será
\[ P(T)=P_0S(T)+\int_{0}^{T}{R(t)S(T-t)dt} \]
Uma nova clínica de saúde mental do município acaba de ser inaugurada. Estatísticas de clínicas semelhantes sugerem que a fração de pacientes que ainda receberão tratamento na clínica \(t\) meses após a visita inicial é dada pela função \(S(t)=e^{-t/20}\). A clínica inicialmente aceita 300 pessoas para tratamento e planeja aceitar novos pacientes a uma taxa constante de \(R(t)=10\) pacientes por mês. Aproximadamente quantas pessoas estarão recebendo tratamento na clínica daqui a 15 meses?
Solução
\[ P(15)=300e^{-15/20}+\int_{0}^{T}{10e^{-(15-t)/20}dt}=100\left(2-e^{-3/4}\right)\approx 247.24 \]
300e^{-15/20}+\int_{0}^{15}{10e^{-(15-t)/20}dt}
Ou seja, daqui a 15 meses, a clínica atenderá aproximadamente 247 pacientes.
Q24: Exemplo 5.6.3 Encontrando a população a partir da densidade populacional
Se uma concentração de indivíduos tem densidade populacional \(p(r)\) indivíduos por unidade quadrada a uma distância \(r\) do centro de concentração, então a população total \(P(R)\) localizada dentro da distância \(R\) do centro é dada por
\[ P(R)=\int_{0}^{R}{2\pi r p(r) dr} \]
a fórmula também se aplica a concentrações populacionais mais gerais, como colônias bacterianas ou mesmo a população de gotas de água de um sistema de aspersão.
Uma cidade tem densidade populacional \(p(r)=3e^{-0.01r^2}\), em que \(p(r)\) é o número de pessoas (em milhares) por milha quadrada a uma distância de \(r\) milhas do centro da cidade.
- Que população vive em um raio de cinco milhas do centro da cidade?
- Os limites da cidade são definidos em um raio \(R\) em que a densidade populacional é de mil pessoas por milha quadrada. Qual é a população total dentro dos limites da cidade?
Solução
- A população dentro de um raio de 5 milhas é
\[ P(5)=\int_{0}^{5}{2\pi r 3e^{-0.01r^2} dr} \]
Assim, cerca de 208500 pessoas vivem em um raio de 5 milhas (8 km) do centro da cidade.
\int_{0}^{5}{2\pi r 3e^{-0.01r^2} dr}
- Para encontrar o raio \(R\) que corresponde aos limites da cidade, queremos que a densidade populacional seja mil, então resolvemos
\[ \begin{align} 1&=3e^{-0.01R^2}\\ R&=10\sqrt{\ln(3)}\approx 10.48 \end{align} \]
\[ P\left(10\sqrt{\ln(3)}\right)=\int_{0}^{10\sqrt{\ln(3)}}{2\pi r 3e^{-0.01r^2} dr}\approx 628.319 \]
Assim, aproximadamente 628319 pessoas vivem dentro dos limites da cidade.
Questão 25: MA.Cap03.Exemplo1 - Lei de Boyle-Mariotte
(ref. APEx
14909)
Lei de Boyle-Mariotte (1662-1676): o volume de uma massa gasosa é inversamente proporcional à pressão a que ele está submetido, i.e., o produto da pressão pelo volume é constante, quando sua temperatura permanece constante.
Suponha que, para um determinado gás, \(p\times v = 21\), sendo \(p\) a pressão (atm) e \(v\) o volume (cm3).
Determinar e plotar as funções de elasticidade de:
- Pressão em função de volume;
- Volume em função de pressão.
Solução
Pela lei de Boyle-Mariotte, o produto da pressão pelo volume é constante. Logo,
\[ pv = 21 \]
Daí, podemos escrever a pressão em função do volume como
\[ p(v)=\frac{21}{v} \]
e o volume em função da pressão como
\[ v(p)=\frac{21}{p} \]
A elasticidade de uma função \(f(x)\) em relação a \(x\) é dada por
\[ \eta(x)=x\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} \]
Pressão em função do volume
Temos
\[ p(v)=\frac{21}{v}=21v^{-1} \]
Derivando em relação a \(v\),
\[ p^{\prime}(v)=-21v^{-2}=-\frac{21}{v^2} \]
Assim, a elasticidade da pressão em relação ao volume é
\[ \eta_p(v)=\frac{p^{\prime}(v)\,v}{p(v)} \]
Substituindo,
\[ \eta_p(v)=\frac{\left(-\dfrac{21}{v^2}\right)v}{21/v} =\frac{-21/v}{21/v} =-1 \]
Portanto,
\[ \eta_p(v)=-1 \]
Volume em função da pressão
Temos
\[ v(p)=\frac{21}{p}=21p^{-1} \]
Derivando em relação a \(p\),
\[ v^{\prime}(p)=-21p^{-2}=-\frac{21}{p^2} \]
Assim, a elasticidade do volume em relação à pressão é
\[ \eta_v(p)=\frac{v^{\prime}(p)\,p}{v(p)} \]
Substituindo,
\[ \eta_v(p)=\frac{\left(-\dfrac{21}{p^2}\right)p}{21/p} =\frac{-21/p}{21/p} =-1 \]
Portanto,
\[ \eta_v(p)=-1 \]
Concluímos que tanto a pressão em função do volume quanto o volume em função da pressão são funções isoelásticas, com elasticidade constante igual a \(-1\).
Isso significa que uma variação percentual de 1% em uma variável provoca uma variação percentual de 1% na outra, em sentido oposto.
(x D[a+k/x,x])/(a+k/x) /. a = 0
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL", "pt_BR.UTF-8"))
# Funções
p <- function(v) 21/v
v <- function(p) 21/p
# Grades
vs <- seq(0.1, 20, length.out = 1000)
ps <- seq(0.1, 20, length.out = 1000)
# Gráficos das funções
plot(vs, p(vs), type = "l",
xlab = "Volume (cm³)",
ylab = "Pressão (atm)")
plot(ps, v(ps), type = "l",
xlab = "Pressão (atm)",
ylab = "Volume (cm³)")
# Elasticidades analíticas
eta_p <- function(v) {
(-21/v^2) * (v / p(v))
}
eta_v <- function(p) {
(-21/p^2) * (p / v(p))
}
# Gráficos das elasticidades
plot(vs, eta_p(vs), type = "l", lty = 2,
xlab = "Volume (cm³)",
ylab = "Elasticidade da pressão",
ylim = c(-2, 0))
abline(h = -1, lty = 3)
plot(ps, eta_v(ps), type = "l", lty = 2,
xlab = "Pressão (atm)",
ylab = "Elasticidade do volume",
ylim = c(-2, 0))
abline(h = -1, lty = 3)
Bibliografia
- Batschelet, E (1979) Introduction to mathematics for life scientists. 3rd ed. NY: Springer.
- Batschelet, E (1978) Introdução à matemática para biocientistas. Tradução da 2ª ed. São Paulo: EDUSP e Rio de Janeiro: Interciência.
- Hoffmann, L et al. (2013) Applied calculus for business, economics, and the social and life sciences. 11th ed. NY: McGraw-Hill.
- Hoffmann, L & Bradley, GL (2010) Applied calculus for business, economics, and the social and life sciences: Student solutions manual. 10th ed. NY: McGraw-Hill.
- Siqueira, JO (2012) Fundamentos de métodos quantitativos: aplicados em Administração, Economia, Contabilidade e Atuária usando WolframAlpha e SCILAB. São Paulo: Saraiva. Soluções dos exercícios em https://www.researchgate.net/publication/326533772_Fundamentos_de_metodos_quantitativos_-_Solucoes